Grupa II
Zadanie 1.(3pkt)Narysować wykres funkcji f (x) = (2e
|2x−4|
+ 2)sgn(x −
2), a następnie omówić jak najwięcej jej własności.
Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć granice podanych ciągów(podać twierdzenia
z których się korzysta):
1) a
n
=
3
√
n
3
− n
2
− n;
2) b
n
=
1+
1
2
+
1
3
...+
1
2n
1+
1
3
+
1
9
...+
1
3n+2
;
3) c
n
=
1
√
n
2
+1
+
1
√
n
2
+2
+ . . . +
1
√
n
2
+n
.
Zadanie 3.(2pkt) Obliczyć granice funkcji
lim
x→0
−
5 sin 3x−3 sin 5x
2x
Zadanie 4.(4pkt) Dobrać parametry a, b tak aby funkcja f dana wzorem
f (x) =
2a + x sin
1
x
dla x < 1
b
dla x = 0
a +
ln x
ln sin x
dla 0 < x
⩽ 1
była ciągła w x
0
= 0.
Zadanie 5.(3pkt) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
Σ
∞
n=1
2
n
x
n
√
n
Zadanie 6.(4pkt)Uzasadnić, że podane równanie ln x + 2x = 1 ma do-
kładnie jedno rozwiązanie w przedziale (
1
2
, 1)(podać twierdzenia z których
się korzysta).Wyznacz rozwiązanie równania z dokładnością 0,125.
1
