WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW

ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW

PRODUKCYJNYCH

PROCEDURY KONTROLNE

(KARTY KONTROLNE)

SHEWHARTA

(18 III 1891 – 11 III 1967) doktor fizyki, obywatel Stanów Zjednoczonych

Walter Shewhart urodził się 18 marca 1891 roku w New Canton w stanie Illinois. Studiował
fizykę na uniwersytecie stanowym, a następnie na Uniwersytecie California w 1917 roku
uzyskał stopień doktora nauk. Od 1918 związany z przedsiębiorstwem Western Electric
Company wytwarzającej sprzęt telefoniczny dla Bell Telephone. Od 1925 roku rozpoczął
pracę w Bell Telephone Laboratories i był z nim związany aż do 1956 roku. Swoje pomysły
i przemyślenia na temat możliwości stosowania narzędzi statystycznych w zarządzaniu
przedsiębiorstwem publikował w serii gazetek „Bell System Technical Journal”. Dla potrzeb
monitorowania zmienności procesów W. Shewhart w 1924 roku stworzył specjalne
procedury kontrolne nazywane kartami kontrolnymi, kartami sterowania jakości lub po
prostu kartami Shewharta. Podstawowym założeniem kart kontrolnych jest, że uregulowany
proces powinien utrzymywać się w granicach tolerancji. Granice te nazywane są tutaj
liniami kontrolnymi. W ujęciu graficznym karta jest wykresem (zbiorem wykresów), na
którym zaznacza się punkty będące wartościami charakterystyk procesów obliczanych na
podstawie okresowo pobieranych próbek. W okresie II wojny światowej koncepcje
Shewharta wykorzystywano w przemyśle zbrojeniowym. Karty kontrolne stały się część
składową norm Z1.1, Z1.2 (1941) oraz Z1.3 (1942). Shewhart był również wykładowcą
uniwersytetów Illinois, Kalifornia, Harvard, Princeton, gdzie wykładał min. sterowanie
jakością i statystykę. Był również redaktorem naczelnym publikacji „Mathematical Statistics
Series”. Do najważniejszych jego dzieł należy zaliczyć: książkę „Economic Control of
Quality Of Manufactured Produkt” (1931) oraz „Statistical Metod of Quality Control”(1939).
Za swoje osiągnięcia został uhonorowany wieloma oznaczeniami i tytułami min. otrzymał
honorowe członkostwo Amerykańskiego Towarzystwa Jakości, które również od 1948 roku
ustanowiło medal Shewharta nadany takim znakomitościom jak: W. Deming, K. Ishikawa,
czy G. Taguchi. W. Shewart zmarł 11 marca 1967 roku w Troy Hills w stanie New Jersey.

AGREGAT

PRODUKCYJNY

BLOK
POMIAROWY

BLOK
ANALIZUJĄCY

Sygnał o rozregulowaniu
procesu

OPERATOR
AGREGATU
PRODUKCYJNEGO

Strumień produktu

odbiorca

regulacja

Surowce
Energia
informacje

Schemat systemu bieżącej kontroli jakości

Sygnał

wejściowy

Sygnał

wyjściowy

Cykl Shewharta

3

Dokonaj

korekty

procesu

2

Dokonaj

identyfikacji

przyczyn

wykrytego
zakłócenia

4

Sprawdź

skuteczność

dokonanej korekty i

wykorzystaj ją

1

Wykryj

systematyczne

(nielosowe) zakłócenie

procesu

Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q

0

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

f(D)

d

D

g

D

E(D)

2

α

2

α

α

−

1

H

o

: Q = Qo

H

1

: Q ≠ Qo

D

Linia centralna

Dolna linia
kontrolna

Górna linia
kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

obszar krytyczny

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q

0

H

o

: Q ≤ Qo

H

1

: Q > Qo

D

Linia centralna

Górna linia
kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

f(D)

1 – α

α

g

D

E(D)

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q

0

H

o

: Q ≥ Qo

H

1

: Q < Qo

D

Linia centralna

Dolna linia
kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

α

α

−

1

D

f(D)

d

D

E(D)

Typ zmiennej

typ ograniczenia
przedziału
tolerancji

linie służące do
rejestracji
rozregulowania

linie służące do
rejestracji postępu
technologicznego

nominata jakości obustronne

H

o

: Q = Q

o

H

1

: Q

≠ Q

o

GLK; DLK

LC

destymulanta
jakości

prawostronne
H

o

: Q

≤ Q

o

H

1

: Q > Q

o

GLK

DLK

symulanta
jakości

lewostronne
H

o

: Q

≥ Q

o

H

1

: Q < Q

o

DLK

GLK

DLK – dolna linia kontrolna
GLK – górna linia kontrolna
LC – linia centralna

Wybrane karty kontrolne

Shewharta

Karta kontrolna

x

Założenia:
X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o stałym i znanym
odchyleniu standardowym.
Hipotezy:

Charakterystyka z próby:

Linie kontrolne:

H

o

:

µ = µ

o

H

1

:

µ ≠ µ

o

H

o

:

µ ≤ µ

o

H

1

:

µ > µ

o

H

o

:

µ ≥ µ

o

H

1

:

µ < µ

o

t

n

i

t

i

t

n

x

x

t

∑

=

=

1

o

o

d

o

g

LC

n

u

x

n

u

x

µ

σ

µ

σ

µ

ε

α

=

⋅

−

=

⋅

+

=

o

o

d

o

g

LC

n

u

x

n

u

x

µ

σ

µ

σ

µ

α

α

=

⋅

−

=

⋅

+

=

2

2

o

o

d

o

g

LC

n

u

x

n

u

x

µ

σ

µ

σ

µ

α

ε

=

⋅

−

=

⋅

+

=

NORMATYWNA METODA INSTALOWANIA KARTY KONTROLNEJ

Stabilizacyjna metoda instalowania karty kontrolnej (metoda
bez znanych wartości normatywnych)
Szacowanie średniego poziomu procesu oraz odchylenia
standardowego

k

x

x

k

t

t

∑

=

=

1

,

(

)

k

x

x

s

k

t

t

x

∑

=

−

=

1

2

, gdzie k – liczba pobranych próbek o stałej

liczności n
Linie kontrolne (dla dwustronnego ograniczenia przedziału
tolerancji):

x

d

x

g

s

u

x

x

s

u

x

x

2

/

2

/

α

α

−

=

+

=

Jeżeli nie da się zagwarantować stałej liczności próby podczas
badań wstępnych to wówczas:

∑

∑

=

=

=

k

t

t

k

t

t

t

n

x

n

x

1

1

, oraz

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=



x

x

s



i

i

, linie kontrolne

n

s

u

x

x

n

s

u

x

x

d

g

2

/

2

/

α

α

−

=

+

=

Karty kontrolne średnich ruchomych

1

1

1

1

1

1

)

(

...

...

+

−

−

+

−

+

−

−

−

+

+

+

+

+

+

=

r

t

t

t

r

t

r

t

t

t

t

t

t

r

d

d

d

d

d

d

η

η

η

η

r

r

t

t

t

t

r

1

1

)

(

...

+

−

−

+

+

+

=

η

η

η

η

r

x

x

x

x

r

t

t

t

t

r

1

1

)

(

...

+

−

−

+

+

+

=

rn

u

x

x

rn

u

x

x

g

r

d

r

/

,

/

2

/

0

)

(

2

/

0

)

(

σ

σ

α

α

+

=

−

=

Wykładniczo ważona średnia ruchoma (λ∈[0,2; 0,5])

*

1

*

)

1

(

−

−

+

=

t

t

t

x

x

x

λ

λ

n

u

x

x

n

u

x

x

g

d

)

2

/(

,

)

2

/(

2

/

0

*

2

/

0

*

λ

λ

λ

λ

α

α

−

+

=

−

−

=

Załóżmy, ze przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma
postać

X = [13.0; 14.0]

a wartość nominalna x

o

= 13.5. Załóżmy również, że zmienna

diagnostyczna X jest zmienną losową o normalnym rozkładzie
prawdopodobieństwa

o

stałym

i

znanym

odchyleniu

standardowym σ = 0.20. Przyjmijmy, że istnieje możliwość
oddziaływania na wartość oczekiwaną zmiennej X i ustalenia jej
na dowolnym poziomie µ ∈ X

o

. W celu zminimalizowania

wadliwości (p) należy przyjąć µ = x

o

= 13.5. Mamy więc

X~N(13.5; 0.20).W odniesieniu do największej dopuszczalnej
wadliwości przyjmijmy, że p' = 0.03 (3%).
Na podstawie przyjętych założeń można ocenić wydolność
procesu.

p = P(X < 13.0) + P(X > 14.0) =

= Φ[(13.0 - 13.5)/0.20] + Φ[(14.0 - 13.5)/0.20] =

= Φ(-2.50) + 1 - Φ(2.50) =

= 2 * 0.00621 = 0.01242 (1.242%)

Ponieważ p = 0.01242 < p'

o

= 0.03, przeto proces jest

wystarczająco wydolny, by sprostać wymaganiom odbiorcy
produktu. Dla potrzeb sterowania procesem należy przyjąć, że
p

o

= 0.01242 (1.242%), albowiem pozwoli to wykorzystać

wszystkie możliwości jakimi dysponuje proces. Otwiera to też
pewne możliwości negocjacji cenowych w przyszłości, albowiem
pozwala oczekiwać wyższej jakości niż ta na, którą zgodził się
odbiorca. Wadliwość 1.242% uzyskuje się wówczas gdy
µ

t

= x

o

= 13.5.

Hipotezy:

H

o

: µ

t

= 13.5

H

1

: µ

t

≠ 13.5

Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji (α) ustalimy na poziomie 0.01.
Ponieważ rozregulowanie procesu może się nastąpić, albo przez
przesunięcie µ

t

ku wartościom niższym od 13.5 albo ku wartościom

wyższym od 13.5, przeto mamy do czynienia z dwustronnym schematem
kontrolnym. Przy wyznaczaniu równań linii kontrolnych należy więc wziąć
pod uwagę wartość u

α/2

= u

0.005

. Wartość tego kwantyla zmiennej losowej

U odczytujemy z następującego zestawienia:

α 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100

u

α

2.576 2.326 1.960 1.645 1.282

W każdym kroku postępowania kontrolnego pobierana jest do badania
pięcioelementowa

próbka

(n = 5).

Równania

linii

kontrolnych

przedstawiają się następująco:

73

.

13

5

20

.

0

576

.

2

5

.

13

x

g

=

+

=

27

.

13

5

20

.

0

576

.

2

5

.

13

x

g

=

−

=

Wyniki badania kolejnych próbek przedstawiono w poniższej tablicy

i

1

2

3

4

5

t

x

t.i

t

x

1

2

3

4

5

6

7

1

13.5

13.4

13.5

13.0

13.4

13.36

2

13.0

13.4

13.0

13.5

13.5

13.28

3

13.5

13.9

13.5

13.5

13.6

13.60

4

13.6

13.8

13.8

13.5

13.7

13.68

5

13.7

13.8

13.9

14.0

13.9

13.86

6

13.9

13.8

14.0

13.9

14.0

13.92

7

13.8

13.6

13.5

13.5

13.8

13.70

8

13.5

13.6

13.5

13.4

13.3

13.46

9

13.6

13.5

13.5

13.4

13.4

13.48

10

13.4

13.0

13.4

13.2

13.4

13.28

:

:

:

:

:

:

:

13,2

13,3

13,4

13,5

13,6

13,7

13,8

13,9

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t

x

śr

e

d

n

ie

GLK

LC

DLK

KARTA X - średnie

t

t

x

średnia z 3

połączonych próbek

1

13,36

*

2

13,28

*

3

13,6

13,41

4

13,68

13,52

5

13,86

13,71

6

13,92

13,82

7

13,7

13,81

8

13,46

13,68

9

13,48

13,53

10

13,28

13,41

KARTA X – średnie

i karta średnich ruchomych

12,9

13

13,1

13,2

13,3

13,4

13,5

13,6

13,7

13,8

13,9

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Serie1

Serie2

GLK

DLK

GLK **

DLK**

LC

Jak łatwo zauważyć w rezultacie badania próbki o numerze t = 5 uzyskano średnią
arytmetyczną przekraczającą górną granicę regulacji. Mamy

mianowicie

73

.

13

87

.

13

5

=

>

=

g

x

x

. Podjęte czynności regulacyjne nie przyniosły spodziewanego

rezultatu i w kolejnej próbce (t = 6) uzyskano

73

.

13

86

.

13

6

=

>

=

g

x

x

. Podjęte działania

usunęły przyczynę rozregulowania. Na uwagę zasługuje to, że w próbkach, które
doprowadziły do emisji sygnałów o rozregulowaniu procesu wszystkie wartości x

t,i

mieściły się w przedziale tolerancji. Zdolność do reagowania na małe zmiany w
obserwowanym procesie jest bardzo cenną właściwością karty kontrolnej

x

i innych

kart stosowanych w przypadku liczbowej oceny właściwości. Liczbowa ocena
właściwości pozwala na znacznie lepsze wykorzystanie informacji o produkcie i
procesie, zawartych w rezultatach badania próbki, niż alternatywna ocena
właściwości.

Wnioski:

Karty kontrolne (karty dwutorowe)

r

x

S

x

−

−

i

Założenia:
X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o zmiennym i nieznanym
odchyleniu standardowym.
Hipotezy: Obok hipotez dotyczących wartości oczekiwanej

µ konstruuje się

hipotezy dotyczące odchylenia standardowego σ, które najczęściej przedstawiają
się następująco:

H

o

: σ ≤ σ

o

H

1

: σ > σ

o

Do weryfikacji powyższych hipotez, wykorzystuje się
albo odchylenie standardowe z próbki
(przy karcie

s

x −

)

1

1

2

)

(

−

=

∑

−

=

n

t

ti

n

i

t

x

x

s

albo rozstęp z próbki
(przy karcie

r

x −

)

r

t

= x

t.max

– x

t.min

Linie kontrolne dla toru kontrolnego S:
Jeżeli (n ≥ 30)













+

=

+

=

n

u

u

s

n

g

2

1

0

2

0

0

α

α

σ

σ

σ













−

=

−

=

n

u

u

s

n

d

2

1

0

2

0

0

ε

ε

σ

σ

σ

Jeżeli (n < 30)

(

)

1

2

;

1

0

−

=

−

n

n

g

s

χ

σ

α

(

)

1

2

1

;

1

0

−

=

−

−

n

n

d

s

χ

σ

ε

gdzie

χ

α

2

;

1

−

n

i

χ

ε

2

1

;

1 −

−

n

są takimi wartościami zmiennej losowej chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody, że:

(

)

α

χ

α

χ

=

−

>

−

2

;

1

2

1

n

n

P

(

)

ε

χ

ε

χ

−

=

−

−

>

−

1

2

1

;

1

2

1

n

n

P

Linie kontrolne dla toru kontrolnego R:

Linia centralna

n

n

d

r

0

0

.

σ

=

)

(

0

0

0

.

n

n

n

n

g

n

f

u

d

f

u

d

r

α

α

σ

σ

σ

+

=

+

=

)

(

0

0

0

.

n

n

n

n

d

n

f

u

d

f

u

d

r

ε

ε

σ

σ

σ

−

=

−

=

Wartości współczynników d

n

i f

n

są stablicowane.

Przykład
Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X

+

=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została

ustalona na poziomie x

0

= 14,0. Zmienna X ma rozkład

zbliżony do normalnego. Posiadane urządzenia
technologiczne pozwalają na takie zorganizowanie procesu
produkcji, by wartość oczekiwana (µ) zmiennej X pokrywała
się z wartością nominalną (x

0

= µ = 14). Odchylenie

standardowe σ zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na
jakim najwyższym poziomie σ

0

może kształtować się to

odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p

0

= 0,03?

Ustalanie wartości maksymalnego dopuszczalnego
odchylenia standardowego

σ

0

Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X

+

=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została

ustalona na poziomie x

0

= 13,7. Wartość ta nie pokrywa się

ze środkiem przedziału x

’

= 14

. Odchylenie standardowe σ

zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na jakim
najwyższym poziomie σ

0

może kształtować się to

odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p

0

= 0,03?

W procesie bieżącej kontroli jakości monitorowano czas przejazdu pociągów pomiędzy dwoma
miejscowościami. Załóżmy, że uważa się, że podróż odbywa się bez zakłóceń, jeżeli przeciętny czas
potrzebny na pokonanie badanego odcinka wynosi µ = 35 min., przy odchyleniu standardowym σ =
3,5 min. Przystąpiono do monitorowania czasu przejazdu. Wyniki uzyskana w początkowych 10
okresach badania przedstawia poniższa tablica.

w kolumnie 7 zestawiono średnie arytmetyczne obliczone z czasów przejazdów 5 losowo
wybranych pociągów, w kolumnie 8 odchylenia standardowe, a w kolumnie 9 rozstęp z próby.
Podczas wyznaczania linii kontrolnych założono prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu na
poziomie α = 0,05. Na takim samym poziomie ustalono prawdopodobieństwo fałszywej emisji
sygnału o korzystnych zmianach w badanym procesie.

i

1

2

3

4

5

t

x

t

.

i

t

x

s

t

r

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

30

33

31

45

38

35,4

6,19

15

2

32

30

39

31

31

32,6

3,65

9

3

34

38

31

38

37

35,6

3,05

7

4

42

30

44

37

33

37,2

5,89

14

5

33

32

41

36

44

37,2

5,17

12

6

33

39

37

41

33

36,6

3,58

8

7

30

33

37

35

43

35,6

4,88

13

8

36

32

35

38

30

34,2

3,19

8

9

36

33

40

43

31

36,6

4,93

12

10

31

34

33

43

41

36,4

5,27

12

Granice tolerancji na torze kontrolnym x , wyznaczono korzystając z równań:

35

31,93211

5

5

,

3

96

,

1

35

38,06789

5

5

,

3

96

,

1

35

2

2

=

=

=

−

=

⋅

−

=

=

+

=

⋅

+

=

o

o

d

o

g

LC

n

u

x

n

u

x

µ

σ

µ

σ

µ

α

α

Wszystkie uzyskane średnie czasy mieszczą się w obszarze tolerancji. Nie ma więc podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej H

0

:

µ = µ

0

= 35, na korzyść hipotezy alternatywnej H

1

:

µ ≠ µ

0

= 35. Nie

ma podstaw do emisji sygnału o rozregulowaniu procesu ze względu na jego przeciętny poziom.
Przeprowadźmy zatem analizę procesu po względem jego zmienności. Poddajmy weryfikacji
następującą hipotezę zerową:
H

0

:

σ ≤ σ

0

= 3,5 min wobec hipotezy alternatywnej H

1

:

σ > σ

0

= 3,5. Górna linia kontrolna na torze

kontrolnym

S będzie leżeć na poziomie

(

)

5,390455

4

/

488

,

9

5

,

3

1

2

;

1

0

=

=

−

=

−

n

n

g

s

χ

σ

α

, natomist dolana w oparciu o którą śledzić

będziemy sygnały o korzystnych zmianach w porcesie znajdzie się na poziomie

(

)

1,475614

0,711/4

35

1

2

1

;

1

0

=

=

−

=

−

−

n

n

d

s

χ

σ

ε

.

Porównując kolejne wartości odchyleń standardowych z wyznaczonymi granicami kontrolnymi,
można dojść do wniosku, że w punktach dla t = 1 oraz t = 4 wartości obserwowanych odchyleń
standardowych przekroczyły górną linię kontrolną i należy wygenerować sygnał o rozregulowaniu
badanego procesu i przyjąć jako prawdziwą hipotezę H

1

z prawdopodobieństwem błędu niewiększym

niż α = 0,05. Brak jest natomiast powodów do emisji sygnału o korzystnych zmianach w procesie,
gdyż żadna z wartości s

t

nie leży poniżej dolnej linii kontrolnej s

d

.

Hipotezy dotyczące wariancji można również zweryfikować wykorzystując
tor kontrolny R.
Linie kontrolne :

13,023115

0,848)

1,645

2,32593

(

5

,

3

)

(

0

0

0

.

=

⋅

+

=

+

=

+

=

n

n

n

n

g

n

f

u

d

f

u

d

r

α

α

σ

σ

σ

,

3,258395

0,848)

1,645

-

2,32593

(

5

,

3

)

(

0

0

0

.

=

⋅

=

−

=

−

=

n

n

n

n

d

n

f

u

d

f

u

d

r

ε

ε

σ

σ

σ

.

Podobnie jak w przypadku toru kontrolnego S należy się spodziewać
wygenerowania sygnału o rozregulowaniu procesu w punktach
dla r

1

i r

6

, gdyż te wartości znajdą się powyżej górnej linii kontrolnej r

g

.

Wykresy analizowanych torów kontrolnych przedstawiają poniższe rysunki

Tor x - średnie

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t

x

-ś

re

d

n

ie

GLK

DLK

LC

Tor kontrolny S

-

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0

2

4

6

8

10

12

t

o

c

h

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

GLK

DLK

LC

Tor kontrolny R

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0

2

4

6

8

10

12

t

ro

z

st

ę

p

GLK

DLK

LC

Karta kontrolna

„

z”

Założenia:
X jest zero-jedynkową zmienną losową postaci: X=

dla każdego t n

t

= n

Hipotezy:

Charakterystyka z próby:

Linie kontrolne:

H

o

: p ≤ p

o

H

1

: p > p

o

∑

=

=

n

i

i

t

x

z

1

o

o

o

o

d

o

o

o

g

np

LC

p

np

u

np

z

p

np

u

np

z

=

−

⋅

−

=

−

⋅

+

=

)

1

(

)

1

(

ε

α

0,

gdy jednostka produktu

spełnia wymagania jakościowe,

1, gdy jednostka produktu

nie spełnia wymagań jakościowych

{

Charakterystyka z próby:

n

x

n

z

w

n

i

i

t

t

t

∑

=

=

=

1

.

Położenie linii centralnej określa wzór

0

0

0

0

p

n

np

n

z

w

=

=

=

Równanie górnej linii kontrolnej ma postać

n

/

)

p

1

(

p

u

p

w

0

0

0

g

−

+

=

α

Położenie dolnej linii kontrolnej (nie będącej granica regulacji)
wyznacza równanie

n

/

)

p

1

(

p

u

p

w

0

0

0

d

−

−

=

ε

KARTA KONTRLNA „w”

Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X opisująca jakość śrub
wykorzystywanych do montażu elementów trakcji kolejowej. Zmienna ta przyjmuje dwie wartości „0” i „1”, „0” jeżeli
śruba ma poprawnie wykonany gwint, na który z łatwością daje się nakręcić nakrętkę, oraz przyjmuje „1”, gdy gwint
jest źle wykonany i nakręcenie na śrubę nakrętki jest niemożliwe. Załóżmy, że proces produkcji śrub jest uregulowany,
jeżeli frakcja śrub wadliwych p ≤ 0, 1 (10%), natomiast proces produkcji zostanie uznany za rozregulowany, jeżeli p >
0,1 (10%). Należy ocenić przebieg procesu produkcji śrub, jeżeli w rezultacie przeprowadzonych badań uzyskano
następujące wyniki:

t

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

3

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

4

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

6

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

9

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

10

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

11

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

13

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

14

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

15

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

16

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

17

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

19

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

20

x

i

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

suma

z

t

5

2

3

6

2

0

5

2

4

2

Podczas weryfikacji założyć, że α = β =0,05

Rozwiązanie:
n = 20, α = ε = 0,05,
H

0

: p ≤ p

0

= 0,1

H

1

: p > p

0

= 0,1

2

0,280618

9

,

0

2

645

,

1

2

)

1

(

3,719382

9

,

0

2

645

,

1

2

)

1

(

=

=

=

⋅

−

=

−

⋅

−

=

=

⋅

+

=

−

⋅

+

=

o

o

o

o

d

o

o

o

g

np

LC

p

np

u

np

z

p

np

u

np

z

ε

α

Porównując otrzymane wartości z

t

z liniami kontrolnymi, należy

stwierdzić, że sygnał o rozregulowaniu zostanie wygenerowany (będą
podstawy do przyjęcia H

1

) w momentach t =1, 4,7 i 9, gdyż wówczas

wartości obserwowanej statystyki z

t

będą większe od wartości z

g

. Sygnały o

postępie technologicznym pojawią się natomiast dla t = 6, gdyż (z

6

< z

d

).

Karta z (np)

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t

z

t

z

g

z

d

LC

Zadanie 1
Pewien proces produkcyjny kontrolowano za pomocą karty x-średnie,
przy czym σ

σ

σ

σ = 1, µ

µµ

µ

οοοο

= 10, n = 4 i α

α

α

α =ε= 0,05, a przedział tolerancji

ograniczony jest prawostronnie. Uzyskano następujące wyniki:
t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

x

9.8

10.2

10.3

9.9.

10.9

10.1

9.7

11.1

8.9

Skonstruować diagram przeglądowy. Wskazać punkty rozregulowania
procesu, oraz punkty świadczące o postępie technologicznym.

Zadanie 2
W kolejnych chwilach t obserwowano liczbę sztuk wadliwych z

t

w

próbkach o stałej liczności n = 40. Otrzymano następujące wyniki:

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

z

t

3 0 0 6 3 4 3 3 4 0 0 1 2 0 1

Skonstruować

odpowiednią

kartę

kontrolną

przyjmując

prawdopodobieństwo zbędnej regulacji α

α

α

α = 0.05 oraz najwyższą

dopuszczalną wadliwość p

o

= 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu

obserwacji występują sygnały o rozregulowaniu procesu, albo objawy
postępu technologicznego?

Liczba niezgodności (wad) w jednostce produktu jest zmienną losową (Y)
o przeliczalnym zbiorze wartości

Y

o

= {0, 1, 2,...}

Przyjmuje się zwykle, że na zbiorze tym rozpięty jest rozkład Poissona,
którego szczegółowa postać określana jest przez parametr λ. Przy
rozwiązywaniu praktycznych problemów wartość tego parametru, czyli
przeciętnej liczby wad (niezgodności), musi być odniesiona do ustalonej
jednostki produktu. Może to być jednostka elementarna lub agregatowa,
przy czym każda z nich może być jednostką rzeczywistą lub umowną.
Obserwowana charakterystyka z próby ma postać

∑

=

=

n

i

ti

t

n

y

c

1

).

(

Hipotezy:

H

o

: λ

(n).t

≤ λ

(n).0

H

1

: λ

(n).t

> λ

(n).0

Linie kontrolne:

0

).

(

0

).

(

).

(

n

n

g

n

u

c

λ

λ

α

+

=

0

).

(

0

).

(

).

(

n

n

d

n

u

c

λ

λ

ε

−

=

LC = λ

(n).0

KARTA KONTROLNA „C”

Monitorowano proces świadczenia usług bankowych. W tym celu zliczano
liczbę błędów popełnianych przy obsłudze klientów, zakładając, że błędem
jest każde odstępstwo od ustalonej procedury. W rezultacie obserwacji
poczynionych w dziesięciu dniach badania otrzymano następujące wyniki:

...

0

3

1

1

0

7

5

0

3

2

c

t

...

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

t

Kierownictwo banku ustaliło, że proces obsługi klientów przebiega poprawnie,
jeśli przeciętna liczba błędów w ciągu dnia nie przekracza

λ

o

= 5. Skonstruować

odpowiednią kartę kontrolną do analizy tych danych i wykryć punkty rozregulowania
procesu obsługi, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeporwa-
-dzanych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu, a także prawdo-
-podobieństwo fałszywego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji, ustalono na
poziomie

α = ε = 0,05.

Karta kontrolna c

Rozwiązanie:

H

o

: λ

(n).t

≤ λ

(n).0

= 5

H

1

: λ

(n).t

> λ

(n).0

= 5

Linie kontrolne:

8,678332

5

645

,

1

5

0

).

(

0

).

(

).

(

=

+

=

+

=

n

n

g

n

u

c

λ

λ

α

1,321668

5

645

,

1

5

0

).

(

0

).

(

).

(

=

−

=

−

=

n

n

d

n

u

c

λ

λ

ε

LC = λ

(n).0

= 5

Nie ma powodów do odrzucenia H

0

i wygenerowania sygnału o

rozregulowaniu procesu obsługi klienta. W momentach t = 3, 6, 7, 8, 10
mamy powody sądzić, że przeprowadzone szkolenia przyniosły zamierzony
efekt.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

2

4

6

8

10

12

t

c

t

c

g

c

d

LC

KARTA „C”

KARTA KONTROLNA „u”

Karta u jest szczególnie użytecznym narzędziem sterowania procesem wówczas,
gdy nie można zapewnić stałej liczności próbek produktu, które podlegają badaniu
polegającemu na zliczaniu niezgodności lub wad. W takiej sytuacji charakterystyka z
próby przybiera postać

t

t

n

t

n

c

u

).

(

=

gdzie

∑

=

=

t

n

i

ti

t

n

y

c

1

).

(

Hipotezy: H

0

: λ

(1).t

≤ λ

(1).0

H

1

: λ

(1).t

> λ

(1).0

przy czym λ

(1).0

= λ

(n).0

/n, λ

(1).t

= λ

(n).t

/ n

Charakterystyka z próby: u

t

= c

(n).t

/n

Linie kontrolne:

n

u

n

c

u

g

n

g

/

/

0

).

1

(

0

).

1

(

).

(

λ

λ

α

+

=

=

n

/

u

n

/

c

u

0

).

1

(

0

).

1

(

d

).

n

(

d

λ

−

λ

=

=

ε

Jakość produktu oceniano na podstawie przeciętnej liczby
niezgodności. Największą przeciętną liczbę niezgodności w
elementarnej jednostce produktu ustalono na poziomie

λ

(1).0

= 1,00. Zastosowana technika pobierania próby nie pozwala
na utrzymanie jej liczności na stałym poziomie. W dziesięciu
początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej
liczności i zliczano liczbę niezgodności. Rezultaty badania
prezentuje poniższa tablica:
t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

liczebność
próby n

t

11 10 8

13 9

14 12 10 11 9

liczba
niezgodności
c

t

15 13 12 20 7

31 9

8

18 8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych,
oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną
wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz
sygnały świadczące o postępie technologicznym. Podczas
analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji
procesu

α = 0,01, natomiast prawdopodobieństwo

fałszywego sygnału o postępie technologicznym

ε = 0,05.

H

0

: λ

(1).t

≤ λ

(1).0

= 1

H

1

: λ

(1).t

> λ

(1).0

= 1

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

t

11

10

8

13

9

14

12

10

11

9

c

t

15

13

12

20

7

31

9

8

18

8

u

t

1,36

1,30

1,50

1,54

0,78

2,21

0,75

0,80

1,64

0,89

u

gt

1,70

1,74

1,82

1,65

1,78

1,62

1,67

1,74

1,70

1,78

u

dt

0,50

0,48

0,42

0,54

0,45

0,56

0,53

0,48

0,50

0,45

t

t

d

t

t

g

n

u

n

u

1

645

,

1

00

,

1

1

326

,

2

00

,

1

.

.

⋅

−

=

⋅

+

=

Parametry rozkładu rozstępu

0,8525

0,8884

0,8798

0,8641

0,8480

0,8332

0,8198

0,8078

0,7971

0,7873

0,7785

1,12838

1,69257

2,05875

2,32593

2,53441

2,70436

2,84720

2,97003

3,07751

3,17287

3,25846

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f

n

d

n

n

Wartości

ϕ

(u) dystrybuanty rozkładu normalnego (0,l)

Kwantyle u(p) rzędu p rozkładu normalnego (0,l)

p

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

u(p)

1,28

1,64

1,96

2,33

2,58

u

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,5000

0,5040

0,5080

0,5120

0,5160

0,5199

0,5239

0,5279

0,5319

0,5359

0,1

,5398

,5438

,5478

,5517

,5557

,5596

,5636

,5675

,5714

,5753

0,2

,5793

,5832

,5871

.5910

,5948

,5987

,6026

,6064

,6103

,6141

0,3

,6179

,6217

,6255

,6293

,6331

,6368

,6406

,6443

,6480

,6517

0,4

,6554

,6591

,6628

,6664

,6700

,6736

,6772

,6808

,6844

,6879

0,5

,6915

,6950

,6985

,7019

,7054

,7088

,7123

,7157

,7190

,7224

0,6

,7257

,7290

,7324

,7357

,7389

,7422

,7454

,7486

,7517

,7549

0,7

,7580

,7611

,7642

,7673

,7704

,7734

,7764

,7794

,7823

,7852

0,8

,7881

,7910

,7939

,7967

,7995

,8023

,8051

,8078

,8106

,8133

0.9

,8159

,8186

,8212

,8238

,8264

,8289

,8340

,8340

,8365

.8389

1,0

0,8413

0,8438

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621

1

,

1

,8643

,8665

,8686

,8708

,8729

,8749

,8770

,8790

,8810

,8830

1,2

,8849

,8869

,8888

,8907

,8925

,8944

,8962

,8980

,8997

,9015

1,3

,9032

,9049

,9066

,9082

,9099

,9115

,9131

,9147

,9162

,9177

1,4

,9192

,9207

,9222

,9236

,9251

,9265

,9279

,9292

,9306

,9319

1,5

,9332

,9345

,9357

,9370

,9382

,9394

,9406

,9418

,9429

,9441

1,6

,9452

,9463

,9474

,9484

,9495

,9505

,9515

,9525

,9535

,9545

1,7

,9554

,9564

,9573

,9582

,9591

,9599

,9608

,9616

,9625

,9633

1,8

,9641

,9649

,9656

,9664

,9671

,9678

,9686

,9693

,9699

,9706

1,9

,9713

,9719

,9726

,9732

,9738

,9744

,9750

,9756

,9761

,9767

2,0

0,9772

0,9779

0,9783

0,9788

0,9793

0,9798

0,9803

0,9808

0,9812

0,9817

2,1

,9821

,9826

,9830

,9834

,9838

,9842

,9846

,9850

.9854

,9857

2,2

,9861

,9864

,9868

,9871

,9875

,9878

,9881

,9884

,9887

,9890

2,3

,9893

,9896

,9898

,9901

,9904

,9906

,9909

,9911

,9913

,9916

2,4

,9918

,9920

,9922

,9925

,9927

,9929

,

9931

,9932

,9934

,9936

2,5

,9938

,9940

,9941

,9943

,9945

,9946

,9948

,9949

,9951

,9952

2,6

,9953

,9955

,9956

,9957

,9959

,9960

,9961

,9962

,9963

,9964

2,7

,9965

,9966

,9967

,9968

,9969

,9970

,9971

,9972

,9973

,9974

2,8

,9974

,9975

,9976

,9977

,9977

,9978

,9979

,9779

,9980

,9981

2,9

,9981

,9982

,9982

,9983

,9984

,9984

,9985

,9985

,9986

,9986

p

v

0,005

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

0.995

1

-

-

0,001

0,004

3,841

5,024

6,635

7,879

2

0,010

0,020

0,051

0,103

5,991

7,378

9,210

10,597

3

0,072

0,115

0,216

0,352

7,815

9,348

11,345

12,838

4

0,207

0,297

0,484

0,711

9,488

11,143

13,277

14,860

5

0,412

0,554

0,831

1,145

11,071

12,833

15,086

16,750

6

0,676

0,872

1,237

1,635

12,592

14,449

16,812

18,548

7

0,989

1,239

1,690

2,167

14,067

16,013

18,475

20,278

8

1,344

1,646

2,180

2,733

15.507

17,535

20,090

21,955

9

1,735

2,088

2,700

3,325

16,919

19,023

21,666

23,589

10

2,156

2,558

3,247

3,940

18,307

20,483

23,209

25,188

11

2,603

3,053

3,816

4,575

19,675

21,920

24,725

26,757

12

3,074

3,571

4.404

5,226

21,026

23,337

26,217

28,299

13

3,565

4,107

5,009

5,892

22,362

24,736

27,688

29,819

14

4,075

4,660

5,629

6,571

23,685

26,119

29,141

31,319

15

4,601

5,229

6,262

7,261

24,996

27,488

30,578

32,801

16

5,142

5,812

6,908

7,962

26,296

28,845

32,000

34,267

17

5,697

6,408

7,564

8,672

27,587

30,191

33,409

35,718

18

6,265

7,015

8,231

9,390

28,869

31,526

34,805

37,156

19

6,844

7,633

8,907

10,117

30,144

32,852

36,191

38,582

20

7,434

8,260

9,591

10,851

31,410

34,170

37,566

39,997

21

8,034

8,897

10,283

11,591

32,671

35,479

38,932

41,401

22

8,643

9,542

10,982

12,336

33,924

36,781

40,289

42,796

23

9,260

10,196

11,689

13,091

35,172

38,076

41,638

44,181

24

9,886

10,856

12,401

13,848

36,415

39,364

42,980

45,559

25

10,520

11,524

13,120

14,611

37,652

40,646

44,314

46,928

26

11,160

12,198

13,844

15,379

38,885

41,923

45,642

48,290

27

11,808

12,879

14,573

16,151

40,113

43,194

46,963

49,645

28

12,461

13,565

15,308

16,928

41,337

44,461

48,278

50,993

29

13,121

14,257

16,047

17,708

42,557

45,722

49,588

52,336

30

13,787

14,954

16,791

18,493

43,773

46,979

50,898

53,672

Kwantyle

χ

2

(p,v) rzędu p rozkładu

χ

2

o

v stopniach swobody

Proces produkcyjny monitorowano przy użyciu karty kontrolnej

x

.

W rezultacie badań siedmiu kolejnych próbek uzyskano następujące
rezultaty:

t
i

1

2

3

4

5

6

7

1

10,4 11,0 10,3 10,2 10,5

9,4 10,9

2

11,4 11,3 10,2 10,6

9,3 11,3 10,1

3

9,3 11,6 10,6 10,8

9,5 10,3 12,5

4

12,0 11,4 10,7 10,7

9,4 10,6 10,3

Wartość docelowa wynosiła 10,5 wariancja była stała i wynosiła

0,36, zaś przedział tolerancji ograniczony był dwustronnie.
Zbudować odpowiednią kartę kontrolną Shewharta i wykryć sygnały
świadczące o rozregulowaniu procesu. Prawdopodobieństwo
zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie 0,05.

ĆWICZENIA – KARTY KONTROLNE SHEWHARTA

Ćwiczenia

(Karty kontrolne Shewharta)

Zadanie 18
Wstępne badania pewnej operacji technologicznej wykazały, że czas jej trwania jest

zmienną losową o rozkładzie zbliżonym do normalnego, o wartości oczekiwanej
µ

t

= 2,8 i odchyleniu standardowym σ

t

= 0,6 min. W celu bieżącej kontroli

procesu pobierano losowo próbki o liczności n = 9 i mierzono czas trwania
operacji z których wyznaczano wartości średnie t

r

. W rezultacie badania

kolejnych 10 próbek uzyskano następujące rezultaty:

próbka
(r)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

…

średni
czas
trwania
operacji

2,52 3,18 2,54 2,56 4,12 4,34 2,52 2,61 2,65 2,38 …

Skonstruować odpowiednią kartę Shewharta do analizy danych wykryć punkty rozregulowania
procesu, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń
mających na celu skrócenie czasu trwania badanej operacji technologicznej.
Prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu a także
prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o skróceniu tej operacji ustalono na poziomie α = ε =
0,05

Badano stężenie pewnej substancji zabezpieczającej przed zamarzaniem,

która znajduje się w płynie do odmrażania. Badanie polegało na pobieraniu ze

strumienia produktu, co dwie godziny czterech pojemników i oznaczaniu ich

zawartości. W czasie jednej zmiany uzyskano następujące wyniki

zaprezentowane w tabeli. Zaprojektować odpowiednią kartę kontrolną

umożliwiającą śledzenie zarówno sygnałów świadczących o rozregulowaniu

procesu produkcyjnego jak również mogących świadczyć o korzystnych

zmianach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wynosi 1,1

natomiast

µ

o

= 70. Należy przyjąć:

α = 0,01 ε = 0,1

t

1

2

3

4

5

6

t

x

70,22 70,92 70,39 70,32 68,63 68,4

Proces wytwarzania wyłączników elektrycznych monitorowano pobierając ze

strumienia produktu próbki o stałej liczności 100 sztuk, a następnie

klasyfikowano wyrób jako wykonany poprawnie lub wykonany wadliwie.

Otrzymano następujące liczby wadliwych wyłączników w kolejnych dziesięciu

próbach:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

z

t

8

1

3

0

2

4

0

1

10

6

Skonstruuj

odpowiednią

kartę

kontrolną

zakładając

maksymalną

dopuszczalną wadliwość p

o

= 0.03, prawdopodobieństwo zbędnej regulacji

procesu

α = 0.01, prawdopodobieństwo błędnego wykrycia sygnału o

korzystnych zmianach w procesie produkcyjnym

ε = 0.1. Opisz wszystkie

występujące sygnały.

Produkcję żarówek monitorowano za pomocą karty kontrolnej z.

Liczność próby wynosiła 200 [szt], prawdopodobieństwo fałszywego

sygnału o rozregulowaniu

α = 0.05. Badano również korzystne

zmiany

w

przebiegu

procesu

produkcyjnego

przyjmując

prawdopodobieństwo błędnego stwierdzenia korzystnych zmian w

procesie

produkcyjnym

ε = 0,1. Maksymalną dopuszczalną

wadliwość ustalono na poziomie p

o

= 2%. Dla dziesięciu kolejnych

próbek otrzymano następujące ilości sztuk niezgodnych w próbie:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

z

t

2

3

5

0

0

4

2

1

6

1

Znajdź sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu i korzystnych

zmianach w jego przebiegu.

Monitorowano proces księgowania. W tym celu zliczano błędy

księgowe popełniane w ciągu dnia roboczego. W rezultacie

obserwacji poczynionych w kolejnych ośmiu dniach badania

uzyskano następujące dane:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

...

c

t

2

3

1

7

0

4

2

8

...

Kierownictwo banku ustaliło, że proces księgowania przebiega

poprawnie, jeżeli przeciętna liczba popełnianych błędów nie

przekracza

λ

o

= 2,5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do

analizy powyższych danych, wskazać punkty świadczące o

rozregulowaniu procesu księgowania a także objawy mogące

przemawiać

za

skutecznością

przeprowadzonych

szkoleń.

Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na

poziomie

α = 0.05, a prawdopodobieństwo zbędnego sygnału o

poprawie istniejącej sytuacji

ε = 0.1.

Monitorowanie

jakości

usług

magazynowych

polegało

na

codziennym sprawdzaniu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli

przeciętna liczba nieprawidłowo wykonanych zamówień nie

przekraczała 3,5 to proces obsługi uznawano za przebiegający

poprawnie.

W trakcie badania jedenastu kolejnych dni uzyskano następujące

rezultaty:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

c

t

1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 6,0 8,0 7,0 3,0 2,0 1,0

Przyjmując

α = 0,02; ε = 0,1 zbuduj odpowiednią kartę kontrolną

umożliwiającą śledzenie procesu usług magazynowych.

W procesie rozlewania wody mineralnej do butelek plastikowych
prowadzona jest kontrola szczelności zamknięcia opakowania.
Kontrola prowadzona jest okresowo (co godzinę) w sposób
wyrywkowy, na losowo pobranych próbkach o zmieniającej się
liczebności.
W wyniku pomiarów otrzymanych w 6 kolejnych okresach
otrzymano następujące wyniki:

t

1

2

3

4

5

6

liczebność
próby n

t

50

60

70

60

50

50

liczba
wadliwie
zamkniętych
butelek (z

t

)

2

6

14

0

4

1

Czy analizowany proces można uznać za uregulowany? Czy
można w badanym przypadku dostrzec zjawisko nazywane
postępem technologicznym? Podczas analizy założyć ryzyko
zbędnej regulacji procesu oraz ryzyko fałszywego sygnału o
postępie technologicznym na poziomie

α=ε=0,01. Maksymalna

dopuszczalna poprodukcyjna wadliwość wynosi p

0

=0,1.

Jakość pracy składaczy tekstów w drukarni oceniano na podstawie
przeciętnej liczby błędów. Największą przeciętną liczbę błędów w
elementarnej jednostce produktu będącej 1 stroną maszynopisu ustalono na
poziomie

λ

(1).0

= 1,00. Charakter badanego procesu nie pozwalał na to aby

podczas monitorowania procesu poddawać kontroli jednakową liczbę losowo
wybranych stron. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano
próby o różnej liczbie losowo wybranych stron i zliczano liczbę popełnionych
błędów. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

liczba
stron
n

t

10

10

9

10

10

10

12

10

10

10

liczba
błędów
c

t

15

13

12

20

7

31

9

8

18

8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać
momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o
rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o wzroście jakości pracy badanego
personelu. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej
regulacji procesu oraz prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o wzroście
jakości pracy badanego personelu wynosi 0,05.

W cementowni prowadzi się w sposób wyrywkowy kontrolę ciężaru
napełnianych worków.
Nominalny ciężar każdego opakowania po napełnieniu powinien wynosić
x

0

= 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badanego produktu jest zmienną

losową o nieznanych parametrach µ i σ. Posiadane urządzenia dozująco-
paczkujące pozwalają na ustalenie hipotetycznej wartości oczekiwanej µ
na poziomie wartości nominalnej (docelowej) x

0

.

1. Ustalić na jakim najwyższym dopuszczalnym poziomie σ

0

może

kształtować się odchylenie standardowe, jeżeli chcemy, aby
poprodukcyjna wadliwość produktu p nie przekroczyła p

0

= 3%.

2. Przyjmując wyznaczoną w punkcie 1 wartość σ

0

, skonstruować

odpowiednią kartę kontrolną pozwalającą na ocenę opisanego
powyżej procesu paczkowania. Podczas konstrukcji karty założyć,
że α=ε=0,05.

3. W oparciu o skonstruowaną w punkcie 2 kartę kontrolną ocenić

rezultaty otrzymane w kolejnych 8 krokach badania tego procesu.
Na

podstawie

tych

danych

obliczono

wartości

średnich

arytmetycznych,

odchyleń

standardowych,

oraz

rozstępów.

Wartości tych charakterystyk zestawione są w 3 ostatnich wierszach
poniższej tabeli:

t

i

1

2

3

4

5

6

7

8

1

25,4

25,1

25

25,4

24,2

24

25

26

2

24,5

26,1

25,6

24,9

24,8

25,9

25,4

26

3

25,2

24,4

26,2

24,8

25,7

24,1

25,8

25

4

24,3

25,2

27,8

25,1

24,6

25,6

24,5

25

5

25,1

25,5

24,1

26

26

25

26

23

t

x

24,9

25,26

25,74

25,24

25,06

24,92

25,34

25

S

t

0,4743416 0,61887 1,388524 0,482701 0,760263 0,858487 0,60663 1,224745

R

t

1,1

1,7

3,7

1,2

1,8

1,9

1,5

3

Monitorowano czas realizacji wystawionych faktur. W tym celu na koniec
każdego miesiąca wybierano losowo 4 faktury i badano czas, jaki upłynął od
momentu wystawienia faktury do momentu wpływu należności. Warunkiem
utrzymania płynności finansowej jest to, aby średni czas realizacji wystawionej
faktury nie przekroczył 7 dni. Co można powiedzieć o przebiegu procesu
płatności, jeżeli w 6 początkowych miesiącach obserwowano następujące
wartości:
t
i

1

2

3

4

5

6

1

6

10

2

1

12

1

2

8

11

3

2

11

2

3

9

6

4

6

2

2

4

4

7

1

8

3

4

Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
α=ε=0,01,
czas realizacji faktury ma rozkład normalny ze stałą wariancją wynoszącą 4.

Monitorowano jakość pracy przydrożnych elektronicznych pogodowych tablic
informacyjnych. Przedmiotem badania była liczba koniecznych interwencji
naprawczych w okresie jednego tygodnia pracy. Oceń proces funkcjonowania
tych urządzeń, jeśli w kolejnych dziesięciu tygodniach otrzymano następujące
wyniki:
tydzień

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

liczba
koniecznych
napraw

2

4

1

0

10

11

12

0

2

3

Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
- przeciętna liczba koniecznych tygodniowych napraw nie powinna
przekroczyć 5,
- α=ε=0,01,

Jakość wytwarzanych produktów oceniana była alternatywnie. Zmienną
diagnostyczną była liczba wadliwie wytworzonych produktów w losowej
próbie o stałej liczności n = 49. Próbę pobierano w odstępach
jednogodzinnych. Oceń przebieg procesu produkcyjnego, jeżeli w 10
początkowych okresach czasu otrzymano następujące wyniki:
godzina

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

liczba
produktów
wadliwych

6

0

2

5

4

0

12

4

1

2

Podczas analizy założyć, że:
α=ε = 0,01, maksymalna poprodukcyjna wadliwość wynosi 4%.

Parametry rozkładu rozstępu

0,8525

0,8884

0,8798

0,8641

0,8480

0,8332

0,8198

0,8078

0,7971

0,7873

0,7785

1,12838

1,69257

2,05875

2,32593

2,53441

2,70436

2,84720

2,97003

3,07751

3,17287

3,25846

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f

n

d

n

n