P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E

O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H

1

P

R A W A A U T O R S K I E

–

B

U D O W N I C T W O

P

O L S K I E

.

P L

G R U D Z I E Ń 2010

O

O

O

O

BLICZENIE

BLICZENIE

BLICZENIE

BLICZENIE

CZĘSTOŚCI

CZĘSTOŚCI

CZĘSTOŚCI

CZĘSTOŚCI

DRGAŃ WŁASNYCH

DRGAŃ WŁASNYCH

DRGAŃ WŁASNYCH

DRGAŃ WŁASNYCH

A

A

A

A

LGORYTM DO PROGRAMU

LGORYTM DO PROGRAMU

LGORYTM DO PROGRAMU

LGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

MATHCAD

MATHCAD

MATHCAD

P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E

O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H

2

P

R A W A A U T O R S K I E

–

B

U D O W N I C T W O

P

O L S K I E

.

P L

G R U D Z I E Ń 2010

Rozpatrujemy niewa

ż

k

ą

belk

ę

AB, dla której mamy wyznaczy

ć

cz

ę

sto

ść

drga

ń

swobodnych masy M.

Oznaczenia:

Dane:

M - masa skupiona obci

ąż

aj

ą

ca belk

ę

w [kg],

EJ - sztywno

ść

zginania w [Nm2] ,

l - długo

ść

prz

ę

sła belki,

n - mno

ż

nik sztywno

ś

ci zginania belki CB,

wielko

ś

ci szukane:

ω

- cz

ę

sto

ść

drga

ń

swobodnych masy M,

Parametry zadania:

P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E

O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H

3

P

R A W A A U T O R S K I E

–

B

U D O W N I C T W O

P

O L S K I E

.

P L

G R U D Z I E Ń 2010

Deklaracja danych:

(1)

Długo

ść

prz

ę

sła:

l

2

m

⋅

:=

(2)

Moduł Younga:

E

205

GPa

⋅

:=

(3)

Moment bezwładno

ś

ci:

J

30

cm

4

⋅

:=

(4)

Mno

ż

nik:

n

3

:=

(5)

Masa skupiona:

M

30 kg

⋅

:=

Korzystaj

ą

c z metody sił mo

ż

emy zapisa

ć

:

δ

11 X1

⋅

∆

p

+

X1

−

kc

1

( )

Obliczenia:

Cz

ęść

rozpatrywanej belki (belka CB) stanowi dla pozostałej cz

ęś

ci belki (tj. belki AD)

wył

ą

cznie podpor

ę

spr

ęż

yst

ą

z racji pomijalnej masy własnej. Charakterystyka spr

ęż

ysta

kc wynosi:

E J

⋅

6.15

10

4

×

N m

2

⋅

⋅

=

kc

3

n

⋅

E

⋅

J

⋅

l

3

:=

kc

6.919

10

4

×

N

m

⋅

=

P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E

O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H

4

P

R A W A A U T O R S K I E

–

B

U D O W N I C T W O

P

O L S K I E

.

P L

G R U D Z I E Ń 2010

Obliczamy przemieszczenie dla stanu jednostkowego. Wynosi ono:

δ

11

1

E J

⋅

1

2

l

⋅

l

⋅

2

3

⋅

l

⋅









⋅

:=

δ

11

l

3

3

E

⋅

J

⋅

:=

δ

11

4.336

10

5

−

×

m

N

⋅

=

Obliczamy przemieszczenie dla oddziaływania zewn

ę

trznego mno

żą

c wykres Mp przez

wykres M1. Wynosi ono:

∆

p

1

E J

⋅

−

1

2

l

2

⋅

l

2

⋅

2

3

l

2

⋅

l

2

+









⋅









⋅

:=

∆

p

5

l

3

⋅

48

E

⋅

J

⋅

−

:=

∆

p

1.355

−

10

5

−

×

m

N

⋅

=

To samo przemieszczenie mo

ż

emy uzyska

ć

mno

żą

c wykres M1 przez wykres Mp.

Wówczas mamy:

∆

p

1

E J

⋅

−

l

2

l

2

⋅

l

4

⋅

1

2

l

2

⋅

l

2

⋅

2

3

⋅

l

2

⋅









+









⋅

:=

∆

p

5

l

3

⋅

48

E

⋅

J

−

=

Zgodnie z (1)

δ

11 X1

⋅

∆

p

+

X1

−

kc

mamy:

X1

∆

p

−

δ

11

1

kc

+

:=

X1

0.234

=

P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E

O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H

5

P

R A W A A U T O R S K I E

–

B

U D O W N I C T W O

P

O L S K I E

.

P L

G R U D Z I E Ń 2010

uD

uDo uD1 X1

⋅

+

Ugi

ę

cie w punkcie D dla P=1 wynosi:

uDo

l

2









3

3

E

⋅

J

⋅

:=

uDo

5.42

10

6

−

×

m

N

⋅

=

uD1

∆

p

:=

uD1

1.355

−

10

5

−

×

m

N

⋅

=

uD

uDo uD1 X1

⋅

+

:=

uD

2.244

10

6

−

×

m

N

⋅

=

Charakterystyka zast

ę

pcza układu w punkcie D wynosi:

kzD

1

uD

:=

kzD

4.456

10

5

×

N

m

⋅

=

Szukan

ą

cz

ę

sto

ść

drga

ń

zapiszemy nast

ę

puj

ą

co:

ω

kzD

M

:=

Zestawienie wyników:

Ostatecznie mamy:

Cz

ę

sto

ść

drga

ń

swobodnych

masy M

ω

121.872

1

s

=