M

ETODA PRZEMIESZCZEN

- O

BLICZENIE UGIĘCIA

Politechnika Poznańska Adam

Łodygowski ®

24

Równanie różniczkowe linii ugięcia

EI

2

EI

1

EI

2

EI

2

EI

1

a

37

6

cos

=

a

Równanie różniczkowe linii ugięcia:

EI

M

dx

u

d

−

=

2

2

Równanie momentu:

( )

2

cos

4

29826

,

38

61339

,

21

2

2

x

a

x

x

M

⋅

⋅

−

−

⋅

=

M

ETODA PRZEMIESZCZEN

- O

BLICZENIE UGIĘCIA

Politechnika Poznańska Adam

Łodygowski ®

25

Podstawiając równanie momentów do równania różniczkowego otrzymujemy:

2

2

2

2

74

144

29826

,

38

61339

,

21

x

x

dx

u

d

EI

⋅

+

+

⋅

−

=

⋅

Aby uzyskać równanie linii ugięcia należy dwukrotnie scałkować powyższe równanie:

12

74

144

6

61339

,

21

2

29826

,

38

3

74

144

2

61339

,

21

29826

,

38

4

3

2

2

3

2

2

x

x

x

x

C

D

u

EI

x

x

x

C

dx

du

EI

⋅

+

⋅

−

⋅

+

⋅

+

=

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

+

=

⋅

Wykorzystując warunki brzegowe obliczam stałe C i D:

1

0

0

0

0

ϕ

=

=

=

⇒

=

=

dx

du

x

D

u

x

Wykorzystując obliczenia z pierwszej części projektu:

[

]

5271903

,

26

5

,

8712

010913549

,

0

003044727

,

0

2

2

3

1

=

=

=

∆

=

C

kNm

EI

ϕ

Równanie linii ugięcia:













⋅

+

⋅

−

⋅

+

⋅

=

12

74

144

6

61339

,

21

2

29826

,

38

5271903

,

26

5

,

8712

1

4

3

2

x

x

x

x

u

Sprawdzenie:

[ ]

[ ]

m

u

u

m

u

x

032270

,

0

37

032269

,

0

37

12

=

⋅

=

=

=

ψ

Poszukiwane ugięcie w połowie pręta wynosi:

[ ]

m

u

x

01955

,

0

2

37

=

=

M

ETODA PRZEMIESZCZEN

- O

BLICZENIE UGIĘCIA

Politechnika Poznańska Adam

Łodygowski ®

26

Obliczenie ugięcia metodą pracy wirtualnej:

M

P

n

[kNm]

M

1

[m]

ds

EI

M

M

w

n

1

⋅

=

∫

Korzystając z metody Wereszczagina- Mohra mnożenia wykresów otrzymujemy:

[ ]

m

EI

EI

w

0211

,

0

02777

,

4

3

2

04138

,

3

3

1

30668

,

4

6

2

1

02777

,

4

3

1

04138

,

3

3

2

61337

,

8

6

2

1

487

,

0

1

04138

,

3

3

1

43629

,

9

2

37

2

1

04138

,

3

3

2

29826

,

38

2

37

2

1

1

2

2

=

























⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−













⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+























 ⋅

⋅

⋅

⋅

−











 ⋅

⋅

⋅

⋅

=