Fale sprężyste. Wyznaczenie częstotliwości drgań

generatora akustycznego metodą fali stojącej

Ćw.5

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest pomiar kilku częstości drgań generatora akustycznego, zmodyfikowaną metodą

Meldego jak również wyznaczenie prędkości fali akustycznej rozchodzącej się w cienkich nitkach (żyłkach)

wykonanych z różnych materiałów.

Zakres obowiązującego materiału teoretycznego

Równanie fali. Fala poprzeczna i podłużna. Interferencja fal. Równanie fali stojącej. Prędkość fazowa fal w

ośrodkach sprężystych.

1. Zasada pomiaru

Jeżeli do membrany głośnika akustycznego przymocujemy prostopadle cienki pręt i głośnik podłączymy do

generatora akustycznego to możemy membranę wraz z prętem wprowadzić w drganie akustyczne. Mocując do

pręta cienką nitkę i napinając ją w kierunku prostopadłym do drgań pręta, możemy obserwować wzdłuż naszej

nitki falę stojącą. Zjawisko to powstaje dlatego, że drganie pręta udziela się nitce, fala powstałych zaburzeń

rozchodzi się wzdłuż nitki, następnie odbija się od punktu jej umocowania i powracając interferuje z falą

nadchodzącą. Oczywiście musi być przy tym spełniony następujący warunek: długość nitki winna odpowiadać

całkowitej wielokrotności odległości miedzy sąsiednimi węzłami (λ/2) (rys.1):

(

)

2

1

n

L

λ

−

=

(1)

Rys.1 Fala stojąca

Wyjaśnienie dotyczące spełnienia tego warunku i otrzymanie węzła drgań nitki w punkcie odpowiadającym

strzałce drgań pręta wprowadzającego nitkę w drgania zostanie omówione w rozdziale "Przeprowadzenie

pomiarów" (punkt 4).

1

Częstotliwość drgań f fali stojącej wytworzonej na nitce przymocowanej do pręta głośnika i pobudzonego przez

generator akustyczny, przy odpowiednim obciążeniu nitki jest określona wzorem:

ρ

−

=

mg

L

2

1

n

f

(2)

gdzie:

m - masa ciała napinającego nitkę;

g - przyspieszenie ziemskie;

ρ - liczba wyrażająca masę 1m nitki, czyli gęstość liniowa nitki;
L - długość nitki mierzonej od punktu jej umocowania w głośniku do punktu oparcia nitki na bloczku (rys.2);

n - liczba węzłów powstała na długości nitki l.

Rys. 2 Schemat układu pomiarowego.

Wzór (2) możemy wyprowadzać na podstawie następującego rozważania:

Jeżeli napinamy nitkę (np. jedwabną) siłą F, jest to praktycznie biorąc jedyna siła zewnętrzna, która na nią działa

(ciężar nitki bowiem jako bardzo mały możemy pominąć). Nitka jest w stanie równowagi, kształt jej jest

prostoliniowy. Jeżeli nitka zostanie pobudzona do drgań, to równanie opisujące jej ruch jest klasycznym

równaniem fali o postaci:

2

2

2

2

2

dx

y

d

V

dt

y

d

=

(3)

gdzie

ρ

=

F

V

(4)

v - prędkość rozchodzenia się zaburzenia wzdłuż nici

F - siła naprężająca nić

ρ - gęstość liniowa nitki

Ponieważ prędkość rozchodzenia się fali wynosi:

2

f

V

λ

=

(5)

to korzystając z wyrażeń (4) i (5) otrzymujemy:

ρ

=

λ

F

f

(6)

Podstawiając F=mg i przekształcając otrzymujemy:

ρ

λ

=

mg

1

f

(7)

ze wzoru (1) wynika, że

1

n

L

2

−

=

λ

, wiec:

1

n

L

2

−

=

λ

(8)

Po podstawieniu wartości λ do wzoru (7) otrzymujemy ostatecznie wcześniej podany wzór (2) na częstotliwość
drgań generatora akustycznego wytwarzającego falę stojącą w naprężonej cienkiej nitce:

ρ

−

=

mg

L

2

1

n

f

(9)

Mając wyznaczoną częstotliwość drgań generatora f i odpowiadającą tej częstotliwości długość fali stojącej λ (8)
możemy na podstawie wzoru (5) obliczyć prędkość fali poprzecznej V rozchodzącej się wzdłuż nitki.

2. Cześć doświadczalna

Przyrządy i materiały

Zestaw używany do pomiarów częstotliwości drgań generatora i wyznaczenia prędkości fali akustycznej w

cienkich nitkach (rys.2) składa się z głośnika do którego membrany przymocowany jest lekki pręt umożliwiający

zamocowanie jednego końca badanej nitki. Źródłem drgań jest głośnik zasilany z generatora akustycznego GA

poprzez wzmacniacz mocy WM. Drugi koniec nitki przeprowadzony jest przez bloczek B i obciążony małą szalką

z odważnikami. Położenie bloczka można zmieniać przesuwając go, przez co zmienia się długość nitki.

Materiałami użytymi do badań są:

-

nitka jedwabna;

-

cienka żyłka z tworzywa sztucznego.

Przeprowadzenie pomiarów

3

I.

a. Obliczyć gęstość liniową ρ nitki i żyłki:
-

wyznaczyć z dokładnością do 1mg masy 1m nitki i żyłki;

-

wyznaczyć długość zważonych nitek z dokładnością do 1mm.

b. Wyznaczyć z dokładnością do 1mg masę m

s

szalki z haczykiem.

c. Ustawić przełącznikiem v

1

częstotliwość. Zawiesić szalkę na badanej nitce i włączyć generator akustyczny

lewym pokrętłem (należy je przekręcić maksymalnie w prawo). Prawe pokrętło służy do regulacji amplitudy

drgań.

II.

a. Zmieniać długość nitki przez przesuwanie bloczka do położenia, przy którym wystąpią wyraźne i nieruchome

węzły. Przy tym położeniu zmierzyć długość L nitki i policzyć liczbę węzłów n.

Uwaga: Na nitce powstaje fala stojąca nawet w przypadku, gdy warunek

(

)

2

1

n

λ

−

L

=

nie jest dokładnie

spełniony. Wówczas jednak pierwszy węzeł nie przypada dokładnie w punkcie przymocowania nitki do pręta

głośnika, lecz w pewnej odległości ε, (

(

)

ε

+

λ

−

=

2

1

n

L

). Amplituda drgań nitki jest bardzo mała, jeżeli ε nie

jest bliska zeru. Dzięki przesuwaniu bloczka można doprowadzić drgania nitki do stanu, w którym praktycznie

biorąc ε=0. Osiągniecie tego stanu nie nastręcza trudności przy niewielkich obciążeniach szalki. Gdy ε=0
amplituda drgań wzrasta i otrzymuje się wyraźny obraz układu strzałek i węzłów. W rzeczywistości drgania

nitki nie są zupełnie izochroniczne, tzn. że częstość ich zależy w pewnym niewielkim stopniu od amplitudy. To

zjawisko nieizochronizmu powoduje, że w pobliżu rezonansu amplituda drgań tak wpływa na położenie

ostatniego węzła, iż węzeł ten przypada dokładnie na drgającym pręcie. W ten sposób wyjaśnia się pozorny

paradoks, że w punkcie, w którym istnieje strzałka dla pręta, powstaje węzeł drgań nitki. Przy doborze

długości nitki, jej obciążenia i częstości drgań spełniających warunek rezonansu, amplituda drgań nitki jest

jednak wielokrotnie większa od amplitudy drgań pręta.

b. Zmienić obciążenia i powtórzyć pomiary nakładając kolejno na szalkę 5, 15, 25 g. Wyniki zapisać w tabeli.

Tabela pomiarów

Pomiar Masa

odważnikó

w m

0

m=m

0

+m

s

Długość nitki l Liczba węzłów

n

Częstotliwość

f

f

f

−

(

f

f

−

)

2

[-] [g] [g] [m]

[-]

[Hz] [Hz]

[Hz]

1 0

2 5

3 10

. .

. .

4

III. Powtórzyć pomiary wymienione w punktach IIa i IIb, dla częstotliwości f

2

, f

3

, f

4

.

IV. Wymienić badana nitkę na żyłkę i powtórzyć pomiary jak w punktach IIa, IIb, III. Wyniki zapisać w tabeli.

V. Opracowanie wyników

a. Obliczyć częstotliwości drgań generatora dla poszczególnych obciążeń na podstawie wzoru (2).

b. Obliczyć wartości średnie częstości f

1

, f

2

, f

3

, f

4

drgań generatora (dla nici i żyłki wartości średnie wyliczać

osobno).

c. Metodą Studenta-Fischera obliczyć błąd ∆f

1

, ∆f

2

, ∆f

3

, ∆f

4

odpowiednich częstości.

Przykład obliczenia błędu dla wielkości x (x reprezentuje wielkości f

1

, f

2

, f

3

, f

4

) :

błąd pomiaru wielkości x

1

n

S

t

x

−

=

∆

α

gdzie:

S - odchylenie standardowe wyrażone wzorem:

(

)

n

x

x

S

n

1

i

2

i

∑

=

−

=

x

- wartość średnia wielkości x wyliczona ze wzoru:

n

x

x

n

1

i

i

∑

=

=

x

i

- i-ty pomiar wielkości x;

n - liczba pomiarów;

α - poziom istotności α=0,05;
t

α

- współczynnik Studenta odczytany z tablic (instrukcja Nr 17) dla r=n-1 stopni swobody;

Wynik pomiaru wynosi:

x

x

x

∆

±

=

Błąd względny pomiaru wynosi:

%

100

x

x

x

∆

=

∆

d. Porównać częstotliwości generatora otrzymane z pomiarów wykonanych dla żyłki i dla nitki.

e. Obliczyć prędkość rozchodzenia się fali poprzecznej w nitce i żyłce zgodnie ze wzorem (5). Porównać

wartości prędkości otrzymane dla rożnych częstotliwości przy jednakowych obciążeniach dla tego samego

materiału.

5

6

3. Wyniki obliczeń i wnioski.

Na osobnej stronie podać wyniki obliczeń częstotliwości f

1

, f

2

, f

3

, f

4

drgań generatora z uwzględnieniem

wyliczonych błędów. Napisać wnioski.