Grupa II

Zadanie 1.(3pkt)Narysować wykres funkcji f (x) = (2e

|2x−4|

+ 2)sgn(x −

2), a następnie omówić jak najwięcej jej własności.

Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć granice podanych ciągów(podać twierdzenia

z których się korzysta):

1) a

n

=

3

√

n

3

− n

2

− n;

2) b

n

=

1+

1
2

+

1
3

...+

1

2n

1+

1
3

+

1
9

...+

1

3n+2

;

3) c

n

=

1

√

n

2

+1

+

1

√

n

2

+2

+ . . . +

1

√

n

2

+n

.

Zadanie 3.(2pkt) Obliczyć granice funkcji

lim

x→0

−

5 sin 3x−3 sin 5x

2x

Zadanie 4.(4pkt) Dobrać parametry a, b tak aby funkcja f dana wzorem

f (x) =



















































2a + x sin

1

x

dla x < 1

b

dla x = 0

a +

ln x

ln sin x

dla 0 < x

⩽ 1

była ciągła w x

0

= 0.

Zadanie 5.(3pkt) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

Σ

∞

n=1

2

n

x

n

√

n

Zadanie 6.(4pkt)Uzasadnić, że podane równanie ln x + 2x = 1 ma do-

kładnie jedno rozwiązanie w przedziale (

1
2

, 1)(podać twierdzenia z których

się korzysta).Wyznacz rozwiązanie równania z dokładnością 0,125.

1

Grupa II

Zadanie 1.(3pkt)Narysować wykres funkcji f (x) = (2e

|2x−4|

+ 2)sgn(x −

2), a następnie omówić jak najwięcej jej własności.

Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć granice podanych ciągów(podać twierdzenia

z których się korzysta):

1) a

n

=

3

√

n

3

− n

2

− n;

2) b

n

=

1+

1
2

+

1
3

...+

1

2n

1+

1
3

+

1
9

...+

1

3n+2

;

3) c

n

=

1

√

n

2

+1

+

1

√

n

2

+2

+ . . . +

1

√

n

2

+n

.

Zadanie 3.(2pkt) Obliczyć granice funkcji

lim

x→0

−

5 sin 3x−3 sin 5x

2x

Zadanie 4.(4pkt) Dobrać parametry a, b tak aby funkcja f dana wzorem

f (x) =



















































2a + x sin

1

x

dla x < 1

b

dla x = 0

a +

ln x

ln sin x

dla 0 < x

⩽ 1

była ciągła w x

0

= 0.

Zadanie 5.(3pkt) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

Σ

∞

n=1

2

n

x

n

√

n

Zadanie 6.(4pkt)Uzasadnić, że podane równanie ln x + 2x = 1 ma do-

kładnie jedno rozwiązanie w przedziale (

1
2

, 1)(podać twierdzenia z których

się korzysta).Wyznacz rozwiązanie równania z dokładnością 0,125.

2