ch11 12 pochodne

F U N K C J E

R ´

O ˙Z N I C Z K O W A L N E

Podstawowe poje

cia i wzory

Funkcje s lu˙za

do opisu r´o˙znych zjawisk fizycznych, ekonomicznych, biologicz-

nych itd. Uzyskanie samego opisu matematycznego jest na og´o l pierwszym krokiem

do zbadania zjawiska. Wielokrotnie jedna z dr´og prowadza

cych do celu jest pozna-

nie w lasno´sci funkcji. Jednym z pierwszych problem´ow, kt´ore trzeba rozwia

zywa´c

jest ustalenie, jak szybko zmieniaja

sie

warto´sci funkcji. Tego rodzaju kwestie napo-

tykamy przy pr´obach znalezienia najwie

kszych lub najmniejszych warto´sci funkcji,

przy ustalaniu pre

dko´sci z jaka

porusza sie

interesuja

cy nas obiekt, przy znajdowaniu

przyspieszenia, zmiany liczby ludzi lub zwierza

t na jakim´s obszarze itd.

Do poje

cia pochodnej, czyli wielko´sci mierza

cej tempo zmian funkcji, ludzie do-

chodzili stopniowo. Matematycy i fizycy w wieku XVII i XVIII (Fermat, Newton, Leib-

niz i inni), ekonomi´sci nieco p´o´zniej, niezale˙znie od matematyk´ow i fizyk´ow (sta

d nieco

inna terminologia: np. koszt kra´

ncowy, doch´od kra´

ncowy, . . . ). Za pocza

tek rachunku

r´o˙zniczkowego i ca lkowego przyjmuje sie

prze lom wiek´ow XVII i XVIII. Najwa˙zniejsze

odkrycia zosta ly dokonane przez Newtona (1643–1727) i Leibniza (1646–1716). Po-

cza

tkowo nie istnia l je

zyk, kt´orym mo˙zna by opisywa´c uzyskiwane rezultaty, ale na

pocza

tku XIX wieku i p´o´zniej teoria zosta la usystematyzowana dzie

ki pracom wielu

matematyk´ow, g l´ownie wspominanego ju˙z Augusta Cauchy’ego.

To, co w momencie powstawania by lo zrozumia le jedynie dla niewielu i to tylko

najwybitniejszych, sta lo sie

przedmiotem obowia

zkowych wyk lad´ow dla pocza

tkuja

cych student´ow, a nawet uczni´ow szk´o l ´srednich. Oczywi´scie nie wszyscy poznaja

teorie

z taka

sama

dok ladno´scia

i tak samo dobrze ja

rozumieja

, jednak jest ona

powszechnie studiowana od momentu powstania i nic nie zapowiada zmian w tym za-

kresie. Wielu student´ow ma trudno´sci ze zrozumieniem r´o˙znych twierdze´

n. Przyczyn

jest wiele, ale w wie

kszo´sci przypadk´ow sprowadzaja

sie

one do nieopanowania pod-

stawowych twierdze´

n matematyki elementarnej i pr´ob uproszczenia sobie ˙zycia przez

opanowanie tzw. niezbe

dnego minimum. Tacy studenci staraja

sie

opanowa´c zlepek

twierdze´

n, kt´ore nie tworza

ca lo´sci. W zwia

zku z tym zrozumienie ich jest prawie

niemo˙zliwe. Jeden z nauczycieli licealnych autora tego tekstu, nie˙zyja

cy ju˙z chemik

i fizyk, t lumaczy l niekt´orym uczniom, ˙ze „nie mo˙zna nauczy´c sie

za ma lo”. My´sle

˙ze jest to g le

boka prawda. Droga

do poznania jakiej´s teorii nie jest wybieranie z niej

najprostszych fakt´ow, twierdze´

n. Trzeba stara´c sie

zrozumie´c ca lo´s´c. To czasem jest

trudne i wymaga powracania do podstaw, ale bez tego nie ma szans na sukces.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

Po tym przyd lugim wste

pie przejdziemy do definicji kilku podstawowych poje

´c

matematycznych.

Definicja 5.1 (granicy funkcji) *

Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f , tzn. punkt, kt´ory jest

granica

jakiego´s cia

gu (x

) punkt´ow z dziedziny funkcji r´o˙znych od p . M´owimy, ˙ze

g ∈ R jest granica

funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego cia

) zbie˙znego do p , kt´orego wszystkie wyrazy sa

r´o˙zne od p , ma miejsce r´owno´s´c

lim

n→∞

f (x

) = g . Granice

funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem lim

x→p

f (x) .

Definicja 5.2 (granicy lewostronnej)

g jest granica

lewostronna funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy mo˙zna

znale´z´c w dziedzinie cia

g (x

) o wyrazach mniejszych (´sci´sle!) ni˙z p , zbie˙zny do p

i gdy dla ka˙zdego takiego cia

gu odpowiadaja

cy mu cia

g warto´sci (f (x

)) ma grani-

g . Stosujemy oznaczenie lim

x→p

−

f (x) .

Latwo mo˙zna udowodni´c, ˙ze funkcja

ma jednostronne granice w punkcie 0 :

prawostronna jest r´owna +∞ , za´s lewostronna

jest −∞ . Funkcja sin

nie ma gra-

nicy prawostronnej w punkcie 0 – wykazali´smy to w przyk ladzie 6, wskazuja

c dwa

cia

gi dodatnich argument´ow tej funkcji zbie˙zne do 0 , takie ˙ze odpowiadaja

ce im cia

warto´sci maja

r´o˙zne granice.

Bez trudu mo˙zna udowodni´c „funkcyjna

” wersje

twierdzenia o scalaniu.

Twierdzenie 5.3 ( o scalaniu)

Funkcja f okre´slona na zbiorze zawieraja

cym cia

g liczb mniejszych ni˙z p , zbie˙zny

do p oraz cia

g liczb wie

kszych ni˙z p , zbie˙zny do p , ma granice

w punkcie p wtedy

i tylko wtedy, gdy ma obie granice jednostronne i sa

one r´owne.

Dow´

od. Jest jasne, ˙ze z istnienia granicy wynika istnienie granic jednostronnych

– zamiast wszystkich cia

g´ow zbie˙znych do p , kt´orych wyrazy sa

r´o˙zne od p , roz-

patrujemy jedynie ich cze

´s´c. Je´sli natomiast wiemy, ˙ze istnieja

granice jednostronne,

to cia

g o wyrazach r´o˙znych od p mo˙zemy rozbi´c na podcia

g o wyrazach mniejszych

ni˙z p i na podcia

g o wyrazach wie

kszych ni˙z p . Odpowiadaja

ce im cia

gi warto´sci

maja

sama

granice

, wie

c cia

g warto´sci odpowiadaja

cy naszemu cia

gowi ma granice

i to r´owna

wsp´olnej warto´sci obu granic jednostronnych. Oczywi´scie je´sli cia

g argu-

ment´ow zawiera jedynie sko´

nczenie wiele wyraz´ow wie

kszych ni˙z p , to nie mo˙zemy

Ta definicja jest nazywana cia,gowa, lub definicja, Heinego

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

rozpatrywa´c granicy prawostronnej, ale to niczemu nie przeszkadza, bo w tym przy-

padku wystarczy skorzysta´c z istnienia granicy lewostronnej.

Podobnie jak w przypadku twierdzenia o scalaniu, mo˙zna przenie´s´c inne twier-

dzenia dotycza

ce granic cia

g´ow na og´olniejszy przypadek granicy funkcji.

Twierdzenie 5.4 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slona jest ich suma, to istnieje

granica lim

x→p

(f (x) + g(x)) i zachodzi wz´or:

lim

x→p

(f (x) + g(x)) = lim

x→p

f (x) + lim

x→p

g(x) .

A2. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slona jest ich r´o˙znica, to istnieje

granica lim

x→p

(f (x) − g(x)) i zachodzi wz´or:

lim

x→p

(f (x) − g(x)) = lim

x→p

f (x) − lim

x→p

g(x) .

A3. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje

granica lim

x→p

(f (x)·g(x)) i zachodzi wz´or: lim

x→p

(f (x)·g(x)) = lim

x→p

f (x)· lim

x→p

g(x) .

A4. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje

granica lim

x→p

f (x)

g(x)

i zachodzi wz´or: lim

x→p

f (x)

g(x)

lim

x→p

f (x)

lim

x→p

g(x)

Dow´od tego twierdzenia jest natychmiastowa

konsekwencja

twierdzenia o aryt-

metycznych w lasno´sciach granicy cia

gu.

Z twierdzenia o trzech cia

gach wynika analogiczne twierdzenie dla granic funkcji.

Definicja 5.5 (o trzech funkcjach)

Je´sli dla wszystkich argument´ow x dostatecznie bliskich punktowi p zachodzi nie-

r´owno´s´c podw´ojna f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

h(x) oraz

lim

x→p

f (x) = lim

x→p

h(x) , to r´ownie˙z funkcja g ma granice

w punkcie p i zachodzi

r´owno´s´c lim

x→p

f (x) = lim

x→p

g(x) = lim

x→p

h(x) .

Twierdzenie 5.6 (o granicy z lo˙zenia dwu funkcji)

Za l´o˙zmy, ˙ze dziedzina funkcji f zawiera zbi´or warto´sci funkcji g , ˙ze funkcja g ma

granice

G w punkcie p , ˙ze granica G jest punktem skupienia dziedziny funkcji f i

funkcja f ma granice

H w punkcie G oraz ˙ze warto´sci funkcji g w punktach do-

statecznie bliskich p sa

r´o˙zne od G . Przy tych za lo˙zeniach funkcja f ◦ g okre´slona

wzorem (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ma w punkcie p granice

, ta granica jest r´owna H .

Za lo˙zenia tego twierdzenia sa

tak dobrane, ˙ze dow´od wynika od razu z definicji

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

cia

gowej granicy funkcji w punkcie.

Definicja 5.7 (funkcji cia

g lej)

Funkcja f jest cia

g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest argumentem

funkcji i zachodzi jedna z dwu mo˙zliwo´sci:

(i) p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ;

(ii) p jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , kt´ora ma granice

w punkcie p

i ta granica jest r´owna warto´sci funkcji w punkcie p :

lim

x→p

f (x) = f (p) .

Twierdzenie 5.8 ( charakterystyka cia

g lo´sci)

Funkcja f jest cia

g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby dodatniej

ε istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je´sli |x − p| < δ , to |f (x) − f (p)| < ε .

Dow´

od. Je˙zeli p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , to istnieje liczba

δ > 0 , taka ˙ze jedynym punktem x dziedziny funkcji f , dla kt´orego |x − p| < δ jest

punkt p – w tym przypadku |f (x) − f (p)| = |f (p) − f (p)| = 0 < ε , niezale˙znie od

wyboru liczby dodatniej ε .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze punkt p jest granica

pewnego cia

gu punkt´ow z dziedziny funk-

cji f , r´o˙znych od p . Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego cia

gu (x

) punkt´ow z dziedziny funkcji

f , zbie˙znego do punktu p zachodzi r´owno´s´c lim

n→∞

f (x

) = f (p) . Za l´o˙zmy te˙z, ˙ze ist-

nieje taka liczba ε > 0 , ˙ze dla ka˙zdej liczby δ > 0 istnieje taki punkt x , ˙ze |x−p| < δ

i jednocze´snie |f (x) − f (p)| ≥ ε . Niech x

dzie punktem dobranym do liczby

czyli |x

− p| < δ i |f (x

) − f (p)| ≥ ε . Z twierdzenia o trzech cia

gach wynika, ˙ze

lim

n→∞

= p i wobec tego lim

n→∞

f (x

) = f (p) wbrew temu, ˙ze lim

x→p

f (x) = f (p) .

Za l´o˙zmy dla odmiany, ˙ze dla ka˙zdej liczby dodatniej ε istnieje taka dodatnia

liczba δ , ˙ze je´sli |x − p| < δ , to |f (x) − f (p)| < ε . Je´sli lim

n→∞

= p , to dla

dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c |x

− p| < δ . Wtedy |f (x

) − f (p)| < ε .

Z definicji granicy cia

gu wynika, ˙ze lim

n→∞

f (x

) = f (p) . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 5.9 Warunek sformu lowany w dowiedzionym w la´snie twierdzeniu nazywany

jest otoczeniowa

definicja

cia

g lo´sci.

Z poznanych twierdze´

n o granicach funkcji wynika od razu naste

puja

ce twierdze-

nie.

Twierdzenie 5.10 (o operacjach na funkcjach cia

g lych)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje f i g okre´slone na wsp´olnej dziedzinie sa

cia

g le w punkcie p .

Wtedy naste

puja

ce funkcje sa

cia

g le w punkcie p : f + g , f − g , f · g oraz

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

pod warunkiem g(p) 6= 0 .

Wa˙zna

operacja

jest sk ladanie (superponowanie) funkcji. Polega ono na „wyko-

naniu” po kolei dwu funkcji: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) . Okazuje sie

, ˙ze sk ladaja

c funkcje

cia

g le otrzymujemy w rezultacie funkcje

cia

g la

Twierdzenie 5.11 (o cia

g lo´sci z lo˙zenia dwu funkcji)

Je˙zeli funkcja g jest cia

g la w punkcie p, funkcja f okre´slona na zbiorze zawieraja

cym

zbi´or warto´sci funkcji g jest cia

g la w punkcie g(p) , to z lo˙zenie f ◦g jest funkcja

cia

g la

w punkcie p .

Dow´

od. Wynika to od razu z otoczeniowej definicji cia

g lo´sci: je´sli ε > 0 , to istnieje

δ > 0 , takie ˙ze je´sli |y − g(p)| < δ , to |f (y) − f (g(p))| < ε , istnieje te˙z η > 0 , takie

zosta l zako´

nczony.

Nie jest natomiast prawda

, ˙ze funkcja odwrotna do funkcji f cia

g lej w punkcie p

musi by´c cia

g la w punkcie f (p) . Zache

camy czytelnik´ow do samodzielnego skonstru-

owania przyk ladu. Musi on by´c nieco dziwaczny, bowiem je´sli za lo˙zymy, ˙ze funkcja

f jest cia

g la w ca lej dziedzinie, kt´ora jest przedzia lem, to wtedy funkcja odwrotna

musi by´c cia

g la

, m´owimy o funkcji, kt´orej warto´sciami sa

liczby rzeczywiste. Tego

twierdzenia jednak nie udowodnimy teraz, bowiem jego dow´od stanie sie

latwiejszy

p´o´zniej.

Przyk lad 5.1

Funkcja sta la jest cia

g la w ka˙zdym punkcie.

Przyk lad 5.2

Funkcja identyczno´s´c, czyli funkcja, kt´orej warto´scia

w punkcie x

jest liczba x jest cia

g la w ka˙zdym punkcie prostej – wynika to natychmiast z definicji

cia

g lo´sci. Zamiast m´owi´c funkcja identyczno´s´c be

dziemy m´owi´c funkcja x , rozumieja

˙ze jest ona okre´slona na ca lej prostej.

Przyk lad 5.3

Funkcje x

, x

, . . . sa

cia

g le w ka˙zdym punkcie prostej. Wy-

nika to natychmiast z twierdzenia o cia

g lo´sci iloczynu funkcji cia

g lych i poprzedniego

przyk ladu.

Przyk lad 5.4

Ka˙zdy wielomian, czyli funkcja postaci a

+ a

x + · · · + a

, gdzie

, a

, . . . , a

dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest cia

g la w ka˙zdym punkcie

prostej. Wynika to z poprzednich przyk lad´ow oraz twierdzenia o cia

g lo´sci iloczynu

i sumy funkcji: funkcja postaci a

jest iloczynem funkcji sta lej o warto´sci a

oraz

funkcji x

, wielomian jest suma

takich funkcji.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

Przyk lad 5.5

Funkcja

x−1
x+3

, kt´orej dziedzina

jest zbi´or z lo˙zony ze wszystkich liczb

rzeczywistych z wyja

tkiem liczby −3 jest cia

g la w ka˙zdym punkcie swej dziedziny,

bo jest ilorazem funkcji cia

g lych.

Przyk lad 5.6

Funkcja wyk ladnicza e

jest cia

g la. Wykazali´smy to wcze´sniej

(twierdzenie o cia

g lo´sci funkcji wyk ladniczej).

Przyk lad 5.7

Logarytm naturalny (o podstawie e ) jest funkcja

cia

g la

. Zosta lo to

wykazane wcze´sniej.

Przyk lad 5.8

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a funkcja pote

gowa x

o wyk ladniku

a jest cia

g la w ka˙zdym punkcie p´o lprostej (0, +∞) . Wynika to z cia

g lo´sci logarytmu

naturalnego, cia

g lo´sci funkcji wyk ladniczej o podstawie e i cia

g lo´sci iloczynu oraz

z lo˙zenia funkcji cia

g lych: x

= e

a ln x

Przyk lad 5.9

Je´sli a > 0 , to funkcja x

jest cia

g la w punkcie 0, jej warto´s´c

w punkcie 0 definiujemy w tym przypadku jako 0. Trzeba jeszcze wykaza´c, ˙ze je´sli

lim

n→∞

= 0 i x

> 0 , to lim

n→∞

= 0 . Jest tak dla a =

1
k

, k – dowolna liczba

ca lkowita wie

ksza ni˙z 1, bo x

1/k

√

x . W przypadku dowolnego a znajdujemy

najpierw dodatnia

liczbe

ca lkowita

k >

1
a

. Dla ka˙zdej liczby nieujemnej

x < 1

mamy wtedy 0 ≤ x

≤ x

1/k

. Teza wynika teraz z twierdzenia o trzech cia

gach.

Przyk lad 5.10

Je´sli a =

p
q

, gdzie q jest nieparzysta

liczba

ca lkowita

dodatnia

za´s p liczba

ca lkowita

ujemna

, to funkcja x

√

jest cia

g la w ka˙zdym punkcie

p´o lprostej (−∞, 0) . Wynika to od razu z cia

g lo´sci funkcji pierwiastek q –tego stopnia,

cia

g lo´sci wielomianu i cia

g lo´sci ilorazu funkcji cia

g lych oraz twierdzenia o cia

g lo´sci

z lo˙zenia.

W ostatnich trzech przyk ladach wykazali´smy, ˙ze funkcja pote

gowa jest cia

g la

wsze

dzie tam, gdzie jest okre´slona.

Przyk lad 5.11

Funkcje sinus i kosinus sa

cia

g le w ka˙zdym punkcie prostej. Wynika

to od razu z nier´owno´sci | sin x − sin y| ≤ |x − y .

Przyk lad 5.12

Niech arcsin x oznacza taka

liczbe

, ˙ze sin(arcsin x) = x oraz

−

≤ arcsin x ≤

, oczywi´scie zak ladamy, ˙ze −1 ≤ x ≤ 1 . Jasne jest, ˙ze te warunki

okre´slaja

jednoznacznie liczbe

arcsin x . Zdefiniowali´smy wie

c na przedziale [−1, 1]

funkcje

, kt´ora go przekszta lca na przedzia l

−

. Wyka˙zemy , ˙ze funkcja arcsin

jest cia

g la na przedziale [−1, 1] . Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Oznacza to, ˙ze istnieje cia

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

) punkt´ow przedzia lu [−1, 1] zbie˙zny do pewnej liczby g , taki ˙ze cia

g (arcsin x

)

nie jest zbie˙zny do arcsin g . Z cia

gu (arcsin x

) mo˙zna wybra´c podcia

arcsin x

zbie˙zny do granicy G 6= arcsin g . Oczywi´scie −

≤ G ≤

. Sta

d i z cia

g lo´sci funkcji

sinus wynika, ˙ze

g = lim

n→∞

= lim

n→∞

sin(arcsin(x

)) = sin(G) 6= sin(arcsin g) = g .

Otrzymali´smy sprzeczno´s´c g 6= g . Wobec tego ka˙zdy podcia

g cia

gu (arcsin x

) , kt´ory

ma granice

, jest zbie˙zny do liczby arcsin g , wie

c lim

n→∞

arcsin x

= arcsin g .

Przyk lad 5.13

Niech arctg x oznacza taka

liczbe

, ˙ze −

< arctg x <

oraz

tg(arctg x) = x . Jasne jest, ˙ze te dwa warunki wyznaczaja

liczbe

arctg x jedno-

znacznie. Zdefiniowali´smy wie

c funkcje

, kt´ora przekszta lca zbi´or wszystkich liczb rze-

czywistych na przedzia l otwarty −

. Funkcja arctg jest cia

g la na ca lej prostej.

Dow´od, kt´ory mo˙zna przeprowadzi´c podobnie do podanego w poprzednim przyk ladzie

dowodu cia

g lo´sci funkcji arcsin pozostawiamy czytelnikom, by mogli sprawdzi´c, na

ile zrozumieli metode

. Oczywi´scie w dowodzie nale˙zy skorzysta´c z cia

g lo´sci funkcji

tangens, kt´ora cia

g la jako iloraz funkcji cia

g lych.

Przyk lad 5.14

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a > 0 funkcja wyk ladnicza a

jest cia

g la w ka˙zdym punkcie prostej rzeczywistej. Wynika to z tego, ˙ze a

= e

x ln a

twierdze´

n o cia

g lo´sci iloczynu i z lo˙zenia oraz cia

g lo´sci funkcji wyk ladniczej o podstawie

e i cia

g lo´sci identyczno´sci oraz funkcji sta lej.

Z tych przyk lad´ow wynika, ˙ze ka˙zda funkcja, kt´ora

mo˙zna zdefiniowa´c „wzorem”

u˙zywaja

c standardowych funkcji, jest cia

g la w ca lej swojej dziedzinie, np.

exp

sin(x

−12x+2)

tg(cos x+ln x)

− sin

√

− 113 .

Wynika to z wielokrotnego stosowania twierdze´

n o cia

g lo´sci z lo˙zenia, sumy, r´o˙znicy,

iloczynu i ilorazu. Mog loby wie

c powsta´c wra˙zenie, ˙ze wszystkie funkcje sa

cia

g le. Tak

jednak nie jest. Podamy poni˙zej kilka przyk lad´ow.

Przyk lad 5.15

sgn(x) =

|x|

dla x 6= 0 oraz f (0) = 0 , ta funkcja jest cia

g la

w ka˙zdym punkcie p 6= 0 , bo wtedy jest sta la w pewnym przedziale otwartym zawie-

raja

cym p , w punkcie 0 ta funkcja jest niecia

g la, bowiem jej granica prawostronna

jest w tym punkcie r´owna 1, lewostronna jest r´owna −1 , wie

c funkcja sgn (znak

liczby) nie ma granicy w punkcie 0.

Przyk lad 5.16

Niech f (x) = sin

dla x 6= 0 , f (0) = 0 . Funkcja tak zdefinio-

wana nie ma granicy w punkcie 0, wie

c nie jest w tym punkcie cia

g la. We wszystkich

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

innych punktach jest cia

g la jako z lo˙zenie funkcji cia

g lej sinus z funkcja

cia

g la

Przyk lad 5.17

Niech f (x) = 1 dla x 6= 0 i f (0) = 0 . Funkcja ta jest niecia

g la

w punkcie 0 , cho´c ma w tym punkcie granice

, jednak ta granica nie jest r´owna warto´sci

funkcji w punkcie 0 . W innych punktach p funkcja jest cia

g la, bo jest sta la na

pewnym przedziale otwartym zawieraja

cym punkt p . Oczywi´scie mo˙zna uzna´c ten

przyk lad za sztuczny.

Przyk lad 5.18

Niech V (t) oznacza obje

to´s´c jednego kilograma wody w tempera-

turze t , ci´snienie jest sta le, tzw. normalne i niezale˙zne od temperatury. Ze szkolnych

lekcji fizyki wiadomo, ˙ze funkcja V ma niecia

g lo´s´c w punkcie 0 tj. w temperaturze,

w kt´orej naste

puje przej´scie ze stanu ciek lego w sta ly lub odwrotnie, zreszta

w punk-

cie 0 funkcja jest z punktu widzenia fizyki niezdefiniowana, ze wzgle

du na zmiane

stanu skupienia. Granice jednostronne istnieja

: prawostronna jest mniejsza ni˙z lewo-

stronna (dlatego l´od p lywa w wodzie wystaja

c z niej). Przyk lad ten podajemy po to,

by czytelnicy tego tekstu zdawali sobie sprawe

, ˙ze w niekt´orych sytuacjach funkcje

niecia

g le pojawiaja

sie

w naturalnych spos´ob.

Definicja 5.12 (pochodnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona w dziedzinie zawieraja

cej przedzia l otwarty

o ´srodku p oraz ˙ze istnieje granica lim

h→0

f (p+h)−f (p)

. Granice

nazywamy pochodna

funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem f

(p) lub

(p) . Je´sli pochodna

jest sko´

nczona, to m´owimy, ˙ze funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p . Funkcje

liniowa

przypisuja

liczbie h liczbe

(p)h nazywamy r´o˙zniczka

funkcji f w punkcie

p i oznaczamy symbolem df (p) , a warto´s´c tej funkcji liniowej w punkcie h oznaczamy

przez df (p)(h) lub df (p)h .

Definicja 5.13 (prostej stycznej do wykresu funkcji)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma pochodna

w punkcie p oraz ˙ze jest cia

g la w punkcie p .*

Je´sli pochodna f

(p) jest sko´

nczona, to m´owimy, ˙ze prosta

styczna

do wykresu funkcji

f w punkcie (p, f (p)) jest prosta, kt´orej wsp´o lczynnik kierunkowy jest r´owny f

(p)

przechodza

ca przez punkt (p, f (p)) . Je´sli f

(p) = ∞ lub f

(p) = −∞ , to m´owimy,

˙ze styczna

do wykresu w punkcie (p, f (p)) jest prosta pionowa przechodza

ca przez

ten punkt, czyli prosta o r´ownaniu x = p .

Wyka˙zemy p´

o´

zniej, ˙ze je´sli pochodna f

(p) funkcji f w punkcie p jest sko´

nczona, czyli ˙ze f jest

r´

o˙zniczkowalna w punkcie p , to funkcja f jest cia,g la w punkcie p , wie,c w tym przypadku nie ma

potrzeby dodatkowo zak lada´

c cia,g lo´sci funkcji w punkcie p .

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

Z tej definicji wynika od razu, ˙ze je´sli funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie

p , to prosta styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (p, f (p)) ma r´ownanie

y = f

(p)(x − p) + f (p) .

P´o´zniej przekonamy sie

, ˙ze pr´oby przenoszenia definicji stycznej do okre

gu (jako pro-

stej maja

cej z okre

giem dok ladnie jeden punkt wsp´olny) na przypadek stycznej do

wykresu funkcji nie maja

wie

kszego sensu, bo prowadza

do wynik´ow niezgodnych z in-

tuicja

. Motywy wprowadzenia podanej przez nas definicji sa

naste

puja

ce. Je´sli |h| 6= 0

jest niedu˙za

liczba

, to wsp´o lczynnik kierunkowy prostej przechodza

cej przez punkty

(p, f (p)) oraz (p + h, f (p + h)) jest r´owny ilorazowi r´o˙znicowemu

f (p+h)−f (p)

, kt´ory

jest w przybli˙zeniu r´owny f

(p) .

Prosta styczna jest wie

c „granica

prostych” przechodza

cych przez punkt (p, f (p))

i jeszcze jeden punkt wykresu le˙za

cy blisko wymienionego. Nie zamierzamy tu precy-

zowa´c poje

cia „granicy prostych”, bo u˙zywamy go jedynie w tym miejscu i to jedy-

nie w celu wyja´snienia, ska

d sie

taka definicja stycznej bierze. M´owia

c jeszcze mniej

dok ladnie: prosta styczna ma przylega´c mo˙zliwie ´sci´sle do wykresu w pobli˙zu punktu

(p, f (p)) , daleko od tego punktu wykres i styczna moga

sie

rozchodzi´c. Podamy teraz

kilka przyk lad´ow.

Przyk lad 5.19

Niech f (x) = ax + b . W tym przypadku iloraz r´o˙znicowy

f (p+h)−f (p)

a(p+h)−ap

= a

jest niezale˙zny od h , zreszta

r´ownie˙z od p . Wobec tego pochodna funkcji liniowej

ax + b jest r´owna a . Z tego wynika, ˙ze prosta

styczna

do prostej y = ax + b jest ona

sama, co nie powinno dziwi´c, bo ona sama do siebie przylega najlepiej ze wszystkich

prostych. Cze

sto stosowany jest zapis (ax + b)

= a .

Przyk lad 5.20

Niech f (x) = x

i niech p be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

. Bez

trudu stwierdzamy, ˙ze

f (p+h)−f (p)

= 2p+h −−−→

h→0

2p , co oznacza, ˙ze pochodna

funkcji

f w punkcie p jest liczba 2p . Zwykle piszemy (x

)

= 2x . Poniewa˙z f

(0) = 0 ,

wie

c styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) jest pozioma. Je´sli natomiast

p = 10 , to wsp´o lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu jest r´owny 20 , wie

c styczna

w punkcie (20, 400) jest prawie pionowa.

Przyk lad 5.21

Niech f (x) = x

. Mamy

f (p+h)−f (p)

= 3p

+ 3ph + h

−−−→

h→0

co oznacza, ˙ze pochodna

funkcji f w punkcie p jest 3p

, tzn. (p

)

= 3p

. I tym

razem f

(0) = 0 , wie

c styczna do wykresu funkcji f w punkcie (0, f (0)) = (0, 0) jest

pozioma, czyli jest opisana r´ownaniem y = 0 . Jednak w tym przypadku wykres nie

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

le˙zy po jednej stronie stycznej, lecz przechodzi z jednej strony tej prostej na druga

Pochodna jest dodatnia z jednym wyja

tkiem: f

(0) = 0 . Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c,

˙ze styczna do wykresu tej funkcji w ka˙zdym punkcie, z wyja

tkiem punktu (0, 0) ,

przecina wykres w jeszcze jednym punkcie*, wie

c w tym przypadku nie jest prawda

˙ze styczna ma z wykresem funkcji dok ladnie jeden punkt wsp´olny.

Przyk lad 5.22

Teraz zajmiemy sie

funkcja

f (x) = |x| . Je´sli p > 0 i |h| < p ,

f (p+h)−f (p)

p+h−p

= 1 = 1 −−−→

h→0

1 , co oznacza, ˙ze pochodna

funkcji f

w punkcie p jest 1 . W taki sam spos´ob pokaza´c mo˙zna, ˙ze f

(p) = −1 dla ka˙zdej

liczby p < 0 . Pozosta l jeszcze jeden przypadek do rozwa˙zenia, mianowicie p = 0 .

Je´sli h > 0 , to

f (0+h)−f (0)

= 1 i wobec tego lim

h→0

f (0+h)−f (0)

= 1 . Analogicznie

lim

h→0

−

f (0+h)−f (0)

= −1 . Z tych dwu r´owno´sci wynika od razu, ˙ze nie istnieje granica

lim

h→0

f (0+h)−f (0)

, czyli ˙ze funkcja |x| pochodnej w punkcie 0 nie ma, chocia˙z jest

cia

g la – ma ona w tym punkcie pochodne jednostronne, ale sa

one r´o˙zne. Na wykresie

funkcji jest to widoczne, w punkcie (0, 0) wykres sie

za lamuje. Cze

sto m´owimy, ˙ze

wykres ma w tym punkcie „ostrze”. Zauwa˙zmy, ˙ze rezultaty tych rozwa˙za´

n mo˙zna

opisa´c wzorem (|x|)

|x|

Przyk lad 5.23

Podamy teraz przyk lad ´swiadcza

cy o tym, ˙ze istnieja

funkcje cia

g le,

kt´ore przynajmniej w niekt´orych punktach nie maja

pochodnych jednostronnych. Stu-

denci zme

czeni tymi przyk ladami moga

pomina

´c w pierwszym czytaniu ten przyk lad i

ewentualnie powr´oci´c do niego p´o´zniej. Warto te˙z spr´obowa´c sporza

dzi´c szkic wykresu

funkcji, co mo˙ze u latwi´c zrozumienie sytuacji.

Przechodzimy do szczeg´o l´ow. Niech f (x) = x sin

dla x 6= 0 oraz f (0) = 0 .

Z oczywistej nier´owno´sci |f (x)| ≤ |x| wynika, ˙ze lim

x→0

f (x) = 0 = f (0) , a to zna-

czy, ˙ze funkcja f jest cia

g la w punkcie 0 . Cia

g lo´s´c w innych punktach jest oczy-

wistym wnioskiem z twierdzenia o operacjach na funkcjach cia

g lych i twierdzenia o

cia

g lo´sci z lo˙zenia dwu funkcji. Z twierdze´

n, kt´ore udowodnimy nied lugo wyniknie,

˙ze funkcja ta ma pochodna

sko´

nczona

w ka˙zdym punkcie z wyja

tkiem punktu 0 .

Wyka˙zemy teraz, ˙ze funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0 , dok ladniej, ˙ze w

tym punkcie funkcja nie ma pochodnej prawostronnej w punkcie 0 . Je´sli h > 0 ,

f (x+h)−f (x)

= sin

. Udowodnili´smy poprzednio, ˙ze funkcja sin

nie ma granicy

prawostronnej: sin 1

2nπ

= 0 oraz sin 1

2nπ+π/2

= 1 . Nie istnieje wie

c f

(0) ,

Czytelnik zechce sprawdzi´

c w jakim — to pomaga w zrozumieniu tekstu!

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

czyli prawostronna pochodna funkcji f w punkcie 0 .

Widzimy, wie

c ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n punkt

2nπ

, 0

le˙zy na wykresie

funkcji, co oznacza, ˙ze styczna

do wykresu funkcji w punkcie (0, 0) powinna by´c

pozioma o´s uk ladu wsp´o lrze

dnych. Jednak˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n punkt

2nπ+π/2

le˙zy na wykresie funkcji, wie

c styczna

powinna by´c prosta, na

kt´orej te punkty le˙za

, czyli prosta o r´ownaniu y = x — styczna

ma by´c prosta

najdok ladniej „przylegaja

ca” do wykresu. Podobnie mo˙zna uzasadnia´c, ˙ze styczna

wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) powinna by´c prosta o r´ownaniu y = kx , gdzie

k jest dowolna

liczba

z przedzia lu [−1, 1] — na ka˙zdej takiej prostej znajduja

sie

punkty le˙za

ce na wykresie funkcji f , tworza

ce cia

g zbie˙zny do 0 . Mo˙zna powiedzie´c,

˙ze wykres funkcji x sin

oscyluje mie

dzy prostymi y = x oraz y = −x i do ˙zadnej

z nich ani do ˙zadnej le˙za

cej w ka

cie przez nie wyznaczonym w punkcie (0, 0) nie

„przylega”.

Przyk lad 5.24

Obliczymy teraz pochodna

funkcji wyk ladniczej. Niech f (x) = e

Przypomnie´c wypada, ˙ze lim

h→0

x+h

−e

= e

lim

h→0

−1

= e

· 1 = e

. Wobec tego

pochodna

w punkcie x funkcji wyk ladniczej o podstawie e jest liczba e

, czyli

)

= e

. Wobec tego r´ownanie stycznej w punkcie (p, e

) do wykresu funkcji

ma posta´c y = e

(x − p) + e

Przyk lad 5.25

Naste

pna

bardzo wa˙zna

funkcja

jest logarytm naturalny. Znaj-

dziemy jej pochodna

. Niech f (x) = ln x dla ka˙zdej liczby dodatniej x . Przypomnijmy,

˙ze lim

x→0

ln(1+x)

= 1 . Mamy wie

c dla x > 0 naste

puja

r´owno´s´c*:

lim

h→0

ln(x+h)−ln x

= lim

h→0

ln(1+x/h)

x/h

= 1 ·

Znaczy to, ˙ze pochodna

logarytmu naturalnego w punkcie x jest liczba

, czyli

(ln x)

. Wobec tego styczna w punkcie (p, ln p) do wykresu logarytmu natural-

nego ma r´ownanie y =

1
p

(x − p) + ln p .

Przyk lad 5.26

Ostatnia

z kr´otkiego cyklu „najwa˙zniejszych” funkcji elementar-

nych jest sinus. Przypomnijmy, ˙ze lim

x→0

sin x

= 1 . Z niej wynika, ˙ze

lim

h→0

sin(x+h)−sin x

= lim

h→0

2 sin

cos(x+

)

= lim

h→0

sin(h/2)

h/2

· cos(x +

) = cos x .

Uda lo sie

wie

c nam wykaza´c, ˙ze pochodna

funkcji sinus w punkcie x jest liczba cos x ,

czyli ˙ze zachodzi wz´or (sin x)

= cos x . Sta

d wynika, ˙ze r´ownanie stycznej W punkcie

(p, sin p) do wykresu funkcji sinus to y = (cos p) · (x − p) + sin p , w szczeg´olno´sci

Przypomnijmy, ˙ze ln(x+h)−ln x=ln

x+h

=ln

(

)

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

styczna do wykresu funkcji sinus w punkcie (0, 0) ma r´ownanie y = x .

Naste

pne wzory wyprowadzimy po podaniu regu l, wed lug kt´orych obliczane sa

pochodne. Nie be

dziemy w tym przypadku zajmowa´c sie

pochodnymi niesko´

nczonymi,

bowiem w zastosowaniach be

nam potrzebne na og´o l pochodne sko´

nczone.

Twierdzenie 5.14 (o arytmetycznych w lasno´sciach pochodnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje f i g sa

r´o˙zniczkowalne w punkcie p . Wtedy funkcje f ± g , f · g

i, je´sli g(p) 6= 0 , to r´ownie˙z

r´o˙zniczkowalne w punkcie p i zachodza

wzory:

(f + g)

(x) = f

(x) + g

(x) ,

(f − g)

(x) = f

(x) − g

(x) ,

(f · g)

= f

(x)g(x) + f (x)g

(x) ,

(x) =

(x)g(x)−f (x)g

(x)

g(x)

Dow´

od. Mamy f

(p) = lim

h→0

f (p+h)−f (p)

oraz g

(p) = lim

h→0

g(p+h)−g(p)

i wiemy, ˙ze te

pochodne sa

sko´

nczone. Sta

d i z twierdzenia o arytmetycznych w lasno´sciach granicy

funkcji wynika, ˙ze

lim

h→0

f (p+h)+g(p+h)−f (p)−g(p)

= lim

h→0

f (p+h)−f (p)

+ lim

h→0

g(p+h)−g(p)

= f

(p) + g

(p) .

Udowodnili´smy wie

c twierdzenie o pochodnej sumy dwu funkcji r´o˙zniczkowalnych.

W identyczny spos´ob dowodzimy twierdzenie pochodnej r´o˙znicy funkcji r´o˙zniczko-

walnych. Zajmiemy sie

teraz iloczynem funkcji r´o˙zniczkowalnych. Tym razem sko-

rzystamy z udowodnionego wcze´sniej twierdzenia o cia

g lo´sci funkcji r´o˙zniczkowalnej.

Mamy

lim

h→0

f (p+h)g(p+h)−f (p)g(p)

= lim

h→0

[f (p+h)−f (p)]·g(p+h)+f (p)[g(p+h)−g(p)]

= lim

h→0

f (p+h)−f (p)

· lim

h→0

g(p + h) + f (p) · lim

h→0

g(p+h)−g(p)

= f

(p)g(p) + f (p)g

(p) .

Teraz kolej na iloraz. Mamy teraz dodatkowe za lo˙zenie: g(p) 6= 0 . Wynika sta

˙ze istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze |g(p + h) − g(p)| < |g(p)| = |0 − g(p)| , je˙zeli

|h| < δ . Wnioskujemy sta

d, ˙ze liczby g(p) i g(p + h) le˙za

po tej samej stronie zera,

w szczeg´olno´sci g(p + h) 6= 0 . Mamy zatem

lim

h→0

f (p+h)
g(p+h)

−

f (p)
g(p)

= lim

h→0

f (p+h)g(p)−f (p)g(p+h)

hg(p+h)g(p)

= lim

h→0

f (p+h)g(p)−f (p)g(p)−[f (p)g(p+h)−f (p)g(p)]

hg(p+h)g(p)

= lim

h→0

f (p+h)−f (p)

g(p)−f (p)

g(p+h)−g(p)

g(p+h)g(p)

(p)g(p)−f (p)g

(p)

g(p)

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie 5.15 (o pochodnej z lo˙zenia)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , za´s funkcja f , okre´slona

na zbiorze zawieraja

cym wszystkie warto´sci funkcji g , jest r´o˙zniczkowalna w punkcie

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

g(p) . Wtedy z lo˙zenie tych funkcji f ◦ g jest r´o˙zniczkowalne w punkcie p i zachodzi

wz´or:

(f ◦ g)

(x) = f

(g(x))g

(x) .

Wprowadzimy oznaczenie y = g(x) . Mo˙zna napisa´c (f ◦ g)

(x) = f

(y)g

(x) lub

d(f ◦g)

(x) =

(g(x)) ·

dg
dx

(x) =

(y) ·

dg
dx

(x) lub kr´ocej

d(f ◦g)

dg
dx

. Cze

sto

wz´or ten zapisywany jest w postaci

d(f ◦g)

dg
dx

lub, po oznaczeniu z = f (y) ,

jako

dz
dx

dz
dy

dy
dx

. W literaturze angloje

zycznej nosi nazwe

„the Chain Rule”, czego

oczywistym motywem jest jego ostatnia posta´c, zw laszcza je´sli zastosujemy go nie

w przypadku z lo˙zenia dwu funkcji, lecz wie

kszej ich liczby – wtedy la´

ncuch staje sie

bardziej widoczny.

Dow´

od. Mamy do czynienia z dwiema funkcjami r´o˙zniczkowalnymi: f w punkcie

q = g(p) oraz g w punkcie p . Niech r

(h) =

g(p+h)−g(p)−g

(p)h

i niech r

(0) = 0 .

Funkcja g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja r

jest

cia

g la w punkcie 0. Prawdziwa jest zatem r´owno´s´c: g(p + h) = g(p) + g

(p)h + r

(h)h .

Przyjmijmy teraz, ˙ze r

(H) =

f (g(p)+H)−f (g(p))

oraz r

(0) = 0 . Tak jak w przy-

padku funkcji g funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie q = g(p) wtedy i tylko

wtedy, gdy funkcja r

jest cia

g la w punkcie 0. R´ownie˙z w tym przypadku zachodzi

te˙z wz´or: f (g(p) + H) = f (g(p)) + f

(g(p))H + r

(H)H . Gotowi jeste´smy do „wy-

dzielenia cze

´sci liniowej z lo˙zenia” f ◦ g w otoczeniu punktu p :

f (g(p + h)) = f (g(p) + g

(p)h + r

(h)h) =

= f (g(p)) + f

(g(p)) g

(p)h + r

(h)h

+ r

(p)h + r

(h)h

(p)h + r

(h)h

= f (g(p)) + f

(g(p))g

(p)h + h ·

(h) + r

(p)h + r

(h)h

(p) + r

(h)

Jasne jest, ˙ze granica

wyra˙zenia znajduja

cego sie

w nawiasie kwadratowym przy

h → 0 jest liczba 0. Sta

d za´s wynika od razu, zob. twierdzenie charakteryzuja

pochodna

jako wsp´o lczynnik wielomianu stopnia ≤ 1 najlepiej przybli˙zaja

cego funk-

cje

, ˙ze pochodna

funkcji f ◦ g w punkcie p jest liczba f

(g(p))g

(p) . Dow´od zosta l

zako´

nczony.

Twierdzenie 5.16 (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , ˙ze f

(p) 6= 0 , ˙ze funkcja

f ma funkcje

odwrotna

oraz ˙ze funkcja f

−1

odwrotna do f jest cia

g la w punkcie

q = f (p) . Wtedy funkcja f

−1

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie q i zachodzi wz´or

−1

(q) =

(p)

Wz´or na pochodna

funkcji odwrotnej mo˙zna zapisa´c tak: f

−1

(f (p)) =

(p)

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

lub tak: f

−1

(q) =

−1

(q))

. Piszemy te˙z

dx
dy

dy
dx

−1

, oznaczywszy uprzednio

y = f (x) . Ten ostatni zapis, zw laszcza w po la

czeniu z wzorem

dz
dx

dz
dy

dy
dx

, sugeruje,

˙ze symbol

dy
dx

mo˙zna traktowa´c jak u lamek. Trzeba jednak uwa˙za´c, bo nie oznacza

on u lamka, lecz pochodna

i pos lugiwa´c sie

analogiami z ilorazem jedynie w zakresie

dopuszczonym podawanymi twierdzeniami. Mo˙zna np. napisa´c wz´or

dg
dx

dh
dx

d(g+h)

— oznacza on, ˙ze pochodna sumy dwu funkcji wzgle

dem zmiennej x jest r´owna sumie

ich pochodnych wzgle

dem tej samej zmiennej x . Natomiast nie mo˙zna napisa´c wzoru

dg
dx

df ·dx+dg·dy

dy·dx

np. dlatego, ˙ze jego prawa strona nie ma sensu, bo w og´ole

nie jest zdefiniowana. P´o´zniej rozwa˙za´c be

dziemy pochodne wy˙zszych rze

d´ow i tam

sytuacja be

dzie jeszcze bardziej skomplikowana.

Dow´

od. Tym razem wiemy, ˙ze funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , ˙ze

(p) 6= 0 oraz ˙ze funkcja f

−1

odwrotna do funkcji f jest cia

g la w punkcie q = f (p) .

Wystarczy teraz wykaza´c, ˙ze lim

h→0

−1

(q+h)−f

−1

(q)

(p)

Niech H = f

−1

(q + h) − f

−1

(q) . Oczywi´scie H zale˙zy od h . Z cia

g lo´sci funkcji

−1

w punkcie q wynika od razu, ˙ze lim

h→0

H = 0 . Zachodzi wz´or h = q + h − q =

= f (f

−1

(q + h)) − f (f

−1

(q)) = f (f

−1

(q) + H) − f (f

−1

(q)) = f (p + H) − f (p) .

Z tego i z poprzednich wzor´ow wynika, ˙ze

lim

h→0

−1

(q+h)−f

−1

(q)

= lim

H→0

f (p+H)−f (p)

(p)

Poka˙zemy teraz, jak podane przed chwila

twierdzenia mo˙zna stosowa´c.

Przyk lad 5.27

Znajdziemy pochodna

funkcji kosinus. Mamy cos x = sin

− x

Skorzystamy z wzoru wynikaja

cego z wzoru wykazanego w przyk ladzie pierwszym:

−x

= (−1)x +

= −1 . Teraz skorzystamy z twierdzenia o pochodnej z lo˙zenia:

(cos x)

sin

− x

= cos

− x

· (−1) = − sin x

– tutaj role

funkcji f z wzoru na pochodna

z lo˙zenia pe lni sinus, kt´orego pochodna

jest kosinus, za´s role

funkcji g odgrywa funkcja

− x , kt´orej pochodna

jest −1 .

Przyk lad 5.28

Zastosujemy wz´or na pochodna

ilorazu dla uzyskania wzoru na

pochodna

funkcji tangens. Mamy

(tg x)

sin x

cos x

(sin x)

cos x−(cos x)

sin x

(cos x)

cos x·cos x−(− sin x) sin x

cos

= 1 + tg

x .

Przyk lad 5.29

Teraz kolej na kotangens. Wz´or ten mo˙zna uzyska´c na r´o˙zne spo-

soby, np. modyfikuja

c nieznacznie wyprowadzenie wzoru na pochodna

funkcji tangens.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

Mo˙zna te˙z zastosowa´c metode

znana

ju˙z z wyprowadzenia wzoru na pochodna

funkcji

kosinus i w la´snie tak posta

pimy:

(ctg x)

= tg

− x

cos

(

−x

)

· (−1) = −

sin

= −1 − ctg

x .

Przyk lad 5.30

Przypomnijmy, ˙ze funkcja

odwrotna

do funkcji tangens ograniczo-

nej do przedzia lu −

jest funkcja arctg , kt´ora przekszta lca zbi´or wszystkich

liczb rzeczywistych IR na przedzia l −

. Zachodzi zatem wz´or: tg (arctg x) =

x . Funkcja arctg jest cia

g la. Pochodna funkcji tangens nie jest w ˙zadnym punkcie

mniejsza od 1, wie

c jest r´o˙zna od 0 . Wobec tego z twierdzenia o pochodnej funkcji

odwrotnej wynika, ˙ze funkcja arctg ma pochodna

w ka˙zdym punkcie. Z twierdzenia

o pochodnej z lo˙zenia wynika, ˙ze musi zachodzi´c wz´or:

1 = (x)

= (tg (arctg x))

= 1 + tg

(arctg x)

· (arctg x)

= 1 + x

· (arctg x)

Sta

d wnioskujemy, ˙ze (arctg x)

1+x

Przyk lad 5.31

Wyprowadzimy wz´or na pochodna

funkcji arcsin, czyli funkcji od-

wrotnej do funkcji sinus ograniczonej do przedzia lu [−

] . Funkcja arcsinus jest

cia

g la i przekszta lca przedzia l [−1, 1] na przedzia l [−

] . Na tym ostatnim prze-

dziale funkcja kosinus przyjmuje nieujemne warto´sci. Sta

d wynika, ˙ze je´sli −

≤

y ≤

, to cos y =

1 − sin

y . Poniewa˙z pochodna funkcji sinus jest r´o˙zna od 0

w punktach przedzia lu otwartego (−

) , wie

c funkcja arcsin jest r´o˙zniczkowalna

w punktach odpowiadaja

cych punktom przedzia lu (−

) , czyli w punktach prze-

dzia lu otwartego (−1, 1) . Mamy wie

1 = (x)

= (sin (arcsin(x)))

= cos (arcsin(x)) · (arcsin(x))

1 − sin

(arcsin(x)) · (arcsin)

√

1 − x

· (arcsin(x))

Sta

d ju˙z latwo wynika, ˙ze zachodzi wz´or: (arcsin(x))

√

1−x

. Znale´zli´smy wie

c po-

chodna

funkcji arcsin w punktach wewne

trznych jej dziedziny. W punktach le˙za

cych

na jej brzegu, czyli w punktach −1 i 1 mo˙zna by m´owi´c jedynie o pochodnych jedno-

stronnych. Pozostawiamy czytelnikom wykazanie tego, ˙ze w obu ko´

ncach przedzia lu

[−1, 1] funkcja arcsin ma pochodna

jednostronna

i ˙ze ta pochodna jednostronna r´owna

jest +∞ . Warto naszkicowa´c sobie wykres funkcji arcsin – jest on oczywi´scie sy-

metryczny do wykresu funkcji sinus, ograniczonej do przedzia lu [−

] , wzgle

dem

prostej o r´ownaniu y = x .

Przyk lad 5.32

Niech f (x) = x

, gdzie a jest dowolna

liczba

rzeczywista

, za´s x

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

jest liczba

dodatnia

. Wyka˙zemy, ˙ze (x

)

= ax

a−1

Z definicji wynika, ˙ze x

= e

a ln x

. Korzystaja

c z twierdzenia o pochodnej z lo˙zenia

dwu funkcji oraz poprzednio wyprowadzonych wzor´ow na pochodne funkcji wyk lad-

niczej, logarytmu i funkcji liniowej otrzymujemy:

)

= e

a ln x

= e

a ln x

· a ·

= ax

a−1

Doda´c wypada, ˙ze pote

mo˙zna zdefiniowa´c te˙z w przypadku x = 0 i a > 0 oraz

w przypadku x < 0 , je´sli a jest liczba

wymierna

, kt´orej mianownik jest ca lkowita

liczba

nieparzysta

, a licznik — liczba

ca lkowita

, po ewentualnym skr´oceniu. Pozo-

stawiamy czytelnikom uzasadnienie tego, ˙ze w obu tych przypadkach podany przez

nas wz´or na pochodna

funkcji pote

gowej pozostaje w mocy. Oczywi´scie w przypadku

pierwszym mowa jest jedynie o pochodnej prawostronnej, chyba ˙ze a jest wyk ladni-

kiem dodatnim, wymiernym o mianowniku nieparzystym (mowa o zapisie liczby wy-

miernej w postaci u lamka nieskracalnego, kt´orego licznik i mianownik sa

liczbami

ca lkowitymi).

Przyk lad 5.33

Zajmiemy sie

teraz przez chwile

funkcja

wyk ladnicza

o dowolnej

podstawie. Niech a be

dzie dowolna

liczba

dodatnia

, x — dowolna

liczba

rzeczywista

Poste

puja

c tak jak w przypadku funkcji pote

gowej otrzymujemy wz´or:

)

= e

x ln a

= e

x ln a

· ln a = a

ln a .

Na tym zako´

nczymy kr´otki przegla

d najbardziej podstawowych wzor´ow na po-

chodne. Be

dziemy je oblicza´c wielokrotnie. Przekonamy sie

niebawem, ˙ze mo˙zna ich

u˙zywa´c w celu rozwia

zywania rozlicznych problem´ow, np. znajdowania najwie

kszych

i najmniejszych warto´sci funkcji. Do tego potrzebne be

nam jednak twierdzenia

pozwalaja

ce na wia

zanie w lasno´sci funkcji z w lasno´sciami jej pochodnej. Warto nad-

mieni´c, ˙ze z twierdze´

n, kt´ore ju˙z podali´smy, wynika, ˙ze funkcje zdefiniowane za pomoca

„ jednego wzoru”, maja

pochodna

we wszystkich punktach swej dziedziny z wyja

tkiem

nielicznych punkt´ow wyja

tkowych, np. wz´or

(

√

1/3

1
3

−2/3

√

ma miejsce dla wszystkich x 6= 0 . Istnieja

, co prawda, funkcje cia

g le okre´slone na ca lej

prostej, kt´ore nie maja

pochodnej w ˙zadnym punkcie, ale my sie

takimi tworami zaj-

mowa´c nie be

dziemy. Jednak w fizyce rozpatrywany jest tzw. ruch Browna, w kt´orego

modelu matematycznym tego rodzaju dziwactwa pojawiaja

sie

. Zwia

zane jest to

z tym, ˙ze w tym modelu rozpatrywana jest sytuacja otrzymana przez przej´scie z liczba

Dla a=

jest to znany wielu czytelnikom z nauki w szkole wz´

or na pochodna, pierwiastka kwadrato-

wego, dla a=2 oraz a=3 otrzymali´smy wzory wcze´sniej, zob, przyk lad 2,3.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

rozpatrywanych cza

stek do niesko´

nczono´sci, co zwa˙zywszy na ich liczbe

dziwne nie

jest. Wtedy jednak typowa cza

stka zderza sie

z innymi „bez przerwy”, a to powoduje

za lamania trajektorii, czyli punkty nier´o˙zniczkowalno´sci. Zwia

zany z ruchem Browna

proces Wienera znajduje zastosowania r´ownie˙z w modelach ekonomicznych.

Twierdzenie 5.17 (o cia

g lo´sci funkcji r´

o˙zniczkowalnej)

Je´sli funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , to jest w tym punkcie cia

g la.

Dow´

od.

lim

x→p

f (x) = f (p) + lim

h→0

(f (p + h) − f (p)) = f (p) + lim

h→0

h ·

f (p+h)−f (p)

=f (p) + 0 · f

(p) = f (p) . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Naste

pne twierdzenie by lo u˙zywane przez Fermata (1601–1665) w odniesieniu

do wielomian´ow jeszcze przed wprowadzeniem przez Newtona i Leibniza rachunku

r´o˙zniczkowego i ca lkowego. Fermat zajmowa l sie

znajdowa l mie

dzy innymi znajdowa-

niem warto´sci najwie

kszych i najmniejszych wielomian´ow na przedzia lach domknie

tych. Doprowadzi lo go to w gruncie rzeczy do poje

cia pochodnej, cho´c nie stworzy l

on teorii. Tym nie mniej odkry l twierdzenie, kt´orego wage

trudno przeceni´c, cho´c

zar´owno twierdzenie jak i jego dow´od sa

nies lychanie proste.

Twierdzenie 5.18 (

o zerowaniu sie

pochodnej w punktach lokalnego ekstremum)

Je´sli f jest funkcja

r´o˙zniczkowalna

w punkcie p i przyjmuje w punkcie p warto´s´c

najmniejsza

lub najwie

ksza

, to f

(p) = 0 , podkre´sli´c wypada, ˙ze zak ladamy tu, ˙ze p

jest ´srodkiem pewnego przedzia lu otwartego zawartego w dziedzinie funkcji.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma w punkcie p warto´s´c najwie

ksza

. Znaczy to, ˙ze

dla ka˙zdego punktu x z dziedziny funkcji f zachodzi nier´owno´s´c f (x) ≤ f (p) , zatem

dla h > 0 mamy

f (p+h)−f (p)

≤ 0 , wobec tego f

(p) = lim

h→0

f (p+h)−f (p)

≤ 0 . Mamy

te˙z f

(p) = lim

h→0

−

f (p+h)−f (p)

≥ 0 dla h < 0 . Obie te nier´owno´sci moga

zachodzi´c

jednocze´snie jedynie w przypadku f

(p) = 0 .

Je´sli f przyjmuje w punkcie p warto´s´c najmniejsza

, to funkcja przeciwna −f

przyjmuje w tym punkcie warto´s´c najwie

ksza

, wie

c 0 = (−f )

(p) = −f

(p) . Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Wypada podkre´sli´c, ˙ze je´sli funkcja okre´slona na przedziale przyjmuje warto´s´c

najwie

ksza

w jego ko´

ncu, to nawet w przypadku, gdy jest w tym ko´

ncu jednostronnie

r´o˙zniczkowalna, to jej pochodna nie musi by´c r´owna 0 , funkcja x rozpatrywana na

przedziale [7, 13] przyjmuje swa

najwie

ksza

warto´s´c w punkcie 13 , w kt´orym jej

pochodna

jest liczba 1.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

Uwaga 5.19 ( o pozornej monotnoniczno´sci)

Je´sli funkcja f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p oraz f

(p) > 0 , to istnieje liczba

δ > 0 taka, ˙ze je´sli 0 < h < δ , to f (p − h) < f (p) < f (p + h) , tzn. dostatecznie blisko

punktu p , na lewo od niego warto´sci funkcji sa

mniejsze ni˙z w warto´s´c punkcie p ,

za´s na prawo od tego punktu, w jego pobli˙zu warto´sci funkcji sa

wie

ksze ni˙z warto´s´c

w punkcie p .

Dow´

od. Iloraz r´o˙znicowy

f (p+h)−f (p)

jest dodatni dla dostatecznie ma lych h , bo-

wiem ma dodatnia

granice

przy h → 0 , zatem licznik i mianownik tego u lamka maja

taki sam znak.

Twierdzenie 5.20 (Rolle’a)

Je˙zeli funkcja f jest cia

g la w przedziale domknie

tym [a, b] i ma pochodna

we wszyst-

kich jego punktach wewne

trznych oraz f (a) = f (b) , to istnieje taki punkt c ∈ (a, b) ,

˙ze f

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze f (a) = f (b) nie jest najwie

ksza

warto´scia

funkcji f . Niech c

dzie punktem, w kt´orym funkcja f przyjmuje warto´s´c najwie

ksza

spo´sr´od przyjmo-

wanych na tym przedziale. Oczywi´scie a < c < b . Wobec tego f jest r´o˙zniczkowalna

w punkcie c i na mocy twierdzenia Fermata zachodzi r´owno´s´c f

cja f nie przyjmuje wewna

trz przedzia lu [a, b] warto´sci wie

kszych ni˙z f (a) = f (b) ,

to albo przyjmuje mniejsze i mo˙zemy zamiast niej rozwa˙zy´c funkcje

przeciwna

−f ,

albo funkcja f jest sta la na przedziale [a, b] . W tym drugim przypadku c mo˙ze by´c

dowolnym punktem przedzia lu otwartego (a, b) . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Interpretacja fizyczna tego twierdzenia mo˙ze by´c np. taka: po prostoliniowej dro-

dze porusza sie

pojazd, kt´ory rozpoczyna i ko´

nczy przemieszczanie sie

w tym samym

punkcie f (a) = f (b)

, poniewa˙z ko´

nczymy podr´o˙z w punkcie startu, wie

c w kt´orym´s

punkcie musieli´smy zawr´oci´c, w momencie zmiany kierunku jazdy nasza pre

dko´s´c by la

r´owna 0 .

Na wykresie funkcji punkty, o kt´orych jest mowa w dowodzie twierdzenia Rolle’a

to te w otoczeniu, kt´orych wykres wygla

da tak, jak wykres funkcji −x

w otocze-

niu punktu 0 . Oczywi´scie to nie sa

jedyne punkty, w kt´orych pochodna przyjmuje

warto´s´c 0 . Niech f (x) = sin

x . Wtedy f

(x) = 3 sin

x cos x , zatem f

(0) = 0 ,

chocia˙z w punkcie 0 funkcja f nie ma lokalnego maksimum ani lokalnego minimum,

w ka˙zdym przedziale postaci (δ, δ) , gdzie 0 < δ <

, funkcja f jest ´sci´sle rosna

ca.

Ma ona lokalne ekstrema, ale w innych punktach, np. w punktach ±

Przejdziemy teraz do najwa˙zniejszego twierdzenia w rachunku r´o˙zniczkowym,

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

twierdzenia o warto´sci ´sredniej.

Twierdzenie 5.21 (Lagrange’a o warto´sci ´sredniej)

Je´sli funkcja f jest cia

g la w ka˙zdym punkcie przedzia lu domknie

tego [a, b] i ma

pochodna

we wszystkich punktach przedzia lu otwartego (a, b) , to istnieje taki punkt

c ∈ (a, b) , ˙ze f

f (b)−f (a)

b−a

Dow´

od. Niech g(x) = f (x) −

f (b)−f (a)

b−a

(x − a) − f (a) — od funkcji f odejmujemy

funkcje

f (b)−f (a)

b−a

(x − a) + f (a) , wie

c liniowa

, kt´orej warto´sci w ko´

ncach przedzia lu

[a, b] pokrywaja

sie

z warto´sciami funkcji f . Mamy wie

c g(a) = 0 = g(b) . Funkcja g

jest funkcja cia

g la, jako r´o˙znica funkcji cia

g lych. Taki sam argument przekonuje nas

o istnieniu pochodnej g

we wszystkich punktach przedzia lu otwartego (a, b) . Wobec

tego dla funkcji g spe lnione sa

za lo˙zenia twierdzenia Rolle’a. Istnieje wobec tego taki

punkt c ∈ (a, b) , ˙ze 0 = g

f (b)−f (a)

b−a

, a to w la´snie mieli´smy wykaza´c.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Ka˙zdy czytelnik z pewno´scia

zauwa˙zy l, ˙ze twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem

szczeg´olnym twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej. Mo˙zna te˙z zinterpretowa´c

„fizycznie” twierdzenie Lagrange’a. Je´sli f (x) oznacza po lo˙zenie w chwili x obiektu

poruszaja

cego sie

po prostej, to f

dko´s´c w chwili c , za´s

f (b)−f (a)

b−a

pre

dko´s´c ´srednia w okresie od a do b . Wg. tej interpretacji twierdzenie o warto´sci

´sredniej m´owi, ˙ze pre

dko´s´c chwilowa w pewnej chwili c r´owna jest pre

dko´sci ´sredniej,

co wygla

da na stwierdzenie zupe lnie oczywiste. Geometrycznie twierdzenie to ozna-

cza, ˙ze je´sli poprowadzimy prosta

przez dwa punkty le˙za

ce na wykresie funkcji f , to

styczna do wykresu f w pewnym punkcie le˙za

cym mie

dzy wybranymi punktami jest

r´ownoleg la do wybranej prostej.

Widzimy wie

c, ˙ze twierdzenie Lagrange’a ma kr´otki dow´od, prosto mo˙zna je

zinterpretowa´c na r´o˙zne sposoby. Poka˙zemy nied lugo, ˙ze ma ono liczne i wa˙zne kon-

sekwencje.

Zadania

5.01 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli f (x) = x

cos x .

5.02 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli f (x) = xe

5.03 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli f (x) = x(x − 1) .

5.04 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(1) , je´sli f (x) = x(x − 1) .

5.05 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli f (x) = x

cos

i f (0) = 0 .

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

5.06 Wykaza´c, ˙ze je´sli f (0) = 0 i f (x) = x cos

, to funkcja f jest cia

g la w punkcie 0 ,

ale pochodnej w tym punkcie nie ma.

5.07 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(1) , je´sli f (x) = (x − 1)e

5.08 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli

f (x) = x

9 + sin(tg x) .

5.09 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(0) , je´sli

f (x) = sin

4 + sin(tg x)

5.10 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(2) , je´sli

f (x) = (x − 2) |x + 3| .

5.11 Korzystaja

c jedynie z definicji pochodnej oblicz f

(1) , je´sli

f (x) = (ln x)

√

1 + 3x

5.12 Obliczy´c pochodna

funkcji πx

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.13 Obliczy´c pochodna

funkcji

4
3

πx

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.14 Obliczy´c pochodna

funkcji 1−3x+7x

+5x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.15 Obliczy´c pochodna

funkcji

√

1 + x w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.16 Obliczy´c pochodna

funkcji

√

1 + 2x w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.17 Obliczy´c pochodna

funkcji

√

1 + x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.18 Obliczy´c pochodna

funkcji

√

1 + sin x w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.19 Obliczy´c pochodna

funkcji

1+x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.20 Obliczy´c pochodna

funkcji

(1−x)

(1+x)

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.21 Obliczy´c pochodna

funkcji arccos(sin x) w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.22 Obliczy´c pochodna

funkcji

sin

sin(x

)

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.23 Obliczy´c pochodna

funkcji x

√

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.24 Obliczy´c pochodna

funkcji sin x +

√

1 + x

w tych punktach, w kt´orych ist-

nieje.

5.25 Obliczy´c pochodna

funkcji tg

− ctg

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.26 Obliczy´c pochodna

funkcji x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.27 Obliczy´c pochodna

funkcji

√

tg x w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.28 Obliczy´c pochodna

funkcji e

−x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.29 Obliczy´c pochodna

funkcji e

sin x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.30 Obliczy´c pochodna

funkcji

x +

2x +

√

3x w tych punktach, w kt´orych ist-

nieje.

5.31 Obliczy´c pochodna

funkcji ln |x| w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.32 Obliczy´c pochodna

funkcji sin

x w tych punktach, w kt´orych istnieje.

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

5.33 Obliczy´c pochodna

funkcji |sin x| w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.34 Obliczy´c pochodna

funkcji ln |sin x| w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.35 Obliczy´c pochodna

funkcji ln x +

√

1 + x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.36 Obliczy´c pochodna

funkcji arcsin

1+x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.37 Obliczy´c pochodna

funkcji x |x| w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.38 Obliczy´c pochodna

funkcji

1+x

1−x

w tych punktach, w kt´orych istnieje.

5.39 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu cos

x − 2 sin x w punkcie (π, 1) lub wy-

kaza´c, ˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.40 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu arctg(2x) w punkcie (0, 0) lub wykaza´c,

˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.41 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu |x − 1|

√

x + 2 w punkcie (−3, −4) lub

wykaza´c, ˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.42 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu x

− 1

w punkcie (0, 1) lub wykaza´c,

˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.43 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu x

− 1

w punkcie

√

2, 1

lub wykaza´c,

˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.44 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu

√

x w punkcie (0, 0) lub wykaza´c, ˙ze w

tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.45 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu

√

− 1 w punkcie (0, 0) lub wykaza´c,

˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.46 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu

1 − cos x

√

w punkcie (0, 0) lub

wykaza´c, ˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.47 Znale´z´c r´ownanie stycznej do wykresu

√

x − sin x w punkcie (0, 0) lub wykaza´c,

˙ze w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

5.48 Wykaza´c, ˙ze je´sli f (x) = x

+ 3x dla x ∈ (−∞, +∞) , to funkcja f okre´slona na

wskazanym przedziale ma funkcje

odwrotna

−1

. Znale´z´c dziedzine

funkcji f

−1

oraz f

−1

(0) .

5.49 Wykaza´c, ˙ze je´sli f (x) = x + e

dla x ∈ (−∞, +∞) , to funkcja f okre´slona na

wskazanym przedziale ma funkcje

odwrotna

−1

. Znale´z´c dziedzine

funkcji f

−1

oraz f

−1

(1) .

5.50 Wykaza´c, ˙ze je´sli f (x) = x + ln x dla x ∈ (0, +∞) , to funkcja f okre´slona na

wskazanym przedziale ma funkcje

odwrotna

−1

. Znale´z´c dziedzine

funkcji f

−1

oraz f

−1

(1) .

5.51 Niech f (x) = 5e

. Obliczy´c f

(x) − 3f (x) .

Funkcje r´o˙zniczkowalne

Micha l Krych

5.52 Niech f (x) = 5e

−7x

. Obliczy´c f

(x) + 7f (x) .

5.53 Niech f (x) = 5xe

. Obliczy´c f

(x) − 3f (x) .

5.54 Niech f (x) = 5x

. Obliczy´c f

(x) − 3f (x) .

5.55 Niech f (x) = 5x

. Obliczy´c f

(x) − 3f (x) .

5.56 Niech f (x) = 5xe

. Obliczy´c f

(x) − 3f (x) .

5.57 Niech f : R −→ R be

dzie r´o˙zniczkowalna

funkcja

parzysta

, tzn. f (−x) = f (x)

dla ka˙zdej liczby x ∈ R . Wykaza´c, ˙ze f

(0) = 0 i og´olnie f

(−x) = −f

(x) dla

ka˙zdego x ∈ R .

5.58 Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma pochodna

w ka˙zdym punkcie oraz ˙ze f

(x) = 2f (x)

dla ka˙zdej liczby x . Obliczy´c pochodna

funkcji f (x)e

−2x

5.59 Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma pochodna

w ka˙zdym punkcie oraz ˙ze f

(x) = 2xf (x)

dla ka˙zdej liczby x . Obliczy´c pochodna

funkcji f (x)e

−x

5.60 Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma pochodna

w ka˙zdym punkcie oraz ˙ze f

(x) + f (x) = 0

dla ka˙zdej liczby x . Obliczy´c f (x)e

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ch11 12 wiele zm
ch11 12 rr zm rozdz
ch11 12 zesp
ch11 12 geoman2
ch11 12 szeregi pot
ch11 12 rr uzm sta I rz
ch11 12 calki II
ch11 12 rr uklady
ch11 12 macierze
Ch11 1 12 Hydro ElectricPowerPlants
ch11 12 wiele zm

więcej podobnych podstron