Termodynamika 2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Termodynamika 2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Silnik cieplny
W silnikach (maszynach) cieplnych ciepło zamieniane jest na pracę. Elementami silnika są: źródło ciepła
(grzejnik) o temperaturze T
1
, chłodnica o temperaturze T
2
i substancja robocza.
Pracę silnika charakteryzuje sprawność
(wydajność). Sprawność silnika określa, jaka
część energii pobranej na sposób ciepła może
być przekazana innemu układowi na sposób
pracy.
1
2
1
1
Q
Q
Q
Q
W
sprawność
praca wykonana
ciepło oddane
ciepło pobrane
Q
1
ciepło pobrane
Q
2
ciepło oddane
substancja robocza
2
1
Q
Q
W
wykonana praca
1
T
temperatura źródła ciepła
2
T
temperatura chłodnicy
II zasada termodynamiki:
ciepło pobrane z grzejnika nie może być w całości
zamienione na pracę. Część ciepła musi zostać oddana chłodnicy.
Cykl przemian termodynamicznych
Jeśli po kilku przemianach gaz ma takie parametry, jak w stanie początkowym, mówimy, że powstał cykl przemian
termodynamicznych.
V
p
V
p
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną.
Praca gazu jest ujemna. (W
2
< 0)
Praca wykonana przez gaz (W
1
> 0)
W
W
z
W
W
W
W
W
2
1
2
1
Całkowita praca wykonana przez gaz równa jest polu powierzchni zawartej wewnątrz wykresu w układzie pV
Przykłady cykli termodynamicznych
Praca równa jest polu pod wykresem w układzie pV
1
2
1
1
2
1
1
T
T
T
Q
Q
Q
Q
W
praca wykonana
temperatura chłodnicy
ciepło pobrane
temperatura grzejnika
Sprawność η silnika Carnota (idealnego)
Cykl Carnota
V
p
Cykl Carnota składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat.
A
B
D
C
T
1
= const
T
2
= const
Q = 0
Q = 0
•AB – rozprężanie izotermiczne. Gaz wykonuje pracę kosztem ciepła Q
1
pobranego z grzejnika o temperaturze T
1
.
•BC – rozprężanie adiabatyczne. Gaz wykonuje pracę kosztem swojej
energii wewnętrznej, temperatura obniża się do wartości T
2
.
•CD – sprężanie izotermiczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, ciepło Q
2
jest oddawane do chłodnicy o temperaturze T
2
.
• DA – sprężanie adiabatyczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, energia
wewnętrzna zwiększa się, temperatura wzrasta do wartości T
1
.
W
AB
> 0,
W
BC
> 0,
W
CD
< 0,
W
DA
< 0,
Q
1
Q
2
Całkowita praca wykonana przez gaz
równa jest polu wewnątrz wykresu.
DA
CD
BC
AB
W
W
W
W
W
ciepło oddane
1
2
1
T
T
T
Wartość jest maksymalną sprawnością silnika dowolnego typu, który pracuje między temperaturami T
1
i T
2
Przykłady
Zadanie 1
Wyprowadź wzór na sprawność silnika Carnota
1
2
1
T
T
T
V
p
A
B
D
C
T
1
= const
T
2
= const
Q = 0
Q = 0
W
AB
> 0,
W
BC
> 0,
W
CD
< 0,
W
DA
< 0,
Q
1
Q
2
Rozwiązanie:
Z definicji sprawności silnika:
1
2
1
Q
Q
Q
Q
1
to ciepło pobrane w przemianie izotermicznej AB, Q
2
to ciepło
oddane w przemianie izotermicznej CD. Z I zasady termodynamiki dla
przemiany izotermicznej mamy:
A
B
AB
V
V
ln
T
R
n
W
Q
1
1
D
C
CD
V
V
ln
T
R
n
W
Q
2
2
A
B
D
C
A
B
V
V
ln
T
V
V
ln
T
V
V
ln
T
Q
Q
Q
1
2
1
1
2
1
Korzystamy z równań dla przemian adiabatycznych BC i DA:
const
VT
1
1
2
1
1
T
V
T
V
C
B
1
2
1
1
T
V
T
V
D
A
równania dzielimy stronami
D
C
A
B
V
V
V
V
1
2
1
1
2
1
1
2
1
T
T
T
V
V
ln
T
V
V
ln
T
V
V
ln
T
Q
Q
Q
A
B
A
B
A
B
Przykłady
Zadanie 2
Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 25%, temperatura chłodnicy 27
0
C. Oblicz temperaturę źródła
ciepła.
Zadanie 3
Silnik wykonał pracę W = 20 kJ, a do chłodnicy oddane zostało ciepło Q = 80 kJ. Oblicz sprawność silnika.
Mamy dlatego,
K
T
T
T
T
T
400
4
3
4
1
1
1
1
2
1
2
5
1
Q
W
W
%
20
Q
Q
W
1
Zadanie 4
Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.
p
p
1
p
2
p
3
V
1
V
2
V
A
B
D
C
W czasie przemiany AB oraz CD praca nie jest
wykonywana. Praca jest wykonywana w czasie
przemian BC oraz DA.
W czasie przemiany BC gaz wykonuje pracę, a
podczas przemiany DA praca jest wykonywana nad
gazem przez siłę zewnętrzną.
DA
BC
W
W
W
1
2
3
V
V
p
W
BC
DA
W
(pole pod wykresem) składa się z pola prostokąta oraz z pola półkola.
Promień półkola: ale także , pole półkola
4
1
2
1
2
1
2
1
V
V
p
p
V
V
p
W
DA
Praca wykonana przez gaz w tym cyklu to:
4
1
2
1
2
1
2
1
3
V
V
p
p
V
V
p
p
W
1
2
p
p
r
2
1
2
V
V
r
4
2
1
2
1
2
2
V
V
p
p
r
P
Przykłady
Zadanie 5
Jaka jest sprawność silnika o cyklu przedstawionym na wykresie? W przemianach uczestniczy 1 mol gazu.
p
p
1
p
2
V
1
V
2
V
A
B
D
C
Sprawność silnika wyraża się wzorem:
p
V
Q
Q
W
Q
W
Pracę obliczamy jako pole pod wykresem:
1
2
1
2
V
V
p
p
W
Ciepło w przemianie izochorycznej AB jest równe zmianie energii wewnętrznej:
A
B
V
V
T
T
nc
Q
Ciepło w przemianie izobarycznej BC jest równe zmianie energii wewnętrznej oraz pracy wykonanej
przez układ:
1
2
2
V
V
p
T
T
nc
Q
B
C
V
p
Temperaturę obliczamy z równania stanu gazu:
nR
V
p
T
A
1
1
nR
V
p
T
B
1
2
nR
V
p
T
C
2
2
1
n
Wstawiamy do wzoru na Q:
V
V
V
V
c
R
V
V
p
p
p
V
R
c
V
V
p
R
V
p
R
V
p
c
R
V
p
R
V
p
c
Q
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
V
V
c
R
V
V
p
p
p
V
c
V
V
p
p
R
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
Rozwiązanie:
Ciepło przekazywane jest do układu w czasie przemian AB oraz BC, a
w kolejnych przemianach ciepło jest odbierane przez chłodnicę.
Przykłady
Zadanie 6
Mol powierza został izochorycznie oziębiony, na skutek czego jego energia wewnętrzna zmniejszyła się o ΔU.
Następnie rozprężając się izobarycznie wykonał pracę W. Znane są parametry początkowe stanu gazu: p
1
i T
1
.
Oblicz p
2
, T
2
, V
1
i V
3
.
p
p
2
p
1
V
1
V
3
V
B (T
2
)
A (T
1
)
C
Praca w przemianie izobarycznej:
v
c
U
T
p
WT
V
V
V
V
p
W
1
1
1
1
3
1
3
2
Zmiana energii wewnętrznej:
v
v
c
U
T
T
T
T
c
U
1
2
2
1
Z równania stanu gazu:
1
1
1
p
RT
V
1
1
1
1
2
2
T
c
U
T
p
V
RT
p
v
Przykłady
Zadanie 7
Gaz doskonały został poddany przemianom AB i BC przedstawionym na rysunku. Objętość gazu zmieniła się o
V = 0,2 m
2
.
Dane jest ciśnienie gazu w stanie A: p
A
= 30 kPa
. Obliczyć:
a)
zmianę energii wewnętrznej
U w przemianie ABC,
b)
pracę W wykonaną przez gaz w przemianie ABC,
c)
Wykazać, że zmiana energii wewnętrznej
U
jest równa sumie pracy wykonanej nad gazem i ciepła dostarczonego.
C
A
B
T
p
P
A
T
C
Rozwiązanie:
W przemianie BC
ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury, więc jest to przemiana izochoryczna (W
BC
= 0).
Z wykresu wynika, że
a)
b) Praca wykonana przez gaz:
c) Praca wykonana przez siłę zewnętrzną:
Ciepło pobrane przez gaz:
Dla przemiany AB:
Z równania stanu gazu w stanie A:
A
C
T
T
0
A
C
V
ABC
T
T
nc
U
V
p
W
A
z
J
V
p
W
W
A
AB
ABC
600
A
B
A
B
V
p
A
C
V
A
B
p
BC
AB
ABC
T
T
nR
T
T
c
c
n
T
T
nc
T
T
nc
Q
Q
Q
B
A
B
B
A
A
T
V
V
T
V
T
V
A
A
A
p
nRT
V
nR
V
p
nRT
T
A
A
B
V
p
nRT
nR
V
p
nRT
nR
Q
A
A
A
A
ABC
0
z
ABC
W
Q
Przykłady
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
2.
Ile powietrza z atmosfery należy wpompować do zbiornika o pojemności 2 m
3
aby, bez zmiany temperatury,
osiągnąć ciśnienie dziesięciokrotnie większe od atmosferycznego?.
Odp. Trzeba wpompować powietrze o objętości 20 m
3
3.
Ogrzano gaz w balonie, przy stałym ciśnieniu, od temperatury t
1
= 7
0
C do temperatury t
2
= 107
0
C.
Oblicz objętość końcową gazu, jeśli objętość początkowa wynosiła 28 m
3
.
Odp. Objętość końcowa gazu wynosiła 37 m
3
4.
Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 20%, temperatura źródła ciepła 127
0
C. Oblicz temperaturę
chłodnicy.
Odp. Temperatura chłodnicy wynosi 320 K, czyli 47
0
C
1.
Opona zawiera powietrze o ciśnieniu p w temperaturze t. O ile wzrośnie ciśnienie powietrza w oponie, przy
stałej objętości, jeśli jego temperatura wzrośnie o
t ?
Odp. Ciśnienie wzrośnie o
5.
Silnik pobrał ciepło Q
1
=2000 J, a do chłodnicy odprowadzono ciepło Q
2
= 1800 J Jaka praca została
wykonana?
Odp. Praca wynosi 200 J
273
t
t
p
p
6.
Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.
Odp.:
7.
Silnik cieplny pobiera 3 razy więcej ciepła niż oddaje do chłodnicy. Oblicz sprawność tego silnika.
Odp.:
8.
Gaz doskonały uległ przemianie przedstawionej na wykresie. O ile zmieniła się jego temperatura?
Odp.:
ΔT = 0
9.
Ile ciepła jest dostarczane oraz odbierane z idealnego silnika, który wykonuje pracę W, jeśli temperatura
grzejnika wynosi T
1
a temperatura chłodnicy T
2
?
Odp.:
p
p
1
V
3
p
2
V
1
V
2
V
A
B
D
C
1
2
1
3
1
2
2
1
V
V
V
V
p
p
W
3
2
p[kPa]
1
0
4
4
1
V[m
3
]
A
B
2
1
1
1
T
T
W
T
Q
W
T
T
W
T
Q
2
1
1
2
10.
Jakie jest ciepło pobrane oraz jaką pracę wykonuje silnik Carnota o sprawności η, jeśli w każdym cyklu oddaje
do chłodnicy ciepło Q
2
.
Odp.:
1
2
1
Q
Q
1
2
Q
W