OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ UKŁADÓW STATYCZNIE
WYZNACZALNYCH Z ZASTOSOWANIEM RÓWNANIA PRACY
WIRTUALNEJ.
1. Projektuję przekrój pręta: M
= 2 kN = 200 kNcm max
200
,
1 2 ⋅
≤ σ
W
dop
σ dop =
kN
200 MPa = 20
2
cm
W ≥ 12
Dobieram odpowiedni pręt rurowy: d = 5
,
7 cm = 075
,
0
m
g = 35
,
0
cm = 0035
,
0
W = ,
13 43
6
E =
kN
205 GPa = 205 ⋅10
2
m
4
−8
I =
36
,
50
cm =
36
,
50
⋅10 m
EI =
,
103 238
−4
2
A = 862
,
7
⋅10 m
6
G =
84
,
78
⋅10
2. Obliczenie przemieszczenia punktu K (składowa pozioma) od
obciążenia zewnętrznego (bez wpływu N i T).
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
x = R 1
( − cosϕ)
y = R sinϕ
ϕ ∈ ;
0 π
R = 5
,
0
π M ⋅ M
kNm ⋅ m
1⋅ ∆ =
⋅ ds ⇒
m =
∫
2
[ m]
EI
kNm
0
1
π
∆ =
25 +
R sinϕ2 R 1
( − cosϕ) Rd
∫
ϕ
EI
0
1
π
∆ =
25 + ,
0 25
sinϕ 1
( − cosϕ) d
∫
ϕ
EI
0
π
cosϕ = t
π
dt
sinϕ 1
( − cosϕ) dϕ =
=
sinϕ 1
( − t)
=
∫
ϕ ϕ
∫
[ t − t 5,
0 2 ]π = [cosϕ − 5
,
0 cos2
π
ϕ = −
0
] 3
sin d = dt
sin
0
ϕ
0
0
∆ = ,
0
m
23
3. Obliczenie przemieszczenia punktu K (składowa pionowaa) od obciążenia zewnętrznego łącznie z wpływem N i T.
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
M p = 2 ⋅ R 1
( − cosϕ)
M = 1⋅ R 1
( − cosϕ)
Tp = 2 ⋅ sinϕ
T = 1⋅ sinϕ
N p = 2 ⋅ (sinϕ − ) 1
N = 1⋅ (sinϕ − )
1
π M ⋅
π
M
T ⋅
π
T
N ⋅ N
kNm ⋅ m kN kN
1⋅ ∆ =
ds +
κ ds +
ds ⇒
m +
m +
m =
∫ EI
∫ GA
∫
m
2
[ ]
EA
kNm
kN kN
0
0
0
1
π
π
π
3
2
1
2
1
1⋅ ∆ =
1⋅ 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ R 1
( − cosϕ)
EI
∫
ϕ
d +
0 + 2 R sin
GA
∫
ϕκ ϕ
d +
2 ⋅ 5 ⋅1+ 2 R 1
( − sinϕ)2
EA
∫
ϕ
d
0
0
0
1
π
π
π
2
1
2
1
∆ =
10 + ,
0 25 1
( − cosϕ)
EI
∫
ϕ
d +
0 +1⋅1 sin
GA
∫ ϕ ϕ
d +
10 +1 1
( − sinϕ)2
EA
∫
ϕ
d
0
0
0
π
π
π
π
π
1
( − cosϕ)2 ϕ
d = 1 ϕ
d − 2cosϕ ϕ
d + cos2 ϕ ϕ
d = ϕ π − 2sinϕ π + 1
( − sin 2 ϕ) ϕ
d =
∫
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
0
0
0
1
1 π
π
1
π + ϕ − − sinϕ cosϕ + ϕ = 2π − π = 5
,
1 π
0
2
2
2
0
π
π
2
1
1
sin ϕ ϕ
d = − sinϕ cosϕ + ϕ = 5
,
0
∫
π
2
2
0
0
π
π
2
π
1
1
1
( − sinϕ) ds = ϕ − − sinϕ cosϕ + ϕ = π − 5
,
0 π = 5
,
0
∫
π
0
2
2
0
0
1
∆ =
[10 + ,025⋅ π ] 1
5
,
1
+
[ π ] 1
5
,
0
+
[10 + 5,
0 π ]= 108
,
0
+ 000025
,
0
+ 0000097
,
0
= 108
,
0
EI
GA
EA
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
4. Obliczenie obrotu przekroju od obciążenia zewnętrznego (bez wpływu N i T).
π M ⋅ M
kNm ⋅
1⋅ϕ =
⋅ ds ⇒
m = − =
∫
2
[ ] [ rad]
EI
kNm
0
1
π
ϕ =
1⋅ 2 ⋅ 5 +
2 R 2 1
( − cosϕ) d
∫
ϕ
EI
0
1
π
π
ϕ =
10
+ 5
,
0
d
1 ϕ −
cosϕ d
∫
∫
ϕ
EI
0
0
1
ϕ =
[10+ (5,
0 π −
ϕ π =
+
π =
0 )]
1
sin
10
(
5
,
0
)
112
,
0
rad
EI
EI
5. Obliczenie wzajemnego przemieszczenia punktów R i S od zmiany temperatury.
o
t = 10
−
d
o
t = 30
g
o
t = 5
m
h =
cm
5
,
7
=
m
075
,
0
α = ,12⋅10−5
t
t + t
g
d
t =
− t = 5
o
m
2
o
t
∆ = t − t = 40
g
d
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®
π
α t
∆
π
1 0⋅
t
C
1⋅ RS
∆
=
M
ds +
Nα t ds ⇒ m
⋅ m =
t 0
∫
∫
0
[ m]
h
C ⋅ m
0
0
π
π
RS
∆
= R 2 sinϕ 0064
,
0
dϕ +
R sinϕ 00006
,
0
d
∫
∫
ϕ
0
0
π
π
RS
∆
= 0016
,
0
sinϕ dϕ + 00003
,
0
sinϕ d
∫
∫
ϕ
0
0
RS
∆
= 0016
,
0
⋅ 2 + 00003
,
0
⋅ 2 = 00314
,
0
m
6. Obliczenie obrotu cięciwy RS od osiadania podpór.
1 ⋅ ϕ RS +
R
∑ ∆ = 0 ⇒ [ rad]
1 ⋅ ϕ RS − 1 ⋅ (
)
006
,
0
= 0
ϕ RS = 006
,
0
rad
Politechnika Poznańska
Adam Łodygowski ®