45

Damian BĘBEN

1

Zbigniew MAŃKO

2

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH POWŁOKI

MOSTU GRUNTOWO-STALOWEGO PRZED ZASYPANIEM

W pracy przedstawiono analizę częstotliwości drgań własnych powłoki mostu gruntowo-stalowego wykonanej z blach
falistych przed zasypaniem jej gruntem. Częstotliwości własne oraz odpowiadające im postacie drgań własnych są
najistotniejszymi parametrami charakteryzującymi te konstrukcje podczas ich realizacji, których istota polega na
znacznym zróżnicowaniu sztywności poszczególnych elementów w stosunku do gruntu oraz w porównaniu do
tradycyjnych mostów stalowych.

1.

Wstęp

Duża popularność oraz gwałtowny wzrost liczby budowanych mostów stalowo-gruntowych w

ostatniej dekadzie na całym świecie, przyczynia się do poszukiwań szczegółowych problemów i
zakresów ich analiz [1]. Polegają one na uwzględnieniu niekorzystnych warunków obciążenia i
wytrzymałości oraz na respektowaniu bezpieczeństwa tych obiektów, ale również na ekonomicznym
ich projektowaniu. Dość znaczne rozpiętości teoretyczne przęseł oraz pewna specyfika mostów
stalowo-gruntowych (np. z uwagi na dużą podatność elementów konstrukcyjnych, ustrój powłokowy,
przekrój falisty elementów, itp.) klasyfikują je do kategorii konstrukcji charakterystycznych, m.in. ze
względu na ich skomplikowane formy drgań.

Częstotliwości własne oraz odpowiadające im postacie drgań własnych są najistotniejszymi

parametrami charakteryzującymi te obiekty, których komplikacja polega na znacznym zróżnicowaniu
sztywności poszczególnych ich elementów w stosunku do gruntu oraz tradycyjnych mostów stalowych,
w których występują, np. dźwigary główne, elementy pomostu, warstwy podbudowy drogi lub układ
torowisko – podsypka w mostach kolejowych. Mosty stalowo-gruntowe mają na ogół wysokie wartości
drgań własnych i są w większym stopniu narażone na dynamiczne obciążenie wywołane, np.
uderzeniami bocznymi szyn od pojazdów trakcyjnych bądź zasypywaniem gruntem podczas ich
budowy niż, np. typowe stalowe konstrukcje prętowe, belkowe lub nawet płytowe. Dlatego też, pojawia
się potrzeba prowadzenia obliczeń w zakresie analizy modalnej, stanowiącej istotny czynnik w
rozważaniach teoretycznych, obliczeniach projektowych, a przede wszystkim w trakcie eksploatacji
takich obiektów mostowych, co dzisiaj związane jest także z korelacją wielkości drgań w zależności od
etapu budowy takich mostów [5].

Prezentowany problem drgań własnych dotyczy mostu w Gimån (Szwecja), o średniej rozpiętości

teoretycznej przęsła jak na mosty drogowe budowane w Polsce czy Skandynawii, dla którego
przeprowadzono szczegółową analizę modalną konstrukcji powłoki w układzie przestrzennym.
Ustalono przede wszystkim wartości częstotliwości drgań własnych przy wykorzystaniu modelu 3D, w
zależności od sposobu zamodelowania (dyskretyzacji) przęsła, tj. traktując powłokę o połączeniach
poszczególnych elementów jako przegubowe, a pomiędzy powłoką i wzmocnieniami oraz ławą
fundamentową jako sztywne. Tak przyjęte rozwiązania modelu były podyktowane m.in. wnioskami
uzyskanymi na podstawie rezultatów otrzymanych z analizy statycznej i dynamicznej konstrukcji tego
mostu przeprowadzanej w zakresie nieliniowym [1] i badań doświadczalnych [2], [3], [6], [7], [8].

Istotne jest zwrócenie uwagi także na drgania powłoki, związane z etapem montażu powłoki

(bezpośrednio przed fazą zasypywania gruntem). Przedstawienie modelu obliczeniowego drgań
własnych powłoki mostu uwypukla warunki i przyczyny pojawienia się odpowiednich właściwości

1

Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej

2

Dr hab. inż. Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej

V Ogólnopolska Konferencja Mostowców – Konstrukcja i Wyposażenie Mostów

Wisła, 5-6 listopada 2008 r.

46

dynamicznych takich obiektów. Aby zbadać kompleksowo źródło energii dynamicznej należałoby
zarejestrować, np. w drodze pomiarów, zmiany prędkości drgań i amplitudy przyspieszeń
poszczególnych elementów konstrukcji takiego mostu. Ciekawą byłaby również analiza układu drgania
powłoki – wymuszenie warstwami gruntu (np. w czasie realizacji budowy mostu) prowadzona metodą
funkcji koherencji pozwalającą określić wpływ grubości (wysokości) wykonywanej zasypki wokół
powłoki na drgania całej konstrukcji, a tym samym na jej stateczność ogólną.

W pracy ograniczono się do porównania wybranych wartości częstotliwości i form własnych

powłoki mostu stalowo-gruntowego dla przyjętego typu modelu obliczeniowego 3D wraz z podaniem
analizy zbieżności otrzymanych rozwiązań. Specyfiką rozwiązania przyjętego dla tego obiektu było
uwzględnienie w modelu obliczeniowym cienkościennej powłoki układu grunt – stal o właściwościach
podatnych. Analizowana powłoka podparta jest na ciągłych ławach fundamentowych, które
umieszczone są pod jej konstrukcją.

2.

Opis konstrukcji powłoki mostu

Analizowany most drogowy w przekroju podłużnym stanowi ustrój statyczny złożony z

wyprofilowanych elementów blach falistych w postaci jednoprzęsłowej sztywno utwierdzonej w
ławach fundamentowych powłoki stalowej o rozpiętości teoretycznej przęsła L = 12,315 m. Powłoka
oparta jest za pomocą stalowych nierównoramiennych ceowników spoczywających na dwóch
żelbetowych ławach fundamentowych (rys. 1).

Zasadnicza powłoka mostu została wzmocniona w trzech miejscach, tj. w kluczu oraz w dwóch

narożach konstrukcji przy ławach fundamentowych od strony gruntu z obu jej stron, za pomocą
dodatkowych arkuszy blachy falistej, tzw. żeber. W kluczu wzmocnienie jest ciągłe na całej szerokości
powłoki, a w narożach w rozstawie co 380 mm. Dodatkowe żebra miały na celu zapewnienie większej
sztywności poprzecznej przęsła w przewidywanych niekorzystnych przekrojach powłoki. Ustrój nośny

a)

b)

do

śru

b

o

wymiarach:

żeber naroża z powłoką

Śruby 19x75 mm do połączenia

Otwory

o

=

25

mm

19

x1

00

x225

mm

19

x1

52

x457

mm

P

Q

6S

4S

TYP A

TYP A

TYP A

TYP A

8S

8S 7S

R

S

8S

8S 7S

7S

V

7S U

7S

W

11S

4S

7S

7S

7S

A

11S

A

11S

11S

B

7S

11S

B

8S

8S 7S

8S

8S 7S

7S

7S

7S

7S

A

11S

A

11S

11S

B

7S

7S

7S

A

11S

A

11S

11S

B

7S

11S

B

7S

7S

11S

B

TYP B

8S

T

TYP A

TYP A

8S

8S 7S

8S

B

A

8S

D

C

4S

6S

7S

7S

G

7S

F

7S

A

11S

11S

11S

B

E

H

4S

7S

7S

Żebra

w naro

żu

7S

7S

11S

B

1143

AA

AC
6S

AD

4S

8S

Naro

że

X

5S

11S

7S

7S

5S

7S

Z

Y

7S

B

7S

B

A

A

7S

7S

7S

7S

B

7S

B

A

7S

B

7S

B

A

A

7S

A

AE

7S

7S 8S

7S

7S 8S

8S

7S

7S 8S

7S

7S 8S

8S

8S

8S

AB

7S

Klucz

7S

I

5S

11S

7S

B

7S

K

J

A

5S

L

10S

Żebra

w kluczu

7S

7S 8S

M

7S

N

O

6S 8S

8S

4S

7S

Żebra

w naro

żu

7S

8S

27 pier

ścieni @ 762 = 20574

A

11S

Klucz

40

S

4S

Żebra

w kluczu

WIDOK AKSONOMETRYCZNY

RZUT Z GÓRY

7S

Naro

że

7S

Klucz

=1

4

0

PROFIL BLACHY FALISTEJ

= 380

= 7,10

Rys. 1. Schemat stalowej konstrukcji powłoki mostu gruntowo-stalowego w Gimån (Szwecja):

a) widok aksonometryczny i b) rzut z góry

47

wykonstruowano jako powłokę złożoną z arkuszy
stalowych blach falistych o grubości t = 7,10 mm i
wymiarach

fal

a × h = 380 × 140

mm,

połączonych między sobą na szerokości powłoki
przęsła za pomocą śrub sprężających, obsypaną
warstwami gruntu (o grubościach po około 0,20–
0,30 m) odpowiednio zagęszczonymi (według
skali Proctora Normalnego I

D

= 0,95 dla gruntu

bezpośrednio

stykającego

się

z

konstrukcją

stalową oraz I

D

= 0,98 dla pozostałej części

zasypki gruntowej), umożliwiającymi ułożenie
nawierzchni drogowej na podłożu z tłucznia.
Wysokość elementu blachy falistej wynosi h = 140
mm. Szerokość powłoki mostu wynosi górą b

g

=

12,915 m, natomiast dołem b

d

= 20,574 m. W

planie obiekt usytuowany jest prostopadle w
stosunku do nurtu rzeki, a jego światło pionowe

wynosi h

o

= 3,555 m (rys. 2).

Most w Gimån, którego konstrukcję opisano szczegółowo m.in. w pracach [1], [7], [8], poddano

analizie modalnej za pomocą metody elementów skończonych (MES), uzyskując częstotliwości i
postacie

drgań

własnych

konstrukcji

powłoki

przed

zasypaniem

gruntem.

Przeprowadzona

kompleksowa analiza modalna stanowi interesujący materiał odnośnie zachowania się tego typu
konstrukcji powłok zwłaszcza pod obciążeniem dynamicznym [3], [8].

3. Analiza drgań własnych

Podstawowym praktycznym problemem, który w pierwszej kolejności powinien być rozwiązany jest

ustalenie rodzaju i kolejności następujących po sobie drgań własnych, po to, aby wyeliminować lub
ograniczyć niepożądane i nieprzewidziane częstotliwości drgań w ostatecznej formie konstrukcyjnej
[12].

Metoda obliczeń drgań własnych oraz ich postaci dla modelu konstrukcji powłoki zwana jest analizą

modalną lub analizą form własnych. Postać macierzową dynamicznych równań różniczkowych w
metodzie elementów skończonych dla danej konstrukcji powłoki można zapisać w formie (1) [12]:

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

( )

{ }

t

F

U

M

U

C

U

K

=

+

+





,

(1)

gdzie [K] i {F} są globalnymi macierzami sztywności i sił, otrzymanymi przez odpowiednie dodawanie
współczynników sztywności elementów i sił występujących w tych elementach od znanych obciążeń
zewnętrznych, naprężeń początkowych itp., zaś [M] jest macierzą masy układu, [C] jest macierzą
tłumienia konstrukcji, a {U} – wektorem przemieszczeń węzłów poszczególnych elementów. W
przypadku drgań własnych układu, równanie (1) przybiera formę (2):

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

{ }

0

=

+

+

U

M

U

C

U

K





.

(2)

Kiedy

do

konstrukcji

sprężystej,

bez

uwzględnienia

tłumienia,

wprowadzi

się

wstępne

przemieszczenia, osiąga ona wówczas pewną odkształconą postać, która będzie nieustannie oscylowała
(drgała) w granicach identycznego stanu odkształconego, lecz o zmiennych amplitudach. Kształty drgań
noszą nazwę postaci modalnych, a odpowiadające im częstotliwości – drgań własnych.

W przypadku, gdy nie uwzględnia się tłumienia w konstrukcji sprężystej powłoki, i nie poddaje się

jej obciążeniu zewnętrznemu, będzie ona drgała swobodnie w postaci harmonicznej zdefiniowanej
przez równanie w postaci (3):

)

)

(

Θ

+

=

t

t

ω

φ

(

sin

U

,

(3)

w którym

ω

jest częstością kątową, zaś

Θ

– kątem fazowym, a φ odpowiadającą jej postacią modalną, w

której amplituda drgań ulega zmianom w zakresie niezmiennej formy odkształconej [4].

Rys. 2. Widok z góry na zmontowaną powłokę

wykonaną ze stalowych blach falistych

48

Po podstawieniu równania (3) do zredukowanego wyrażenia (2) otrzymuje się problem

standardowych wartości własnych lub tzw. problem wartości charakterystycznych, który w ujęciu MES
przyjmuje postać (4):

[ ]

[ ]

{ } { }

0

=

−

φ

ω

2

M

K

.

(4)

Rozwiązanie powyższego równania jest możliwe tylko dla pewnych określonych wartości

ω

, dla

których wyznacznik macierzy staje się zerem. Ponieważ wyznacznik ten jest rzędu n (przy wymiarze
macierzy n

× n), stąd istnieje na ogół n pierwiastków będących rzeczywistymi wartościami

ω

2

.

Pierwiastki te określają drgania własne układu. Samo zagadnienie określania

ω

nazywa się

wyznaczaniem wartości własnych i polega na rozwiązaniu równania (5):

[ ]

[ ]

0

2

=

−

M

K

ω

det

.

(5)

W dziedzinie drgań mechanicznych pierwiastki rozwiązania powyższego równania są rzeczywiste.

Każda wartość własna (częstotliwość) spełniająca równanie (5) określa wektor {

φ

}

n

, którego składowe

zachowują stały wzajemny stosunek, lecz wartości każdej z nich mogą być dowolne. Wektory te
określają tzw. postacie drgań układu [11].

Jak wiadomo, drgania ciała sprężystego są funkcją sztywności na zginanie EJ, jak również jego

masy M. Gdy wzrasta sztywność elementu, można ogólnie założyć, że amplituda drgań maleje, a
wzrasta jego częstotliwość. W przypadku drgań własnych, zależnych od sił bezwładności, jedyne siły
działające na ciało pochodzą od rozkładu jego masy. Swobodnie drgający ustrój powłoki zachowuje się
w taki właśnie sposób dla jednej lub większej liczby jego drgań własnych [5].

Jeśli układ zmiennych sił zewnętrznych (np. pochodzący od pojazdu i warstw gruntowych)

przyłożony jest do konstrukcji, wówczas drga ona z częstotliwością odpowiadającą przyłożonej sile.
Kiedy drgania układu przyłożonych sił zbiegną się z jedną z częstotliwości własnych konstrukcji
powłoki, wówczas zachodzi zjawisko rezonansu. W przypadku jego wystąpienia, drgania z określoną
amplitudą osiągają nieskończoną wartość w czasie, co może przyczynić się do zniszczenia konstrukcji
powłoki tego mostu.

W celu przeprowadzenia analizy modalnej, badanej pod względem podatności konstrukcji powłoki

mostu, wykorzystano metodę obliczeniową, opartą na iteracji podprzestrzennej, przy założonej
optymalnej wartości dla tolerancji zbieżności rozwiązania układu [9].

4.

Model obliczeniowy powłoki i procedura rozwiązania

W celu przeprowadzenia analizy modalnej w zakresie ustalenia częstotliwości oraz form modalnych

(drgań własnych) dla badanej stalowej powłoki mostu posłużono się pakietem opartym na MES o
nazwie COSMOS, umożliwiającym rozwiązywanie wybranych zagadnień ze statyki i dynamiki
konstrukcji w zakresie liniowym i nieliniowym. Dzięki jego zastosowaniu można było uzyskać wiel-
kości przemieszczeń dla każdego węzła modelu oraz wartości częstotliwości f i częstości kątowych

ω

.

W celu przeprowadzenia parametrycznej analizy modalnej tego stalowo-gruntowego mostu

opracowano model obliczeniowy powłoki w układzie przestrzennym 3D zachowując przy tym
oryginalną geometrię tej konstrukcji, dla których wykonano obliczenia. Przęsło dyskretyzowano
elementami powłokowymi o 6 stopniach swobody w każdym węźle. Równocześnie, każdemu
elementowi przypisano własności izotropowe. Modelując powłokę mostu elementami powłokowymi
przyjęto ich przekroje poprzeczne jako pryzmatyczne oraz symetryczne (rys. 3a). Założono, że
wszystkie połączenia pomiędzy elementami są przegubowe, a połączenia powłoki z ławą
fundamentową uznano za sztywne (rys. 3b).

W rozpatrywanych modelach obliczeniowych wprowadzono także mimośrodowe połączenia między

elementami blach na stykach (zakładki). W obliczeniach numerycznych przyjęto dla konstrukcji
stalowej: moduł Younga E = 205,05 GPa, współczynnik Poissona ν = 0,30, gęstość materiału 7,85
Mg/m

3

, natomiast dla gruntu: E = 28,5 GPa oraz v = 0,17. Analizę drgań własnych konstrukcji powłoki

mostu przeprowadzono w zakresie liniowym.

Model obliczeniowy składał się z następujących zadanych parametrów sterujących:

• 48960 elementów powłokowych,

• 49489 węzłów,

49

• 292026 stopni swobody.

Zastosowane parametry obliczeniowe to:

• liczba obliczonych częstotliwości drgań własnych modeli – 50,

• maksymalna założona liczba iteracji – 100,

• narzucona tolerancja obliczeń – 1,0×10

–5

,

• założona tolerancja zbieżności rozwiązania – 0,1×10

–04

,

• częściowe usztywnienie połączeń konstrukcji powłoki (założono dodatkowe usztywnienie

układu typu soft spring – 1×10

–6

),

• maksymalna liczba iteracji przy założonej tolerancji zbieżności rozwiązania – 51,

• założono masy skupione w elementach skończonych.

Przyjęto, że model obliczeniowy stalowo-gruntowego mostu drogowego został obciążony ciężarem

własnym z zastosowaniem średniej wielkości przyśpieszenia ziemskiego (g = 9,81 m/s

2

). W celu

rozwiązania problemu wartości własnych konstrukcji powłoki oraz aby umożliwić analizę obszernych
zadań numerycznych (jak w przypadku tego mostu) wykorzystano metodę iteracji podprzestrzennych
[11], [12]. W przypadku modeli przestrzennych zastosowano 50 iteracji, chociaż, jak wynika z
przeprowadzonych analiz innych podobnych konstrukcji, już po 4 iteracjach otrzymane wyniki wartości
własnych były wystarczająco zbieżne z przyjętą tolerancją rozwiązania, ustaloną na poziomie 1,0

×10

–5

.

5.

Wyniki obliczeń drgań własnych oraz ich analiza

W wyniku przeprowadzonej analizy modalnej dla modelu dyskretnego typu 3D uzyskano

charakterystyki dla wybranych 50 pierwszych postaci własnych. Zestawienie wartości częstotliwości
drgań własnych, częstości kątowych i okresu drgań dla poszczególnych postaci (form) drgań (od 1 do
50) dla modelu obliczeniowego powłoki stalowej podano w tabeli 1.

Na rysunku 4 przedstawiono osiem pierwszych postaci drgań własnych oraz odpowiadających im

charakterystyk własnych, natomiast kolejne postacie zawarto w pracy [1].

Analiza otrzymanych wyników pozwala na wyciągnięcie zasadniczego wniosku, że pierwsze

częstotliwości drgań własnych (rys. 4) mają charakter giętny oraz giętno-skrętny w całej konstrukcji
powłoki.

Na ogół, w praktyce inżynierskiej w mostach, klasycznie przyjętym postępowaniem w analizie

dynamicznej jest rozważanie tylko kilku pierwszych postaci własnych, głównie po to, aby zredukować
czas obliczeń. W konstrukcjach mostów stalowo-gruntowych jednak, wysokie stosunkowo wartości
drgań własnych mogą występować bezpośrednio obok siebie, a tzw. współczynnik udziału, czyli
odpowiedź powłoki mostu na określony kierunek wzbudzania, może być znaczący dla wyższych form
własnych badanego ustroju [3]. Dlatego zdecydowano się na przyjęcie w analizie 50 pierwszych
częstotliwości drgań własnych, jednakże wnikliwszej uwadze poświęcono tylko 16 pierwszym
postaciom własnym w przyjętym modelu (rys. 4).

Jednak, aby zapewnić przejrzystość oraz skondensowaną formę prezentowanych wyników,

zdecydowano się na analizę porównawczą kolejno następujących po sobie (tzn. sąsiadujących ze sobą)
częstotliwości drgań (tabela 1) oraz kilkunastu wybranych postaci własnych modelu obliczeniowego
powłoki mostu (rys. 4).

a)

b)

Rys. 3. Przyjęty dyskretny model przestrzenny 3D zastosowany do numerycznej analizy przęsła mostu: a) widok ogólny, b)

widok na siatkę dyskretyzacyjną oraz szczegół zamodelowania podparcia powłoki na fundamencie

50

W postaciach drgań własnych uzyskanych w modelu 3D stwierdzono większy udział wzbudzeń

pionowych od podłużnych czy poprzecznych, chociaż dla postaci wyższego rzędu uzyskano drgania
skrętne powłoki, które przybierają w tym przypadku dominujące znaczenie nad innymi formami.
Wartości częstości kątowych

ω

kształtują się w zakresie od 53,60 do 108,00 rad/s natomiast

częstotliwości f od 8,52 do 17,24 Hz dla postaci własnych w przedziale n = 1–10 (tabela 1).

Z kolei, analizując wartości okresu drgań własnych T dla rozpatrywanego modelu powłoki mostu

dostrzeżono pewną prawidłowość w przedziale rozpatrywanych form dla n = 1–50, tzn. asymptotycznie
dążył on do wartości bliskiej T = 0, przy czym dla formy 1 wynosił on 0,117 s (tabela 1).

Analiza charakterystyk drgań własnych w modelu w przedziale dla n = 10–50 wykazuje na nieco

większe rozbieżności wyników w stosunku do pierwszych dziesięciu postaci drgań. Na uwagę zasługuje
otrzymana duża zbieżność częstotliwości drgań własnych poczynając już od postaci n = 20. Wynika to
ze sposobu zamodelowania problemowego zadania. W zakresie form własnych dla n = 20–50
dominującą rolę odgrywają drgania pionowe i poprzeczne wzmocnień powłoki, tj. żeber, które nie
wpływają jednak w zasadniczy sposób na zmianę częstotliwości drgań własnych całego modelu układu.
Główną przyczyną takiego stanu jest stosunkowo mała sztywność tych elementów.

Rys. 4. Postacie pierwszych ośmiu drgań własnych stalowej powłoki uzyskane z modelu 3D: a – h) f

1

– f

8

f

1

= 8,52 Hz

f

5

= 11,25 Hz

e)

f

2

= 9,16 Hz

f

6

= 14,81 Hz

f)

f

3

= 9,69 Hz

f

7

= 15,17 Hz

g)

f

4

= 10,76 Hz

f

8

= 15,72 Hz

h)

a)

d)

c)

b)

51

Ponadto, wraz ze wzrostem liczby n stwierdzono coraz większą złożoność drgań własnych, co

szczegółowo przedstawiono w tabeli 1 oraz na wykresach (rys. 4) wraz z odpowiednim wyjaśnieniem
uzyskanych form.

Należy dodać, że w przypadku stalowo-gruntowych mostów wybór odpowiedniego rozwiązania

konstrukcyjnego powinien zmierzać w kierunku zastąpienia dotychczas stosowanych wymiarów
konstrukcji powłok, propozycjami niestandardowymi o niższej wrażliwości dynamicznej, bądź
zastosowaniu w konstrukcjach typowych dodatkowych wzmocnień, innych typów połączeń pomiędzy
elementami blach falistych, aby zadbać także o zmniejszenie wrażliwości dynamicznej zwłaszcza na
etapie budowy tego typu obiektów mostowych.

6.

Podsumowanie i wnioski końcowe

Przedstawiono analizę modalną w zakresie drgań własnych stalowej powłoki mostu drogowego w

Gimån (Szwecja), która dała podstawę do przeprowadzenia ogólnej analizy form i częstotliwości drgań
dla tego typu nowoczesnych konstrukcji gruntowo-stalowych. W wyniku wyboru do rozwiązania
analizowanego problemu modelu przestrzennego typu 3D możliwe stało się ustalenie niektórych
charakterystyk dynamicznych takiej konstrukcji. Przyjęcie modelu przestrzennego pozwoliło także na
bardziej wnikliwą weryfikację dynamicznej odpowiedzi konstrukcji powłoki w tym moście.

Przed przystąpieniem do zasypywania gruntem stalowej powłoki mostu dokonano także pomiarów

prędkości i częstotliwości drgań konstrukcji wywołanych podskokami człowieka (1 kN). Do badań
wykorzystano indukcyjne czujniki bezwładnościowe typu PEVA 7225 specjalnie przeznaczone do tego
typu badań rejestrując przebiegi czasowe odkształceń i przemieszczeń na taśmach komputerowych
(papierowych) oraz na nośniku magnetycznym (dysk twardy komputera IBM-PC). Wyniki i
szczegółowy opis zastosowanego sprzętu do badań dynamicznych tego mostu przedstawiono w pracach
[1], [3], [8]. W tym przypadku, największa amplituda prędkości drgań wynosiła w punkcie

Tablica 1. Zestawienie wielkości obliczeniowych dla wybranych form drgań własnych od 1 do 50 w modelu powłoki stalowej

Częstotliwość

f

Okres

drgań

T

Częstość

kątowa

ω

Częstotliwość

f

Okres

drgań

T

Częstość

kątowa

ω

Numer

postaci

drgań

własnych

[Hz]

[10

–1

s]

[rad/s]

Numer

postaci

drgań

własnych

[Hz]

[10

–1

s]

[rad/s]

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

8,52
9,16
9,69

10,76
11,25
14,81
15,17
15,72
16,92
17,24
18,14
19,98
20,18
22,62
22,83
24,50
25,30
25,79
27,50
29,08
29,22
31,09
31,46
31,52
31,67

1,1700
1,0900
1,0300
0,0929
0,0888
0,0675
0,0659
0,0636
0,0591
0,0580
0,0551
0,0500
0,0495
0,0442
0,0438
0,0408
0,0395
0,0388
0,0364
0,0344
0,0342
0,0322
0,0318
0,0317
0,0316

53,6
57,5
60,9

676

70,7
93,1
95,3
98,8

106,0
108,0
114,0
126,0
127,0
142,0
143,0
154,0
159,0
162,0
173,0
183,0
184,0
195,0
198,0
198,0
199,0

26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

31,91
32,34
32,71
32,73
34,32
34,77
36,09
36,16
37,67
38,00
39,20
39,55
40,02
40,45
42,12
42,80
44,21
44,27
45,78
46,44
47,86
48,60
48,63
49,10
49,20

0,0313
0,0309
0,0306
0,0305
0,0291
0,0288
0,0277
0,0277
0,0265
0,0263
0,0255
0,0253
0,0250
0,0247
0,0237
0,0234
0,0226
0,0226
0,0218
0,0215
0,0208
0,0206
0,0206
0,0204
0,0203

201,0
203,0
206,0
206,0
216,0
218,0
227,0
227,0
237,0
239,0
246,0
249,0
251,0
254,0
265,0
269,0
278,0
278,0
288,0
292,0
301,0
305,0
306,0
309,0
309,0

52

pomiarowym A umieszczonym w kluczu powłoki v

A

= 0,055 m/s przy częstotliwości drgań równej

f

A

= 7,406 Hz i ugięciu dynamicznym wynoszącym u

A

= 1,18×10

–3

m (rys. 5).

Na podstawie uzyskanych wyników w postaci graficznej i tabelarycznej oraz przeprowadzonej

analizy drgań własnych rozważanej konstrukcji powłoki mostu sprecyzowano następujące uwagi i
wnioski końcowe:

1. Przyjęcie

zamocowania

poszczególnych

elementów

konstrukcyjnych

powłoki

jako

przegubowych, a pomiędzy wzmocnieniami a powłoką jako sztywnych nie wpływa znacząco na
kolejność następujących po sobie form drgań własnych całego układu. Dotyczy to pierwszych form w
obrębie każdego typu drgań, tj. giętnych, giętno-skrętnych pionowych, poprzecznych i podłużnych.
Różnice w formach drgań ujawniają się przede wszystkim dla elementów o mniejszych sztywnościach
giętnych (dodatkowe elementy konstrukcyjne powłoki, tj. żebra podłużne) dla częstotliwości drgań w
przedziale f

20

– > f

50

. Dominującą formą była pionowa postać drgań, chociaż dla wyższych numerów

postaci własnych n, zwiększał się wyraźnie udział drgań podłużnych.

2. W modelu obliczeniowym powłoki uzyskano wartości częstotliwości drgań własnych w

przedziale średnio od 8,52 do 49,20 Hz. Zwiększały się one wraz ze wzrostem numeracji kolejnych
form. Model charakteryzował w pewnym stopniu brakiem uporządkowania (czy też regularności) w
następujących po sobie formach własnych, ale także większym stopniem komplikacji otrzymanych
form własnych, co mogło być wynikiem nakładania się na siebie poszczególnych wyższych postaci
drgań własnych konstrukcji analizowanej powłoki.

3. Najistotniejsze z punktu widzenia bezpieczeństwa powłoki są dwie pierwsze częstotliwości

giętne drgań własnych, które wynosiły odpowiednio f

12

= 19,98 Hz i f

14

= 22,62 Hz.

4. W wynikach uzyskanych w rozważanym modelu przestrzennym 3D zauważono liczebnie

największy udział form własnych elementów powłoki (drgania poprzeczne i podłużne), w tym również
we współpracy z elementami wzmocnienia (dodatkowymi żebrami). Wśród pierwszych 10 postaci
drgań własnych, przynajmniej dwie lub trzy są dominujące w całej konstrukcji powłoki.

5. Uzyskane wartości pierwszych częstotliwości drgań własnych w modelach obliczeniowych

konstrukcji powłoki świadczą o tym, że nie będą one odczuwalne z uwagi na jej własności dynamiczne.
Szczególnie negatywne pod tym względem mogą być wyższe częstotliwości drgań własnych,
począwszy od wielkości f ≥ 100 Hz.

6. Stwierdzono, że wielkości częstotliwości drgań konstrukcji powłoki wywołane podskokami

człowieka stojącego na niej (o wadze około 1 kN) są zbliżone do dwóch pierwszych postaci drgań
własnych powłoki uzyskanych z obliczeń MES.

b)

a)

przed zasypaniem

Czujnik A:

0,50

22

20

7,406

[m/s]

14

6

10

2

18

16

12

8

4

0

[Hz]

0

0,10

0,30

0,40

0,20

0,05

Czujnik A:

przed zasypaniem

-0,05

0

[m/s]

0

2,0

4,0

8,0

6,0

10,0

12,0

14,0

16,0

[m/s]

[s]

Rys. 5. Przebiegi czasowe: a) prędkości drgań oraz b) odpowiadające im częstotliwości drgań konstrukcji powłoki przed jej

zasypywaniem warstwami gruntu, wywołane podskokami człowieka o wadze około 1 kN stojącego w kluczu powłoki

(czujnik bezwładnościowy A umieszczony w kluczu powłoki)

53

7. W przyszłości należy uwzględnić w podobnych analizach teoretycznych efekty tłumienia

wywołane gruntem zasypowym wraz z ułożoną na niej nawierzchnią drogową. Powinno to zostać
dodatkowo zweryfikowane przeprowadzeniem badań na obiekcie rzeczywistym z jednoczesnym
pomiarem częstotliwości drgań, a także z oceną podstawowych charakterystyk dynamicznych mostu
pod typowymi obciążeniami dynamicznymi występującymi na tych obiektach [1], [3], [8].

Przeprowadzona analiza form i częstotliwości drgań własnych w takich układach może być

przydatna i wykorzystana w praktyce inżynierskiej. Należy jednak mieć na uwadze, że wykonane
obliczenia muszą być w przyszłości wzbogacone poprzez zastosowanie obciążeń zewnętrznych (np.
odpowiadającym fazom budowy, jak i normalnej eksploatacji) i zweryfikowane analizami dotyczącymi
uwzględnienia wpływu drgań dodatkowych elementów wyposażenia obiektu na charakterystyki
dynamiczne takich konstrukcji oraz badaniami doświadczalnymi związanymi z oddaniem takich
obiektów do użytkowania oraz w czasie ich normalnej eksploatacji. Mogą one także stanowić użyteczną
pomoc dla projektantów tego typu ustrojów mostowych w racjonalnym kształtowaniu gruntowo-
stalowych mostów drogowych (lub kolejowych), jak również dla producentów tych konstrukcji w celu
ustalenia newralgicznych punktów i przekrojów konstrukcji w sensie ich wytężenia.

Literatura

[1]

BĘBEN D., Współpraca gruntu i konstrukcji mostowych wykonywanych ze stalowych blach
falistych. Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej, (Praca doktorska wykonana pod
kierunkiem Zbigniewa Mańko), Opole, 7 wrzesień 2005.

[2]

BĘBEN D., MAŃKO Z., Badania doświadczalne stalowej powłoki mostu drogowego podczas
zasypywania gruntem. Kwartalnik IBDiM „Drogi i Mosty”, Warszawa 2004, nr 2, s. 15–39.

[3]

BEBEN D., MANKO Z., Behaviour of Steel-Soil Bridge Made of Corrugated Plates under
Dynamic Tests. International Symposium on Innovation & Sustainability of Structures in Civil
Engineering – Including Seismic Engineering, Nov. 20–22, 2005, Nanjing, China, Vol. 3, pp.
2494–2502.

[4]

CLOUGH R. W., PENZIEN J., Dynamics of Structures. McGraw-Hill, New York 1975.

[5]

KUMARASENA T., SCANLAN R. H., MORRIS R., Deer Isle Bridge: Field and Computed
Vibrations. Journal of Structural Engineering, Vol. 115, 1989, No. 9, pp. 2313–2328.

[6]

MANKO Z., BEBEN D., Research on Steel Shell of a Road Bridge Made of Corrugated Plates
during Backfilling. Journal of Bridge Engineering, ASCE, Vol. 10, 2005, No. 5, pp. 592–603.

[7]

MANKO Z., BEBEN D., Static Load Tests of a Road Bridge with a Flexible Structure Made from
Super Cor Type Steel Corrugated Plates. Journal of Bridge Engineering, ASCE, Vol. 10, 2005, No.
5, pp. 604–621.

[8]

MANKO Z., BEBEN D., Dynamic Testing of a Corrugated Steel Arch Bridge. Canadian Journal of
Civil Engineering, National Research Council, Canada, Vol. 35, 2008, No. 3, pp. 246–257.

[9]

NEWMARK N. M., A Method of Computation for Structural Dynamics. Journal of Engineering
Mechanics Division, ASCE, Vol. 85, 1959, No. 3, pp. 67–94.

[10]

PETERSEN

C.,

Statik

und

Stabilität

der

Baukonstruktionen.

Vieweg

&

Sohn,

Braunschweig/Wiesbaden 1980.

[11]

WASZCZYSZYN Z., CICHOŃ C., RADWAŃSKA M., Metoda elementów skończonych w
stateczności konstrukcji. Arkady, Warszawa 1990.

[12]

ZIENKIEWICZ O. C., Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1986.

NATURAL VIBRATIONS FREQUENCY ANALYSIS OF STEEL BRIDGE

SHELL BEFORE BACKFILLING

In paper presents analysis of the natural vibration frequencies of steel bridge shell made from corrugated plates before
backfilling. The natural frequencies and responding them the natural vibrations forms are the most crucial factors
characterizing these structures, which complication depends on considerable differentiation of particular stiffnesess of its
elements in relation to soil as well as traditional steel bridges.

54