6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
1
6.
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
6.1. Wstęp
Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15
niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych:
•
trzy składowe wektora przemieszczenia u
•
sześć składowych tensora naprężeń
s
•
sześć składowych tensora odkształceń
e
Znamy już dziewięć równań:
•
trzy równanie różniczkowe równowagi Naviera (związki między naprężeniami)
•
sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki między odkształceniem a przemieszczeniem)
Ostatnie sześć brakujących równań to równania fizyczne zwane także konstytutywnymi lub
uogólnionym prawem Hooke'a
6.2. Wyprowadzenie
Założenia:
➢
związki fizyczne są niezależna od czasu i warunków zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i
każdej temperatury są takie same
➢
zależność
s (e) jest liniowa
➢
ciała zachowują się sprężyście tzn.
s i e zanikają po usunięciu przyczyny
Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i
odkształcenia, w przypadku trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych jak i
anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić następująco:
= f
(6.1)
Wskaźnikowo:
ij
=C
ijkl
⋅
kl
(6.2)
Gdzie i, j, k, l = 1,2,3
Tensor C
ijkl
o walencji 4 nazywamy tensorem sprężystości (sztywności) stałych materiałowych.
Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem izotropowym zatem można go zapisać w następującej
postaci:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
2
C
ijlk
=⋅
ij
⋅
kl
⋅
ik
⋅
jl
⋅
il
⋅
jk
(6.3)
Gdzie i, j, k, l =1, 2, 3;
l, m, k -dowolne stałe
Jeżeli
s
ij
i
e
kl
są symetryczne to C
ijkl
również jest symetryczny:
C
ijkl
=C
jikl
(6.4)
wykorzystując równanie (6.3) otrzymamy:
C
ijlk
=⋅
ij
⋅
kl
⋅
ik
⋅
jl
⋅
il
⋅
jk
C
jilk
=⋅
ji
⋅
kl
⋅
jk
⋅
il
⋅
jl
⋅
ik
Zatem:
⋅
ij
⋅
kl
⋅
ik
⋅
jl
⋅
il
⋅
jk
=⋅
ji
⋅
kl
⋅
jk
⋅
il
⋅
jl
⋅
ik
Po uporządkowaniu:
−⋅
ik
⋅
jl
−−⋅
il
⋅
jk
=0
−⋅
ik
⋅
jl
−
il
⋅
jk
=0
Równanie to jest spełnione gdy:
a)
−=0
lub
b)
ik
⋅
jl
−
il
⋅
jk
=0
c)
Dla dowolnej kombinacji wskaźników warunek b) nie zawsze będzie spełniony zatem
:
−=0 ⇒=
(6.5)
Uwzględniając warunek (6.5) w równaniu (6.3) otrzymamy:
C
ijlk
=⋅
ij
⋅
kl
⋅
ik
⋅
jl
il
⋅
jk
(6.6)
Podstawiając wyrażenie (6.6) do (6.2) dostaniemy:
ij
=⋅
ij
⋅
kl
⋅
kl
⋅
ik
⋅
jl
⋅
kl
⋅
il
⋅
jk
⋅
kl
(6.7)
Zauważmy, że:
1)
ij
⋅
kl
⋅
kl
≠0
gdy l=k, wtedy
ij
⋅
kl
⋅
kl
=
ij
⋅
kk
2)
ik
⋅
jl
⋅
kl
≠0
gdy k=i oraz l=j, wtedy
ik
⋅
jl
⋅
kl
=
ij
3)
il
⋅
jk
⋅
kl
≠0
gdy k=j oraz l=i, wtedy
il
⋅
jk
⋅
kl
=
ji
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
3
4)
ij
=
ji
Stąd po podstawieniu tych warunków do (6.7) otrzymamy:
ij
=2 ⋅⋅
ij
⋅
ij
⋅
kk
(6.8)
Wzór (6.8) przedstawia skrócony zapis równań fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów
naprężenia i odkształcenia w przypadku trójwymiarowym (dla dowolnych osi), w ciałach materialnych
izotropowych, liniowo-sprężystych bez uwzględnienia temperatury i czasu.
Stałe
m i l to tzw. Stałe Lamego.
W uzyskanym równaniu fizycznym naprężenia zostały wyrażone przez odkształcenia. Doprowadźmy
do zależności odwrotnej.
ij
=2 ⋅⋅
ij
⋅
ij
⋅
kk
Przyjmijmy i=j=k:
kk
=2 ⋅⋅
kk
⋅
kk
⋅
kk
kk
=
kk
⋅2 ⋅3 ⋅
Wówczas:
kk
=
kk
2
⋅3 ⋅
(6.9)
Podstawmy (6.9) do (6.8)
ij
=2 ⋅
ij
⋅
ij
⋅
kk
2
⋅3 ⋅
Po przekształceniach:
ij
=
1
2
⋅
ij
−
2
2 3
⋅
kk
⋅
ij
(6.10)
Przyjmując:
=
1
4
=−
2
2 3
Otrzymamy wzór na
e
ij
analogiczny do wzoru na
s
ij
:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
4
ij
=2 ⋅⋅
ij
⋅
ij
⋅
kk
(6.11)
Wprowadzamy stałe materiałowe:
E – moduł Younga (sprężystości)
G – moduł Kirchoffa (Ścinania, odkształcenia postaciowego)
n - współczynnik Poissona
➔
=G=
E
2
1
(6.12)
=
E
⋅
1⋅1−2
(6.13)
Po podstawieniu (6.12) i (6.13) do (6.8) uzyskamy związki fizyczne w postaci :
ij
=2G⋅
ij
2 G
1−2
⋅
kk
⋅
ij
=2G [
ij
1
−2
⋅
kk
⋅
ij
]=
=
E
1
[
ij
1
−2
⋅
kk
⋅
ij
]
(6.14)
Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:
11
=
E
1
[
11
1
−2
⋅
11
22
33
] ,
12
=
E
1
⋅
12
=2G
12
22
=
E
1
[
22
1
−2
⋅
11
22
33
] ,
13
=
E
1
⋅
13
=2G
13
33
=
E
1
[
33
1
−2
⋅
11
22
33
] ,
23
=
E
1
⋅
23
=2G
23
(6.15)
➔
=
1
4 G
=
1
2 E
(6.16)
=−
E
(6.17)
Po podstawieniu (6.16) i (6.17) do (6.11) uzyskamy związki fizyczne w postaci :
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
6. ZWIĄZKI FIZYCZNE
5
ij
=2 ⋅
1
4 G
ij
−
1
2 G
⋅
1
⋅
kk
⋅
ij
=
1
2G
[
ij
−
1
⋅
kk
⋅
ij
]=
=
1
E
[
ij
−
1
⋅
kk
⋅
ij
]
(6.18)
Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:
11
=
1
E
[
11
−
1
⋅
11
22
33
]=
=
1
E
[
11
⋅1−⋅
11
22
33
]=
=
1
E
[
11
−⋅
22
33
] ,
12
=
1
E
12
=
12
2 G
22
=
1
E
[
22
−⋅
11
33
] , 2G
13
=
1
E
12
=
13
¿
33
=
1
E
[
33
−⋅
11
22
] ,
23
=
1
E
12
=
23
2 G
(6.19)
6.3. Podsumowanie
Do opisu stanu w punkcie mamy:
1)
ji , j
p
i
=0
- 3 równania Naviera
2)
ij
=
1
2
u
i , j
u
j ,i
- 6 równań geometrycznych
3)
ij
=2 ⋅⋅
ij
⋅
ij
⋅
kk
- 6 równań fizycznych
Jest to pełen komplet równań potrzebnych do opisu 15 niewiadomych.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater