WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW
ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW
PRODUKCYJNYCH
PROCEDURY KONTROLNE
(KARTY KONTROLNE)
SHEWHARTA
(18 III 1891 – 11 III 1967) doktor fizyki, obywatel Stanów Zjednoczonych
WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW
ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW
PRODUKCYJNYCH
PROCEDURY KONTROLNE
(KARTY KONTROLNE)
SHEWHARTA
(18 III 1891 – 11 III 1967) doktor fizyki, obywatel Stanów Zjednoczonych
Walter Shewhart urodził się 18 marca 1891 roku w New Canton w stanie Illinois. Studiował
fizykę na uniwersytecie stanowym, a następnie na Uniwersytecie California w 1917 roku
uzyskał stopień doktora nauk. Od 1918 związany z przedsiębiorstwem Western Electric
Company wytwarzającej sprzęt telefoniczny dla Bell Telephone. Od 1925 roku rozpoczął
pracę w Bell Telephone Laboratories i był z nim związany aż do 1956 roku. Swoje pomysły
i przemyślenia na temat możliwości stosowania narzędzi statystycznych w zarządzaniu
przedsiębiorstwem publikował w serii gazetek „Bell System Technical Journal”. Dla potrzeb
monitorowania zmienności procesów W. Shewhart w 1924 roku stworzył specjalne
procedury kontrolne nazywane kartami kontrolnymi, kartami sterowania jakości lub po
prostu kartami Shewharta. Podstawowym założeniem kart kontrolnych jest, że uregulowany
proces powinien utrzymywać się w granicach tolerancji. Granice te nazywane są tutaj
liniami kontrolnymi. W ujęciu graficznym karta jest wykresem (zbiorem wykresów), na
którym zaznacza się punkty będące wartościami charakterystyk procesów obliczanych na
podstawie okresowo pobieranych próbek. W okresie II wojny światowej koncepcje
Shewharta wykorzystywano w przemyśle zbrojeniowym. Karty kontrolne stały się część
składową norm Z1.1, Z1.2 (1941) oraz Z1.3 (1942). Shewhart był również wykładowcą
uniwersytetów Illinois, Kalifornia, Harvard, Princeton, gdzie wykładał min. sterowanie
jakością i statystykę. Był również redaktorem naczelnym publikacji „Mathematical Statistics
Series”. Do najważniejszych jego dzieł należy zaliczyć: książkę „Economic Control of
Quality Of Manufactured Produkt” (1931) oraz „Statistical Metod of Quality Control”(1939).
Za swoje osiągnięcia został uhonorowany wieloma oznaczeniami i tytułami min. otrzymał
honorowe członkostwo Amerykańskiego Towarzystwa Jakości, które również od 1948 roku
ustanowiło medal Shewharta nadany takim znakomitościom jak: W. Deming, K. Ishikawa,
czy G. Taguchi. W. Shewart zmarł 11 marca 1967 roku w Troy Hills w stanie New Jersey.
AGREGAT
PRODUKCYJNY
BLOK
POMIAROWY
BLOK
ANALIZUJĄCY
Sygnał o rozregulowaniu
procesu
OPERATOR
AGREGATU
PRODUKCYJNEGO
Strumień produktu
odbiorca
regulacja
Surowce
Energia
informacje
Schemat systemu bieżącej kontroli jakości
Sygnał
wejściowy
Sygnał
wyjściowy
Cykl Shewharta
3
Dokonaj
korekty
procesu
2
Dokonaj
identyfikacji
przyczyn
wykrytego
zakłócenia
4
Sprawdź
skuteczność
dokonanej korekty i
wykorzystaj ją
1
Wykryj
systematyczne
(nielosowe) zakłócenie
procesu
Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q
0
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
f(D)
d
D
g
D
E(D)
2
α
2
α
α
−
1
H
o
: Q = Qo
H
1
: Q ≠ Qo
D
Linia centralna
Dolna linia
kontrolna
Górna linia
kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
obszar krytyczny
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q
0
H
o
: Q ≤ Qo
H
1
: Q > Qo
D
Linia centralna
Górna linia
kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
f(D)
1 – α
α
g
D
E(D)
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej
a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
Z: D ma rozkład normalny
o wartości oczekiwanej E(D) = Q
0
H
o
: Q ≥ Qo
H
1
: Q < Qo
D
Linia centralna
Dolna linia
kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
α
α
−
1
D
f(D)
d
D
E(D)
Typ zmiennej
typ ograniczenia
przedziału
tolerancji
linie służące do
rejestracji
rozregulowania
linie służące do
rejestracji postępu
technologicznego
nominata jakości obustronne
H
o
: Q = Q
o
H
1
: Q
≠ Q
o
GLK; DLK
LC
destymulanta
jakości
prawostronne
H
o
: Q
≤ Q
o
H
1
: Q > Q
o
GLK
DLK
symulanta
jakości
lewostronne
H
o
: Q
≥ Q
o
H
1
: Q < Q
o
DLK
GLK
DLK – dolna linia kontrolna
GLK – górna linia kontrolna
LC – linia centralna
Wybrane karty kontrolne
Shewharta
Karta kontrolna
x
Założenia:
X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o stałym i znanym
odchyleniu standardowym.
Hipotezy:
Charakterystyka z próby:
Linie kontrolne:
H
o
:
µ = µ
o
H
1
:
µ ≠ µ
o
H
o
:
µ ≤ µ
o
H
1
:
µ > µ
o
H
o
:
µ ≥ µ
o
H
1
:
µ < µ
o
t
n
i
t
i
t
n
x
x
t
∑
=
=
1
o
o
d
o
g
LC
n
u
x
n
u
x
µ
σ
µ
σ
µ
ε
α
=
⋅
−
=
⋅
+
=
o
o
d
o
g
LC
n
u
x
n
u
x
µ
σ
µ
σ
µ
α
α
=
⋅
−
=
⋅
+
=
2
2
o
o
d
o
g
LC
n
u
x
n
u
x
µ
σ
µ
σ
µ
α
ε
=
⋅
−
=
⋅
+
=
NORMATYWNA METODA INSTALOWANIA KARTY KONTROLNEJ
Stabilizacyjna metoda instalowania karty kontrolnej (metoda
bez znanych wartości normatywnych)
Szacowanie średniego poziomu procesu oraz odchylenia
standardowego
k
x
x
k
t
t
∑
=
=
1
,
(
)
k
x
x
s
k
t
t
x
∑
=
−
=
1
2
, gdzie k – liczba pobranych próbek o stałej
liczności n
Linie kontrolne (dla dwustronnego ograniczenia przedziału
tolerancji):
x
d
x
g
s
u
x
x
s
u
x
x
2
/
2
/
α
α
−
=
+
=
Jeżeli nie da się zagwarantować stałej liczności próby podczas
badań wstępnych to wówczas:
∑
∑
=
=
=
k
t
t
k
t
t
t
n
x
n
x
1
1
, oraz
(
)
1
1
2
−
−
=
∑
=
x
x
s
i
i
, linie kontrolne
n
s
u
x
x
n
s
u
x
x
d
g
2
/
2
/
α
α
−
=
+
=
Karty kontrolne średnich ruchomych
1
1
1
1
1
1
)
(
...
...
+
−
−
+
−
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
r
t
t
t
r
t
r
t
t
t
t
t
t
r
d
d
d
d
d
d
η
η
η
η
r
r
t
t
t
t
r
1
1
)
(
...
+
−
−
+
+
+
=
η
η
η
η
r
x
x
x
x
r
t
t
t
t
r
1
1
)
(
...
+
−
−
+
+
+
=
rn
u
x
x
rn
u
x
x
g
r
d
r
/
,
/
2
/
0
)
(
2
/
0
)
(
σ
σ
α
α
+
=
−
=
Wykładniczo ważona średnia ruchoma (λ∈[0,2; 0,5])
*
1
*
)
1
(
−
−
+
=
t
t
t
x
x
x
λ
λ
n
u
x
x
n
u
x
x
g
d
)
2
/(
,
)
2
/(
2
/
0
*
2
/
0
*
λ
λ
λ
λ
α
α
−
+
=
−
−
=
Załóżmy, ze przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma
postać
X = [13.0; 14.0]
a wartość nominalna x
o
= 13.5. Załóżmy również, że zmienna
diagnostyczna X jest zmienną losową o normalnym rozkładzie
prawdopodobieństwa
o
stałym
i
znanym
odchyleniu
standardowym σ = 0.20. Przyjmijmy, że istnieje możliwość
oddziaływania na wartość oczekiwaną zmiennej X i ustalenia jej
na dowolnym poziomie µ ∈ X
o
. W celu zminimalizowania
wadliwości (p) należy przyjąć µ = x
o
= 13.5. Mamy więc
X~N(13.5; 0.20).W odniesieniu do największej dopuszczalnej
wadliwości przyjmijmy, że p' = 0.03 (3%).
Na podstawie przyjętych założeń można ocenić wydolność
procesu.
p = P(X < 13.0) + P(X > 14.0) =
= Φ[(13.0 - 13.5)/0.20] + Φ[(14.0 - 13.5)/0.20] =
= Φ(-2.50) + 1 - Φ(2.50) =
= 2 * 0.00621 = 0.01242 (1.242%)
Ponieważ p = 0.01242 < p'
o
= 0.03, przeto proces jest
wystarczająco wydolny, by sprostać wymaganiom odbiorcy
produktu. Dla potrzeb sterowania procesem należy przyjąć, że
p
o
= 0.01242 (1.242%), albowiem pozwoli to wykorzystać
wszystkie możliwości jakimi dysponuje proces. Otwiera to też
pewne możliwości negocjacji cenowych w przyszłości, albowiem
pozwala oczekiwać wyższej jakości niż ta na, którą zgodził się
odbiorca. Wadliwość 1.242% uzyskuje się wówczas gdy
µ
t
= x
o
= 13.5.
Hipotezy:
H
o
: µ
t
= 13.5
H
1
: µ
t
≠ 13.5
Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji (α) ustalimy na poziomie 0.01.
Ponieważ rozregulowanie procesu może się nastąpić, albo przez
przesunięcie µ
t
ku wartościom niższym od 13.5 albo ku wartościom
wyższym od 13.5, przeto mamy do czynienia z dwustronnym schematem
kontrolnym. Przy wyznaczaniu równań linii kontrolnych należy więc wziąć
pod uwagę wartość u
α/2
= u
0.005
. Wartość tego kwantyla zmiennej losowej
U odczytujemy z następującego zestawienia:
α 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100
u
α
2.576 2.326 1.960 1.645 1.282
W każdym kroku postępowania kontrolnego pobierana jest do badania
pięcioelementowa
próbka
(n = 5).
Równania
linii
kontrolnych
przedstawiają się następująco:
73
.
13
5
20
.
0
576
.
2
5
.
13
x
g
=
+
=
27
.
13
5
20
.
0
576
.
2
5
.
13
x
g
=
−
=
Wyniki badania kolejnych próbek przedstawiono w poniższej tablicy
i
1
2
3
4
5
t
x
t.i
t
x
1
2
3
4
5
6
7
1
13.5
13.4
13.5
13.0
13.4
13.36
2
13.0
13.4
13.0
13.5
13.5
13.28
3
13.5
13.9
13.5
13.5
13.6
13.60
4
13.6
13.8
13.8
13.5
13.7
13.68
5
13.7
13.8
13.9
14.0
13.9
13.86
6
13.9
13.8
14.0
13.9
14.0
13.92
7
13.8
13.6
13.5
13.5
13.8
13.70
8
13.5
13.6
13.5
13.4
13.3
13.46
9
13.6
13.5
13.5
13.4
13.4
13.48
10
13.4
13.0
13.4
13.2
13.4
13.28
:
:
:
:
:
:
:
13,2
13,3
13,4
13,5
13,6
13,7
13,8
13,9
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
x
śr
e
d
n
ie
GLK
LC
DLK
KARTA X - średnie
t
t
x
średnia z 3
połączonych próbek
1
13,36
*
2
13,28
*
3
13,6
13,41
4
13,68
13,52
5
13,86
13,71
6
13,92
13,82
7
13,7
13,81
8
13,46
13,68
9
13,48
13,53
10
13,28
13,41
KARTA X – średnie
i karta średnich ruchomych
12,9
13
13,1
13,2
13,3
13,4
13,5
13,6
13,7
13,8
13,9
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Serie1
Serie2
GLK
DLK
GLK **
DLK**
LC
Jak łatwo zauważyć w rezultacie badania próbki o numerze t = 5 uzyskano średnią
arytmetyczną przekraczającą górną granicę regulacji. Mamy
mianowicie
73
.
13
87
.
13
5
=
>
=
g
x
x
. Podjęte czynności regulacyjne nie przyniosły spodziewanego
rezultatu i w kolejnej próbce (t = 6) uzyskano
73
.
13
86
.
13
6
=
>
=
g
x
x
. Podjęte działania
usunęły przyczynę rozregulowania. Na uwagę zasługuje to, że w próbkach, które
doprowadziły do emisji sygnałów o rozregulowaniu procesu wszystkie wartości x
t,i
mieściły się w przedziale tolerancji. Zdolność do reagowania na małe zmiany w
obserwowanym procesie jest bardzo cenną właściwością karty kontrolnej
x
i innych
kart stosowanych w przypadku liczbowej oceny właściwości. Liczbowa ocena
właściwości pozwala na znacznie lepsze wykorzystanie informacji o produkcie i
procesie, zawartych w rezultatach badania próbki, niż alternatywna ocena
właściwości.
Wnioski:
Karty kontrolne (karty dwutorowe)
r
x
S
x
−
−
i
Założenia:
X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o zmiennym i nieznanym
odchyleniu standardowym.
Hipotezy: Obok hipotez dotyczących wartości oczekiwanej
µ konstruuje się
hipotezy dotyczące odchylenia standardowego σ, które najczęściej przedstawiają
się następująco:
H
o
: σ ≤ σ
o
H
1
: σ > σ
o
Do weryfikacji powyższych hipotez, wykorzystuje się
albo odchylenie standardowe z próbki
(przy karcie
s
x −
)
1
1
2
)
(
−
=
∑
−
=
n
t
ti
n
i
t
x
x
s
albo rozstęp z próbki
(przy karcie
r
x −
)
r
t
= x
t.max
– x
t.min
Linie kontrolne dla toru kontrolnego S:
Jeżeli (n ≥ 30)
+
=
+
=
n
u
u
s
n
g
2
1
0
2
0
0
α
α
σ
σ
σ
−
=
−
=
n
u
u
s
n
d
2
1
0
2
0
0
ε
ε
σ
σ
σ
Jeżeli (n < 30)
(
)
1
2
;
1
0
−
=
−
n
n
g
s
χ
σ
α
(
)
1
2
1
;
1
0
−
=
−
−
n
n
d
s
χ
σ
ε
gdzie
χ
α
2
;
1
−
n
i
χ
ε
2
1
;
1 −
−
n
są takimi wartościami zmiennej losowej chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody, że:
(
)
α
χ
α
χ
=
−
>
−
2
;
1
2
1
n
n
P
(
)
ε
χ
ε
χ
−
=
−
−
>
−
1
2
1
;
1
2
1
n
n
P
Linie kontrolne dla toru kontrolnego R:
Linia centralna
n
n
d
r
0
0
.
σ
=
)
(
0
0
0
.
n
n
n
n
g
n
f
u
d
f
u
d
r
α
α
σ
σ
σ
+
=
+
=
)
(
0
0
0
.
n
n
n
n
d
n
f
u
d
f
u
d
r
ε
ε
σ
σ
σ
−
=
−
=
Wartości współczynników d
n
i f
n
są stablicowane.
Przykład
Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X
+
=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została
ustalona na poziomie x
0
= 14,0. Zmienna X ma rozkład
zbliżony do normalnego. Posiadane urządzenia
technologiczne pozwalają na takie zorganizowanie procesu
produkcji, by wartość oczekiwana (µ) zmiennej X pokrywała
się z wartością nominalną (x
0
= µ = 14). Odchylenie
standardowe σ zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na
jakim najwyższym poziomie σ
0
może kształtować się to
odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p
0
= 0,03?
Ustalanie wartości maksymalnego dopuszczalnego
odchylenia standardowego
σ
0
Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X
+
=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została
ustalona na poziomie x
0
= 13,7. Wartość ta nie pokrywa się
ze środkiem przedziału x
’
= 14
. Odchylenie standardowe σ
zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na jakim
najwyższym poziomie σ
0
może kształtować się to
odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p
0
= 0,03?
W procesie bieżącej kontroli jakości monitorowano czas przejazdu pociągów pomiędzy dwoma
miejscowościami. Załóżmy, że uważa się, że podróż odbywa się bez zakłóceń, jeżeli przeciętny czas
potrzebny na pokonanie badanego odcinka wynosi µ = 35 min., przy odchyleniu standardowym σ =
3,5 min. Przystąpiono do monitorowania czasu przejazdu. Wyniki uzyskana w początkowych 10
okresach badania przedstawia poniższa tablica.
w kolumnie 7 zestawiono średnie arytmetyczne obliczone z czasów przejazdów 5 losowo
wybranych pociągów, w kolumnie 8 odchylenia standardowe, a w kolumnie 9 rozstęp z próby.
Podczas wyznaczania linii kontrolnych założono prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu na
poziomie α = 0,05. Na takim samym poziomie ustalono prawdopodobieństwo fałszywej emisji
sygnału o korzystnych zmianach w badanym procesie.
i
1
2
3
4
5
t
x
t
.
i
t
x
s
t
r
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
30
33
31
45
38
35,4
6,19
15
2
32
30
39
31
31
32,6
3,65
9
3
34
38
31
38
37
35,6
3,05
7
4
42
30
44
37
33
37,2
5,89
14
5
33
32
41
36
44
37,2
5,17
12
6
33
39
37
41
33
36,6
3,58
8
7
30
33
37
35
43
35,6
4,88
13
8
36
32
35
38
30
34,2
3,19
8
9
36
33
40
43
31
36,6
4,93
12
10
31
34
33
43
41
36,4
5,27
12
Granice tolerancji na torze kontrolnym x , wyznaczono korzystając z równań:
35
31,93211
5
5
,
3
96
,
1
35
38,06789
5
5
,
3
96
,
1
35
2
2
=
=
=
−
=
⋅
−
=
=
+
=
⋅
+
=
o
o
d
o
g
LC
n
u
x
n
u
x
µ
σ
µ
σ
µ
α
α
Wszystkie uzyskane średnie czasy mieszczą się w obszarze tolerancji. Nie ma więc podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej H
0
:
µ = µ
0
= 35, na korzyść hipotezy alternatywnej H
1
:
µ ≠ µ
0
= 35. Nie
ma podstaw do emisji sygnału o rozregulowaniu procesu ze względu na jego przeciętny poziom.
Przeprowadźmy zatem analizę procesu po względem jego zmienności. Poddajmy weryfikacji
następującą hipotezę zerową:
H
0
:
σ ≤ σ
0
= 3,5 min wobec hipotezy alternatywnej H
1
:
σ > σ
0
= 3,5. Górna linia kontrolna na torze
kontrolnym
S będzie leżeć na poziomie
(
)
5,390455
4
/
488
,
9
5
,
3
1
2
;
1
0
=
=
−
=
−
n
n
g
s
χ
σ
α
, natomist dolana w oparciu o którą śledzić
będziemy sygnały o korzystnych zmianach w porcesie znajdzie się na poziomie
(
)
1,475614
0,711/4
35
1
2
1
;
1
0
=
=
−
=
−
−
n
n
d
s
χ
σ
ε
.
Porównując kolejne wartości odchyleń standardowych z wyznaczonymi granicami kontrolnymi,
można dojść do wniosku, że w punktach dla t = 1 oraz t = 4 wartości obserwowanych odchyleń
standardowych przekroczyły górną linię kontrolną i należy wygenerować sygnał o rozregulowaniu
badanego procesu i przyjąć jako prawdziwą hipotezę H
1
z prawdopodobieństwem błędu niewiększym
niż α = 0,05. Brak jest natomiast powodów do emisji sygnału o korzystnych zmianach w procesie,
gdyż żadna z wartości s
t
nie leży poniżej dolnej linii kontrolnej s
d
.
Hipotezy dotyczące wariancji można również zweryfikować wykorzystując
tor kontrolny R.
Linie kontrolne :
13,023115
0,848)
1,645
2,32593
(
5
,
3
)
(
0
0
0
.
=
⋅
+
=
+
=
+
=
n
n
n
n
g
n
f
u
d
f
u
d
r
α
α
σ
σ
σ
,
3,258395
0,848)
1,645
-
2,32593
(
5
,
3
)
(
0
0
0
.
=
⋅
=
−
=
−
=
n
n
n
n
d
n
f
u
d
f
u
d
r
ε
ε
σ
σ
σ
.
Podobnie jak w przypadku toru kontrolnego S należy się spodziewać
wygenerowania sygnału o rozregulowaniu procesu w punktach
dla r
1
i r
6
, gdyż te wartości znajdą się powyżej górnej linii kontrolnej r
g
.
Wykresy analizowanych torów kontrolnych przedstawiają poniższe rysunki
Tor x - średnie
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
x
-ś
re
d
n
ie
GLK
DLK
LC
Tor kontrolny S
-
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0
2
4
6
8
10
12
t
o
c
h
y
le
n
ie
s
ta
n
d
a
rd
o
w
e
GLK
DLK
LC
Tor kontrolny R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
2
4
6
8
10
12
t
ro
z
st
ę
p
GLK
DLK
LC
Karta kontrolna
„
z”
Założenia:
X jest zero-jedynkową zmienną losową postaci: X=
dla każdego t n
t
= n
Hipotezy:
Charakterystyka z próby:
Linie kontrolne:
H
o
: p ≤ p
o
H
1
: p > p
o
∑
=
=
n
i
i
t
x
z
1
o
o
o
o
d
o
o
o
g
np
LC
p
np
u
np
z
p
np
u
np
z
=
−
⋅
−
=
−
⋅
+
=
)
1
(
)
1
(
ε
α
0,
gdy jednostka produktu
spełnia wymagania jakościowe,
1, gdy jednostka produktu
nie spełnia wymagań jakościowych
{
Charakterystyka z próby:
n
x
n
z
w
n
i
i
t
t
t
∑
=
=
=
1
.
Położenie linii centralnej określa wzór
0
0
0
0
p
n
np
n
z
w
=
=
=
Równanie górnej linii kontrolnej ma postać
n
/
)
p
1
(
p
u
p
w
0
0
0
g
−
+
=
α
Położenie dolnej linii kontrolnej (nie będącej granica regulacji)
wyznacza równanie
n
/
)
p
1
(
p
u
p
w
0
0
0
d
−
−
=
ε
KARTA KONTRLNA „w”
Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X opisująca jakość śrub
wykorzystywanych do montażu elementów trakcji kolejowej. Zmienna ta przyjmuje dwie wartości „0” i „1”, „0” jeżeli
śruba ma poprawnie wykonany gwint, na który z łatwością daje się nakręcić nakrętkę, oraz przyjmuje „1”, gdy gwint
jest źle wykonany i nakręcenie na śrubę nakrętki jest niemożliwe. Załóżmy, że proces produkcji śrub jest uregulowany,
jeżeli frakcja śrub wadliwych p ≤ 0, 1 (10%), natomiast proces produkcji zostanie uznany za rozregulowany, jeżeli p >
0,1 (10%). Należy ocenić przebieg procesu produkcji śrub, jeżeli w rezultacie przeprowadzonych badań uzyskano
następujące wyniki:
t
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
4
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
6
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
9
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
10
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
11
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
12
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
15
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
17
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
20
x
i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
suma
z
t
5
2
3
6
2
0
5
2
4
2
Podczas weryfikacji założyć, że α = β =0,05
Rozwiązanie:
n = 20, α = ε = 0,05,
H
0
: p ≤ p
0
= 0,1
H
1
: p > p
0
= 0,1
2
0,280618
9
,
0
2
645
,
1
2
)
1
(
3,719382
9
,
0
2
645
,
1
2
)
1
(
=
=
=
⋅
−
=
−
⋅
−
=
=
⋅
+
=
−
⋅
+
=
o
o
o
o
d
o
o
o
g
np
LC
p
np
u
np
z
p
np
u
np
z
ε
α
Porównując otrzymane wartości z
t
z liniami kontrolnymi, należy
stwierdzić, że sygnał o rozregulowaniu zostanie wygenerowany (będą
podstawy do przyjęcia H
1
) w momentach t =1, 4,7 i 9, gdyż wówczas
wartości obserwowanej statystyki z
t
będą większe od wartości z
g
. Sygnały o
postępie technologicznym pojawią się natomiast dla t = 6, gdyż (z
6
< z
d
).
Karta z (np)
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
z
t
z
g
z
d
LC
Zadanie 1
Pewien proces produkcyjny kontrolowano za pomocą karty x-średnie,
przy czym σ
σ
σ
σ = 1, µ
µµ
µ
οοοο
= 10, n = 4 i α
α
α
α =ε= 0,05, a przedział tolerancji
ograniczony jest prawostronnie. Uzyskano następujące wyniki:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
x
9.8
10.2
10.3
9.9.
10.9
10.1
9.7
11.1
8.9
Skonstruować diagram przeglądowy. Wskazać punkty rozregulowania
procesu, oraz punkty świadczące o postępie technologicznym.
Zadanie 2
W kolejnych chwilach t obserwowano liczbę sztuk wadliwych z
t
w
próbkach o stałej liczności n = 40. Otrzymano następujące wyniki:
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
z
t
3 0 0 6 3 4 3 3 4 0 0 1 2 0 1
Skonstruować
odpowiednią
kartę
kontrolną
przyjmując
prawdopodobieństwo zbędnej regulacji α
α
α
α = 0.05 oraz najwyższą
dopuszczalną wadliwość p
o
= 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu
obserwacji występują sygnały o rozregulowaniu procesu, albo objawy
postępu technologicznego?
Liczba niezgodności (wad) w jednostce produktu jest zmienną losową (Y)
o przeliczalnym zbiorze wartości
Y
o
= {0, 1, 2,...}
Przyjmuje się zwykle, że na zbiorze tym rozpięty jest rozkład Poissona,
którego szczegółowa postać określana jest przez parametr λ. Przy
rozwiązywaniu praktycznych problemów wartość tego parametru, czyli
przeciętnej liczby wad (niezgodności), musi być odniesiona do ustalonej
jednostki produktu. Może to być jednostka elementarna lub agregatowa,
przy czym każda z nich może być jednostką rzeczywistą lub umowną.
Obserwowana charakterystyka z próby ma postać
∑
=
=
n
i
ti
t
n
y
c
1
).
(
Hipotezy:
H
o
: λ
(n).t
≤ λ
(n).0
H
1
: λ
(n).t
> λ
(n).0
Linie kontrolne:
0
).
(
0
).
(
).
(
n
n
g
n
u
c
λ
λ
α
+
=
0
).
(
0
).
(
).
(
n
n
d
n
u
c
λ
λ
ε
−
=
LC = λ
(n).0
KARTA KONTROLNA „C”
Monitorowano proces świadczenia usług bankowych. W tym celu zliczano
liczbę błędów popełnianych przy obsłudze klientów, zakładając, że błędem
jest każde odstępstwo od ustalonej procedury. W rezultacie obserwacji
poczynionych w dziesięciu dniach badania otrzymano następujące wyniki:
...
0
3
1
1
0
7
5
0
3
2
c
t
...
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
t
Kierownictwo banku ustaliło, że proces obsługi klientów przebiega poprawnie,
jeśli przeciętna liczba błędów w ciągu dnia nie przekracza
λ
o
= 5. Skonstruować
odpowiednią kartę kontrolną do analizy tych danych i wykryć punkty rozregulowania
procesu obsługi, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeporwa-
-dzanych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu, a także prawdo-
-podobieństwo fałszywego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji, ustalono na
poziomie
α = ε = 0,05.
Karta kontrolna c
Rozwiązanie:
H
o
: λ
(n).t
≤ λ
(n).0
= 5
H
1
: λ
(n).t
> λ
(n).0
= 5
Linie kontrolne:
8,678332
5
645
,
1
5
0
).
(
0
).
(
).
(
=
+
=
+
=
n
n
g
n
u
c
λ
λ
α
1,321668
5
645
,
1
5
0
).
(
0
).
(
).
(
=
−
=
−
=
n
n
d
n
u
c
λ
λ
ε
LC = λ
(n).0
= 5
Nie ma powodów do odrzucenia H
0
i wygenerowania sygnału o
rozregulowaniu procesu obsługi klienta. W momentach t = 3, 6, 7, 8, 10
mamy powody sądzić, że przeprowadzone szkolenia przyniosły zamierzony
efekt.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2
4
6
8
10
12
t
c
t
c
g
c
d
LC
KARTA „C”
KARTA KONTROLNA „u”
Karta u jest szczególnie użytecznym narzędziem sterowania procesem wówczas,
gdy nie można zapewnić stałej liczności próbek produktu, które podlegają badaniu
polegającemu na zliczaniu niezgodności lub wad. W takiej sytuacji charakterystyka z
próby przybiera postać
t
t
n
t
n
c
u
).
(
=
gdzie
∑
=
=
t
n
i
ti
t
n
y
c
1
).
(
Hipotezy: H
0
: λ
(1).t
≤ λ
(1).0
H
1
: λ
(1).t
> λ
(1).0
przy czym λ
(1).0
= λ
(n).0
/n, λ
(1).t
= λ
(n).t
/ n
Charakterystyka z próby: u
t
= c
(n).t
/n
Linie kontrolne:
n
u
n
c
u
g
n
g
/
/
0
).
1
(
0
).
1
(
).
(
λ
λ
α
+
=
=
n
/
u
n
/
c
u
0
).
1
(
0
).
1
(
d
).
n
(
d
λ
−
λ
=
=
ε
Jakość produktu oceniano na podstawie przeciętnej liczby
niezgodności. Największą przeciętną liczbę niezgodności w
elementarnej jednostce produktu ustalono na poziomie
λ
(1).0
= 1,00. Zastosowana technika pobierania próby nie pozwala
na utrzymanie jej liczności na stałym poziomie. W dziesięciu
początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej
liczności i zliczano liczbę niezgodności. Rezultaty badania
prezentuje poniższa tablica:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
liczebność
próby n
t
11 10 8
13 9
14 12 10 11 9
liczba
niezgodności
c
t
15 13 12 20 7
31 9
8
18 8
Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych,
oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną
wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz
sygnały świadczące o postępie technologicznym. Podczas
analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji
procesu
α = 0,01, natomiast prawdopodobieństwo
fałszywego sygnału o postępie technologicznym
ε = 0,05.
H
0
: λ
(1).t
≤ λ
(1).0
= 1
H
1
: λ
(1).t
> λ
(1).0
= 1
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
t
11
10
8
13
9
14
12
10
11
9
c
t
15
13
12
20
7
31
9
8
18
8
u
t
1,36
1,30
1,50
1,54
0,78
2,21
0,75
0,80
1,64
0,89
u
gt
1,70
1,74
1,82
1,65
1,78
1,62
1,67
1,74
1,70
1,78
u
dt
0,50
0,48
0,42
0,54
0,45
0,56
0,53
0,48
0,50
0,45
t
t
d
t
t
g
n
u
n
u
1
645
,
1
00
,
1
1
326
,
2
00
,
1
.
.
⋅
−
=
⋅
+
=
Parametry rozkładu rozstępu
0,8525
0,8884
0,8798
0,8641
0,8480
0,8332
0,8198
0,8078
0,7971
0,7873
0,7785
1,12838
1,69257
2,05875
2,32593
2,53441
2,70436
2,84720
2,97003
3,07751
3,17287
3,25846
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f
n
d
n
n
Wartości
ϕ
(u) dystrybuanty rozkładu normalnego (0,l)
Kwantyle u(p) rzędu p rozkładu normalnego (0,l)
p
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
u(p)
1,28
1,64
1,96
2,33
2,58
u
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,1
,5398
,5438
,5478
,5517
,5557
,5596
,5636
,5675
,5714
,5753
0,2
,5793
,5832
,5871
.5910
,5948
,5987
,6026
,6064
,6103
,6141
0,3
,6179
,6217
,6255
,6293
,6331
,6368
,6406
,6443
,6480
,6517
0,4
,6554
,6591
,6628
,6664
,6700
,6736
,6772
,6808
,6844
,6879
0,5
,6915
,6950
,6985
,7019
,7054
,7088
,7123
,7157
,7190
,7224
0,6
,7257
,7290
,7324
,7357
,7389
,7422
,7454
,7486
,7517
,7549
0,7
,7580
,7611
,7642
,7673
,7704
,7734
,7764
,7794
,7823
,7852
0,8
,7881
,7910
,7939
,7967
,7995
,8023
,8051
,8078
,8106
,8133
0.9
,8159
,8186
,8212
,8238
,8264
,8289
,8340
,8340
,8365
.8389
1,0
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1
,
1
,8643
,8665
,8686
,8708
,8729
,8749
,8770
,8790
,8810
,8830
1,2
,8849
,8869
,8888
,8907
,8925
,8944
,8962
,8980
,8997
,9015
1,3
,9032
,9049
,9066
,9082
,9099
,9115
,9131
,9147
,9162
,9177
1,4
,9192
,9207
,9222
,9236
,9251
,9265
,9279
,9292
,9306
,9319
1,5
,9332
,9345
,9357
,9370
,9382
,9394
,9406
,9418
,9429
,9441
1,6
,9452
,9463
,9474
,9484
,9495
,9505
,9515
,9525
,9535
,9545
1,7
,9554
,9564
,9573
,9582
,9591
,9599
,9608
,9616
,9625
,9633
1,8
,9641
,9649
,9656
,9664
,9671
,9678
,9686
,9693
,9699
,9706
1,9
,9713
,9719
,9726
,9732
,9738
,9744
,9750
,9756
,9761
,9767
2,0
0,9772
0,9779
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
2,1
,9821
,9826
,9830
,9834
,9838
,9842
,9846
,9850
.9854
,9857
2,2
,9861
,9864
,9868
,9871
,9875
,9878
,9881
,9884
,9887
,9890
2,3
,9893
,9896
,9898
,9901
,9904
,9906
,9909
,9911
,9913
,9916
2,4
,9918
,9920
,9922
,9925
,9927
,9929
,
9931
,9932
,9934
,9936
2,5
,9938
,9940
,9941
,9943
,9945
,9946
,9948
,9949
,9951
,9952
2,6
,9953
,9955
,9956
,9957
,9959
,9960
,9961
,9962
,9963
,9964
2,7
,9965
,9966
,9967
,9968
,9969
,9970
,9971
,9972
,9973
,9974
2,8
,9974
,9975
,9976
,9977
,9977
,9978
,9979
,9779
,9980
,9981
2,9
,9981
,9982
,9982
,9983
,9984
,9984
,9985
,9985
,9986
,9986
p
v
0,005
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
0.995
1
-
-
0,001
0,004
3,841
5,024
6,635
7,879
2
0,010
0,020
0,051
0,103
5,991
7,378
9,210
10,597
3
0,072
0,115
0,216
0,352
7,815
9,348
11,345
12,838
4
0,207
0,297
0,484
0,711
9,488
11,143
13,277
14,860
5
0,412
0,554
0,831
1,145
11,071
12,833
15,086
16,750
6
0,676
0,872
1,237
1,635
12,592
14,449
16,812
18,548
7
0,989
1,239
1,690
2,167
14,067
16,013
18,475
20,278
8
1,344
1,646
2,180
2,733
15.507
17,535
20,090
21,955
9
1,735
2,088
2,700
3,325
16,919
19,023
21,666
23,589
10
2,156
2,558
3,247
3,940
18,307
20,483
23,209
25,188
11
2,603
3,053
3,816
4,575
19,675
21,920
24,725
26,757
12
3,074
3,571
4.404
5,226
21,026
23,337
26,217
28,299
13
3,565
4,107
5,009
5,892
22,362
24,736
27,688
29,819
14
4,075
4,660
5,629
6,571
23,685
26,119
29,141
31,319
15
4,601
5,229
6,262
7,261
24,996
27,488
30,578
32,801
16
5,142
5,812
6,908
7,962
26,296
28,845
32,000
34,267
17
5,697
6,408
7,564
8,672
27,587
30,191
33,409
35,718
18
6,265
7,015
8,231
9,390
28,869
31,526
34,805
37,156
19
6,844
7,633
8,907
10,117
30,144
32,852
36,191
38,582
20
7,434
8,260
9,591
10,851
31,410
34,170
37,566
39,997
21
8,034
8,897
10,283
11,591
32,671
35,479
38,932
41,401
22
8,643
9,542
10,982
12,336
33,924
36,781
40,289
42,796
23
9,260
10,196
11,689
13,091
35,172
38,076
41,638
44,181
24
9,886
10,856
12,401
13,848
36,415
39,364
42,980
45,559
25
10,520
11,524
13,120
14,611
37,652
40,646
44,314
46,928
26
11,160
12,198
13,844
15,379
38,885
41,923
45,642
48,290
27
11,808
12,879
14,573
16,151
40,113
43,194
46,963
49,645
28
12,461
13,565
15,308
16,928
41,337
44,461
48,278
50,993
29
13,121
14,257
16,047
17,708
42,557
45,722
49,588
52,336
30
13,787
14,954
16,791
18,493
43,773
46,979
50,898
53,672
Kwantyle
χ
2
(p,v) rzędu p rozkładu
χ
2
o
v stopniach swobody
Proces produkcyjny monitorowano przy użyciu karty kontrolnej
x
.
W rezultacie badań siedmiu kolejnych próbek uzyskano następujące
rezultaty:
t
i
1
2
3
4
5
6
7
1
10,4 11,0 10,3 10,2 10,5
9,4 10,9
2
11,4 11,3 10,2 10,6
9,3 11,3 10,1
3
9,3 11,6 10,6 10,8
9,5 10,3 12,5
4
12,0 11,4 10,7 10,7
9,4 10,6 10,3
Wartość docelowa wynosiła 10,5 wariancja była stała i wynosiła
0,36, zaś przedział tolerancji ograniczony był dwustronnie.
Zbudować odpowiednią kartę kontrolną Shewharta i wykryć sygnały
świadczące o rozregulowaniu procesu. Prawdopodobieństwo
zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie 0,05.
ĆWICZENIA – KARTY KONTROLNE SHEWHARTA
Ćwiczenia
(Karty kontrolne Shewharta)
Zadanie 18
Wstępne badania pewnej operacji technologicznej wykazały, że czas jej trwania jest
zmienną losową o rozkładzie zbliżonym do normalnego, o wartości oczekiwanej
µ
t
= 2,8 i odchyleniu standardowym σ
t
= 0,6 min. W celu bieżącej kontroli
procesu pobierano losowo próbki o liczności n = 9 i mierzono czas trwania
operacji z których wyznaczano wartości średnie t
r
. W rezultacie badania
kolejnych 10 próbek uzyskano następujące rezultaty:
próbka
(r)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
średni
czas
trwania
operacji
2,52 3,18 2,54 2,56 4,12 4,34 2,52 2,61 2,65 2,38 …
Skonstruować odpowiednią kartę Shewharta do analizy danych wykryć punkty rozregulowania
procesu, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń
mających na celu skrócenie czasu trwania badanej operacji technologicznej.
Prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu a także
prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o skróceniu tej operacji ustalono na poziomie α = ε =
0,05
Badano stężenie pewnej substancji zabezpieczającej przed zamarzaniem,
która znajduje się w płynie do odmrażania. Badanie polegało na pobieraniu ze
strumienia produktu, co dwie godziny czterech pojemników i oznaczaniu ich
zawartości. W czasie jednej zmiany uzyskano następujące wyniki
zaprezentowane w tabeli. Zaprojektować odpowiednią kartę kontrolną
umożliwiającą śledzenie zarówno sygnałów świadczących o rozregulowaniu
procesu produkcyjnego jak również mogących świadczyć o korzystnych
zmianach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wynosi 1,1
natomiast
µ
o
= 70. Należy przyjąć:
α = 0,01 ε = 0,1
t
1
2
3
4
5
6
t
x
70,22 70,92 70,39 70,32 68,63 68,4
Proces wytwarzania wyłączników elektrycznych monitorowano pobierając ze
strumienia produktu próbki o stałej liczności 100 sztuk, a następnie
klasyfikowano wyrób jako wykonany poprawnie lub wykonany wadliwie.
Otrzymano następujące liczby wadliwych wyłączników w kolejnych dziesięciu
próbach:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
t
8
1
3
0
2
4
0
1
10
6
Skonstruuj
odpowiednią
kartę
kontrolną
zakładając
maksymalną
dopuszczalną wadliwość p
o
= 0.03, prawdopodobieństwo zbędnej regulacji
procesu
α = 0.01, prawdopodobieństwo błędnego wykrycia sygnału o
korzystnych zmianach w procesie produkcyjnym
ε = 0.1. Opisz wszystkie
występujące sygnały.
Produkcję żarówek monitorowano za pomocą karty kontrolnej z.
Liczność próby wynosiła 200 [szt], prawdopodobieństwo fałszywego
sygnału o rozregulowaniu
α = 0.05. Badano również korzystne
zmiany
w
przebiegu
procesu
produkcyjnego
przyjmując
prawdopodobieństwo błędnego stwierdzenia korzystnych zmian w
procesie
produkcyjnym
ε = 0,1. Maksymalną dopuszczalną
wadliwość ustalono na poziomie p
o
= 2%. Dla dziesięciu kolejnych
próbek otrzymano następujące ilości sztuk niezgodnych w próbie:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
t
2
3
5
0
0
4
2
1
6
1
Znajdź sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu i korzystnych
zmianach w jego przebiegu.
Monitorowano proces księgowania. W tym celu zliczano błędy
księgowe popełniane w ciągu dnia roboczego. W rezultacie
obserwacji poczynionych w kolejnych ośmiu dniach badania
uzyskano następujące dane:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
...
c
t
2
3
1
7
0
4
2
8
...
Kierownictwo banku ustaliło, że proces księgowania przebiega
poprawnie, jeżeli przeciętna liczba popełnianych błędów nie
przekracza
λ
o
= 2,5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do
analizy powyższych danych, wskazać punkty świadczące o
rozregulowaniu procesu księgowania a także objawy mogące
przemawiać
za
skutecznością
przeprowadzonych
szkoleń.
Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na
poziomie
α = 0.05, a prawdopodobieństwo zbędnego sygnału o
poprawie istniejącej sytuacji
ε = 0.1.
Monitorowanie
jakości
usług
magazynowych
polegało
na
codziennym sprawdzaniu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli
przeciętna liczba nieprawidłowo wykonanych zamówień nie
przekraczała 3,5 to proces obsługi uznawano za przebiegający
poprawnie.
W trakcie badania jedenastu kolejnych dni uzyskano następujące
rezultaty:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
c
t
1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 6,0 8,0 7,0 3,0 2,0 1,0
Przyjmując
α = 0,02; ε = 0,1 zbuduj odpowiednią kartę kontrolną
umożliwiającą śledzenie procesu usług magazynowych.
W procesie rozlewania wody mineralnej do butelek plastikowych
prowadzona jest kontrola szczelności zamknięcia opakowania.
Kontrola prowadzona jest okresowo (co godzinę) w sposób
wyrywkowy, na losowo pobranych próbkach o zmieniającej się
liczebności.
W wyniku pomiarów otrzymanych w 6 kolejnych okresach
otrzymano następujące wyniki:
t
1
2
3
4
5
6
liczebność
próby n
t
50
60
70
60
50
50
liczba
wadliwie
zamkniętych
butelek (z
t
)
2
6
14
0
4
1
Czy analizowany proces można uznać za uregulowany? Czy
można w badanym przypadku dostrzec zjawisko nazywane
postępem technologicznym? Podczas analizy założyć ryzyko
zbędnej regulacji procesu oraz ryzyko fałszywego sygnału o
postępie technologicznym na poziomie
α=ε=0,01. Maksymalna
dopuszczalna poprodukcyjna wadliwość wynosi p
0
=0,1.
Jakość pracy składaczy tekstów w drukarni oceniano na podstawie
przeciętnej liczby błędów. Największą przeciętną liczbę błędów w
elementarnej jednostce produktu będącej 1 stroną maszynopisu ustalono na
poziomie
λ
(1).0
= 1,00. Charakter badanego procesu nie pozwalał na to aby
podczas monitorowania procesu poddawać kontroli jednakową liczbę losowo
wybranych stron. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano
próby o różnej liczbie losowo wybranych stron i zliczano liczbę popełnionych
błędów. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
liczba
stron
n
t
10
10
9
10
10
10
12
10
10
10
liczba
błędów
c
t
15
13
12
20
7
31
9
8
18
8
Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać
momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o
rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o wzroście jakości pracy badanego
personelu. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej
regulacji procesu oraz prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o wzroście
jakości pracy badanego personelu wynosi 0,05.
W cementowni prowadzi się w sposób wyrywkowy kontrolę ciężaru
napełnianych worków.
Nominalny ciężar każdego opakowania po napełnieniu powinien wynosić
x
0
= 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badanego produktu jest zmienną
losową o nieznanych parametrach µ i σ. Posiadane urządzenia dozująco-
paczkujące pozwalają na ustalenie hipotetycznej wartości oczekiwanej µ
na poziomie wartości nominalnej (docelowej) x
0
.
1. Ustalić na jakim najwyższym dopuszczalnym poziomie σ
0
może
kształtować się odchylenie standardowe, jeżeli chcemy, aby
poprodukcyjna wadliwość produktu p nie przekroczyła p
0
= 3%.
2. Przyjmując wyznaczoną w punkcie 1 wartość σ
0
, skonstruować
odpowiednią kartę kontrolną pozwalającą na ocenę opisanego
powyżej procesu paczkowania. Podczas konstrukcji karty założyć,
że α=ε=0,05.
3. W oparciu o skonstruowaną w punkcie 2 kartę kontrolną ocenić
rezultaty otrzymane w kolejnych 8 krokach badania tego procesu.
Na
podstawie
tych
danych
obliczono
wartości
średnich
arytmetycznych,
odchyleń
standardowych,
oraz
rozstępów.
Wartości tych charakterystyk zestawione są w 3 ostatnich wierszach
poniższej tabeli:
t
i
1
2
3
4
5
6
7
8
1
25,4
25,1
25
25,4
24,2
24
25
26
2
24,5
26,1
25,6
24,9
24,8
25,9
25,4
26
3
25,2
24,4
26,2
24,8
25,7
24,1
25,8
25
4
24,3
25,2
27,8
25,1
24,6
25,6
24,5
25
5
25,1
25,5
24,1
26
26
25
26
23
t
x
24,9
25,26
25,74
25,24
25,06
24,92
25,34
25
S
t
0,4743416 0,61887 1,388524 0,482701 0,760263 0,858487 0,60663 1,224745
R
t
1,1
1,7
3,7
1,2
1,8
1,9
1,5
3
Monitorowano czas realizacji wystawionych faktur. W tym celu na koniec
każdego miesiąca wybierano losowo 4 faktury i badano czas, jaki upłynął od
momentu wystawienia faktury do momentu wpływu należności. Warunkiem
utrzymania płynności finansowej jest to, aby średni czas realizacji wystawionej
faktury nie przekroczył 7 dni. Co można powiedzieć o przebiegu procesu
płatności, jeżeli w 6 początkowych miesiącach obserwowano następujące
wartości:
t
i
1
2
3
4
5
6
1
6
10
2
1
12
1
2
8
11
3
2
11
2
3
9
6
4
6
2
2
4
4
7
1
8
3
4
Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
α=ε=0,01,
czas realizacji faktury ma rozkład normalny ze stałą wariancją wynoszącą 4.
Monitorowano jakość pracy przydrożnych elektronicznych pogodowych tablic
informacyjnych. Przedmiotem badania była liczba koniecznych interwencji
naprawczych w okresie jednego tygodnia pracy. Oceń proces funkcjonowania
tych urządzeń, jeśli w kolejnych dziesięciu tygodniach otrzymano następujące
wyniki:
tydzień
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
liczba
koniecznych
napraw
2
4
1
0
10
11
12
0
2
3
Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
- przeciętna liczba koniecznych tygodniowych napraw nie powinna
przekroczyć 5,
- α=ε=0,01,
Jakość wytwarzanych produktów oceniana była alternatywnie. Zmienną
diagnostyczną była liczba wadliwie wytworzonych produktów w losowej
próbie o stałej liczności n = 49. Próbę pobierano w odstępach
jednogodzinnych. Oceń przebieg procesu produkcyjnego, jeżeli w 10
początkowych okresach czasu otrzymano następujące wyniki:
godzina
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
liczba
produktów
wadliwych
6
0
2
5
4
0
12
4
1
2
Podczas analizy założyć, że:
α=ε = 0,01, maksymalna poprodukcyjna wadliwość wynosi 4%.
Parametry rozkładu rozstępu
0,8525
0,8884
0,8798
0,8641
0,8480
0,8332
0,8198
0,8078
0,7971
0,7873
0,7785
1,12838
1,69257
2,05875
2,32593
2,53441
2,70436
2,84720
2,97003
3,07751
3,17287
3,25846
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f
n
d
n
n