1
Sieć niwelacyjna - wyrównanie metodą spostrzeżeń pośrednich
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
Mierzymy L
1
, L
2
, L
3
,...L
n
(jako różnice wysokości pomiędzy kolejnymi reperami)
Niewiadome
(wysokości reperów
)
H
1
= H
1
0
+ d h
1
H
2
= H
2
0
+ d h
2
H
3
= H
3
0
+ d h
3
Tworzy
my równania obserwacyjne typu:
H
p
+ L
i
+ v
i
= H
n
Przekształcamy równania do postaci:
v
i
= H
n
– H
p
- L
i
M a m y n a s t ę p u j ą c e m o ż l i w o s c i
1)
(dwa punkty wyznaczane)
v
i
= H
n
– H
p
- L
i
= H
n
0
+ d h
n
– H
p
0
- d h
p
- L
i
= d h
n
– d h
p
+ H
n
0
- H
p
0
- L
i
= d h
n
– d h
p
+
w
i
Hp
Hn
Li
2
2)
(
punkt stały i wyznaczany)
v
i
= H
n
– H
p
- L
i
= H
n
0
+ d h
n
– H
p
- L
i
= d h
n
+ H
n
0
- H
p
- L
i
= d h
n
+
w
i
3)
(punkt wyznaczany
i stały)
v
i
= H
n
– H
p
- L
i
= H
n
– H
p
0
- d h
p
- L
i
=
– d h
p
+ H
n
- H
p
0
- L
i
=
– d h
p
+
w
i
4)
(dwa
punkty stałe)
v
i
= H
n
– H
p
- L
i
= H
n
- H
p
- L
i
=
w
i
spostrzeżenie bezwartościowe
Teoretyczna postać równania poprawki to:
v
i
= a
i
dh
1
+ b
i
dh
2
+c
i
dh
3
+ . . u
1
dh
u
.+ w
i
Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości 1, -1 lub 0 (wystąpi 1 lub 2 „jedynki” w każdym równaniu).
Układ równań poprawek (URP)
dla „u” niewiadomych i „n” spostrzeżeń
v
1
= a
1
d h
1
+ b
1
d h
2
+ c
1
d h
3
+ . . u
1
d h
u
.+ w
1
v
2
= a
2
d h
1
+ b
2
d h
2
+ c
2
d h
3
+ . . u
2
d h
u
.+ w
2
v
3
= a
3
d h
1
+ b
3
d h
2
+ c
3
d h
3
+ . . u
3
d h
u
.+ w
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
n
= a
n
d h
1
+ b
n
d h
2
+ c
n
d h
3
+ . . u
n
d h
u
.+ w
n
Hp
Hn
Li
Hp
Hn
Li
Hp
Hn
Li
3
Uwzględniamy (MNK):
F = [vv]
=> minimum funkcji
F’=0 i F’’>0
[vv]=v
1
*v
1
+ v
2
*v
2+
v
3
*v
3+ . . .+
v
n
*v
n
Podstawiamy równania poprawek (v
i
i otrzymujemy u
kład równań
normalnych (
URN
)
{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}
[aa]*
dh
1
+[ab]*
dh
2
+[ac]*
dh
3
+ ... [au]*
dh
u
+[aw]=0
[ab]*
dh
1
+[bb]*
dh
2
+[bc]*
dh
3
+ ... [bu]*
dh
u
+[bw]=0
[ac]*
dh
1
+[bc]*
dh
2
+[cc]*
dh
3
+ ... [cu]*
dh
u
+[cw]=0
............................................... .
[au]*
dh
1
+[bu]*
dh
2
+[cu]*
dh
3
+ ... [uu]*
dh
u
+[uw]=0
4
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Mierzymy L
1
, L
2
, L
3
,...L
n
z wagami p
1
, p
2
, p
3,
...
p
n
(najlepiej jako
i
i
n
c
p
., gdzie n
i
to i
lość stanowisk)
Twor
zymy równania obserwacyjne typu:
H
p
+ L
i
+ v
i
= H
n
Przekształcamy równania w układ równań poprawek (URP)
v
1
= a
1
d h
1
+ b
1
d h
2
+ c
1
d h
3
+ . . u
1
d h
u
.+ w
1
v
2
= a
2
d h
1
+ b
2
d h
2
+ c
2
d h
3
+ . . u
2
d h
u
.+ w
2
v
3
= a
3
d h
1
+ b
3
d h
2
+ c
3
d h
3
+ . . u
3
d h
u
.+ w
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
n
= a
n
d h
1
+ b
n
d h
2
+ c
n
d h
3
+ . . u
n
d h
u
.+ w
n
Uwzględniamy (MNK):
F = [pvv]
=> minimum funkcji
(F’=0 i F’’>0)
[vv]=p
1
*v
1
*v
1
+ p
2
*v
2
*v
2+
p
3
*v
3
*v
3+ . . .+
p
n
*v
n
*v
n
Podstawiamy równania poprawek (v
i
) i otrzymujemy
URN
{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}
[paa]*
dh
1
+[pab]*
dh
2
+[pac]*
dh
3
+ .. [pau]*
dh
u
+[paw]=0
[pab]*
dh
1
+[pbb]*
dh
2
+[pbc]*
dh
3
+ .. [pbu]*
dh
u
+[pbw]=0
[pac]*
dh
1
+[pbc]*
dh
2
+[pcc]*
dh
3
+ .. [pcu]*
dh
u
+[pcw]=0
............................................... .
[pau]*
dh
1
+[pbu]*
dh
2
+[pcu]*
dh
3
+ .. [puu]*
dh
u
+[puw]=0
5
Dalszy tok obliczeń jest wspólny:
Rozwiązanie układu (dla spostrzeżeń jednakowo lub
różnodokładnych) daje nam niewiadome
(a właściwie przyrosty do niewiadomych)
dh
1
, dh
2
, dh
3
...
a z równań typu
H
i
= H
0
+
d h
i
wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem.
Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w
dowolny sposób, np. metodą macierzową.
Zapis macierzowy
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
n
v
v
v
v
v
v
V
...
...
5
4
3
2
1
n
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
A
...
...
.....
.....
.....
......
......
......
......
......
...
...
...
...
...
...
...
...
5
4
3
2
1
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
u
dh
dh
dh
dh
dh
x
....
4
3
2
1
n
w
w
w
w
w
W
5
4
3
2
1
...
V = A * x + W
( A
T
* A ) * x + A
T
* W
= 0
-
x = ( A
T *
A )
-1
* A
T
* W
6
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
V = A * x + W
( A
T
* p * A ) * x + A
T
* p* W
= 0
n
p
p
p
p
p
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
3
2
1
-
x = ( A
T
* p * A )
-1
* A
T
* p* W
7
Analiza dokładności
Błąd średni jednostkowy
(estymator wariancji resztowej)
inacz
ej błąd średni
typowego spostrzeżenia ( p=1)
u
n
vv
m
]
[
0
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
Błąd średni jednostkowy
u
n
pvv
m
]
[
0
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
przy rozwiązaniu macierzowym
Błędy średnie niewiadomych
i
i
dh
x
Cov
m
i
,
)
(
Cov(x)
(u,u)
na przekątnej zawiera odpowiednio
2
2
2
2
...
..
..
..
...
...
...
...
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
)
(
3
2
1
u
dh
dh
dh
dh
m
m
m
m
x
Cov
Cov (x) =
2
0
m
*( A
T *
A )
-
1
Błędy średnie funkcji niewiadomych
i
i
L
L
Cov
m
i
,
)
(
Cov(L)
(n,n)
na przekątnej zawiera odpowiednio
2
2
2
2
...
..
..
..
...
...
...
...
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
)
(
3
2
1
n
L
L
L
L
m
m
m
m
L
Cov
Cov(L) = A * Cov (x) * A
T
2
i
dh
m
2
i
L
m