Rachunek macierzy
1. Macierze
Macierz o wymiarach m
×
n to prostokątna tablica liczb złożona z m wierszy i n kolumn.
Przykład
A =
−
−
5
4
2
0
0
3
1
2
1
, B =
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
Tutaj A jest macierzą o wymiarze 3
×
3, a B o wymiarach 2
×
4 (dwa wiersze i 4 kolumny).
Piszemy również
A
33
= [A
33
] =
−
−
5
4
2
0
0
3
1
2
1
, B
24
= [B
24
] =
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
Wyrazy oznaczmy pisząc we wskaźniku numer wiersza i kolumny, a
i k
; na przykład wyraz
a
32
= 4 (4 jest w trzecim wierszu i drugiej kolumnie) , b
14
= -2 (pierwszym wierszu i czwartej
kolumnie).
Kiedy operuje się na macierzach, ważne jest, żeby nie mylić, co jest macierzą, a co liczbą,
chociaż oznaczenia nie zawsze w tym pomagają.
Na przykład macierz zerowa, dowolnych wymiarów, zawsze jest oznaczana przez 0.
Piszemy więc
0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
, 0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
i
czytelnik musi wywnioskować z kontekstu, czy 0 jest liczbą zero, czy macierzą zerową (a
jeśli macierzą, to jakich wymiarów).
W celu uwypuklenia różnic między macierzami i liczbami, o tych ostatnich będziemy
mówić jako o skalarach. W naszych rozważaniach skalary będą liczbami
rzeczywistymi.
ś
eby macierze stały się obiektem rozważań algebraicznych, musimy zdefiniować
dodawanie i inne operacje na macierzach.
__________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicje
Macierzą o wymiarze m
××××
n, gdzie m, n
∈
N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m
⋅
n
liczb ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
A
m
×
n
=
mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu, np. A
m
××××
n
, B
2
××××
3
.
Element macierzy A stojący w i – tym wierszu oraz w j – tej komunie oznaczamy przez a
ij
.
Liczby i, j nazywamy wskaźnikami elementu a.
Macierze zapisujemy także następująco [a
ij
]
n
××××
m
.
i
w
= [a
i1
, a
i2
, … , a
in
], to wektor i - tego wiersza, dla 1
≤
i
≤
m;
j
k
= [a
j1
, a
j2
, … , a
jm
], to wektor j –tej kolumny, dla 1
≤
j
≤
n.
Macierz A możemy zapisać:
A
m
××××
n
= [ k
1
, k
2
, … , k
n
] =
m
w
w
w
...
2
1
.
Definicja
Macierze A i B są równe, gdy mają ten sam wymiar oraz dla wszystkich i, j jest a
ij
= b
ij
Definicja
Macierz wymiaru m
××××
n, której wszystkie elementy są 0 nazywamy macierzą zerową
wymiaru m
××××
n ;
0
m
××××
n
= [0]
m
××××
n
=
0
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
.
Definicja
Macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą
kwadratową, czyli A
n
××××
n
.
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.
Definicja
Elementy macierzy kwadratowej, które mają ten sam numer wiersza, co kolumny
tworzą główną przekątną macierzy; czyli elementy a
i i
, dla 1
≤
i
≤
n.
Definicja
Macierz kwadratową, której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, zaś
pozostałe elementy równe 0 nazywamy macierzą jednostkową.
I
n
=
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
1
.
Definicja
Macierzą transponowaną do macierzy A = [a
i j
]
m
××××
n
nazywamy macierz A
T
= [a
j i
]
n
××××
m
.
2. Działania na macierzach
2.1. Dodawanie macierzy
Dwie macierze można dodać wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same wymiary. Po prostu
dodaje się odpowiadające sobie wyrazy. Na przykład
A + B =
−
0
1
1
4
3
2
+
5
4
3
7
6
5
=
+
+
−
+
+
+
+
5
0
4
1
3
1
7
4
6
3
5
2
=
5
3
4
11
9
7
C + 0 = 0 + C =
f
e
d
c
b
a
+
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
+
f
e
d
c
b
a
=
f
e
d
c
b
a
Zauważmy, że w przypadku dodawania C + 0 przyjęliśmy takie wymiary macierzy zerowej,
które czynią dodawanie sensownym.
Takie wyrażenie, jak
A + D =
−
0
1
1
4
3
2
+
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
jest pozbawione sensu, bo macierze A i D mają różne wymiary.
_________________________________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Sumą macierzy A = [a
ij
]
m
××××
n
i B = [b
ij
]
m
××××
n
nazywamy macierz C
m
××××
n
= [c
i j
]
m
××××
n
,
gdzie c
i j
= a
i j
+ b
i j
.
Piszemy C = A + B lub [c
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
lub [a
ij
+ b
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
.
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
+
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
.
Definicja
Macierzą przeciwną do A = [a
i j
]
m
××××
n
nazywamy macierz: –A = [ –a
i j
]
m
××××
n
.
Definicja
Różnicą A – B macierzy A, B nazywamy macierz C = A + (–B).
2.2. Mnożenie przez liczbę (scalar)
Każdą macierz można pomnożyć przez dowolny skalar (liczbę). Trzeba tylko
pomnożyć każdy wyraz macierzy przez ten skalar. Na przykład
3
⋅
A = 3
⋅
−
0
1
1
4
3
2
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
3
)
1
(
3
1
3
4
3
3
3
2
3
=
−
0
3
3
12
9
6
Jest 0 A = A 0 = 0.
liczba 0 macierz zerowa
C
−
D =
6
5
4
3
2
1
+ (-1)
−
−
3
1
0
1
2
3
=
6
5
4
3
2
1
+
−
−
−
3
1
0
1
2
3
=
−
9
6
4
2
0
2
Ostatni przykład pokazuje, w jaki sposób odejmujemy macierze (oczywiście tego
samego wymiaru), a mianowicie: X – Y = X + (-1) Y.
_____________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Iloczynem macierzy A = [a
i j
]
m
××××
n
przez liczbę rzeczywistą
β
nazywamy macierz
C = [c
i j
]
m
××××
n
= [
β
a
i j
]
m
××××
n
Piszemy C =
β
A lub [c
i j
]
m
××××
n
=
β
[a
i j
]
m
××××
n
=
[
β
a
i j
]
m
××××
n
.
β
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
β
β
β
β
β
β
β
β
β
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Twierdzenie
Jeżeli A, B, [0] są macierzami tego samego wymiaru,
α
,
β
liczbami rzeczywistymi, to:
a)
α
(A + B) =
α
A +
α
B
b) (
α
+
β
) A =
α
A +
β
A
c) 1
⋅
A = A
d) 0
⋅
A = [0]
Przykład
Rozwiąż równanie -3(A + X) + 5(2X + B) = A – B o niewiadomej X, gdy
A =
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
, B =
−
3
1
2
0
1
2
0
2
.
Zauważmy że X musi być macierzą wymiaru 2
×
4 (w przeciwnym przypadku nie można
byłoby dodać jej do A).
Zadanie można rozwiązać w różny sposób, np.
1.
Oznaczyć poszczególne wyrazy literami i po podstawieniu danych macierzy w miejsce A i B
wykonać obliczenia.
2.
Wykonać działania i na końcu podstawić dane macierze.
Postąpimy wg drugiego sposobu, wykorzystując powyższe twierdzenie.
-3(A + X) + 5(2X + B) = A – B
-3A – 3X + 10X + 5B = A – B
-3A + 7X + 5B = A – B
3A –3A + 7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 4A – B
7X = 4A – B – 5B
7X = 4A – 6B
X =
7
4
A–
7
6
B.
Wystarczy obliczyć
7
4
A,
7
6
B.
7
4
A -
7
6
B i otrzymamy macierz X.
7
4
A =
7
4
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
=
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
,
7
6
B =
7
6
−
3
1
2
0
1
2
0
2
=
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
,
7
4
A –
7
6
B =
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
–
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
=
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
Zatem X =
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
2.3. Transpozycja macierzy
Macierzą transportowaną macierzy M jest macierz M
T
otrzymana z M przez
utworzenie wierszy z kolumn, a kolumn z wierszy, więc
M =
6
5
4
3
2
1
, M
T
=
T
6
5
4
3
2
1
=
6
4
2
5
3
1
Jest oczywiste, że transponowanie transpozycji powoduje powrót macierzy do jej
poprzedniej postaci, to znaczy (M
T
)
T
= M.
2.4. Mnożenie macierzy
Jeżeli macierz R ma tyle samo kolumn, ile macierz S ma wierszy , to iloczyn macierzy
RS
ma sens, ale tylko w tym przypadku. Często więc iloczyn RS ma sens, a SR nie ma
sensu. Jeżeli nawet obie macierze, RS i SR, mają sens, to zwykle nie są sobie równe.
Jeżeli R jest macierzą o wymiarach m
×
n, a S jest macierzą o wymiarach n
×
p,
to RS jest
macierzą o wymiarach m
×
p.
Pokażemy, jak obliczać wyrazy iloczynu na przykładzie macierzy A o wymiarach 2
×
3 oraz
macierzy D o wymiarach 3
×
2. Macierz AD ma wówczas wymiary 2
×
2. Mamy
R
⋅
S =
6
5
4
3
2
1
⋅
−
−
−
4
0
2
5
0
1
=
−
−
34
21
16
9
Wyrazy macierzy RS policzono jak następuje:
a
11
= 9 = 1
⋅
(-1) + 2
⋅
5 + 3
⋅
0,
a
12
= -16 = 1
⋅
0 + 2(-2) + 3 (-4)
a
21
= 21 = 4(-1) + 5
⋅
5 + 6
⋅
0,
a
22
= -34 = 4
⋅
0 + 5(-2) + 6(-4).
Na przykład wyraz -16.
Leży on w pierwszym wierszu i w drugiej kolumnie macierzy. Powstał więc z pierwszego
wiersza
macierzy R i drugiej kolumny macierzy S
Pierwszy wiesz R druga kolumna S Pierwszy wiersz
i druga kolumna RS
*
*
*
3
2
1
−
−
4
*
2
*
0
*
−
*
*
16
*
ś
eby otrzymać —16 z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy D,
mnożymy odpowiadające sobie wyrazy i dodajemy iloczyny, a
więc
Aby pomnożyć macierze wygodnie je pisać w następujący sposób:
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Strzałki podpowiadają z którego wiersza i której kolumny otrzymujemy dany wyraz.
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Zachodzą ogólne twierdzenia
a)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
b)
Mnożenie macierzy jest łączne (A B) C = A (B C), czyli można najpierw mnożyć A
przez B i wynik przez C bądź mnożyć A przez wynik mnożenia macierzy B i C;
wszystko pod warunkiem, że te mnożenia są wykonalne.
c)
Transpozycja zmienia porządek iloczynu, to znaczy, że (AB)
T
= B
T
A
T
Macierz zerowa działa dokładnie tak, jak można by oczekiwać: wynik mnożenia
czegokolwiek przez macierz zerową jest macierzą zerową.
Jest też macierz jednostkowa ze spodziewanymi własnościami. Macierz jednostkowa
zawsze jest macierzą kwadratową, ale - podobnie jak w przypadku macierzy zerowej - jej
dokładne wymiary powinny być wywnioskowane z kontekstu. Macierzą jednostkową o
wymiarach 3 x 3 jest
I
3
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, I
2
=
1
0
0
1
W macierzy jednostkowej na głównej przekątnej są jedynki, a poza tą przekątną zera.
__________________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Niech A
m
××××
t
= [a
i j
]
m
××××
t
, B
t
××××
n
= [b
i j
]
t
××××
n
.
Iloczynem AB macierzy A i B nazywamy
macierz C
m
××××
n
= [c
ij
]
m
××××
n
gdzie c
i j
=
j
i
k
w o
=
∑
=
t
s
s
s
k
w
1
.
Przyjmując, że A =
m
w
w
w
...
2
1
, B = [
1
k
,
2
k
, … ,
n
k
], wtedy
AB =
m
w
w
w
...
2
1
⋅
[
1
k
,
2
k
, … ,
n
k
]=
n
m
m
m
n
n
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
o
o
o
o
o
o
o
o
o
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.
Twierdzenie
Niech A, B, C, I , [0] będą takimi macierzami, dla których podane działania są wykonalne. Wtedy:
a) A (B + C) = A B + A C
b) (A + B) C = A C + B C
c) A (
α
B) = (
α
A) B =
α
(A B)
d) A (B C) = (A B) C
e) A I = I A = A
f) [0] A = A [0] = [0].
3. Przekształcenia elementarne macierzy
Przekształceniem elementarnym lub operacją elementarną na macierzy (elementary
operation) nazywamy:
1.
Zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy albo dwóch
dowolnych kolumn.
2.
Mnożenie przez liczbę różną od zera wszystkich elementów dowolnego wiersza
(kolumny).
3.
Dodawanie do wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiadających im
(stojących na tych samych miejscach) elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
tę samą liczbę różną od zera.
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez operacje elementarne to mówimy, że A i B są
macierzami równoważnymi i zapisujemy A ~ B.
Przykład
Macierz M =
−
−
3
0
1
2
1
4
5
3
2
1
7
4
przekształcamy następująco:
Zamieniamy miejscami wiersz drugi i wiersz trzeci, otrzymujemy (nowe wiersze
zaznaczamy ‘)
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
2
1
7
4
, piszemy w
2
’
= w
3
, w
3
’
= w
2
,
mnożymy wiersz pierwszy przez -3, piszemy w
1
’ = -3w
1
, otrzymujemy
−
−
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
6
3
21
12
.
Do wiersza drugiego dodamy wiersz trzeci pomnożony przez 5 (zapis w
2
’= w
2
+5w
3
):
−
−
−
1
4
5
3
8
20
24
17
6
3
21
12
.
Podobne operacje można wykonywać na komunach macierzy.
Operacje elementarne stosujemy, by doprowadzić daną macierz do równoważnej jej
macierzy schodkowej lub macierzy zero- jedynkowej.
W macierzy schodkowej jest tak wiele zer z lewej strony każdego wiersza jak to tylko
możliwe, zaczynając od dolnego wiersza i posuwając się w górę.
W macierzy zero- jedynkowej jest tyle zer jak to tylko możliwe.
Macierz schodkowa równoważna macierzy M z poprzedniego przykładu jest na
przykład następująca (może być także inna):
108
0
0
0
0
0
1
0
23
1
0
0
Macierz zero – jedynkowa jest następująca:
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
;
można ją doprowadzić do postaci (przestawiając kolumny ):
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
.
W niej mnożna dostrzec macierz jednostkową I
3
oraz macierz utworzoną z samych zer
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
; zaznaczyłem to pionową kreską.
Przekształcenia elementarne są potrzebne do tego, aby wyznaczać rząd macierzy.
4. Rząd macierzy
Rząd macierzy to ilość (liczba )niezerowych wierszy w jej postaci schodkowej. Na
przykład rząd macierzy M (z poprzedniego przykładu) wynosi 3.
Rząd może być 0 (macierz zerowa) lub liczbą naturalną dodatnią.
Macierz schodkową danej macierzy można otrzymać przekształcając same wiersze,
same kolumny a także jednocześnie wiersze i kolumny. Nie ma znaczenia jak będziemy
przekształcać zawsze otrzymamy ten sam rząd macierzy.
Pojęcie rzędu macierzy jest ważnym pojęciem wykorzystywanym przy rozwiązywaniu
układów równań liniowych.
Ćwiczenia
1. Napisz macierz A = [a
i j
]
m x n
, gdy:
a) a
i j
= (–1)
i
(2i – 3j), m = 3, n = 2 , b) a
i j
=
(2 – j)
i
, m = 2, n = 4.
2. Dane są macierze:
A
2 x 3
=
−
−
−
5
3
2
4
2
1
, B
2 x 2
=
−
−
1
5
,
0
0
2
, C
3 x 2
=
2
1
6
3
4
2
, D
2 x 3
=
−
1
0
1
0
5
2
.
Wyznacz (o ile to możliwe) macierz:
a) A + 2B , b) 2A – 2B , c) (A – B)
⋅
C , d) C
⋅
D, e) D
⋅
C,
f) A
⋅
C, g) C
T
⋅
A, h) (D
T
– 2 C)
⋅
B, i) B
2
, j) A
2
,
k) C
T
– A, l) (B – C)
⋅
A, ł) B
2
⋅
D, m) C
⋅
B
2
⋅
D, n) (2D + A)
⋅
C
2
,
o) D
⋅
C
⋅
B, p) 2A
⋅
3D, q) C
⋅
D
⋅
A
T
, r) A
⋅
B, s) C
⋅
B.
3. Oblicz:
2
0
1
1
2
−
+
2
1
1
3
2
−
−
.
4. Podaj warunki , przy których AX = B, gdy
A =
−
−
1
2
1
0
1
1
3
2
1
, B =
0
3
1
, X =
z
y
x
5. Rozwiąż równania i układy równań:
a) 3 A –
−
0
1
5
2
= 5A –
−
1
0
1
2
, b) 2
b
a
–
−
2
1
+ 4
b
a
=
1
2
,
c) (2A)
T
=
−
0
3
5
2
, d) [a 2 1]
⋅
1
0
0
2
1
0
3
2
1
⋅
0
2
a
= [0] ,
e)
2
1
A + 4
−
1
0
2
1
= -
−
−
2
1
5
2
, f)
−
=
+
−
=
−
1
4
1
2
2
3
2
1
0
2
Y
X
Y
X
.
6. Oblicz wartość wyrażenia f(X) = X
2
– 4X + 5 I, gdy X =
−
1
1
3
2
, I =
1
0
0
1
.
7. Doprowadź do postaci schodkowej, do postaci zero - jedynkowej macierz:
a) A =
−
1
3
4
2
1
1
3
1
1
, B =
−
−
−
5
3
2
3
1
5
, C =
−
−
−
−
−
−
3
2
4
4
8
4
2
1
3
2
1
3
1
2
1
.
8. Określ rząd każdej macierzy z zadania 7.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ćw 15 Rachunek macierzowy
MVP - rachunek macierzowy, Portfel inwestycyjny, Portfel inwestycyjny, Portfel inwestycyjny, Portfel
rachunek macierzowy
ćw 15, Rachunek macierzowy
1 Rachunek Macierzowy
Elementy rachunku macierzowego, uczelnia
12 Rachunek macierzowy
ćw 15 Rachunek macierzowy
Rachunek macierzowy
Wyrównanie parametryczne - metoda macierzowa, Geodezja i Kartografia, Rachunek Wyrównawczy
Macierz Odwrotna, Finanse i rachunkowość, Matematyka
1.Algebra macierzy, Geodezja, rachunek wyrówmawczy
więcej podobnych podstron