1

Sieć niwelacyjna - wyrównanie metodą spostrzeżeń pośrednich

Spostrzeżenia jednakowo dokładne

Mierzymy L

1

, L

2

, L

3

,...L

n

(jako różnice wysokości pomiędzy kolejnymi reperami)

Niewiadome

(wysokości reperów

)

H

1

= H

1

0

+ d h

1

H

2

= H

2

0

+ d h

2

H

3

= H

3

0

+ d h

3

Tworzy

my równania obserwacyjne typu:

H

p

+ L

i

+ v

i

= H

n

Przekształcamy równania do postaci:

v

i

= H

n

– H

p

- L

i

M a m y n a s t ę p u j ą c e m o ż l i w o s c i

1)

(dwa punkty wyznaczane)

v

i

= H

n

– H

p

- L

i

= H

n

0

+ d h

n

– H

p

0

- d h

p

- L

i

= d h

n

– d h

p

+ H

n

0

- H

p

0

- L

i

= d h

n

– d h

p

+

w

i

Hp

Hn

Li

2

2)

(

punkt stały i wyznaczany)

v

i

= H

n

– H

p

- L

i

= H

n

0

+ d h

n

– H

p

- L

i

= d h

n

+ H

n

0

- H

p

- L

i

= d h

n

+

w

i

3)

(punkt wyznaczany

i stały)

v

i

= H

n

– H

p

- L

i

= H

n

– H

p

0

- d h

p

- L

i

=

– d h

p

+ H

n

- H

p

0

- L

i

=

– d h

p

+

w

i

4)

(dwa

punkty stałe)

v

i

= H

n

– H

p

- L

i

= H

n

- H

p

- L

i

=

w

i

spostrzeżenie bezwartościowe

Teoretyczna postać równania poprawki to:

v

i

= a

i

dh

1

+ b

i

dh

2

+c

i

dh

3

+ . . u

1

dh

u

.+ w

i

Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości 1, -1 lub 0 (wystąpi 1 lub 2 „jedynki” w każdym równaniu).

Układ równań poprawek (URP)

dla „u” niewiadomych i „n” spostrzeżeń

v

1

= a

1

d h

1

+ b

1

d h

2

+ c

1

d h

3

+ . . u

1

d h

u

.+ w

1

v

2

= a

2

d h

1

+ b

2

d h

2

+ c

2

d h

3

+ . . u

2

d h

u

.+ w

2

v

3

= a

3

d h

1

+ b

3

d h

2

+ c

3

d h

3

+ . . u

3

d h

u

.+ w

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

n

= a

n

d h

1

+ b

n

d h

2

+ c

n

d h

3

+ . . u

n

d h

u

.+ w

n

Hp

Hn

Li

Hp

Hn

Li

Hp

Hn

Li

3

Uwzględniamy (MNK):

F = [vv]

=> minimum funkcji

F’=0 i F’’>0

[vv]=v

1

*v

1

+ v

2

*v

2+

v

3

*v

3+ . . .+

v

n

*v

n

Podstawiamy równania poprawek (v

i

i otrzymujemy u

kład równań

normalnych (

URN

)

{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}

[aa]*

dh

1

+[ab]*

dh

2

+[ac]*

dh

3

+ ... [au]*

dh

u

+[aw]=0

[ab]*

dh

1

+[bb]*

dh

2

+[bc]*

dh

3

+ ... [bu]*

dh

u

+[bw]=0

[ac]*

dh

1

+[bc]*

dh

2

+[cc]*

dh

3

+ ... [cu]*

dh

u

+[cw]=0

............................................... .

[au]*

dh

1

+[bu]*

dh

2

+[cu]*

dh

3

+ ... [uu]*

dh

u

+[uw]=0

4

Spostrzeżenia niejednakowo dokładne

Mierzymy L

1

, L

2

, L

3

,...L

n

z wagami p

1

, p

2

, p

3,

...

p

n

(najlepiej jako

i

i

n

c

p

., gdzie n

i

to i

lość stanowisk)

Twor

zymy równania obserwacyjne typu:

H

p

+ L

i

+ v

i

= H

n

Przekształcamy równania w układ równań poprawek (URP)

v

1

= a

1

d h

1

+ b

1

d h

2

+ c

1

d h

3

+ . . u

1

d h

u

.+ w

1

v

2

= a

2

d h

1

+ b

2

d h

2

+ c

2

d h

3

+ . . u

2

d h

u

.+ w

2

v

3

= a

3

d h

1

+ b

3

d h

2

+ c

3

d h

3

+ . . u

3

d h

u

.+ w

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

n

= a

n

d h

1

+ b

n

d h

2

+ c

n

d h

3

+ . . u

n

d h

u

.+ w

n

Uwzględniamy (MNK):

F = [pvv]

=> minimum funkcji

(F’=0 i F’’>0)

[vv]=p

1

*v

1

*v

1

+ p

2

*v

2

*v

2+

p

3

*v

3

*v

3+ . . .+

p

n

*v

n

*v

n

Podstawiamy równania poprawek (v

i

) i otrzymujemy

URN

{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}

[paa]*

dh

1

+[pab]*

dh

2

+[pac]*

dh

3

+ .. [pau]*

dh

u

+[paw]=0

[pab]*

dh

1

+[pbb]*

dh

2

+[pbc]*

dh

3

+ .. [pbu]*

dh

u

+[pbw]=0

[pac]*

dh

1

+[pbc]*

dh

2

+[pcc]*

dh

3

+ .. [pcu]*

dh

u

+[pcw]=0

............................................... .

[pau]*

dh

1

+[pbu]*

dh

2

+[pcu]*

dh

3

+ .. [puu]*

dh

u

+[puw]=0

5

Dalszy tok obliczeń jest wspólny:

Rozwiązanie układu (dla spostrzeżeń jednakowo lub

różnodokładnych) daje nam niewiadome

(a właściwie przyrosty do niewiadomych)

dh

1

, dh

2

, dh

3

...

a z równań typu

H

i

= H

0

+

d h

i

wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem.

Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w
dowolny sposób, np. metodą macierzową.

Zapis macierzowy

Spostrzeżenia jednakowo dokładne

n

v

v

v

v

v

v

V

...

...

5

4

3

2

1

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

A

...

...

.....

.....

.....

......

......

......

......

......

...

...

...

...

...

...

...

...

5

4

3

2

1

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

u

dh

dh

dh

dh

dh

x

....

4

3

2

1

n

w

w

w

w

w

W

5

4

3

2

1

...

V = A * x + W

( A

T

* A ) * x + A

T

* W

= 0

-

x = ( A

T *

A )

-1

* A

T

* W

6

Spostrzeżenia niejednakowo dokładne

V = A * x + W

( A

T

* p * A ) * x + A

T

* p* W

= 0

n

p

p

p

p

p

...

0

0

0

...

...

...

...

...

0

...

0

0

0

...

0

0

0

...

0

0

3

2

1

-

x = ( A

T

* p * A )

-1

* A

T

* p* W

7

Analiza dokładności

Błąd średni jednostkowy

(estymator wariancji resztowej)

inacz

ej błąd średni

typowego spostrzeżenia ( p=1)

u

n

vv

m

]

[

0

Spostrzeżenia jednakowo dokładne

Błąd średni jednostkowy

u

n

pvv

m

]

[

0

Spostrzeżenia niejednakowo dokładne

przy rozwiązaniu macierzowym

Błędy średnie niewiadomych

i

i

dh

x

Cov

m

i

,

)

(

Cov(x)

(u,u)

na przekątnej zawiera odpowiednio

2

2

2

2

...

..

..

..

...

...

...

...

...

..

...

..

..

..

...

..

..

..

...

..

..

)

(

3

2

1

u

dh

dh

dh

dh

m

m

m

m

x

Cov

Cov (x) =

2

0

m

*( A

T *

A )

-

1

Błędy średnie funkcji niewiadomych

i

i

L

L

Cov

m

i

,

)

(

Cov(L)

(n,n)

na przekątnej zawiera odpowiednio

2

2

2

2

...

..

..

..

...

...

...

...

...

..

...

..

..

..

...

..

..

..

...

..

..

)

(

3

2

1

n

L

L

L

L

m

m

m

m

L

Cov

Cov(L) = A * Cov (x) * A

T

2

i

dh

m

2

i

L

m