Zadanie 1. (3pkt)Narysować wykres funkcji f ( x) = (2e | 2 x− 4 | + 2)sgn( x −
2), a następnie omówić jak najwięcej jej własności.
Zadanie 2. (4pkt) Obliczyć granice podanych ciągów(podać twierdzenia z których się korzysta):
√
1+ 1 + 1 ... + 1
1) a
2
3
2 n
n =
3 n 3 − n 2 − n; 2) bn =
;
3) c
+
1+ 1 + 1 ... +
1
n =
1
√
3
9
n 2+1
3 n+2
1
√
+ . . . +
1
√
.
n 2+2
n 2+ n
Zadanie 3. (2pkt) Obliczyć granice funkcji lim
5 sin 3 x− 3 sin 5 x x→ 0 −
2 x
Zadanie 4. (4pkt) Dobrać parametry a, b tak aby funkcja f dana wzorem
2 a + x sin 1 dla x < 1
x
f ( x) = b dla x = 0
a + ln x
dla 0 < x
⩽ 1
ln sin x
była ciągła w x 0 = 0.
Zadanie 5. (3pkt) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego Σ ∞ 2 nxn
√
n=1
n
Zadanie 6. (4pkt)Uzasadnić, że podane równanie ln x + 2 x = 1 ma do-kładnie jedno rozwiązanie w przedziale (1 , 1)(podać twierdzenia z których 2
się korzysta).Wyznacz rozwiązanie równania z dokładnością 0,125.
1
Zadanie 1. (3pkt)Narysować wykres funkcji f ( x) = (2e | 2 x− 4 | + 2)sgn( x −
2), a następnie omówić jak najwięcej jej własności.
Zadanie 2. (4pkt) Obliczyć granice podanych ciągów(podać twierdzenia z których się korzysta):
√
1+ 1 + 1 ... + 1
1) a
2
3
2 n
n =
3 n 3 − n 2 − n; 2) bn =
;
3) c
+
1+ 1 + 1 ... +
1
n =
1
√
3
9
n 2+1
3 n+2
1
√
+ . . . +
1
√
.
n 2+2
n 2+ n
Zadanie 3. (2pkt) Obliczyć granice funkcji lim
5 sin 3 x− 3 sin 5 x x→ 0 −
2 x
Zadanie 4. (4pkt) Dobrać parametry a, b tak aby funkcja f dana wzorem
2 a + x sin 1 dla x < 1
x
f ( x) = b dla x = 0
a + ln x
dla 0 < x
⩽ 1
ln sin x
była ciągła w x 0 = 0.
Zadanie 5. (3pkt) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego Σ ∞ 2 nxn
√
n=1
n
Zadanie 6. (4pkt)Uzasadnić, że podane równanie ln x + 2 x = 1 ma do-kładnie jedno rozwiązanie w przedziale (1 , 1)(podać twierdzenia z których 2
się korzysta).Wyznacz rozwiązanie równania z dokładnością 0,125.
2