Pochodna funkcji jednej zmiennej

Iloraz różnicowy:



f



x

=

f x x−f x 



x



x ≠0

Definicja pochodnej.
Pochodną w punkcie x nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

f 'x = lim



x 0



f



x

=

lim



x 0

f  x x −f  x



x

=

lim

h 0

f xh −f  x

h

o ile ta granica istnieje i jest skończona

Symbole pochodnej : y=f x 

df
dx

, f ' x,

d

d x

f x, y ' ,

dy
dx

Podstawowe wzory na pochodne.

(

a )'=0 (x

r

)

'=rx

r−1

(e

x

)

'=e

x

(a

x

)

'=a

x

ln a (ln x)'=

1
x

(log

a

x)'=

1

x ln a

(

sin x )'=cos x (cos x)'=−sin x (tg x)'=

1

cos

2

x

(

ctg x )'=

−

1

sin

2

x

(

arcsin x)'=

1

√

1−x

2

(arccos x )'=

−

1

√

1−x

2

(arctg x)'=

1

1+x

2

(arcctg x)'=

−

1

1+x

2

(

af (x))'=a f '(x) [f (x)+g (x)]'=f '(x )+g '(x) [f (x)−g(x)]'=f '(x)−g '(x)

[

f (x)g (x)]'=f '(x)g (x )+f (x)g '(x)

[

f (x)

g (x)

]

' =f '(x)g(x)−f (x)g'(x)

[

g (x )]

2

[

f (g(x))]'=f '(g (x))g '(x)

[

f (x)

g (x)

]

'=[exp(g(x)ln f (x ))]'

Przebieg zmienności funkcji:

1. Wyznaczenie dziedziny f(x)
2. Miejsca zerowe f(x)
3. Granice na krańcach przedziałów określoności – asymptoty
4. Wyznaczenie f'(x), dziedziny f'(x)
5. Miejsca zerowe f'(x)
6. Przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne
7. Wyznaczenie f''(x), dziedziny f''(x).
8. Miejsca zerowe f''(x)
9. Przedziały wklęsłości, wypukłości, punkty przegięcia
10. Szkic wykresu

Wzór Taylora
Jeśli funkcja f (x ) jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu x

0

wtedy:

f (x )≈f (x

0

)+

x−x

0

1 !

f '(x

0

)+

(

x−x

0

)

2

2 !

f ''(x

0

)+

(

x−x

0

)

3

3!

f

(

3)

(

x

0

)+

(

x−x

0

)

4

4 !

f

(

4 )

(

x

0

)+

...

(

x−x

0

)

n

n !

f

(

n)

(

x

0

)+

R

n

Gdy x

0

=

0 , wzór Taylora zwany jest wzorem Maclaurina:

f (x )≈f (0)+

x

1!

f '(0)+

x

2

2 !

f ' '(0)+

x

3

3 !

f

(

3)

(

0)+

x

4

4 !

f

(

4)

(

0)+...

x

n

n !

f

(

n )

(

0)+R

n

Równanie stycznej do wykresu funkcji f (x ) w punkcie (x

0,

f (x

0

))

: y −f (x

0

)=

f ' (x

0

)(

x−x

0

)

Reguła de l'Hospitala. Jeśli przy wyznaczaniu granicy ilorazu funkcji

f (x )
g(x)

otrzymujemy symbol

nieoznaczony

[

0
0

]

lub

[

∞

∞

]

to lim

x →C

f (x)

g (x )

=

H

lim

x→ C

f '(x)
g '(x)

.

Jeśli granica ilorazu pochodnych istnieje to granica ta jest także granicą ilorazu funkcji

f (x )
g(x)

.

Miejsce zastosowania reguły de l'Hospitala zaznaczmy stawiając H nad znakiem równości. Regułę można
stosować kilkukrotnie.