Arkusz 06: Związki konstytutywne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

”

”

Arkusz 06

Arkusz 06

: Związki konstytutywne

: Związki konstytutywne

1. Związki konstytutywne – definicje, pojęcia, wzory

Teoria dotycząca związków (równań) konstytutywnych – na podstawie wykładu i książek: [1], [2].

Przykładem równań konstytutywnych, jakim będziemy posługiwali się w czasie obecnego kursu jest prawo Hooke'a dla
materiału izotropowego w zakresie liniowo-sprężystym. Ogólnie można powiedzieć, że równania konstytutywne Hooke'a
obrazują związek między stanem naprężenia i odkształcenia, jakie powstają w odkształcanym materiale izotropowym o
danych własnościach pod wpływem danego obciążenia w zakresie liniowo-sprężystym.

a) Pierwsza postać prawa Hooke'a w notacji wskaźnikowej:

ε

ij

= 1

E

[

(1+ ν)σ

ij

ν σ

kk

δ

ij

]

gdzie

i , j

=1,2,3 oraz δ

ij

jest deltą Kroneckera

.

Po rozpisaniu dla i,j=1,2,3 otrzymujemy:

(notacja wskaźnikowa)

(notacja inżynierska)

W równaniach zapisanych powyżej pojawiły się dwie stałe materiałowe:

•

E – moduł Younga. Technicznie można powiedzieć, że jest miarą tego, jak ciało opiera się rozciąganiu. Można
wyznaczyć go doświadczalnie poprzez pomiar nachylenia krzywej rozciągania w zakresie liniowo-sprężystym.
Jednostką jest [Pa], ze względu na duże wartości przyjmowane dla podstawowych materiałów konstrukcyjnych
przyjmuje się [MPa] lub [GPa].

•

ν – współczynnik Poissona. Pokazuje, w jaki sposób odkształcenia podłużne wpływają na odkształcenia podłużne

ciała. Obliczany w zadaniu prostego rozciągania lub ściskania ze wzoru:

ν =

ε

poprz

ε

podł

. Nie ma wymiaru

(jednostki), dla materiałów izotropowych jego zakres wartości to:

( 1 ; 0,5)

. Większość tradycyjnych

materiałów inżynierskich ma współczynnik Poissona równy ok. 0,3.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

ε

11

=

1

E

[

σ

11

ν(σ

22

+ σ

33

)

]

ε

23

=

1

+ ν

E

σ

23

ε

22

= 1

E

[

σ

22

ν(σ

11

+ σ

33

)

]

ε

13

= 1+ ν

E

σ

13

ε

33

=

1

E

[

σ

33

ν(σ

11

+ σ

22

)

]

ε

12

=

1

+ ν

E

σ

12

ε

x

=

1
E

[

σ

x

ν(σ

y

+ σ

z

)

]

1
2

γ

yz

=

1

+ ν

E

τ

yz

ε

y

= 1

E

[

σ

y

ν(σ

x

+ σ

z

)

]

1
2

γ

xz

=1+ ν

E

τ

xz

ε

z

=

1

E

[

σ

z

ν( σ

x

+ σ

y

)

]

1
2

γ

xy

=

1

+ ν

E

τ

xy

Arkusz 06: Związki konstytutywne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

b) Druga postać prawa Hooke'a w notacji wskaźnikowej:

σ

ij

=2G ε

ij

+ λ ε

kk

δ

ij

gdzie

i , j

=1,2 ,3 oraz δ

ij

jest deltą Kroneckera, przy czym k

=1,2,3

jest wskaźnikiem, po którym

sumujemy wg umowy sumacyjnej Einsteina. Po rozpisaniu dla i,j=1,2,3 otrzymujemy:

(notacja wskaźnikowa)

(notacja inżynierska)

W równaniach zapisanych powyżej pojawiły się dwie stałe materiałowe:

•

G – moduł Kirchhoffa. Technicznie można powiedzieć, że jest miarą tego, jak ciało opiera się zmianie postaci.
Jednostką jest [Pa], ze względu na duże wartości przyjmowane dla podstawowych materiałów konstrukcyjnych
przyjmuje się [MPa] lub [GPa].

•

λ – stała Lamego. Dodana dla zgodności matematycznej równań. Pozostawia się bez interpretacji fizycznej.

c) Trzecia postać prawa Hooke'a dla materiału izotropowego w zakresie liniowo-sprężystym.
Istnieje trzecia forma zapisu prawa Hooka – macierzowa. Przy czym, zarówno macierz odkształcenia, jak i naprężenia
mają tam szczególną postać. Każda z nich podzielona jest na sumę pewnych szczególnych składników: aksjatora stanu
odkształcenia (lub odpowiednio naprężenia) oraz dewiatora stanu odkształcenia (lub odpowiednio naprężenia).

W obecnym kursie trzecia postać nie będzie wymagana, ale należy znać stałe materiałowe, które w niej występują:

•

G – moduł Kirchhoffa. Jak wyżej.

•

K – moduł Helmholtza. Technicznie można powiedzieć, że jest miarą tego, jak ciało opiera się zmianie objętości.
Jednostką jest [Pa], ze względu na duże wartości przyjmowane dla podstawowych materiałów konstrukcyjnych
przyjmuje się [MPa] lub [GPa].

d) Pomiędzy stałymi materiałowymi zachodzą następujące związki:

G

=

E

2

(1+ ν)

,

λ=ν

E

(1+ ν)(1 2 ν)

,

K

=

E

3

(1 2 ν)

e) Uwaga o przestrzennym stanie odkształcenia
Dokładnie analizując postać pierwszą równań Hooke'a można zauważyć, że niezależnie od tego, czy stan naprężenia,
który jest rozważany, jest przestrzenny, płaski, czy osiowy, odpowiedzią będzie zawsze przestrzenny stan odkształcenia
(o ile nie ma dodatkowych więzów geometrycznych blokujących odkształcenia na którymś kierunku). Zastosujmy notację
inżynierską:

przestrzenny stan naprężenia → przestrzenny stan odkształcenia

płaski stan naprężenia → przestrzenny stan odkształcenia

osiowy stan naprężenia → przestrzenny stan odkształc.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

σ

x

=(2G+ λ )ε

x

+ λ (ε

y

+ ε

z

)

τ

yz

=G γ

yz

σ

y

=(2G+ λ)ε

y

+ λ (ε

x

+ ε

z

)

τ

xz

=G γ

xz

σ

z

=(2G+ λ )ε

z

+ λ (ε

x

+ ε

y

)

τ

xy

=G γ

xy

σ

11

=( 2G+ λ) ε

11

+ λ(ε

22

+ ε

33

)

σ

23

=2G ε

23

σ

22

=( 2G+ λ) ε

22

+ λ (ε

11

+ ε

33

)

σ

13

=2G ε

13

σ

33

=( 2G+ λ) ε

33

+ λ (ε

11

+ ε

22

)

σ

12

=2G ε

12

T

σ

=

[

σ

x

τ

xy

τ

xz

τ

yx

σ

y

τ

yz

τ

zx

τ

zy

σ

z

]

→

T

ε

=

[

ε

x

1

2

γ

xy

1
2

γ

xz

1
2

γ

yx

ε

y

1
2

γ

yz

1
2

γ

zx

1
2

γ

zy

ε

z

]

T

σ

=

[

σ

x

τ

xy

0

τ

yx

σ

y

0

0

0

0

]

→

T

ε

=

[

ε

x

1
2

γ

xy

0

1
2

γ

yx

ε

y

0

0

0

ε

z

]

T

σ

=

[

σ

x

0

0

0

0

0

0

0

0

]

→

T

ε

=

[

ε

x

0

0

0

ε

y

0

0

0

ε

z

]

Arkusz 06: Związki konstytutywne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

f) Uwaga o stanach głównych
Należy zdać sobie sprawę, że osie (czyli kierunki) główne dla tensora
naprężenia są także osiami (kierunkami) głównymi tensora odkształcenia.

• Definicja związku konstytutywnego.
• Znajomość relacji Hooke'a. Konsekwencje w postaci zawsze (z odpowiednimi ograniczeniami)
przestrzennego stanu odkształcenia. Kierunki i wartości główne.
• Moduł Younga, moduł Kirchhoffa, moduł Helmholtza, współczynnik Poissona, stała Lamego – wzory,
interpretacja fizyczna.
• Doświadczalny sposób wyznaczania modułu Younga i współczynnika Poissona – szczegółowo.
• Zasada umowy sumacyjnej Einsteina. Delta Kroneckera.

2. Przykłady zastosowania związków konstytutywnych w zadaniach

Przy rozwiązywaniu zadań łączących stan naprężenia i odkształcenia kluczowy jest dobór układu współrzędnych. Często
da się dobrać układ w taki sposób, aby od razu znaleźć się w osiach głównych. Oprócz tego warto zawsze dokonać analizy
postawionego problemu – wykonać rysunek, zastanowić się nad kierunkami i zwrotami działającego obciążenia,
kierunkami dozwolonych odkształceń, wykorzystaniem nie tylko związków konstytutywnych, ale wszystkich relacji
poznanych do tej pory (związków między stałymi materiałowymi, obrotem stanu płaskiego do osi głównych, wzorem na
dylatację itp.).

Należy rozwiązać przykład nr: 4.6 / str. 106, 4.7 / str. 107, 4.9 / str. 111 (rozeta tensometryczna) z książki [3]
oraz przykład 6.8 (rozeta tensometryczna) z książki [2]. Oraz zadania nr: 4.4 / str. 114, 4.9 / str. 115 (rozeta
tensometryczna) z książki [3].
Polecam też zadania: 3.9/50, 3.10/52; 3.13/53; 3.18/55 z książki [4].

3. Literatura

[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciała stałego", Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A. „Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych”, wydanie drugie

poszerzone i poprawione, Kraków 2004, rozdział 7

[3] Wolny S., Siemieniec A. "Wytrzymałość materiałów. Część I.", Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne

AGH, Kraków 2008

[4] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3

T

σ

=

[

σ

x

0

0

0

σ

y

0

0

0

σ

z

]

⇔ T

ε

=

[

ε

x

0

0

0

ε

y

0

0

0

ε

z

]