M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
17
Wpływ temperatury
Temperatura montażu t
m
= 15
0
C
Obliczam t
o
i ∆t dla wszystkich prętów zgodnie z zależnościami:
g
d
m
g
d
t
t
t
t
t
t
t
−
=
∆
−
+
=
2
0
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
0
15
0
15
0
0
34
0
34
0
0
23
0
23
0
0
12
0
12
0
0
01
0
01
0
20
0
50
15
50
15
50
15
30
25
=
∆
=
=
∆
−
=
=
∆
−
=
=
∆
−
=
=
∆
−
=
Wykorzystując zasadę superpozycji obliczam osobno wpływ od t
o
i ∆t
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
18
Wpływ ∆t
Ważne informacje:
[
]
[
]
]
[
24
,
0
]
[
20
,
0
10
2
,
1
5
,
8712
5
,
4243
2
1
5
2
2
2
1
m
h
m
h
kNm
EI
kNm
EI
t
=
=
⋅
=
=
=
−
α
Obliczam momenty w poszczególnych prętach wykorzystując obliczone ∆t ze str. 17:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
kNm
h
EI
t
M
M
M
kNm
h
EI
t
M
kNm
h
EI
t
M
M
kNm
h
EI
t
M
M
kNm
h
EI
t
M
M
t
t
t
t
t
09575
,
19
2
3
0
0
671875
,
32
2
3
78125
,
21
0922
,
5
06875
,
13
1
1
34
43
34
32
2
2
23
23
2
2
12
21
12
1
1
15
15
15
2
2
01
10
01
=
⋅
∆
⋅
=
=
=
=
⋅
∆
⋅
=
=
⋅
∆
⋅
=
=
=
⋅
∆
⋅
=
=
=
⋅
∆
⋅
=
=
α
α
α
α
α
M(∆t) [kNm]
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
19
Wyznaczenie reakcji R
1
(∆t) i R
2
(∆t) z równowagi węzłów:
R
1
(∆t) = -3,6203 [kNm]
R
2
(∆t)
= -10,890625 [kNm]
Reakcje R
3
(∆t) obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
6
72
37
72
35
0
0
34
23
12
15
10
∆
=
∆
−
=
∆
=
=
=
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
( )
0
09575
,
19
671875
,
32
1
34
23
3
=
⋅
+
⋅
−
⋅
∆
ψ
ψ
t
R
R
3
(∆t) = -19,97233 [kNm]
Wpływ t
0
Zapisuję łańcuch kinematyczny z uwzględnieniem wydłużenia pręta
015
(
)
0003
,
0
0
6
25
6
0
15
15
01
−
=
=
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
ψ
ψ
α
ψ
t
510
( )
0
0
6
0
6
0
10
01
15
=
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
ψ
ψ
α
ψ
t
43
( )
00018
,
0
0
15
6
43
43
−
=
=
−
⋅
−
⋅
ψ
α
ψ
t
0123
( )
( )
( )
00396
,
0
0
15
6
1
15
6
1
25
6
23
12
23
12
+
=
=
−
⋅
⋅
+
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
⋅
ψ
ψ
α
ψ
α
ψ
α
t
t
t
51234
( )
( )
( )
( )
002055
,
0
001905
,
0
0
15
6
1
15
1
6
15
1
6
0
6
0
12
23
34
23
12
51
=
−
=
=
−
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
+
−
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
ψ
ψ
α
ψ
α
ψ
α
ψ
α
ψ
t
t
t
t
Momenty od t
o
z uwzględnieniem obrotów:
[
]
2
0
01
1
0
5
,
8712
0
0
0
kNm
EI
=
=
=
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
1
0
2
01
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
0
1
2
10
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
[
]
2
0
15
5
1
5
,
8712
0003
,
0
0
0
kNm
EI
=
−
=
=
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
(
)
[
]
kNm
2728
,
1
0003
,
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
5
1
1
15
=
−
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
(
)
[
]
kNm
2728
,
1
0003
,
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
1
5
1
51
=
−
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
[
]
2
0
12
2
1
5
,
8712
002055
,
0
0
0
kNm
EI
=
=
=
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
661
,
17
002055
,
0
3
0
0
2
37
2
3
2
2
0
12
2
1
2
12
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
20
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
661
,
17
002055
,
0
3
0
0
2
37
2
3
2
2
0
12
1
2
2
21
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
[
]
2
0
23
3
2
5
,
8712
001905
,
0
0
0
kNm
EI
=
−
=
=
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
186
,
8
001905
,
0
0
37
3
3
0
23
2
2
23
=
+
⋅
=
−
⋅
=
ψ
ϕ
0
32
=
M
[
]
2
0
34
4
3
5
,
8712
00018
,
0
008
,
0
0
kNm
EI
=
−
=
−
=
=
ψ
ϕ
ϕ
0
34
=
M
(
)
(
)
[ ]
kNm
EI
l
EI
M
377
,
0
00018
,
0
0
37
487
,
0
3
3
0
43
4
2
43
=
+
⋅
⋅
=
−
⋅
=
ψ
ϕ
M(t
0
) [kNm]
Wyznaczenie reakcji R
1
(t
o
) i R
2
(t
o
) z równowagi węzłów:
R
1
(t
o
)
= -16,3883 [kNm]
R
2
(t
o
)
= -9,475 [kNm]
Reakcje R
3∆
obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
6
72
37
72
35
0
0
34
23
12
15
10
∆
=
∆
−
=
∆
=
=
=
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
(
)
0
377
,
0
186
,
8
2
661
,
17
2
1
34
23
12
33
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
ψ
ψ
ψ
R
R
3
(t
o
)
= 21,3142 [kNm]
Korzystając z superpozycji obliczam współczynniki R
it
, które podstawiam do równania
(współczynniki r
ik
ze strony 8:
R
1
(t
o
)
+ R
1
(∆t) = -20,0085 [kNm]
R
2
(t
o
) + R
2
(∆t)
= -20,37125 [kNm]
R
3
(t
o
) + R
3
(∆t)
= 1,34187 [kNm]
=
+
∆
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
−
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
−
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0
34187
,
1
60308
,
0
22604
,
0
47949
,
0
0
37125
,
20
22604
,
0
15078
,
1
32879
,
0
0
0085
,
20
47949
,
0
32879
,
0
64896
,
1
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
0
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
21
Rozwiązaniem układu równań:
0
3
0
2
0
1
14.38755
1
16.82448
1
12.96300
EI
EI
EI
⋅
=
∆
⋅
=
⋅
=
1
ϕ
ϕ
Wyliczone przemieszczenia podstawiamy do wzorów transformacyjnych na momenty (obroty
ψ ze strony 2) i dodajemy do nich momenty od stanu M(t) = M(t
o
) + M(∆t):
[ ]
kNm
M
EI
t
06875
,
13
0
1
12.96300
0
10
01
0
0
−
=
=
⋅
=
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[
]
kNm
7477
,
8
-
3
2
2
01
1
0
2
01
01
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
l
EI
M
M
t
[ ]
kNm
M
EI
t
06875
,
13
0
1
12.96300
0
10
01
0
0
=
=
⋅
=
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
t
71075
,
21
3
2
2
01
0
1
2
10
10
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
[ ]
kNm
M
EI
t
21948
,
6
0
0
1
12.96300
15
15
5
0
=
=
=
⋅
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[
]
kNm
5736
,
10
3
2
2
15
5
1
1
15
15
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
l
EI
M
M
t
[ ]
kNm
M
EI
t
8194
,
3
0
0
1
12.96300
51
15
5
0
=
=
=
⋅
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
t
71607
,
1
3
2
2
15
1
5
1
51
51
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
[ ]
kNm
M
EI
EI
t
44225
,
39
72
35
1
16.82448
1
12.96300
12
12
0
2
0
−
=
∆
⋅
=
⋅
=
⋅
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
t
285
,
32
3
2
2
12
2
1
2
12
12
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
[ ]
kNm
M
EI
EI
t
12025
,
4
72
35
1
16.82448
1
12.96300
21
12
0
2
0
=
∆
⋅
=
⋅
=
⋅
=
1
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
t
547
,
12
3
2
2
12
1
2
2
21
21
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
ψ
ϕ
ϕ
[ ]
kNm
M
EI
t
48587
,
24
72
37
0
1
16.82448
23
23
3
0
2
−
=
∆
⋅
−
=
=
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
t
547
,
12
3
23
2
2
23
23
−
=
−
⋅
+
=
ψ
ϕ
0
32
=
M
[
]
2
43
34
4
3
47275
,
19
6
1
0
0
kNm
M
=
∆
⋅
=
=
=
ψ
ϕ
ϕ
0
34
=
M
(
)
[ ]
kNm
l
EI
M
M
897
,
18
3
43
4
2
43
43
=
−
⋅
+
=
∆
ψ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
22
M
n
[kNm]
Obliczenie wartości sił tnących:
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
-
WPŁYW TEMPERATURY
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
23
Obliczenie siły normalnej z równowagi węzłów:
Sprawdzenie węzła 2 po osi
0031
,
0
=
∑
y
T
n
[kN]
N
n
[kN]