6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

1

6.



6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

6.1. Wstęp

Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15

niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych:

•

trzy składowe wektora przemieszczenia u

•

sześć składowych tensora naprężeń

s

•

sześć składowych tensora odkształceń

e

Znamy już dziewięć równań:

•

trzy równanie różniczkowe równowagi Naviera (związki między naprężeniami)

•

sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki między odkształceniem a przemieszczeniem)

Ostatnie sześć brakujących równań to równania fizyczne zwane także konstytutywnymi lub

uogólnionym prawem Hooke'a

6.2. Wyprowadzenie

Założenia:

➢

związki fizyczne są niezależna od czasu i warunków zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i
każdej temperatury są takie same

➢

zależność

s (e) jest liniowa

➢

ciała zachowują się sprężyście tzn.

s i e zanikają po usunięciu przyczyny

Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i

odkształcenia, w przypadku trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych jak i
anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić następująco:

= f 

(6.1)

Wskaźnikowo:



ij

=C

ijkl

⋅

kl

(6.2)

Gdzie i, j, k, l = 1,2,3

Tensor C

ijkl

o walencji 4 nazywamy tensorem sprężystości (sztywności) stałych materiałowych.

Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem izotropowym zatem można go zapisać w następującej
postaci:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

2

C

ijlk

=⋅

ij

⋅

kl

⋅

ik

⋅

jl

⋅

il

⋅

jk

(6.3)

Gdzie i, j, k, l =1, 2, 3;

l, m, k -dowolne stałe

Jeżeli

s

ij

i

e

kl

są symetryczne to C

ijkl

również jest symetryczny:

C

ijkl

=C

jikl

(6.4)

wykorzystując równanie (6.3) otrzymamy:

C

ijlk

=⋅

ij

⋅

kl

⋅

ik

⋅

jl

⋅

il

⋅

jk

C

jilk

=⋅

ji

⋅

kl

⋅

jk

⋅

il

⋅

jl

⋅

ik

Zatem:

⋅

ij

⋅

kl

⋅

ik

⋅

jl

⋅

il

⋅

jk

=⋅

ji

⋅

kl

⋅

jk

⋅

il

⋅

jl

⋅

ik

Po uporządkowaniu:

−⋅

ik

⋅

jl

−−⋅

il

⋅

jk

=0

−⋅

ik

⋅

jl

−

il

⋅

jk

=0

Równanie to jest spełnione gdy:

a)

−=0

lub

b)



ik

⋅

jl

−

il

⋅

jk

=0

c)

Dla dowolnej kombinacji wskaźników warunek b) nie zawsze będzie spełniony zatem

:

−=0 ⇒=

(6.5)

Uwzględniając warunek (6.5) w równaniu (6.3) otrzymamy:

C

ijlk

=⋅

ij

⋅

kl

⋅

ik

⋅

jl



il

⋅

jk



(6.6)

Podstawiając wyrażenie (6.6) do (6.2) dostaniemy:



ij

=⋅

ij

⋅

kl

⋅

kl

⋅

ik

⋅

jl

⋅

kl

⋅

il

⋅

jk

⋅

kl

(6.7)

Zauważmy, że:

1)



ij

⋅

kl

⋅

kl

≠0

gdy l=k, wtedy



ij

⋅

kl

⋅

kl

=

ij

⋅

kk

2)



ik

⋅

jl

⋅

kl

≠0

gdy k=i oraz l=j, wtedy



ik

⋅

jl

⋅

kl

=

ij

3)



il

⋅

jk

⋅

kl

≠0

gdy k=j oraz l=i, wtedy



il

⋅

jk

⋅

kl

=

ji

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

3

4)



ij

=

ji

Stąd po podstawieniu tych warunków do (6.7) otrzymamy:



ij

=2 ⋅⋅

ij

⋅

ij

⋅

kk

(6.8)

Wzór (6.8) przedstawia skrócony zapis równań fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów

naprężenia i odkształcenia w przypadku trójwymiarowym (dla dowolnych osi), w ciałach materialnych
izotropowych, liniowo-sprężystych bez uwzględnienia temperatury i czasu.

Stałe

m i l to tzw. Stałe Lamego.

W uzyskanym równaniu fizycznym naprężenia zostały wyrażone przez odkształcenia. Doprowadźmy

do zależności odwrotnej.



ij

=2 ⋅⋅

ij

⋅

ij

⋅

kk

Przyjmijmy i=j=k:



kk

=2 ⋅⋅

kk

⋅

kk

⋅

kk



kk

=

kk

⋅2 ⋅3 ⋅

Wówczas:



kk

=



kk

2

⋅3 ⋅

(6.9)

Podstawmy (6.9) do (6.8)



ij

=2 ⋅

ij

⋅

ij

⋅



kk

2

⋅3 ⋅

Po przekształceniach:



ij

=

1

2



⋅

ij

−



2

2 3 

⋅

kk

⋅

ij

(6.10)

Przyjmując:

=

1

4



=−



2

2 3 

Otrzymamy wzór na

e

ij

analogiczny do wzoru na

s

ij

:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

4



ij

=2 ⋅⋅

ij

⋅

ij

⋅

kk

(6.11)

Wprowadzamy stałe materiałowe:
E – moduł Younga (sprężystości)
G – moduł Kirchoffa (Ścinania, odkształcenia postaciowego)
n - współczynnik Poissona

➔

=G=

E

2

1

(6.12)

=

E

⋅

1⋅1−2

(6.13)

Po podstawieniu (6.12) i (6.13) do (6.8) uzyskamy związki fizyczne w postaci :



ij

=2G⋅

ij



2 G



1−2

⋅

kk

⋅

ij

=2G [

ij





1

−2 

⋅

kk

⋅

ij

]=

=

E

1



[

ij





1

−2 

⋅

kk

⋅

ij

]

(6.14)

Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:



11

=

E

1



[

11





1

−2 

⋅

11



22



33

] ,



12

=

E

1



⋅

12

=2G 

12



22

=

E

1



[

22





1

−2 

⋅

11



22



33

] ,



13

=

E

1



⋅

13

=2G 

13



33

=

E

1



[

33





1

−2 

⋅

11



22



33

] ,



23

=

E

1



⋅

23

=2G 

23

(6.15)

➔

=

1

4 G

=

1



2 E

(6.16)

=−


E

(6.17)

Po podstawieniu (6.16) i (6.17) do (6.11) uzyskamy związki fizyczne w postaci :

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE

5



ij

=2 ⋅

1

4 G



ij

−

1

2 G

⋅



1

⋅

kk

⋅

ij

=

1

2G

[

ij

−



1



⋅

kk

⋅

ij

]=

=

1



E

[

ij

−



1



⋅

kk

⋅

ij

]

(6.18)

Po rozpisaniu względem wskaźników i, j, k = 1,2,3 otrzymamy:



11

=

1



E

[

11

−



1



⋅

11



22



33

]=

=

1

E

[

11

⋅1−⋅

11



22



33

]=

=

1

E

[

11

−⋅

22



33

] ,



12

=

1



E



12

=



12

2 G



22

=

1

E

[

22

−⋅

11



33

] , 2G



13

=

1



E



12

=



13

¿



33

=

1

E

[

33

−⋅

11



22

] ,



23

=

1



E



12

=



23

2 G

(6.19)

6.3. Podsumowanie

Do opisu stanu w punkcie mamy:

1)



ji , j

 p

i

=0

- 3 równania Naviera

2)



ij

=

1

2

u

i , j

u

j ,i



- 6 równań geometrycznych

3)



ij

=2 ⋅⋅

ij

⋅

ij

⋅

kk

- 6 równań fizycznych

Jest to pełen komplet równań potrzebnych do opisu 15 niewiadomych.

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater