Matematyka – lista zadań

8

Zadanie 19

Obliczyć pochodną funkcji:

a)

 

x

x

x

x

f







2

3

2

1

3

1

;

b)

 

3

2

3

2

4







x

x

f

;

c)

 

3

2

3

3

2

1

x

x

x

x

x

f











;

d)

 

4

4

5

7

2

1

7

6

2

2

x

x

x

x

x

x

f











;

e)

 

2

2

3

12

4

x

x

x

x

x

f







;

f)

 

x

x

x

x

f

1

2

3







;

g)

 

3

2

3

x

x

x

f



;

h)

 

4

3

3

4

x

x

x

f





;

i)

 

x

x

x

f

cos

sin





;

j)

 

x

x

x

f

ctg

tg





;

k)

 

x

x

x

f

ln





;

l)

 

x

x

x

x

f

cos

sin

2







;

m)

 







1

2

3

3

2

2











x

x

x

x

x

f

;

n)

 























1

1

1

x

x

x

f

;

o)

 

x

x

x

f

sin

2



;

p)

 

x

x

x

x

x

f

cos

sin

2

3





;

q)

 

x

e

x

f

x

sin



;

r)

 





2

2

1

log

x

x

f





;

s)

 





x

x

x

f

log

1

2





;

t)

 

2

2

2

2







x

x

x

f

;

u)

 

1

1

2







x

x

x

f

;

v)

 

x

x

x

f

sin



;

w)

 

x

x

x

f

1

2





;

x)

 

1

1

3







x

x

x

f

;

y)

 

x

e

x

x

f



;

z)

 

x

e

x

f

x

sin



;

Zadanie 20

Obliczyć pochodną funkcji:

a)

 





6

3

2





x

x

f

;

b)

 

3

2

2





x

x

f

;

c)

 

2

1

x

x

f





;

d)

 

3

3

2

x

x

x

f



;

e)

 

1

1







x

x

x

f

;

f)

 

x

x

f

5

cos



;

g)

 

x

x

f

3

sin



;

h)

 

2

sin x

x

f



;

Matematyka – lista zadań

9

i)

 

x

x

f

4

cos



;

j)

 





7

6

sin





x

x

f

;

k)

 

x

x

f

2

tg



;

l)

 

x

e

x

f





;

m)

 

x

x

f

2

tg

ln



;

n)

 

x

x

f

tg



;

o)

 

3

2

sin

1

x

x

f





;

p)

 

x

x

f

cos

1



;

q)

 





x

x

f

sin

cos



;

r)

 

2

1

2

cos

x

x

x

f





;

s)

 

x

x

x

f

2

cos

1





;

t)

 





x

x

x

f

cos

log





;

u)

  



4

sin

ln

x

x

f



;

v)

 

x

x

e

e

x

f





1

ln

;

w)

 





x

x

e

e

x

f

2

1

ln







;

x)

 





1

ln

2

5





x

x

f

;

y)

 





x

x

x

f

4

2

sin

1

sin

ln







;

z)

 

x

e

x

f

ln



;

aa)

 

x

arc

x

f

3

tg



;

bb)

 





x

arc

x

f





1

sin

;

Zadanie 21

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a)

 

6

5

2







x

x

x

f

;

b)

 

x

x

f

1



;

c)

 

1

2





x

x

x

f

;

d)

 

x

x

x

f



;

e)

 

3

3

2

1





x

x

f

;

f)

 

x

e

x

f

x

ln

2



;

g)

 





2

1

ln

x

x

f





;

h)

 

x

x

x

f







1

1

ln

;

i)

 

x

arc

x

f

cos



;

j)

 

x

arc

x

f

tg



.

Zadanie 22

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a)

 

1

2

2

3

2

3









x

x

x

x

f

;

b)

 

6

3

3







x

x

x

f

;

c)

 

x

x

x

x

f

2

2

2

3









;

d)

 

2

3

4

3

4

x

x

x

x

f







;

Matematyka – lista zadań

10

e)

 





2

2

1

x

x

x

f





;

f)

 

x

x

x

f

1





;

g)

 

x

x

x

f

1

4

2





;

h)

 

2

2

8

2

x

x

x

f





;

i)

 

3

x

e

x

f



;

j)

 

x

e

x

x

f

4



;

k)

 





x

e

x

x

f

1

2





;

l)

 

x

e

x

x

f





;

m)

 

x

e

x

x

f





2

;

n)

 

x

x

x

f

ln



;

o)

 





x

x

x

f







1

ln

;

p)

 





2

1

ln

x

x

f





;

q)

 

2

2

x

x

x

f





;

r)

 

x

x

x

f







1

1

.

Zadanie 23

Obliczyć granice funkcji stosując regułę de l’Hospitala.

a)

x

e

x

x

sin

1

lim

0





;

b)

x

x

x

cos

ln

lim

0



;

c)

x

x

x

e

e

x

x

x

sin

2

lim

0











;

d)

2

2

ln

ln

lim

2







x

x

x

;

e)

x

x

x

2

cos

ln

cos

ln

lim

0



;

f)

x

e

e

x

x

x

sin

lim

0







;

g)

x

x

e

x

2

lim





; h)

x

x

x

ln

lim





;

i)

x

x

x

sin

ln

2

sin

ln

lim

0





; j)





















1

1

1

2

lim

2

1

x

x

x

;

k)



















x

x

x

x

ln

1

1

lim

1

;

l)



















1

1

1

lim

0

x

x

e

x

;

m)











 



x

x

x

sin

1

1

lim

0

; n)

x

x

x

ln

lim

0





;

o)



 



x

x

x









2

ln

1

ln

lim

2

;

p)

x

x

x

co s

2

2

lim











 









;

q)

x

x

xe

1

0

lim





;

r)

x

x

x

sin

0

1

lim

















;

Matematyka – lista zadań

11

s)

x

x

x

x





















2

1

lim

2

2

;

t)





x

x

x

3

tg

6

3

sin

lim





.

Zadanie 24

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

a)

 

1

12

3

2

2

3









x

x

x

x

f

;

b)

 

3

3

4

3

4







x

x

x

f

;

c)

 

x

x

x

f

3

3





;

d)

 

4

1

x

x

x

f





;

e)

 

1

2

3





x

x

x

f

;

f)

 

2

2

1

1

x

x

x

x

x

f











;

g)

 

4

2

2





x

x

x

f

;

h)

 

x

e

x

x

f







1

;

i)

 

x

xe

x

f





;

j)

 

2

2

x

e

x

x

f





;

k)

 

x

x

x

f

ln



;

l)

 





x

x

x

f







1

ln

;

m)

 

x

x

x

f

ln



;

n)

 

x

x

x

f







1

;

o)

 



x

f

x

x

ln

;

p)

 





x

e

x

x

f

1

2





;

q)

 

x

x

x

f

2

2





;

r)

 

x

x

x

f

ln

2



;

s)

 

2

1

x

x

x

f





.

Zadanie 25

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
a)

 

1

;

1

2

6

3

2

3















x

x

x

x

x

f

;

b)

 

2

;

6

10

15

2

2

3















x

x

x

x

f

;

c)

 

3

;

0

4

2

5

3

1

2

3











x

x

x

x

x

f

;

d)

 

2

3

;

2

5

5











x

x

x

x

f

;

e)

 

4

;

0

2









x

x

x

x

f

;

f)

 

e

x

x

x

x

f

;

1

ln

2







;

g)

 

e

x

x

x

x

f

;

1

ln

2









.

Matematyka – lista zadań

12

Zadanie 26

Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:

a)

 

4

2

2

3

x

x

x

x

f







;

b)

 

36

2

2

3

4

x

x

x

x

x

f











;

c)

 

2

3

5

3

4

5









x

x

x

x

f

;

d)

   

3

1

1





x

x

f

;

e)

 

4

2

8

x

x

x

f





;

f)

 

x

x

x

f

ln



;

g)

 

x

x

x

f

ln



.

Zadanie 27

Zbadać istnienie asymptot wykresu funkcji:

a)

 

x

x

x

f







2

3

2

;

b)

 

2

2

1

2

x

x

x

f





;

c)

 



x

f

x

x

2

2



;

d)

 



x

f

x

x



2

1

;

e)

 



x

f

2

1

2

x

x



;

f)

 

5

1

2







x

x

x

f

;

g)

 

5

4

1

2







x

x

x

f

;

h)

 

6

5

1

2







x

x

x

f

;

i)

   

2

3

1

2





x

x

x

f

;

j)

 



x

f

3

1

2





x

x

;

k)

 



x

f

1

2

3



x

x

;

l)

 



x

f

2

3

3

x

x



;

Zadanie 28

Zbadać przebieg zmienności i narysować wykres funkcji:

a)

 

1

4

4

2

3









x

x

x

x

f

;

b)

 

1

3

4





x

x

x

f

;

c)

 

2





x

x

x

f

;

d)

 

2

3

3

x

x

x

f





;

e)

 

1

2





x

x

x

f

;

f)

 

1

2





x

x

x

f

;

g)

 

x

e

x

x

f

1

2



;

h)

 

x

x

f

ln

1



.