MECHANIKA
UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH
Prowadzący: dr inŜ. Paweł Ostapkowicz
WM-324
MECHANIKA
UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH
Prowadzący: dr inŜ. Paweł Ostapkowicz
WM-324
Wykład 2 i 3
Temat:
Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
1. Wstęp
Kinematyka: (od greckiego słowa „kinema” - ruch) – dział mechaniki, który zajmuje się
badaniem ruchu mechanizmów w oderwaniu od przyczyn (sił), które ten ruch powodują.
Stąd uzasadnia to często stosowaną zamiennie ze słowem kinematyka nazwę geometria
ruchu.
Badanie ruchu polega na określeniu połoŜeń, prędkości i przyspieszeń punktów (danego
mechanizmu).
W kinematyce występują dwie jednostki:
- długości (przemieszczenia),
- czasu.
Kinematyka dzieli się na dwa podstawowe działy:
1)
analiza – dotyczy badania ruchu istniejących mechanizmów,
2)
synteza – dotyczy projektowania mechanizmów wykonujących określony ruch.
Metody stosowane w kinematyce moŜna podzielić na trzy grupy:
- metody wykreślne – są szczególnie przydatne dla konstruktorów mechanizmów
i maszyn. Pozwalają prosto i szybko wyznaczyć połoŜenia, prędkości i przyśpieszenia
w złoŜonych mechanizmach;
- metody analityczne – zapewniają większą dokładność wyników;
- metody numeryczne – zapewniają większą dokładność wyników i szybkość obliczeń.
Metody analizy powinny być dobierane w zaleŜności od Ŝądanej dokładności i rodzaju
mechanizmu. W mechanizmach prostych metody analityczne są dość proste,
w mechanizmach złoŜonych stają się one mocno skomplikowane.
2. Przypomnienie wiadomości o wektorach
Wektor jest to wielkość posiadająca:
- kierunek,
- zwrot,
- punkt przyłoŜenia,
- wartość.
Działania na wektorach:
- mnoŜenie skalarne,
- dodawanie skalarne,
- dodawanie graficzne.
3. Metody wykreślne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich
Podstawowym zagadnieniem przy stosowaniu metod wykreślnych jest przyjęcie
odpowiedniej podziałki.
Podziałka
χ
jest to skalar określający stosunek wielkości rzeczywistej do rysunkowej
i mający taki wymiar, aby na rysunku otrzymać długość w milimetrach.
)
(
)
(
X
X
X
X
=
=
→
→
χ
→
X
- wektor rzeczywisty,
X
- moduł wektora,
)
(
→
X
- wektor rysunkowy,
)
(X
- moduł wektora,
v
χ
- podziałka prędkości (m/s / mm)
ε
χ
- podziałka dla przyspieszenia kątowego (1/s
2
/ mm)
3.1. Wyznaczanie prędkości
METODA RZUTÓW
Twierdzenie: Rzuty prędkości dwóch punktów A i B członu sztywnego (nie powinien się
rozciągać lub kurczyć) na prostą AB są sobie równe.
Rys. Ilustracja metody rzutów
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)
prędkość jednego punktu,
2)
kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU
Twierdzenie: Ze środka chwilowego obrotu członu widać prędkości wszystkich punktów
członu pod jednakowym kątem.
Zawsze moŜna napisać, Ŝe
A
A
A
r
V
ω
=
Rys.
Ilustracja metody chwilowego
ś
rodka obrotu
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)
prędkość jednego punktu ciała,
2)
połoŜenie chwilowego środka obrotu.
Co zrobić, gdy połoŜenie chwilowego środka obrotu nie mieści się na rysunku?
Twierdzenie: KaŜdy ruch złoŜony moŜe być rozpatrywany jako chwilowy ruch postępowy i
obrotowy.
Składowe chwilowego ruchu obrotowego są
prostopadłe do a
0
b
0
i są proporcjonalne do
odległości od punktu O.
To prawo proporcjonalności pozwala określić
prędkość dowolnego punktu członu sztywnego,
w przypadku gdy nie znany jest kierunek jego
prędkości,
a
ś
rodek
prędkości
leŜy
poza
rysunkiem.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
Rys. Ilustracja zasady, Ŝe kaŜdy
ruch złoŜony składa się z ruchu
obrotowego i postępowego
Do wyznaczenia chwilowego środka obrotu (środka prędkości) trzeba mieć dane kierunki
prędkości dwóch punktów ciała sztywnego i punkty przyłoŜenia tych prędkości. Środek
prędkości leŜy na przecięciu prostopadłych do kierunków prędkości, wyprowadzonych z
punktów przyłoŜenia prędkości.
Jak wyznaczyć chwilowe środki obrotu trzech układów płaskich poruszających się
względem siebie?
Twierdzenie: Trzy chwilowe środki obrotu względnego dowolnych trzech członów
mechanizmu płaskiego leŜą na jednej prostej.
Rys. Trzy układy płaskie poruszające się względem siebie
trzy układy płaskie: i, k , l; dane środki obrotu: ki, li, kl;
przy czym poszukiwany jest środek obrotu kl
Punkt x będzie chwilowym środkiem obrotu członów k i l
wtedy i tylko wtedy, jeśli ∆V = 0, a to wymaga aby x leŜał
na prostej kl.
METODA ROZKŁADU (NA PRĘDKOŚĆ UNOSZENIA I PRĘDKOŚĆ WZGLĘDNĄ)
Twierdzenie: Prędkość bezwzględna dowolnego punktu ciała sztywnego
jest sumą wektorową prędkości unoszenia i prędkości względnej.
Ruch względny jednego punktu członu sztywnego
względem drugiego punktu tego członu moŜe być tylko
ruchem obrotowym, prędkość względna musi być zawsze
prostopadła do prostej łączącej punkty członu.
Rys. Ilustracja metody
Wektor będąc sumą ma zwrot przeciwny do składowych. NaleŜy równieŜ
przestrzegać kolejności indeksów. Nie wolno ich zmieniać, szczególnie dla prędkości
względnej. Kreski pod oznaczeniami prędkości informują o ilości danych. Dwie kreski
oznaczają, Ŝe znany jest moduł i kierunek, jedna kreska, Ŝe znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek prędkości
. Kierunki pisze się zwykle pod kreską.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA PLANU PRĘDKOŚCI
Zadanie: Obliczyć prędkości punktów
Q i R członu a poruszającego się
względem nieruchomego członu b.
Dane: prędkość punktu P i kierunek
prędkości punktu Q.
Rys. Ilustracja metody
Obiera się dowolny punkt O' i w wybranej podziałce kreśli wektor prędkości
→
P
V
.
Z punktu P' kreśli się prostopadłą do PQ. Na kierunku tym będzie leŜał wektor prędkości
względnej
QP
V
. Przez punkt O' kreśli się równoległą do kierunku V
Q
. Punkt Q' jako
przecięcie kierunków V
Q
i V
QP
daje wielkości tych prędkości. Odcinek O'Q' reprezentuje
w wybranej podziałce wektor
→
Q
V
, a odcinek P'Q' wektor
→
QP
V
. Przez punkt P' kreśli się
prostopadłą do PR. Jest to kierunek prędkości V
RP
. Kierunek prędkości V
RQ
otrzymuje się
kreśląc prostopadłą do QR przez punkt Q'. Przecięcie się kierunków V
RP
i V
RQ
daje wektor
→
R
V
zgodnie z sumą wektorową:
Obliczono prędkości punktów Q i R.
Trójkąt P'Q'R' jest podobny do trójkąta
PQR, tylko obrócony względem niego o
90°
w
stronę
obrotu
chwilowego.
Odpowiadające sobie boki są prostopadłe.
Trójkąt P'Q'R' nazywa się planem
prędkości.
Definicja: Figurę geometryczną będącą miejscem geometrycznym końców wektorów
prędkości figury płaskiej a, poruszającej się ruchem płaskim, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu, nazywa się planem prędkości figury a w danym połoŜeniu.
Własności planu prędkości:
1. Plan prędkości jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 90° w stronę obrotu chwilowego.
3. Wektory
→
)
'
'
( Q
P
,
→
)
'
'
(
R
P
... są prędkościami rysunkowymi względnymi, np.
)
(
)
'
'
(
QP
V
Q
P
→
→
=
itp..
4. Twierdzenie o planie prędkości jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.
3.2. Wyznaczanie przyspieszenia
Aby wyznaczyć przyspieszenia punktów członu sztywnego, naleŜy przedtem znać
prędkości tych punktów. Wygodnie jest wyznaczać przyspieszenia w takiej kolejności,
w jakiej wyznaczano prędkości.
METODA ROZKŁADU PRZYSPIESZEŃ
Twierdzenie: przyspieszenie bezwzględne dowolnego punktu członu sztywnego jest sumą
wektorową przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego i przyspieszenia
Coriolisa.
Gdy rozpatruje się człon sztywny, wtedy ruch unoszenia jest
ruchem postępowym. Dla członu AB
→
→
=
A
u
p
p
i wtedy
zawsze
0
=
→
c
p
. Dla członu sztywnego ruch względny jest
ruchem obrotowym i wtedy:
Gdy zostały uprzednio obliczone prędkości punktów, wektor
przyspieszenia normalnego
→
n
BA
p
jest zawsze znany, bo jego moduł
wyraŜa się równaniem:
a zwrot jest zawsze skierowany w stronę środka obrotu względnego.
Moduł względnego przyspieszenia stycznego
→
t
BA
p
, które jest prostopadłe do
względnego przyspieszenia normalnego, wyraŜa się równaniem:
Jeśli znane jest ε i przyspieszenie punktu A, moŜna
obliczyć przyspieszenie punktu B za pomocą równania:
Jeśli nie jest znane ε, to w celu zastosowania metody naleŜy
mieć
dane:
przyspieszenie
punktu
A
i
kierunek
przyspieszenia punktu B. Wtedy przyspieszenie punktu B
oblicza się za pomocą równania:
dwie kreski oznaczają, Ŝe znany
jest moduł i kierunek, jedna kreska,
Ŝ
e znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek
Ogólnie moŜna napisać, Ŝe:
Kąt, który tworzy przyspieszenie względne z prostą AB, obliczamy się z równania:
Z uwagi, Ŝe ε i ω są w danej chwili stałe dla całego członu, kąt ψ jest w danej chwili stały
dla całego członu.
METODA CHWILOWGO ŚRODKA PRZYSPIESZEŃ
Twierdzenie: w ruchu obrotowym chwilowy środek przyspieszeń (punkt,
którego przyspieszenie w danej chwili równa się zeru) pokrywa się ze
ś
rodkiem prędkości.
Jeśli znane jest połoŜenie środka przyspieszeń
P
C , wyznaczenie przyspieszenia
dowolnego punktu ciała sztywnego znacznie się upraszcza. Wówczas:
- przyspieszenie chwilowego środka przyspieszeń, które równe jest zeru
Stąd:
Korzystając z zaleŜności:
gdzie: - odległość środka przyspieszeń od punktu B
Po podstawieniu
otrzymuje się:
przyspieszenia dowolnego
punktu członu sztywnego są
proporcjonalne do odległości
od chwilowego środka
przyspieszeń
Rys. Wyznaczanie przyspieszeń metodą chwilowego środka
przyśpieszeń
JeŜeli wiadomo, Ŝe kąt ψ jest w danej
chwili stały dla całego członu
z otrzymanego równania:
wynika, Ŝe kąty ν teŜ są stałe w danej chwili dla całego członu
sztywnego.
Pozwala to, gdy znane jest przyspieszenie jednego punktu członu sztywnego
→
B
p
i jego
odległość od chwilowego środka przyspieszeń
BP
ρ
, wyznaczyć przyspieszenie dowolnego
punktu C.
Najpierw mając
→
B
p
i P znajduje się kąty ψ i ν, a następnie łączy punkt C z punktem P
i odmierzając kąty ψ i ν znajduje się
→
C
p
.
Rys. Konstrukcja pomocnicza do wyznaczania przyspieszenia kątowego
PoniewaŜ kąty ν są w danej chwili stałe, stałe są takŜe kąty ν’. Pozwala to, gdy znane jest
B
p
i
B
ρ
wyznaczyć przyspieszenie kątowe ε, gdyŜ:
Istotne zagadnienie to umiejętność wyznaczania połoŜenia chwilowego środka
przyspieszeń.
METODA PLANU PRZYSPIESZEŃ
Zadanie: Obliczyć przyspieszenie punktu D.
Dane: prędkości punktów A i B (
→
A
V
i
→
B
V
),
przyspieszenie
punktu
A
i
kierunek
przyspieszenia punktu B.
Obierając dowolny biegun O, wykreśla się w
obranej podziałce
→
A
p
, i oblicza przyspieszenie
punktu B według równania:
moduł
Rozwiązując to równanie wykreślnie, otrzymuje się przyspieszenie punktu B.
dwie kreski oznaczają,
Ŝ
e znany jest moduł i
kierunek, jedna kreska,
Ŝ
e znana jest tylko jedna
z tych wielkości np.
kierunek
Oznaczając końce wektorów przyspieszeń
odpowiednio
p
a
,
p
b
, po ich połączeniu
otrzymuje się odcinek prostej.
Wybierając na członie AB dowolnie obrany
punkt D, korzystając z poniŜszej proporcji,
odnajduje się na prostej
p
a
p
b
odpowiadający
mu punkt
p
d
.
Korzystając z metody rozkładu otrzymuje się:
Badając stosunki przyspieszeń względnych,
moŜna ustalić, Ŝe:
Wynika z tego, Ŝe jeśli rozwiąŜe się wykreślnie
równanie, to koniec wektora przyspieszenia
punktu D musi znaleźć się w punkcie
p
d
.
Podobnie
będzie dla
wszystkich
innych
punktów prostej AB.
Prostą
p
a
p
b
nazywa się planem przyspieszeń
członu AB. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe aby otrzymać
połoŜenie prostej
p
a
p
b
, prosta AB jest obracana
o kąt 180°-ψ.
Planem przyspieszeń figury płaskiej, poruszającej się ruchem płaskim, nazywa się miejsce
geometryczne końców wektorów przyspieszeń tej figury, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu.
Własności planu prędkości:
1. Plan przyspieszeń jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 180°-ψ w kierunku zgodnym z obrotem
figury, jeśli ω i ε mają te same zwroty, lub w stronę przeciwną - jeśli mają zwroty
przeciwne.
3. Wektory
→
)
(
p
p
b
a
,
→
)
(
p
p
d
a
... są przyspieszeniami rysunkowymi względnymi,
np.
BA
p
p
p
b
a
→
→
=
)
(
itp.
4. Twierdzenie o planie przyspieszeń jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.
PoniewaŜ plan przyspieszeń jest figurą, aby go wyznaczyć potrzebne są wektory
przyspieszeń dwóch punktów członu sztywnego.
Problemy:
Plan przyśpieszeń w przypadku przyspieszenia Coriolisa buduje się identycznie jak
zwykły plan przyspieszeń, z tym Ŝe naleŜy uwzględnić składową Coriolisa.
Przedstawione metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń dotyczą tylko mechanizmów
klasy drugiej. W odniesieniu do mechanizmów klasy trzeciej naleŜy zastosować inną
metodę, np. metodę Assura.
4. Metody analityczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
Charakterystyka metod analitycznych:
•
są dokładniejsze od metod wykreślnych;
•
dokładność jest zaleŜna od dokładności obliczeń;
•
stosując metody analityczne otrzymuje się wartości szukanych parametrów w postaci
ostatecznej, z uwzględnieniem wszystkich składowych wchodzących w rozwiązanie;
•
najwaŜniejszą zaletą jest ich ogólność (wzory analityczne pozwalają wyjaśnić wpływ
poszczególnych parametrów na charakter ruchu mechanizmu, znaleźć ekstrema i
określić charakter krzywych torów poszczególnych punktów);
•
wadą jest ich duŜa złoŜoność.
4.1. Określanie analitycznych związków między parametrami mechanizmów
Zasada metod analitycznych polega na określeniu współrzędnych interesującego nas
punktu mechanizmu jako funkcji czasu. Następnie przez róŜniczkowanie tych związków
względem czasu otrzymuje się prędkości i przyspieszenia.
Jedną z metod jest przedstawienie mechanizmu płaskiego w postaci zamkniętych wielo-
boków wektorowych. Przy takiej analizie mechanizmów przypisuje się członom charakter
wektorowy. KaŜdy mechanizm jako zamknięty łańcuch kinematyczny moŜna przedstawić
w postaci zamkniętego wieloboku wektorów, określających chwilowe połoŜenia członów.
Chcąc aby związek między parametrami mechanizmu był prawdziwy dla wszystkich jego
połoŜeń, wszystkie kąty charakteryzujące poszczególne człony i wzajemne ich połoŜenia
muszą być określone jednakowo za pomocą tzw. kątów skierowanych.
Kąty skierowane są to kąty odmierzane w jednym obranym za dodatni zwrocie, od
dodatniego kierunku osi np. x, do dodatniego kierunku wektora. W toku analizy nie wolno
zmieniać zwrotu kątów. Zachowując taką umowę otrzymuje się:
Rys. Określenie kątów skierowanych
Warunki zamykania się wieloboku wektorów utworzonego ze schematu mechanizmu
wyraŜa się w postaci równań:
a rzutów tych wektorów na osie współrzędnych równaniami:
Równania tego typu są równaniami toru. Pozwalają one określić wszystkie właściwości
toru punktów mechanizmu.
Prędkości i przyspieszenia członów mechanizmu i ich punktów moŜna znaleźć dzięki
powyŜszym równaniom, poprzez ich róŜniczkowanie względem czasu:
tzw. równania prędkości, które pozwalają otrzymać
rzuty nie znanych prędkości mechanizmu
tzw. równania przyspieszeń, które pozwalają
otrzymać
rzuty
nie
znanych
przyspieszeń
mechanizmu
5. Metody numeryczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
Charakterystyka metod numerycznych:
•
stosuje się, gdy zawodzą metody wykreślne (rysunki są zbyt mało dokładne)
i analityczne (mechanizmy są tak złoŜone, Ŝe związki analityczne są zbyt
skomplikowane);
•
najczęściej są uŜywane do korygowania wyników otrzymanych innym sposobem
i traktowanych jako pierwsze przybliŜenie.
Przykłady metod numerycznych:
−
metody przyrostowe: np. metoda przyrostów skończonych;
−
metody iteracyjne: np. metody Newtona-Raphsona.