PODSTAWY MATLABA:

Po uruchomieniu programu pojawiają się okna:
Command Window – służy do komunikacji programu z użytkownikiem. W tym oknie
wprowadzamy polecenia i w nim program wyświetla wyniki obliczeń.
Workspace – pokazuje zmienne aktualnie zadeklarowane w programie
Command History – zawiera ostatnio wprowadzane komendy
Current Directory – pokazuje zawartość bieżącego katalogu.

Obliczenia na liczbach prowadzimy wpisując konkretne działanie i naciskając ENTER.
Znak * oznacza mnożenia, znak / dzielenie, potęgowanie uzyskujemy wpisując przed
wykładnikiem potęgi znak ^. Separatorem dziesiętnym jest kropka, odpowiednikiem
mnożenia przez 10 do potęgi n jest dodanie na końcu wartości wyrażenia e. Jeśli chcemy
policzyć wartość dowolnej, znanej w programie funkcji, jej argumenty wprowadzamy
w nawiasie np:

sin(pi/2)
cos(5e-2)

1.

ZMIENNE W MATLABIE - MACIERZE

W Matlabie wszystkie używane zmienne są macierzami. Przez macierz rozumiemy

zbiór wartości numerycznych odpowiednio zorganizowanych w wierszach i kolumnach.
Liczba kolumn lub wierszy określana jest dowolną liczbą całkowitą, a jedynym
ograniczeniem jest rozmiar dostępnej pamięci.

Pierwszy rozmiar macierzy określa liczbę wierszy, a druga liczba służy do określenia liczby
kolumn. Przykładowo macierz o wymiarach 3 x 4 zawiera 3 wiersze i 4 kolumny, czyli
łącznie 12 elementów.

Skalar w Matlabie jest szczególnym przypadkiem macierzy o rozmiarze 1 x 1.

Wektor o n elementach jest definiowany jako macierz zawierająca 1 wiersz (n x 1) lub

macierz zawierająca 1 kolumnę (1 x n) – wektor kolumnowy.

Nazwa zmiennej w Matlabie może być ciągiem dowolnych cyfr i liter o długości nie

przekraczającej 19 znaków. Pierwszy znak nie może być cyfrą i nazwa nie może zawierać
spacji oraz niektórych znaków np. ‘ + – . Pamiętać należy, że w Matlabie rozróżniane są duże
i małe litery. Tak więc zmienne o nazwie c i C są dwiema różnymi zmiennymi ! Podobnie
MID i Mid to także dwie różne zmienne.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów macierzy zdefiniowanych w Matlabie. Proszę

zwrócić uwagę na rolę nawiasów kwadratowych w definicji macierzy.

c = 5.66 or c = [5.66]

c –

definicja skalara czyli macierzy 1x1

x = [ 3.5, 33.22, 24.5 ]

x –

wektor wierszowy czyli macierz 1x3

x1 = [ 2;

x1 – wektor kolumnowy czyli macierz 4x1

5;

3;
-1]

A = [ 1 2 4;

A – macierz o rozmiarze 4x3

2 -2 2;

4 wiersze i 3 kolumny

0 3 5;
5 4 9 ]



Dostęp do poszczególnych elementów macierzy jest możliwy poprzez wywołanie typu A(i,j),
przykładowo zmiana wartości jednego z elementów macierzy może nastąpić za pomocą
komendy A(4,1)=5
Macierz wyświetlana jest w Matlabie z zachowaniem struktury macierzy.
Macierze mogą być definiowane w różny sposób:

Przykład
Macierz x o rozmiarze 1x3, o elementach: x(1)=2, x(2)=4 i x(3)=-1.

x = [ 2 4 -1 ] lub

x = [ 2,4,-1 ]

Wykonanie polecenia następuje po naciśnięciu Enter. Kolejne elementy macierzy mogą być
oddzielone spacjami lub przecinkami. Macierz y o rozmiarach 2x4 o elementach: y(1,1)=0,
y(1,2) = y(1,3) = 2, y(1,4) = 3, y(2,1) = 5, y(2,2) = -3, y(2,3) = 6, y(2,4) = 4 może zostać
zdefiniowana w następujący sposób:

y =

[ 0, 2, 2, 3;

5, -3, 6, 4 ]

lub

y =

[ 0, 2, 2, 3 ; 5, -3, 6, 4 ]

Ś

rednik ";" jest używany do do rozdzielenia wierszy definiowanej macierzy jeśli definicja

wprowadzana jest w jednej linii. Wartości macierzy zdefiniowane mogą być również za
pomocą wyrażenia, np.:

a = [ sin(pi/2) sqrt(2) 3+4 6/3 exp(2) ]

tworzy macierz

a = [ 1.0000 1.4142 7.0000 2.0000 7.3891 ]

Nowa macierz może zostać również utworzona przy wykorzystaniu wcześniej
zdefiniowanych macierzy. Przykładowo korzystając z poprzednio zdefiniowanej macierzy x
utworzono macierz x1:
Polecenie:

x1 = [ x 5 8 ]

generuje macierz:

x1 = [ 2 4 -1 5 8 ]

Wyrażenie

x(5) = 8

Powoduje dodanie nowego elementu macierzy x

x = [ 2 4 -1 0 8 ]

i dodatkowo automatycznie wstawiony zostaje element x(4) równy zero. Nowa macierz może
zostać utworzona również z innych macierzy. Polecenia:

c = [ 4 5 6 3 ]
z = [ y;c ]

dają w wyniku:

z = [ 0 2 2 3
5 -3 6 4
4 5 6 3 ]

Po każdej wykonanej komendzie (po naciśnięciu Enter) Matlab wyświetla rezultat
wykonywanej komendy. Efekt wyświetlania efektu działania komendy można zablokować
zakańczając linię polecenia średnikiem.

z = [ y ; c ] ;

Macierze mogą być również generowane za pomocą odpowiednich funkcji konstruujących,
przykładowo:
zeros

- tworzy macierz zerową

ones

- tworzy macierz jedynek

eye

- tworzy macierz z jedynkami na przekątnej

rand

- tworzy macierz z liczbami losowymi

Funkcje te wywołane z jednym parametrem tworzą macierz kwadratową o zadanym
wymiarze, z dwoma odpowiednią macierz prostokątną.

Kontynuacja linii polecenia

W niektórych przypadkach linia polecenia jest bardzo długa i nie mieści się w jednej linii
okna poleceń. Można w takim przypadku kontynuować linię polecenia w kolejnym wierszu
jeśli poprzednią linię zakończymy trzema kropkami "...".
Przykład
Polecenie:

4 + 5 + 3 ...
+ 1 + 10 + 2 ...
+ 5

daje w wyniku

ans = 30

W tym przypadku należy jeszcze zwrócić uwagę na to że w wyniku tej operacji nie powstała
nowa zmienna, a wynik przypisany został do zmiennej standardowej ans. Kolejna operacja
tego typu spowoduje redefinicję zmiennej ans.

Operator ‘:’

Operator ':' pozwala na wykonanie wielu operacji w Matlabie. Jeśli dwie liczby całkowite
rozdzielone są dwukropkiem to w wyniku wykonania takiego polecenia powstanie wektor
wierszowy składający się z liczb całkowitych.
Polecenie

a = 1:8

generuje wektor

a = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ].

Jeśli trzy liczby (całkowite lub rzeczywiste) rozdzielone są dwukropkami to powstanie wektor
zawierający ciąg liczb narastających monotonicznie począwszy od pierwszej a skonczywszy
na wartości określonej trzecią liczbą. Przyrost wartości pomiędzy kolejnymi liczbami równy
jest drugiej liczbie wymienionej w komendzie:
Przykładowo

b = 0.0 : .2 : 1.0

generuje wektor:

b = [ 0.0 .2 .4 .6 .8 1.0 ]

Dwukropek może być wykorzystany również do operacji wydzielania wektora lub macierzy z
innej macierzy.
Przykładowo jeśli

x = [ 2, 6, 8;
0, 1, 7;
-2, 5, -6 ]

To komenda

y = x(:,1)

Spowoduje utworzenie wektora kolumnowego:

y = [2
0
-2 ]

a komenda

yy = x(:,2)

tworzy:

yy = [ 6

1

5 ]


Polecenie

z = x(1,:)

generuje wektor wierszowy:

z = [ 2 6 8 ]

W wymienionych przypadkach ‘:’ oznaczał „wszystkie indeksy”. Inny przykład, definiujemy
macierz c

c = [ -1, 0, 0;
1, 1, 0;
1, -1, 0;
0, 0, 2 ]

a następnie wydajemy polecenie

d1 = c(:,2:3)

które tworzy macierz zawierającą kolumny od drugiej do trzeciej i wszystkie wiersze:

d1 = [ 0 0
1 0
-1 0
0 2 ]

Natomiast komenda

d2 = c(3:4,1:2)

tworzy macierz o wymiarach 2x2 powstałą z wiersza 3

ciego

i 4

tego

i kolumny 1

szej

i 2

giej

macierzy c.

d2 = [ 1 -1

0 0 ]

Do generowania wektorów służy również funkcja linspace(), w której jako agrumenty
podajemy wartość początkową, wartość kończową i liczbę wyrazów.

E = linspace(0,2,21)

spowoduje wygenerowanie wektora o długości 21 elementów zmieniających się o wartość 0.1

2. OPERACJE ARYTMETYCZNE

Ponieważ podstawową strukturą w Matlabie jest macierz to również operatory arytmetyczne
są zdefiniowane dla zmiennych macierzowych, co pozwala na dużą oszczędność i elegancję
składni.

Podstawowe operacje algebraiczne to

+

dodawanie

-

odejmowanie

*

mnożenie

‘

transpozycja ze sprzężeniem

\

dzielenie lewe (daje w rezultacie rozwiązanie równania a*x=b

/

dzielenie prawe ( a/b odpowiada (b’\a’)’ )

Użycie operatora w przypadku wielkości skalarnych powoduje, że wykonywane są operacje
algebraiczne w „tradycyjnym” ich rozumieniu.

Użycie operatora poprzedzonego kropką powoduje że operacje wykonane zostaną jak na
skalarach w odniesieniu do poszczególnych elementów zmiennych.

Przykładowo, zdefiniujmy macierze:

a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 10], b = [1 1 1]'

Macierz przemnożona (podzieloana) przez skalar daje w wyniku macierz o elementach
przemnożonych (podzielonych) przez skalar, przykładowo

2*a
a/4

Dodawanie skalara do macierzy powoduje, że do każdego elementu macierzy zostanie dodany
skalar.

b+2

Dodawanie macierzy działa tak jak normalana operacja dodawania macierzy

a + [b,b,b]

Mnożenie macierzy wymaga zgodności wymiarów i również odpowiada normalnej operacji
mnożenia macierzy

a*b, b*a

b'*a

a*a', a'*a

b'*b, b*b'

Jak wspomniano wcześniej, poprzedzenie operatora kropką powoduje, że operacje będą
wykonywane na poszczególnych elementach

a.^2

podnosi do kwadratu każdy element macierzy a

1 ./ a

oblicza odwrotność każdego elementu

a operacja

[1 2 3 4] .* [2 2 1 1]

daje wynik

[2 4 3 4]

Jeśli przyjmiemy, że macierz a zawiera współczynniki układu równań liniowych, x jest
wektorem kolumnowym zawierjącym niewiadome a wektor b jest wektorem kolumnowym
zawierającym wyrazy wolne to równanie

a x =b

przedstawia układ równań liniowych który w Matlabie może zostać rozwiązany poleceniem

x = a \ b

co oznacza wykonanie operacji x = a

-1

b. Rozwiązanie problemu x a = b (a i b są dane), można

uzyskać wykonując:

x = b / a

co oznacza wykonanie operacji x = ba

-1

Oprócz operacji podstawowych w Matlabie dostępnych jest cały szereg funkcji operujących
na macierzach.

Polecenie Clear

W Matlabie dostępna jest funkcja która pozwala na usunięcie z pamięci zbędnych zmiennych.
jest to polecenie clear, które użyte bez żadnego argumentu powoduje USUNIĘCIE
WSZYSTKICH ZMIENNYCH z pamięci. Jeśli chcemy usunąć tylko wybrane zmienne to
należy podać nazwy tych zmiennych jako argument tej funkcji, przykładowo

clear z MED A

Oprócz tej komendy wspomnieć należy w tym miejscu o komendzie clc, która pozwala na
wyczyszczenie okna poleceń.

Polecenia who, whos

Pozwalają na uzyskanie informacji o zmiennych znajdujących się w pamięci

Liczby zespolone

W Matlabie zmienne i oraz j automatycznie predefiniowane są jako sqrt(-1)

Zmiana precyzji wyświetlania wyników

Niezależnie od wybranej precyzji wyświetlania wyników wszystkie operacje w Matlabie
wykonywane są na zmiennych typu double. Zmianę precyzji wyświetlania można uzyskać
używając polecenia format:

a=sqrt(2)
format long, b=sqrt(2)
a-b
format short

Zapamiętywanie sesji i zmiennych na dysku

ś

eby zapisać wartości zmiennej "x" do pliku tekstowego o nazwie "var_x.txt" można użyć

polecenia

save var_x.txt x -ascii

ś

eby zapisać zmienną "x" do pliku w formacie Matlaba o nazwie "var_x.mat" można użyć

polecenia

save var_x x

ś

eby zapisać wszystkie zmienne do pliku w formacie Matlaba o nazwie "mysession.mat"

można użyć polecenia

save mysession

Wczytywanie sesji i zmiennych z pliku na dysku

Do wczytania zmiennej (lub sesji) z pliku w formacie Matlaba zastosuj polecenie load.

load mysession

Pomoc

Aby uzyskać pomoc na temat funkcji zastosuj polecenie help podając jako parametr nazwę
funkcji, przykładowo:

help sin

Można też skorzystać z systemu pomocy w formacie HTML. Przeszukiwanie plików pomocy
w celu odnalezienia informacji związanych z określonym terminem czy też funkcją można
uruchomić stosując polecenie lookfor, przykładowo:

lookfor sin

3. WIZUALIZACJA ROZKŁADÓW JEDNOWYMIAROWYCH

Matlab oferuje różne rodzaje wykresów:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x=0:0.05:8;

y1=sin(x.^2);

y2=sin(x);

plot(x,y1, x,y2);

% Tworzenie wykresu z dwiema %
osiami y z użyciem funkcji plot
t = 0:pi/20:2*pi;

y1 = sin(t);

y2 = 0.5*sin(t-1.5);

plotyy(t,y1,t,y2,'plot')

% Wykres schodkowy funkcji sin

x=0:0.25:10;

stairs(x,sin(x));

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

0

10

10

10

20

10

30

10

40

10

50

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

% Wykres logarytmiczny

x = logspace(-1,2);

loglog(x,exp(x),'-s');

grid on

% Wykres błędu

x=-2:0.1:2;

y=erf(x);

e = rand(size(x))/10;

errorbar(x,y,e);

% Stem plot

x = 0:0.1:4;

y = sin(x.^2).*exp(-x);

stem(x,y)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

0

10

2

10

4

10

6

10

8

10

10

0.125

0.25

0.375

0.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180

0

11%

33%

6%

28%

22%

% Wykres półlogarytmiczny(y-log)
x = 0:.1:10;
semilogy(x,10.^x)
% Wykres półlogarytmiczny(x-log)
x = 0:.1:10;
semilogx(10.^x,x)

% Wykres biegunowy

t=0:.01:2*pi;

polar(t,abs(sin(2*t).*cos(2*t)));

x = [1 3 0.5 2.5 2];

explode = [0 1 0 0 0];

pie(x,explode)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1

2

3

4

5

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

1

2

3

4

5

% Wykres słupkowy funkcji
dzwonowej

x = -2.9:0.2:2.9;

bar(x,exp(-x.*x));

Y = round(rand(5,3)*10);
bar(Y,'stack')

Y = round(rand(5,3)*10);
barh(Y,'stack')

ĆWICZENIA

Ćwiczenie 1

Określić jakie macierze zostaną wygenerowane wyniku wykonania poniższych poleceń.
Sprawdzić swoje odpowiedzi wykonując polecenia w Matlabie. Do określenia rozmiaru
macierzy zastosować polecenie size np. size(z).

1. a = [1,0,0,0,0,1]
2. b = [2;4;6;10]
3. c = [5, 3, 5; 6, 2, -3]
4. 4. d= [3, 4;

5, 7;

9, 10 ]

5. e = [3, 5, 10, 0; 0, 0 ...

0, 3; 3, 9, 9, 8 ]

6. t = [4, 24, 9]

q = [t 0 t]

7. x = [ 3, 6 ]

y = [d;x]

z = [x;d]

8. r = [ c; x,5]
9. v = [ c(2,1); b ]

10.

a(2,1) = -3

Ćwiczenie 2

Wygenerować macierz g 5x4.
g = [ 0.6, 1.5, 2.3, -0.5;
8.2, 0.5, -0.1, -2.0;
5.7, 8.2, 9.0, 1.5;
0.5, 0.5, 2.4, 0.5;
1.2, -2.3, -4.5, 0.5 ]

Określić jakie macierze zostaną wygenerowane wyniku wykonania poniższych poleceń:

1. a = g(:,2)
2. b = g(4,:)
3. c = [10:15]
4. d = [4:9;1:6]
5. e = [-5,5]
6. f= [1.0:-.2:0.0]
7. t1 = g(4:5,1:3)
8. t2 = g(1:2:5,:)

Ćwiczenie 3

1. Obliczyć wartości funkcji: y(x), z(x), g(x) w zakresie x=<-5;5> z krokiem 0.1.

)

3

sin(

)

100

cos(

10

1

)

(

10

)

40

cos(

)

(

)

4

sin(

)

(

2

)

1

(

x

x

x

g

e

x

x

z

x

x

y

x

+

⋅

=

⋅

=

=

−

−

Ćwiczenie 4

Utworzyć wektor, w którym każdemu indeksowi parzystemu p będzie odpowiadać kwadrat, a
indeksowi nieparzystemu – sześcian p-tej liczby naturalnej.

Ćwiczenie 3

Mając dany wektor x, utworzyć tablicę a o n wierszach będących kopiami x.
x = 1: 6; n = 5;

PYTANIA:

1.

Jaką rolę pełni średnik na końcu wprowadzanego wyrażenia ?

2.

Co powodują i czym różnią się polecenia who i whos ?

3.

Kiedy stosujemy operator ”.” (kropka) ?

4.

Jaki jest rezultat opracji clear ?

5.

Do czego służy funkcja linspace() i jakie są jej parametry ?