Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209

Ćwiczenia 1, 7 X 2005

1. Udowodnić rachunkowe własności prawdopodobieństwa W1–W7, podane

na wykładzie.

2.

F jest σ-ciałem, A, B ∈ F. Wykazać, że A ∩ B ∈ F.

3. Opisać najmniejsze

σ-ciało, do którego:

a)należy zbiór

A;

b)należą zbiory

A i B.

Zbadać, ile elementów może mieć

σ-ciało skończone.

4.

A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach zdarzenia

„zachodzi dokładnie

k spośród wymienionych zdarzeń” i „zachodzi co najmniej

k spośród wymienionych zdarzeń”, gdzie k = 0, 1, 2, 3.

5. Wiadomo, że

P (A

) =

1

3

,

P (A ∩ B) =

1

4

i

P (A ∪ B) =

2

3

. Obliczyć

P (B

)

i

P (A ∩ B

).

6. W urnie jest

b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a)bez

zwracania; b)ze zwracaniem. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie kul
tego samego koloru, czy różnych kolorów?

7. W grupie ćwiczeniowej jest 23 studentów. Jaka jest szansa, że w tej grupie:

a)jest ktoś obchodzący urodziny 22 maja;

b)są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia?

8. 10 osób wsiada do (pustego)pociągu. Każdy wybiera jeden z 4 wagonów

losowo. Jaka jest szansa, że wszystkie wagony będą zajęte?

9. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a)

4; b)6; c)7 kart jednego koloru?

Uwaga. W niektórych z powyższych zadań prawdopodobnie należy zastoso-

wać klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Warto zbadać, czy zawsze jest to
uzasadnione.

Przydatne będą podstawowe schematy kombinatoryczne, znane pod hasłami:

permutacje, kombinacje, wariacje i wariacje z powtórzeniami.

1