MECHANIKA

UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH

Prowadzący: dr inż. Paweł Ostapkowicz
WM-324

Wykład 2 i 3
Temat:

Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów

płaskich

1. Wstęp

Kinematyka: (od greckiego słowa „kinema” - ruch) – dział mechaniki, który zajmuje się
badaniem ruchu mechanizmów w oderwaniu od przyczyn (sił), które ten ruch powodują.
Stąd uzasadnia to często stosowaną zamiennie ze słowem kinematyka nazwę geometria
ruchu.

Badanie ruchu polega na określeniu położeń, prędkości i przyspieszeń punktów (danego
mechanizmu).
W kinematyce występują dwie jednostki:
- długości (przemieszczenia),
- czasu.

Kinematyka dzieli się na dwa podstawowe działy:
1)

analiza – dotyczy badania ruchu istniejących mechanizmów,

2)

synteza – dotyczy projektowania mechanizmów wykonujących określony ruch.

Metody stosowane w kinematyce można podzielić na trzy grupy:
- metody wykreślne – są szczególnie przydatne dla konstruktorów mechanizmów
i maszyn. Pozwalają prosto i szybko wyznaczyć położenia, prędkości i przyśpieszenia
w złożonych mechanizmach;
- metody analityczne – zapewniają większą dokładność wyników;
- metody numeryczne – zapewniają większą dokładność wyników i szybkość obliczeń.


Metody analizy powinny być dobierane w zależności od żądanej dokładności i rodzaju
mechanizmu. W mechanizmach prostych metody analityczne są dość proste,
w mechanizmach złożonych stają się one mocno skomplikowane.

2. Przypomnienie wiadomości o wektorach

Wektor jest to wielkość posiadająca:
- kierunek,
- zwrot,
- punkt przyłożenia,
- wartość.

Działania na wektorach:
- mnożenie skalarne,
- dodawanie skalarne,
- dodawanie graficzne.

3. Metody wykreślne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich

Podstawowym zagadnieniem przy stosowaniu metod wykreślnych jest przyjęcie
odpowiedniej podziałki.
Podziałka

χ

jest to skalar określający stosunek wielkości rzeczywistej do rysunkowej

i mający taki wymiar, aby na rysunku otrzymać długość w milimetrach.

)

(

)

(

X

X

X

X

=

=

→

→

χ

→

X

- wektor rzeczywisty,

X

- moduł wektora,

)

(

→

X

- wektor rysunkowy,

)

(X

- moduł wektora,

v

χ

- podziałka prędkości (m/s / mm)

ε

χ

- podziałka dla przyspieszenia kątowego (1/s

2

/ mm)

3.1. Wyznaczanie prędkości

METODA RZUTÓW

Twierdzenie: Rzuty prędkości dwóch punktów A i B członu sztywnego (nie powinien się
rozciągać lub kurczyć) na prostą AB są sobie równe.

Rys. Ilustracja metody rzutów

Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)

prędkość jednego punktu,

2)

kierunek prędkości drugiego punktu.

METODA CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU

Twierdzenie: Ze środka chwilowego obrotu członu widać prędkości wszystkich punktów
członu pod jednakowym kątem.

Zawsze można napisać, że

A

A

A

r

V

ω

=

Rys.

Ilustracja metody chwilowego

ś

rodka obrotu

Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)

prędkość jednego punktu ciała,

2)

położenie chwilowego środka obrotu.

Co zrobić, gdy położenie chwilowego środka obrotu nie mieści się na rysunku?

Twierdzenie: Każdy ruch złożony może być rozpatrywany jako chwilowy ruch postępowy i
obrotowy.

Składowe chwilowego ruchu obrotowego są
prostopadłe do a

0

b

0

i są proporcjonalne do

odległości od punktu O.

To prawo proporcjonalności pozwala określić
prędkość dowolnego punktu członu sztywnego,

w przypadku gdy nie znany jest kierunek jego
prędkości,

a

ś

rodek

prędkości

leży

poza

rysunkiem.

Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.

Rys. Ilustracja zasady, że każdy
ruch złożony składa się z ruchu
obrotowego i postępowego

Do wyznaczenia chwilowego środka obrotu (środka prędkości) trzeba mieć dane kierunki
prędkości dwóch punktów ciała sztywnego i punkty przyłożenia tych prędkości. Środek
prędkości leży na przecięciu prostopadłych do kierunków prędkości, wyprowadzonych z
punktów przyłożenia prędkości.

Jak wyznaczyć chwilowe środki obrotu trzech układów płaskich poruszających się
względem siebie?

Twierdzenie: Trzy chwilowe środki obrotu względnego dowolnych trzech członów
mechanizmu płaskiego leżą na jednej prostej.

Rys. Trzy układy płaskie poruszające się względem siebie

trzy układy płaskie: i, k , l; dane środki obrotu: ki, li, kl;
przy czym poszukiwany jest środek obrotu kl

Punkt x będzie chwilowym środkiem obrotu członów k i l
wtedy i tylko wtedy, jeśli ∆V = 0, a to wymaga aby x leżał
na prostej kl.

METODA ROZKŁADU (NA PRĘDKOŚĆ UNOSZENIA I PRĘDKOŚĆ WZGLĘDNĄ)

Twierdzenie: Prędkość bezwzględna dowolnego punktu ciała sztywnego
jest sumą wektorową prędkości unoszenia i prędkości względnej.

Ruch względny jednego punktu członu sztywnego
względem drugiego punktu tego członu może być tylko
ruchem obrotowym, prędkość względna musi być zawsze
prostopadła do prostej łączącej punkty członu.

Rys. Ilustracja metody

Wektor będąc sumą ma zwrot przeciwny do składowych. Należy również
przestrzegać kolejności indeksów. Nie wolno ich zmieniać, szczególnie dla prędkości
względnej. Kreski pod oznaczeniami prędkości informują o ilości danych. Dwie kreski
oznaczają, że znany jest moduł i kierunek, jedna kreska, że znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek prędkości

. Kierunki pisze się zwykle pod kreską.

Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.

METODA PLANU PRĘDKOŚCI

Zadanie: Obliczyć prędkości punktów
Q i R członu a poruszającego się
względem nieruchomego członu b.

Dane: prędkość punktu P i kierunek
prędkości punktu Q.


Rys. Ilustracja metody

Obiera się dowolny punkt O' i w wybranej podziałce kreśli wektor prędkości

→

P

V

.

Z punktu P' kreśli się prostopadłą do PQ. Na kierunku tym będzie leżał wektor prędkości
względnej

QP

V

. Przez punkt O' kreśli się równoległą do kierunku V

Q

. Punkt Q' jako

przecięcie kierunków V

Q

i V

QP

daje wielkości tych prędkości. Odcinek O'Q' reprezentuje

w wybranej podziałce wektor

→

Q

V

, a odcinek P'Q' wektor

→

QP

V

. Przez punkt P' kreśli się

prostopadłą do PR. Jest to kierunek prędkości V

RP

. Kierunek prędkości V

RQ

otrzymuje się

kreśląc prostopadłą do QR przez punkt Q'. Przecięcie się kierunków V

RP

i V

RQ

daje wektor

→

R

V

zgodnie z sumą wektorową:

Obliczono prędkości punktów Q i R.
Trójkąt P'Q'R' jest podobny do trójkąta
PQR, tylko obrócony względem niego o
90°

w

stronę

obrotu

chwilowego.

Odpowiadające sobie boki są prostopadłe.
Trójkąt P'Q'R' nazywa się planem
prędkości.

Definicja: Figurę geometryczną będącą miejscem geometrycznym końców wektorów
prędkości figury płaskiej a, poruszającej się ruchem płaskim, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu, nazywa się planem prędkości figury a w danym położeniu.

Własności planu prędkości:
1. Plan prędkości jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 90° w stronę obrotu chwilowego.

3. Wektory

→

)

'

'

( Q

P

,

→

)

'

'

(

R

P

... są prędkościami rysunkowymi względnymi, np.

)

(

)

'

'

(

QP

V

Q

P

→

→

=

itp..

4. Twierdzenie o planie prędkości jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.

3.2. Wyznaczanie przyspieszenia

Aby wyznaczyć przyspieszenia punktów członu sztywnego, należy przedtem znać
prędkości tych punktów. Wygodnie jest wyznaczać przyspieszenia w takiej kolejności,
w jakiej wyznaczano prędkości.

METODA ROZKŁADU PRZYSPIESZEŃ

Twierdzenie: przyspieszenie bezwzględne dowolnego punktu członu sztywnego jest sumą
wektorową przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego i przyspieszenia
Coriolisa.

Gdy rozpatruje się człon sztywny, wtedy ruch unoszenia jest

ruchem postępowym. Dla członu AB

→

→

=

A

u

p

p

i wtedy

zawsze

0

=

→

c

p

. Dla członu sztywnego ruch względny jest

ruchem obrotowym i wtedy:

Gdy zostały uprzednio obliczone prędkości punktów, wektor

przyspieszenia normalnego

→

n

BA

p

jest zawsze znany, bo jego moduł

wyraża się równaniem:
a zwrot jest zawsze skierowany w stronę środka obrotu względnego.

Moduł względnego przyspieszenia stycznego

→

t

BA

p

, które jest prostopadłe do

względnego przyspieszenia normalnego, wyraża się równaniem:

Jeśli znane jest ε i przyspieszenie punktu A, można
obliczyć przyspieszenie punktu B za pomocą równania:

Jeśli nie jest znane ε, to w celu zastosowania metody należy
mieć

dane:

przyspieszenie

punktu

A

i

kierunek

przyspieszenia punktu B. Wtedy przyspieszenie punktu B
oblicza się za pomocą równania:

dwie kreski oznaczają, że znany
jest moduł i kierunek, jedna kreska,
ż

e znana jest tylko jedna z tych

wielkości np. kierunek

Ogólnie można napisać, że:

Kąt, który tworzy przyspieszenie względne z prostą AB, obliczamy się z równania:

Z uwagi, że ε i ω są w danej chwili stałe dla całego członu, kąt ψ jest w danej chwili stały
dla całego członu.

METODA CHWILOWGO ŚRODKA PRZYSPIESZEŃ

Twierdzenie: w ruchu obrotowym chwilowy środek przyspieszeń (punkt,
którego przyspieszenie w danej chwili równa się zeru) pokrywa się ze
ś

rodkiem prędkości.

Jeśli znane jest położenie środka przyspieszeń

P

C , wyznaczenie przyspieszenia

dowolnego punktu ciała sztywnego znacznie się upraszcza. Wówczas:

- przyspieszenie chwilowego środka przyspieszeń, które równe jest zeru

Stąd:

Korzystając z zależności:

gdzie: - odległość środka przyspieszeń od punktu B

Po podstawieniu
otrzymuje się:

przyspieszenia dowolnego
punktu członu sztywnego są
proporcjonalne do odległości
od chwilowego środka
przyspieszeń

Rys. Wyznaczanie przyspieszeń metodą chwilowego środka
przyśpieszeń

Jeżeli wiadomo, że kąt ψ jest w danej
chwili stały dla całego członu

z otrzymanego równania:

wynika, że kąty ν też są stałe w danej chwili dla całego członu
sztywnego.

Pozwala to, gdy znane jest przyspieszenie jednego punktu członu sztywnego

→

B

p

i jego

odległość od chwilowego środka przyspieszeń

BP

ρ

, wyznaczyć przyspieszenie dowolnego

punktu C.

Najpierw mając

→

B

p

i P znajduje się kąty ψ i ν, a następnie łączy punkt C z punktem P

i odmierzając kąty ψ i ν znajduje się

→

C

p

.

Rys. Konstrukcja pomocnicza do wyznaczania przyspieszenia kątowego

Ponieważ kąty ν są w danej chwili stałe, stałe są także kąty ν’. Pozwala to, gdy znane jest

B

p

i

B

ρ

wyznaczyć przyspieszenie kątowe ε, gdyż:

Istotne zagadnienie to umiejętność wyznaczania położenia chwilowego środka
przyspieszeń.

METODA PLANU PRZYSPIESZEŃ

Zadanie: Obliczyć przyspieszenie punktu D.

Dane: prędkości punktów A i B (

→

A

V

i

→

B

V

),

przyspieszenie

punktu

A

i

kierunek

przyspieszenia punktu B.

Obierając dowolny biegun O, wykreśla się w

obranej podziałce

→

A

p

, i oblicza przyspieszenie

punktu B według równania:

moduł

Rozwiązując to równanie wykreślnie, otrzymuje się przyspieszenie punktu B.

dwie kreski oznaczają,
ż

e znany jest moduł i

kierunek, jedna kreska,
ż

e znana jest tylko jedna

z tych wielkości np.
kierunek

Oznaczając końce wektorów przyspieszeń
odpowiednio

p

a

,

p

b

, po ich połączeniu

otrzymuje się odcinek prostej.

Wybierając na członie AB dowolnie obrany
punkt D, korzystając z poniższej proporcji,
odnajduje się na prostej

p

a

p

b

odpowiadający

mu punkt

p

d

.

Korzystając z metody rozkładu otrzymuje się:

Badając stosunki przyspieszeń względnych,
można ustalić, że:

Wynika z tego, że jeśli rozwiąże się wykreślnie
równanie, to koniec wektora przyspieszenia
punktu D musi znaleźć się w punkcie

p

d

.

Podobnie

będzie dla

wszystkich

innych

punktów prostej AB.

Prostą

p

a

p

b

nazywa się planem przyspieszeń

członu AB. Należy zauważyć, że aby otrzymać
położenie prostej

p

a

p

b

, prosta AB jest obracana

o kąt 180°-ψ.

Planem przyspieszeń figury płaskiej, poruszającej się ruchem płaskim, nazywa się miejsce
geometryczne końców wektorów przyspieszeń tej figury, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu.

Własności planu prędkości:
1. Plan przyspieszeń jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 180°-ψ w kierunku zgodnym z obrotem

figury, jeśli ω i ε mają te same zwroty, lub w stronę przeciwną - jeśli mają zwroty
przeciwne.

3. Wektory

→

)

(

p

p

b

a

,

→

)

(

p

p

d

a

... są przyspieszeniami rysunkowymi względnymi,

np.

BA

p

p

p

b

a

→

→

=

)

(

itp.

4. Twierdzenie o planie przyspieszeń jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.

Ponieważ plan przyspieszeń jest figurą, aby go wyznaczyć potrzebne są wektory
przyspieszeń dwóch punktów członu sztywnego.

Problemy:

Plan przyśpieszeń w przypadku przyspieszenia Coriolisa buduje się identycznie jak
zwykły plan przyspieszeń, z tym że należy uwzględnić składową Coriolisa.

Przedstawione metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń dotyczą tylko mechanizmów
klasy drugiej. W odniesieniu do mechanizmów klasy trzeciej należy zastosować inną
metodę, np. metodę Assura.

4. Metody analityczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich

Charakterystyka metod analitycznych:

•

są dokładniejsze od metod wykreślnych;

•

dokładność jest zależna od dokładności obliczeń;

•

stosując metody analityczne otrzymuje się wartości szukanych parametrów w postaci
ostatecznej, z uwzględnieniem wszystkich składowych wchodzących w rozwiązanie;

•

najważniejszą zaletą jest ich ogólność (wzory analityczne pozwalają wyjaśnić wpływ
poszczególnych parametrów na charakter ruchu mechanizmu, znaleźć ekstrema i
określić charakter krzywych torów poszczególnych punktów);

•

wadą jest ich duża złożoność.

4.1. Określanie analitycznych związków między parametrami mechanizmów

Zasada metod analitycznych polega na określeniu współrzędnych interesującego nas
punktu mechanizmu jako funkcji czasu. Następnie przez różniczkowanie tych związków
względem czasu otrzymuje się prędkości i przyspieszenia.

Jedną z metod jest przedstawienie mechanizmu płaskiego w postaci zamkniętych wielo-
boków wektorowych. Przy takiej analizie mechanizmów przypisuje się członom charakter
wektorowy. Każdy mechanizm jako zamknięty łańcuch kinematyczny można przedstawić
w postaci zamkniętego wieloboku wektorów, określających chwilowe położenia członów.

Chcąc aby związek między parametrami mechanizmu był prawdziwy dla wszystkich jego
położeń, wszystkie kąty charakteryzujące poszczególne człony i wzajemne ich położenia
muszą być określone jednakowo za pomocą tzw. kątów skierowanych.

Kąty skierowane są to kąty odmierzane w jednym obranym za dodatni zwrocie, od
dodatniego kierunku osi np. x, do dodatniego kierunku wektora. W toku analizy nie wolno
zmieniać zwrotu kątów. Zachowując taką umowę otrzymuje się:

Rys. Określenie kątów skierowanych

Warunki zamykania się wieloboku wektorów utworzonego ze schematu mechanizmu
wyraża się w postaci równań:

a rzutów tych wektorów na osie współrzędnych równaniami:

Równania tego typu są równaniami toru. Pozwalają one określić wszystkie właściwości
toru punktów mechanizmu.

Prędkości i przyspieszenia członów mechanizmu i ich punktów można znaleźć dzięki
powyższym równaniom, poprzez ich różniczkowanie względem czasu:

tzw. równania prędkości, które pozwalają otrzymać
rzuty nie znanych prędkości mechanizmu

tzw. równania przyspieszeń, które pozwalają
otrzymać

rzuty

nie

znanych

przyspieszeń

mechanizmu

5. Metody numeryczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich

Charakterystyka metod numerycznych:

•

stosuje się, gdy zawodzą metody wykreślne (rysunki są zbyt mało dokładne)
i analityczne (mechanizmy są tak złożone, że związki analityczne są zbyt
skomplikowane);

•

najczęściej są używane do korygowania wyników otrzymanych innym sposobem
i traktowanych jako pierwsze przybliżenie.

Przykłady metod numerycznych:

−

metody przyrostowe: np. metoda przyrostów skończonych;

−

metody iteracyjne: np. metody Newtona-Raphsona.