S Z E R E G I

P O T E

,

G O W E

10 grudnia 2011

Wiele funkcji mo˙zna przedstawia´c w postaci sum szereg´ow pote

,

gowych. Uda lo

nam sie

,

ju˙z przedstawi´c w takiej postaci funkcje

,

wyk ladnicza

,

. W tym punkcie przeko-

namy sie

,

, ˙ze nie jest ona ˙zadnym wyja

,

tkiem – praktycznie wszystkie funkcje, kt´ore sa

,

zdefiniowane „za pomoca

,

jednego wzoru”, mo˙zna tak zapisa´c, co u latwia w licznych

przypadkach poznanie ich w lasno´sci. Zaczniemy od definicji i twierdzenia opisuja

,

cego

podstawowe w lasno´sci szereg´ow pote

,

gowych.

Definicja 8.1 (szeregu pote

,

gowego)

Szeregiem pote

,

gowym o ´srodku w punkcie 0 i wsp´o lczynnikach a

0

, a

1

, a

2

, . . . nazy-

wamy szereg sume

,

niesko´

nczona

,

postaci

a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ a

3

x

3

+ · · · =

∞

X

n=0

a

n

x

n

.

M´owimy, ˙ze szereg taki jest zbie˙zny dla x ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

sko´

nczona granica lim

n→∞

(a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · · + a

n

x

n

) . Te

,

granice

,

nazywamy suma

,

szeregu pote

,

gowego i oznaczamy symbolem

∞

X

n=0

a

n

x

n

.

W tej definicji i w przypadku stosowania zapisu

∞

X

n=0

a

n

x

n

przyjmujemy wyja

,

tko-

wo, ˙ze x

0

= 1 r´ownie˙z dla x = 0 , by nie komplikowa´c oznacze´

n.

Dla x = 0 szereg pote

,

gowy jest zbie˙zny. Czasem jest to jedyny punkt zbie˙zno´sci,

np. je´sli a

n

= n

n

. Je´sli granica lim

n→∞

(a

0

+ a

1

x + · · · + a

n

x

n

) jest sko´

nczona, to

lim

n→∞

(a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · · + a

n

x

n

) = lim

n→∞

(a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · · + a

n−1

x

n−1

) , bo

granica cia

,

gu i podcia

,

gu jest taka sama, zatem

lim

n→∞

a

n

x

n

= lim

n→∞

(a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+· · ·+a

n

x

n

)−(a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+· · ·+a

n−1

x

n−1

)

= 0 .

Ze zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=1

n

n

x

n

wynika wie

,

c, ˙ze 0 = lim

n→∞

n

n

x

n

= lim

n→∞

(nx)

n

, a ta

r´owno´s´c ma miejsce jedynie dla x = 0 .

Mo˙ze te˙z zdarzy´c sie

,

, ˙ze szereg pote

,

gowy jest zbie˙zny dla wszystkich liczb rze-

czywistych x . Przyk ladem jest tu szereg

∞

X

n=0

x

n

n!

= 1 +

1

1!

x +

1

2!

x

2

+

1

3!

x

3

+ · · · ,*

*

Teraz a

n

=

1

n!

1

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

kt´orego suma

,

jest e

x

. Wykazali´smy to wcze´sniej me

,

cza

,

c sie

,

nieco. Mamy r´ownie˙z

∞

X

n=0

x

n

=

1

1−x

dla x ∈ (−1, 1) — to znany wz´or na sume

,

niesko´

nczonego cia

,

gu geo-

metrycznego, tym razem a

n

= 1 dla wszystkich ca lkowitych n ≥ 0 .

Widzimy wie

,

c, ˙ze zbi´or tych liczb x dla kt´orych szereg jest zbie˙zny zale˙zy od wsp´o l-

czynnik´ow a

0

, a

1

, a

2

, . . . . O tym zbiorze co´s jednak mo˙zna powiedzie´c.

Lemat 8.2 (o zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego)

Je´sli szereg pote

,

gowy

∞

X

n=0

a

n

x

n

jest zbie˙zny dla x = x

1

i |x

2

| < |x

1

| , to szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

2

jest zbie˙zny. Co wie

,

cej, dla ka˙zdej liczby naturalnej k szereg

∞

X

n=0

n

k

a

n

x

n

2

jest zbie˙zny.

Dow´

od. *

Poniewa˙z szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

1

jest zbie˙zny, wie

,

c lim

n→∞

a

n

x

n

1

= 0 — wykazali´smy to przed

sformu lowaniem dowodzonego lematu. Istnieje wie

,

c taka liczba M > 0 , ˙ze nier´owno´s´c



a

n

x

n

1



 ≤ M zachodzi dla ka˙zdej liczby n ∈ N . Niech q =





x

2

x

1



 . Z za lo˙zenia wynika, ˙ze

0 ≤ q < 1 . Niech q

1

=

1+q

2

. Wtedy q < q

1

< 1 , wie

,

c lim

n→∞

n

k

q

n

q

n

1

= lim

n→∞

n

k q

q

1

n

= 0 .

Wobec tego istnieje taka liczba K > 0 , ˙ze





n

k

q

n

q

n

1



 ≤ K dla ka˙zdej liczby n ∈ N .

Niech m, n oznaczaja

,

liczby naturalne i niech n > m . Wtedy







n

X

j=m+1

j

k

a

j

x

j
2





 ≤

n

X

j=m+1



j

k

a

j

x

j
2



 =

n

X

j=m+1



a

j

x

j
1



 j

k





x

2

x

1





j

=

n

X

j=m+1



a

j

x

j
1



 j

k

q

j

≤

≤ M

n

X

j=m+1

j

k

q

j

= M

n

X

j=m+1

j

k

q

j

q

j

1

q

j

1

≤ M K

n

X

j=m+1

q

j

1

=

= M Kq

m+1

1

1−q

n−m

1

1−q

1

< M Kq

m+1

1

1

1−q

1

−−−−−→

m→∞

0 .

Wobec tego dla ka˙zdej liczby ε > 0 i dla dostatecznie du˙zego m ∈ N oraz dowolnego

n > m zachodzi nier´owno´s´c



(a

0

+ a

1

x

2

+ 2

k

a

2

x

2

2

+ · · · + n

k

a

n

x

n

2

) − (a

0

+ a

1

x

2

+ 2

k

a

2

x

2

2

+ · · · + n

k

a

m

x

m

2

)



 < ε .

Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze cia

,

g o wyrazie a

0

+a

1

x

2

+2

k

a

2

x

2

2

+· · ·+n

k

a

n

x

n

2

spe lnia warunek

Cauchy’ego, co dowodzi, ˙ze ma on sko´

nczona

,

granice

,

, a to by lo naszym celem.

Z lematu o zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego wynika, ˙ze zbi´or tych punkt´ow x ∈ R ,

*

Nale˙zy koniecznie przypomnie´

c sobie w lasno´sci cia,gu geometrycznego w tym wz´or na sume, nie-

sko´

nczonego cia,gu geometrycznego!

2

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

dla kt´orych ten szereg jest zbie˙zny jest przedzia lem o ´srodku w punkcie 0 , by´c mo˙ze

niesko´

nczonym, czyli ca la

,

prosta

,

lub zbiorem z lo˙zonym tylko z liczby 0 . Og´olnie

nic nie mo˙zna powiedzie´c na temat ko´

nc´ow tego przedzia lu. W ka˙zdym z ko´

nc´ow

szereg mo˙ze by´c zbie˙zny lub nie. Przedzia l z lo˙zony z punkt´ow, dla kt´orych szereg

P

a

n

x

n

jest zbie˙zny nazywamy przedzia lem zbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

x

n

, a po lowe

,

jego d lugo´sci — promieniem zbie˙zno´sci szeregu. Wobec tego promieniem zbie˙zno´sci

szeregu

P

n

n

x

n

jest liczba 0 , promieniem zbie˙zno´sci szeregu

P

x

m

jest liczba 1 ,

promieniem zbie˙zno´sci szeregu

P

x

n

n!

jest +∞ .

Uwaga 8.3 (o bezwzgle

,

dnej zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego)

Dowodza

,

c lemat o zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego wykazali´smy, ˙ze opr´ocz szeregu

∞

X

n=0

n

k

a

n

x

n

zbie˙zny jest te˙z szereg

∞

X

n=0



n

k

a

n

x

n



 . W tej sytuacji matematycy m´owia

,

o bezwzgle

,

dnej zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=0

n

k

a

n

x

n

.

Funkcje, kt´ore mo˙zna przedstawi´c w postaci sumy szeregu pote

,

gowego nie maja

,

„patologicznych” w lasno´sci. W zasadzie wszystkie podstawowe funkcje mo˙zna przy-

najmniej lokalnie zapisywa´c w takiej postaci. Nie be

,

dziemy sie

,

zbytnio wg le

,

bia´c w te

zagadnienia. Wyka˙zemy jeszcze jedno twierdzenie.

Twierdzenie 8.4 (o pochodnej szeregu pote

,

gowego)

Je´sli szereg pote

,

gowy

∞

X

n=0

a

n

x

n

ma dodatni promie´

n zbie˙zno´sci, to wewna

,

trz prze-

dzia lu zbie˙zno´sci suma tego szeregu jest funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

i zachodzi wz´or:

∞

X

n=0

a

n

x

n

!

0

=

∞

X

n=1

na

n

x

n−1

Dow´

od. Niech r > 0 be

,

dzie promieniem zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=0

a

n

x

n

. Wtedy

szereg pote

,

gowy

∞

X

n=0

n

k

a

n

x

n

jest zbie˙zny ka˙zdego x ∈ (−r, r) i dla ka˙zdej liczby

k = 0, 1, 2, 3, . . . , za´s je´sli |x| > r , to szereg

∞

X

n=0

a

n

x

n

nie jest zbie˙zny. W rze-

czywisto´sci wykazali´smy, ˙ze dla ka˙zdego k ∈ N i x ∈ (−r, r) zbie˙zny jest szereg

∞

X

n=0



n

k

a

n

x

n



 . Za l´o˙zmy dalej, ˙ze |x| < r , ˙ze d > 0 jest liczba

,

mniejsza

,

ni˙z r − |x|

3

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

oraz ˙ze 0 < |h| ≤ d . Sta

,

d wynika, ˙ze |x + h| ≤ |x| + |h| ≤ |x| + d < r , wie

,

c szeregi

∞

X

n=0



na

n

x

n−1



 ,

∞

X

n=0



a

n

x

n



 ,

∞

X

n=0



a

n

(x + h)

n



 i

∞

X

n=0

|a

n

|(|x| + d)

n

sa

,

zbie˙zne. Niech

s(x) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · · =

∞

X

n=0

a

n

x

n

. Wtedy











s(x+h)−s(x)

h

−

∞

X

n=0

na

n

x

n−1











=











∞

X

n=0

a

n



(x + h)

n

− x

n

h

− nx

n−1









=

=











∞

X

n=2

a

n

n

X

k=2



n

k



x

n−k

h

k−1











≤ |h| ·

∞

X

n=2

|a

n

|

n

X

k=2



n

k



|x|

n−k

|h|

k−2

≤

≤ |h| ·

∞

X

n=2

|a

n

|n

2

n

X

k=2



n − 2

k − 2



|x|

(n−2)−(k−2)

|h|

k−2

=

= |h| ·

∞

X

n=2

n

2

|a

n

| (|x| + |h|)

n−2

≤ |h| ·

∞

X

n=2

n

2

|a

n

| (|x| + d)

n−2

.

Przedostatnia nier´owno´s´c wynika z tego, ˙ze je´sli n ≥ k ≥ 2 , to



n

k



=

n · (n − 1)

(k − 1) · k

·



n − 2

k − 2



≤ n

2



n − 2

k − 2



.

Oczywi´scie lim

h→0

|h| ·

∞

X

n=2

n

2

|a

n

| (|x| + d)

n−2

= 0 , zatem

lim

h→0

s(x + h) − s(x)

h

−

∞

X

n=1

na

n

x

n−1

= 0 ,

wie

,

cx

s

0

(x) = lim

h→0

s(x + h) − s(x)

h

=

∞

X

n=1

na

n

x

n−1

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z twierdzenia o r´o˙zniczkowaniu szeregu pote

,

gowego wynika, ˙ze wewna

,

trz dzie-

dziny ma on sko´

nczona

,

pochodna

,

, kt´ora te˙z jest suma

,

szeregu pote

,

gowego, wie

,

c jest

r´o˙zniczkowalna wewna

,

trz swej dziedziny. Z tego wynika, ˙ze suma szeregu pote

,

gowego

jest funkcja

,

cia

,

g la

,

wewna

,

trz jego przedzia lu zbie˙zno´sci. Powstaje pytanie: czy jest te˙z

cia

,

g la w ko´

ncu, je´sli jest w nim okre´slona. Odpowied´z na to pytanie znana jest jako

Twierdzenie 8.5 (

Abela o cia

,

g lo´sci szeregu pote

,

gowego w ko´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci)

♣

Je´sli szereg

∞

X

n=0

a

n

p

n

jest zbie˙zny, |p| = r i r jest promieniem zbie˙zno´sci szeregu

♣

Zdecydowanie poza programem dla chemik´

ow, zw laszcza dow´

od, kt´

ory podajemy jedynie dla kom-

pletno´sci wyk ladu

4

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

∞

X

n=0

a

n

x

n

, to funkcja, kt´ora przypisuje liczbie x liczbe

,

∞

X

n=0

a

n

r

n

, okre´slona co najmniej

na przedziale domknie

,

tym o ko´

ncach 0 i p , jest cia

,

g la w punkcie p .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze lim

k→∞

x

k

= p . Dla dostatecznie du˙zych k liczba x

k

znajduje sie

,

w przedziale o ko´

ncach 0 i p , zatem |x

k

| ≤ |p| = r . Niech t

k

=

x

k

p

, czyli x

k

= t

k

p .

Poniewa˙z x

k

−−−−−→

k→∞

p , wie

,

c t

k

−−−−−→

k→∞

1 . Sta

,

d wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych k

zachodzi nier´owno´s´c 0 ≤ t

k

≤ 1 . Niech b

n

= a

n

p

n

. Mamy wie

,

c

∞

X

n=0

a

n

x

n

k

=

∞

X

n=0

b

n

t

n

k

i

∞

X

n=0

a

n

p

n

=

∞

X

n=0

b

n

. Niech s

n

= b

0

+ b

1

+ b

2

+ · · · + b

n

. Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´

n

mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze x

k

6= p , czyli t

k

< 1 . Wtedy

b

0

+ b

1

t + b

2

t

2

+ . . . = s

0

+ (s

1

− s

0

)t + (s

2

− s

1

)t

2

+ . . . =

= s

0

+ s

1

t + s

2

t

2

+ . . . − s

0

t + s

1

t

2

+ . . .

=

= s

0

(1 − t) + s

1

(t − t

2

) + s

2

(t

2

− t

3

) + . . . = (1 − t) s

0

+ s

1

t + s

2

t

2

+ . . .

.

Te przekszta lcenia mo˙zna wykona´c, bo szereg

P

s

n

t

n

jest zbie˙zny dla 0 ≤ t < 1 ,

bowiem cia

,

g (s

n

) jest zbie˙zny do granicy sko´

nczonej, zatem jest ograniczony. Z tego

wynika, ˙ze szereg

P

s

n

t

n+1

te˙z jest zbie˙zny. Oznaczmy s =

∞

X

n=0

b

n

= lim

n→∞

s

n

. Niech

ε be

,

dzie dowolna

,

liczba dodatnia

,

. Istnieje wtedy taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze dla

ka˙zdej liczby naturalnej k > n

ε

zachodzi nier´owno´s´c |s

k

− s| <

ε
2

. Wybierzmy

jaka

,

kolwiek liczbe

,

m > n

ε

, np. m = n

ε

+ 1 . Niech 0 < t < 1 . Mamy wtedy:



 b

0

+b

1

t+b

2

t

2

+. . .−s



 =



(1−t) s

0

+ s

1

t + s

2

t

2

+ . . .

−s(1−t) 1 + t + t

2

+ . . .



 =

= (1 − t)



(s

0

− s) + (s

1

− s)t + (s

2

− s)t

2

+ . . .



 ≤

≤ (1 − t) |s

0

− s| + |s

1

− s|t + |s

2

− s|t

2

+ . . . + |s

m−1

− s|t

m−1

+

+(1 − t) |s

m

− s|t

m

+ |s

m+1

− s|t

m+1

+ . . .

<

< (1 − t) |s

0

− s| + |s

1

− s|t + |s

2

− s|t

2

+ . . . + |s

m−1

− s|t

m−1

+

+

ε
2

(1 − t)(t

m

+ t

m+1

+ . . .) =

= (1 − t) |s

0

− s| + |s

1

− s|t + |s

2

− s|t

2

+ . . . + |s

m−1

− s|t

k−1

+

ε
2

t

m

<

< (1 − t) |s

0

− s| + |s

1

− s|t + |s

2

− s|t

2

+ . . . + |s

m−1

− s|t

m−1

+

ε
2

.

Dotychczas t by lo dowolna

,

liczba

,

z przedzia lu (0, 1) . Nas interesuje granica przy

t → 1

−

. Niech

B = 1 + |s

0

− s| + |s

1

− s| + |s

2

− s| + · · · + |s

m−1

− s| >

> |s

0

− s| + |s

1

− s|t + |s

2

− s|t

2

+ · · · + |s

m−1

− s|t

m−1

.

Je´sli 0 < 1 − t <

ε

2B

, to



 b

0

+ b

1

t + b

2

t

2

+ . . . − s



 <

ε

2B

· B +

ε
2

= ε . Wobec tego

5

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

dla dostatecznie du˙zych k zachodzi nier´owno´s´c



 b

0

+ b

1

t

k

+ b

2

t

2

k

+ . . . − s



 < ε . Sta

,

d

i z definicji granicy wynika, ˙ze

a

0

+ a

1

x

k

+ a

2

x

2

k

+ . . . = b

0

+ b

1

t

k

+ b

2

t

2

k

+ . . . −−−−−→

k→∞

s =

∞

X

n=0

b

n

=

∞

X

n=0

a

n

p

n

.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna niekt´ore funkcje przedstawi´c jako sumy szereg´ow

pote

,

gowych. Zaczniemy od logarytmu naturalnego. Udowodnimy mianowicie, ˙ze

Przyk lad 8.1

Wyka˙zemy, ˙ze

ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

x

n

= x −

1
2

x

2

+

1
3

x

3

−

1
4

x

4

+ . . .

dla ka˙zdej liczby x ∈ (−1, 1] . Je´sli |x| < 1 , to

(ln(1 + x))

0

=

1

1+x

= 1 − x + x

2

− x

3

+ . . . = x −

1
2

x

2

+

1
3

x

3

−

1
4

x

4

+ . . .

0

=

=

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

x

n

!

0

,

zatem pochodna funkcji ln(1+x)−

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

x

n

, okre´slonej i cia

,

g lej na przedziale

(−1, 1] i r´o˙zniczkowalnej w jego punktach wewne

,

trznych jest r´owna 0. Sta

,

d wynika,

˙ze funkcja ln(1 + x) −

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

x

n

jest sta la na przedziale domknie

,

to–otwar-

tym (−1, 1] . Wobec tego dla ka˙zdej liczby x ∈ (−1, 1] zachodzi r´owno´s´c

ln(1 + x) −

∞

X

n=1

(−1)

n−1

1

n

x

n

= ln(1 + 0) −

∞

X

n=1

(−1)

n−1

1

n

0

n

= 0 .

Przedstawili´smy wie

,

c funkcje

,

ln(1 + x) w postaci sumy szeregu pote

,

gowego o ´srodku

w punkcie 0. Z tego wzoru wynika, ˙ze je´sli x

0

> 0 i 0 < x ≤ 2x

0

, to

ln x = ln



x

0



1 +

x−x

0

x

0



= ln x

0

+ ln



1 +

x−x

0

x

0



= ln x

0

+

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n



x−x

0

x

0



n

.

Podstawimy x = 1 w r´owno´sci ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

x

n

. Rezultat to

ln 2 = ln(1 + 1) =

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

= 1 −

1
2

+

1
3

−

1
4

+ . . . =

= lim

n→∞

(1 −

1
2

+

1
3

−

1
4

+ . . . + (−1)

n−1 1

n

) .

Znale´zli´smy wie

,

c granice

,

cia

,

gu, kt´orego zbie˙zno´s´c stwierdzili´smy ju˙z dawno. Przyk lad

ten ´swiadczy, ˙ze innym problemem jest wykazanie zbie˙zno´sci szeregu, a innym zna-

6

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

lezienie jego sumy. Dodajmy jeszcze, ˙ze szereg ten jest wolno zbie˙zny i nie warto

przybli˙za´c liczby ln 2 jego sumami cze

,

´sciowymi. Mo˙zna natomiast np. zauwa˙zy´c, ˙ze

ln 2 = − ln

1
2

= −

∞

X

n=1

(−1)

n−1

1

n



−

1
2



n

=

∞

X

n=1

1

n



1
2



n

.

W tym przypadku b la

,

d jaki pope lniamy przybli˙zaja

,

c liczbe

,

ln 2 suma

,

k

X

n=1

1

n



1
2



n

jest r´owny

∞

X

n=k+1

1

n



1
2



n

=

1

(k + 1)2

k+1

+

1

(k + 2)2

k+2

+

1

(k + 3)2

k+3

+ · · · , wie

,

c

jest mniejszy ni˙z suma

1

(k+1)2

k+1

+

1

(k+1)2

k+2

+

1

(k+1)2

k+3

+ · · · =

1

(k+1)2

k+1

1

1−

1

2

=

1

(k+1)2

k

.

W przypadku szeregu anharmonicznego 1 −

1
2

+

1
3

−

1
4

+ · · · warto´s´c bezwzgle

,

dna

b le

,

du, kt´ory pope lniamy zaste

,

puja

,

c liczbe

,

ln 2 suma

,

k

X

n=1

(−1)

n−1

1

n

jest r´owna

1

k+1

−

1

k+2

+

1

k+3

−

1

k+4

+ · · · =

1

(k+1)(k+2)

+

1

(k+3)(k+4)

+ · · · >

>

1
2



1

(k+1)(k+2)

+

1

(k+2)(k+3)

+

1

(k+3)(k+4)

+

1

(k+4)(k+5)

+ · · ·



=

=

1
2



1

k+1

−

1

k+2

+

1

k+2

−

1

k+3

+

1

k+3

−

1

k+4

+

1

k+4

−

1

k+5

+ · · ·



=

1

2(k+1)

. Je´sli

przyjmiemy k = 4 , to w pierwszym przypadku b la

,

d be

,

dzie mniejszy ni˙z

1

80

, a w dru-

gim — wie

,

kszy ni˙z

1

10

. Dla k = 9 w pierwszym przypadku b la

,

d jest mniejszy od

1

5120

, a w drugim — wie

,

kszy ni˙z

1

20

. Jasne jest wie

,

c, ˙ze chca

,

c przybli˙zy´c liczbe

,

ln 2

nale˙zy u˙zy´c sum cze

,

´sciowych szeregu

∞

X

n=1

1

n

1
2

n

, a nie szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

.

Przyk lad 8.2

Teraz zajmiemy sie

,

funkcja

,

arctg . Mamy (arctg x)

0

=

1

1+x

2

. Wobec

tego dla x ∈ (−1, 1) zachodzi r´owno´s´c

(arctg)

0

=

1

1+x

2

= 1 − x

2

+ x

4

− x

6

+ · · · =



x −

x

3

3

+

x

5

5

−

x

7

7

+ · · ·



0

.

Jasne jest, ˙ze szereg x −

x

3

3

+

x

5

5

−

x

7

7

+ · · · =

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

2n+1

jest zbie˙zny dla x = ±1 .

Wobec tego jego przedzia lem zbie˙zno´sci jest [−1, 1] — szereg pote

,

gowy jest wewna

,

trz

przedzia lu zbie˙zno´sci zbie˙zny. Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze funkcja arctg x −

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

2n+1

jest cia

,

g la na przedziale [−1, 1] oraz ˙ze jej pochodna jest r´owna 0 w punktach we-

wne

,

trznych tego przedzia lu. Sta

,

d wynika, ˙ze ta funkcja jest sta la na przedziale [−1, 1] .

7

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

Wobec tego dla ka˙zdej liczby x ∈ [−1, 1] zachodzi r´owno´s´c:

arctg x −

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n+1

2n + 1

= arctg 0 −

∞

X

n=0

(−1)

n

0

2n+1

2n + 1

= 0 .

Sta

,

d wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby x ∈ [−1, 1] zachodzi r´owno´s´c:

arctg x =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n+1

2n + 1

.

Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie tak i tu mo˙zemy uzyska´c konkretne rezultaty.

Np. podstawiaja

,

c x = 1 do otrzymanego wzoru otrzymujemy

π

4

= arctg 1 = 1 −

1
3

+

1
5

−

1
7

+ · · · =

∞

X

n=0

(−1)

n

1

2n + 1

— ta r´owno´s´c nazywana jest zwykle wzorem Leibniza. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze je´sli chcie-

liby´smy za pomoca

,

tego wzoru znajdowa´c przybli˙zenia dziesie

,

tne liczby π , to mu-

sieliby´smy wykona´c wiele oblicze´

n, co nawet w przypadku komputer´ow ma istotne

znaczenie – konkretnie: dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna

1

4(n+1)

<

1

2n+1

−

1

2n+3

+

1

2n+5

−

1

2n+7

+ · · · <

1

4n

(nie jest ona oczywista!), wie

,

c b la

,

d

pope lniany przy zaste

,

powaniu liczby

π

4

liczba

,

1 −

1
3

+

1
5

−

1
7

+ · · · + (−1)

n−1

1

2n−1

jest zawarty mie

,

dzy

1

4(n+1)

oraz

1

4n

. Stosuja

,

c wz´or z lepiej dobranym x otrzyma´c

mo˙zna bez trudu szeregi „szybciej” zbie˙zne.*

Przyk lad 8.3

Wyka˙zemy teraz, ˙ze sin x =

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

. Wykazali´smy po-

przednio, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x > 0 zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna

x −

x

3

3!

< sin x < x . Teraz wyka˙zemy, ˙ze sin x < x −

x

3

3!

+

x

5

5!

. Przyjmijmy, ˙ze

f (x) = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

− sin x . Mamy f

0

(x) = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

− cos x i wobec tego

mo˙zemy napisa´c, ˙ze (f

0

)

0

(x) = −x +

x

3

3!

+ sin x . Z przypomnianej nier´owno´sci wy-

nika, ˙ze dla ka˙zdej liczby x > 0 zachodzi (f

0

)

0

(x) > 0 , a sta

,

d wynika, ˙ze funkcja

f

0

jest ´sci´sle rosna

,

ca na p´o lprostej [0, +∞) . Poniewa˙z f

0

(0) = 0 , wie

,

c je´sli x > 0 ,

to f

0

(x) > f

0

(0) = 0 . Sta

,

d wynika, ˙ze funkcja f jest ´sci´sle rosna

,

ca na p´o lprostej

[0, +∞) i wobec tego je´sli x > 0 , to f (x) > f (0) = 0 , czyli x −

x

3

3!

+

x

5

5!

> sin x , a to

w la´snie chcieli´smy wykaza´c. Rozumuja

,

c w taki sam spos´ob wnioskujemy, ˙ze dla x > 0

zachodzi nier´owno´s´c x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

< sin x — obliczamy pochodna

,

r´o˙znicy prawej

i lewej strony tej nier´owno´sci, potem jej pochodna

,

tej pochodnej, w wyniku otrzymu-

jemy funkcje

,

dodatnia

,

na p´o lprostej (−∞, 0) itd. Powtarzaja

,

c to rozumowanie, czyli

*

Mo˙zna o tym przeczyta´

c np. w rachunku r´

o˙zniczkowym i ca lkowym G.M.Fichtenholza, t.2, rozdzia l

XI, $ 8, punkt 410, ksia,˙zce wielokrotnie wznawianej przez PWN.

8

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

stosuja

,

c indukcje

,

zupe lna

,

, dochodzimy do wniosku, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej

x > 0 i ka˙zdej ca lkowitej liczby nieujemnej n zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna:

x−

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+. . .+(−1)

2n−1 x

4n−1

(4n−1)!

< sin x < x−

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+. . .+(−1)

2n x

4n+1

(4n+1)!

R´o˙znica skrajnych sum r´owna jest

x

4n+1

(4n+1)!

. Mamy te˙z lim

n→∞

x

4n+1

(4n+1)!

= 0 — mo˙zna za-

uwa˙zy´c, ˙ze je´sli n > x > 0 , to

x

4n+1

<

x

4n

<

1
4

, a sta

,

d wynika, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

x

4n+1

(4n+1)!

<

1

16

·

x

4n−1

(4n−1)!

.

Niech s

4n+1

= x−

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+. . .+

x

4n+1

(4n+1)!

, s

4n−1

= x−

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+. . .+

x

4n−1

(4n−1)!

.

Z tego ˙ze s

4n−1

< sin x < s

4n+1

i lim

n→∞

(s

4n+1

− s

4n−1

) = 0 wynika oczywi´scie, ˙ze

lim

n→∞

s

4n−1

= sin x = lim

n→∞

s

4n+1

. Oznacza to, ˙ze

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

= sin x , czyli

˙ze sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ . . . . Na razie wiemy, ˙ze r´owno´s´c ta ma miejsce dla

x > 0 , ale w rzeczywisto´sci jest tak dla ka˙zdej liczby x ∈ R , bo obie strony, lewa

i prawa, sa

,

funkcjami nieparzystymi zmiennej x . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze dla ka˙zdej

liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ . . . =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n+1

(2n + 1)!

(8.3)

„Po drodze” wykazali´smy te˙z, ˙ze sko´

nczona suma

k

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

przybli˙za sume

,

niesko´

nczona

,

z b le

,

dem mniejszym ni˙z

|x|

2(k+1)+1

(2(k+1)+1)!

. Wynika sta

,

d np. ˙ze je´sli x jest

miara

,

ka

,

ta ostrego, czyli 0 < x <

π

2

<

3,16

2

= 1,58 , to r´o˙znica mie

,

dzy liczbami x −

x

3

3!

i sin x jest mniejsza ni˙z

x

5

5!

<

1,58

5

5!

<

10

120

< 0,1 . Zwie

,

kszenie liczby sk ladnik´ow

o 1 , tj. przybli˙zanie liczby sin x liczba

,

x −

x

3

3!

+

x

5

5!

powoduje zmniejszenie b le

,

du do

warto´sci mniejszej ni˙z

x

7

7!

<

1,58

7

7!

< 0,005 =

1

200

. Widzimy wie

,

c, ˙ze mo˙zemy w miare

,

dok ladnie znajdowa´c warto´sci liczbowe sinus´ow stosunkowo niewielkim kosztem, przy

czym mo˙zna dok ladno´s´c istotnie zwie

,

kszy´c zwie

,

kszaja

,

c liczbe

,

sk ladnik´ow nieznacznie.

Oczywi´scie tego typu oszacowania sa

,

przydatne nie tylko do rachowania, ale r´ownie˙z

w przypadku rozwa˙za´

n teoretycznych. Zwr´o´cmy jeszcze uwage

,

na to, ˙ze je´sli interesu-

jemy sie

,

liczbami x bliskimi 0, to w wyniku zmniejszenia |x| nie tylko b la

,

d maleje,

ale r´ownie˙z b la

,

d wzgle

,

dny zmniejsza sie

,

.

Przyk lad 8.4

Z wzoru sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ . . . =

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

wynika

9

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

natychmiast, ˙ze

cos x = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

−

x

6

6!

+ . . . =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n

(2n)!

– po prostu obliczamy pochodne obu stron wzoru (8.3) , co wolno zrobi´c dzie

,

ki twier-

dzeniu o pochodnej szeregu pote

,

gowego.

Przyk lad 8.5

Zajmiemy sie

,

teraz dwumianem Newtona. Nie chodzi przy tym

o wz´or na obliczanie n -tej pote

,

gi sumy dwu liczb, bo ten by l z pewno´scia

,

znany

przed Newtonem, na pewno zna l go Pascal, a prawdopodobnie (wg. N.Bourbaki, Ele-

menty historii matematyki, PWN, Warszawa, 1980) by l znany Arabom w wieku XIII,

a Chi´

nczykom w wieku XIV. Chodzi o wz´or na (1 + x)

a

, gdzie wyk ladnik a nie musi

by´c liczba

,

naturalna

,

— mo˙ze by´c dowolna

,

liczba

,

rzeczywista

,

, liczba x za´s w przy-

padku dowolnego wyk ladniki nie mo˙ze by´c dowolna, musi mie´c warto´s´c bezwzgle

,

dna

,

mniejsza

,

ni˙z 1.

Rozpoczniemy od zdefiniowania symbolu Newtona. Je´sli a ∈ IR oraz n ∈ {1, 2, . . .} ,

to przyjmujemy, ˙ze

a

n

=

a(a−1)(a−2)...(a−n+1)

n!

. Dodatkowo

a
0

= 1 dla ka˙zdej liczby

rzeczywistej a . Z definicji tej wynika natychmiast, ˙ze je´sli a jest liczba

,

naturalna

,

nie mniejsza

,

ni˙z n , to

a

n

=

a!

n!(a−n)!

. Oznacza to, ˙ze nasza definicja jest po prostu

rozszerzeniem definicji znanej ze szko ly. Przy okazji wypada stwierdzi´c, ˙ze je˙zeli a jest

liczba

,

naturalna

,

mniejsza

,

ni˙z n , to

a

n

= 0 , bowiem w tym przypadku w liczniku

u lamka definiuja

,

cego symbol Newtona wyste

,

puje liczba a − a = 0 .

Z definicji symbolu Newtona i tego, ˙ze 1 +

a−n

n+1

=

a+1

n+1

wynika od razu, ˙ze



a

n



=

a

n

·



a − 1

n − 1



oraz



a

n



+



a

n + 1



=



a + 1

n + 1



.

(8.5)

Wyka˙zemy teraz, ˙ze je´sli |x| < 1 , to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a zachodzi wz´or

Newtona:

(1 + x)

a

=



a
0



+



a
1



x +



a
2



x

2

+



a
3



x

3

+ · · · =

∞

X

n=0



a

n



x

n

.

(8.5.N)

Rozpoczniemy od znalezienia promienia zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego wyste

,

puja

,

cego

po prawej stronie r´owno´sci (8.5.N). Zn´ow pos lu˙zymy sie

,

szeregiem geometrycznym dla

wykazania, ˙ze promie´

n zbie˙zno´sci nie jest mniejszy od 1 . Obliczamy granice

,

ilorazu

10

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

kolejnych wyraz´ow szeregu zak ladaja

,

c, ˙ze a nie jest liczba

,

naturalna

,

:

lim

n→∞







(

a

n+1

)

x

n+1

(

a

n

)

x

n





 = lim

n→∞





(a−n)x

n+1



 = |x| .

Sta

,

d wnioskujemy, ˙ze w przypadku |x| < 1 szereg jest zbie˙zny, bo dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c







(

a

n+1

)

x

n+1

(

a

n

)

x

n





 <

1+|x|

1

< 1 , wie

,

c mo˙zna skorzysta´c z wa-

runku Cauchy’ego* i ze zbie˙zno´sci szeregu geometrycznego o ilorazie

1+|x|

2

< 1 .

♠

Obliczymy pochodna

,

ilorazu



∞

X

n=0

a

n

x

n

.

(1 + x)

a

.

Mamy



∞

X

n=0

a

n

x

n



(1 + x)

−a

!

0

=



∞

X

n=1

n

a

n

x

n−1



· (1 + x)

−a

− a(1 + x)

−a−1

∞

X

n=0

a

n

x

n

=

= a (1 + x)

−a−1



(1 + x)

∞

X

n=1

a−1

n−1

x

n−1

−

∞

X

n=0

a

n

x

n



=

= a(1 + x)

−a−1



∞

X

n=1

a−1

n−1

x

n−1

+

∞

X

n=1

a−1

n−1

x

n

−

∞

X

n=0

a

n

x

n



=

= a(1 + x)

−a−1



∞

X

n=0

a−1

n

x

n

+

∞

X

n=1

a−1

n−1

x

n

−

∞

X

n=0

a

n

x

n



=

= a(1 + x)

−a−1



∞

X

n=1

a−1

n

x

n

+

∞

X

n=1

a−1

n−1

x

n

−

∞

X

n=1

a

n

x

n



=

= a(1 + x)

−a−1

∞

X

n=1



a−1

n

+

a−1

n−1

−

a

n



x

n

= a(1 + x)

−a−1

∞

X

n=1

0 · x

n

= 0 .

Wykazali´smy, wie

,

c ˙ze pochodna ilorazu r´owna jest 0 w ka˙zdym punkcie przedzia lu

(−1, 1) . Sta

,

d wynika, ˙ze na tym przedziale ten iloraz jest funkcja

,

sta la

,

, wie

,

c jego

warto´s´c w ka˙zdym punkcie x jest taka sama jak warto´s´c w punkcie 0, a w tym punkcie

warto´s´c tego ilorazu jest r´owna



∞

X

n=0

a

n

0

n

.

(1 + 0)

a

=

a
0



(1 + 0)

a

= 1 . Wyka-

zali´smy wie

,

c, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ (−1, 1) zachodzi r´owno´s´c (1 + x)

a

=

∞

X

n=0



a

n



x

n

,

czyli zrealizowali´smy nasz plan.

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dla a = −1 otrzymali´smy wz´or

1

1+x

=

∞

X

n=0

−1

n

x

n

. Czytelnik

bez trudu stwierdzi, ˙ze

−1

n

=

(−1)(−2)...(−n)

n!

= (−1)

n

, zatem otrzymana

,

r´owno´s´c

*

Jak w dowodzie lematu o zbie˙zno´sci szeregu pote,gowego.

♠

W przypadku |x|>1 szereg jest rozbie˙zny, bowiem jego wyraz nie da,˙zy do 0 przy n−→∞ .

11

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

mo˙zemy zapisa´c jako

1

1+x

=

∞

X

n=0

(−1)

n

x

n

=

∞

X

n=0

(−x)

n

. Widzimy wie

,

c, ˙ze wz´or (8.5.N)

mo˙zemy potraktowa´c nie tylko jako uog´olnienie wzoru dwumianowego pozwalaja

,

cego

na zapisywanie w postaci sumy sko´

nczonej pote

,

gi o wyk ladniku naturalnym sumy 2

sk ladnik´ow, ale r´ownie˙z jako uog´olnienie wzoru na sume

,

niesko´

nczonego cia

,

gu geo-

metrycznego (o ilorazie −x ).

Przyk lad 8.6

Zastosujemy wz´or Newtona do wyra˙zenia

1

√

1−x

2

= (1 − x

2

)

−1/2

.

Otrzymujemy

1

√

1−x

2

= =1 +

−1/2

1

· (−x

2

) +

−1/2

2

· (−x

2

)

2

+

−1/2

3

· (−x

2

)

3

+ . . . .

Mamy te˙z

−1/2

n

· (−x

2

)

n

=

(−1/2)·(−3/2)·(−5/2)·...· −(2n−1)/2

1·2·3·...·n

· (−x

2

)

n

=

=

(1/2)·(3/2)·(5/2)·...· (2n−1)/2

1·2·3·...·n

· (x

2

)

n

=

1·3·5·...·(2n−1)

2·4·6·...·(2n)

· x

2n

.

Sta

,

d wynika, ˙ze

−1/2

n

· (−x

2

)

n

=



1

2n+1

·

1·3·5·...·(2n−1)

2·4·6·...·(2n)

· x

2n+1



0

. Konsekwencja

,

tej

r´owno´sci, twierdzenia o r´o˙zniczkowaniu szeregu pote

,

gowego, r´owno´sci arcsin 0 = 0

oraz wzoru (arcsin x)

0

= =

1

√

1−x

2

jest r´owno´s´c

arcsin x = x +

1
3

·

1
2

· x

3

+

1
5

·

1 · 3
2 · 4

· x

5

+ · · · =

∞

X

n=0

1

2n + 1

·

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)

2 · 4 · 6 · . . . · 2n

· x

2n+1

,

kt´ora zachodzi dla x ∈ (−1, 1) , bo dla tych x prawa strona jest szeregiem zbie˙znym

— wynika to latwo z tego, ˙ze iloraz dw´och kolejnych wyraz´ow ma granice

,

x

2

< 1 .

Troche

,

trudniejszy dow´od zbie˙zno´sci tego szeregu dla x = ±1 opuszczamy. Poniewa˙z

dla x 6∈ [−1, 1] granica ilorazu dw´och kolejnych wyraz´ow rozpatrywanego szeregu jest

wie

,

ksza ni˙z 1, wie

,

c w tym przypadku szereg jest rozbie˙zny. Sta

,

d wynika, ˙ze r´owno´s´c

w rzeczywisto´sci zachodzi dla wszystkich x ∈ [−1, 1] i ˙zadnych innych. Mo˙zemy wie

,

c

zastosowa´c ja

,

w przypadku x =

1
2

. Mamy wie

,

c

π

6

= arcsin

1
2

=

1
2

+

1
3

·

1
2

·

1
2

3

+

1
5

·

1·3
2·4

·

1
2

5

+ · · · .

Jest oczywiste, ˙ze przybli˙zaja

,

c liczbe

,

π

6

liczba

,

1
2

+

1
3

·

1
2

·

1
2

3

+

1
5

·

1·3
2·4

·

1
2

5

pope lniamy

b la

,

d mniejszy ni˙z suma szeregu geometrycznego, kt´orego pierwszym wyrazem jest

1
7

·

1·3·5
2·4·6

·

1
2

7

, a ilorazem – liczba

1
4

, czyli

1
7

·

1·3·5
2·4·6

·

1
2

7

·

4
3

=

5

10752

< 0,0005 . Po-

niewa˙z mamy do czynienia z szeregiem zbie˙znym „szybciej ” ni˙z szereg geometryczny

o ilorazie

1
4

, wie

,

c wyd lu˙zenie sumy o jeden sk ladnik spowoduje przynajmniej cztero-

krotne zmiejszenie sie

,

b le

,

du jaki pope lniamy zaste

,

puja

,

c sume

,

niesko´

nczonego szeregu

jego suma

,

cze

,

´sciowa

,

. Nie jest to rezultat rewelacyjny, ale jednak znacznie lepszy ni˙z

w przypadku szeregu Leibniza

π

4

= 1 −

1
3

+

1
5

−

1
7

+ · · · .

12

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

Pokazali´smy rozwinie

,

cia kilku najwa˙zniejszych funkcji. Wiadomo jak wygla

,

daja

,

szeregi, kt´orych sumami sa

,

inne funkcje, np. tangens. Jednak nie wszystkie rozwi-

nie

,

cia mo˙zna uzyska´c r´ownie prosto, jak te kt´ore om´owili´smy wcze´sniej. Nie be

,

dziemy

wg le

,

bia´c sie

,

w te

,

tematyke

,

. Poka˙zemy jeszcze jak z ju˙z poznanych rozwinie

,

´c mo˙zna

otrzymywa´c inne.

Przyk lad 8.7

Znajdziemy teraz rozwinie

,

cie funkcji

x

x

2

+5x+6

w szereg pote

,

gowy

o ´srodku w punkcie 0 , a naste

,

pnie w szereg pote

,

gowy o ´srodku w punkcie 5 , czyli

zamiast x

n

wysta

,

pi w rozwinie

,

ciu wyra˙zenie (x − 5)

n

. Mamy

x

x

2

+5x+6

=

x

(x+2)(x+3)

=

3

x+3

−

2

x+2

=

1

1−(−

x

3

)

−

1

1−(−

x

2

)

=

=

∞

X

n=0

−

x

3

n

−

∞

X

n=0

−

x

2

n

=

∞

X

n=0

−

1
3

n

− −

1
2

n

x

n

— to pierwsze z obiecanych rozwinie

,

´c.

Niech teraz u = x − 5 . Wtedy

x

x

2

+5x+6

=

u+5

(u+5)

2

+5(u+5)+6

=

u+5

(u+7)(u+8)

=

3

u+8

−

2

u+7

=

3
8

·

1

1−

(

−

u

8

)

−

2
7

·

1

1−

(

−

u

7

)

=

=

3
8

·

∞

X

n=0

−

u

8

n

−

2
7

·

∞

X

n=0

−

u

7

n

=

∞

X

n=0

3
8

−

1
8

n

−

2
7

−

1
7

n

(x − 5)

n

.

Otrzymali´smy drugie z obiecanych rozwinie

,

´c. Wz´or jest poprawny dla x ∈ (−

1
8

,

1
8

) .

W obu przypadkach wyprowadzenie sprowadza lo sie

,

do u˙zycia wzoru na sume

,

szeregu

geometrycznego.

Przyk lad 8.8

Znajdziemy rozwinie

,

cie funkcji cos

2

x wok´o l punktu 0 . Mamy

cos

2

x =

1
2

(1 + cos 2x) =

1
2

2 −

1

2!

(2x)

2

+

1

4!

(2x)

4

−

1

6!

(2x)

6

+ · · ·

=

= 1 −

2

2!

x

2

+

2

3

4!

x

4

−

2

5

6!

x

6

+ · · · .

Ten wz´or zachodzi dla wszystkich x rzeczywistych, bowiem w takim zakresie dzia la

wz´or, z kt´orego skorzystali´smy przy wyprowadzeniu: cos x =

∞

X

n=0

(−1)

n x

2n

(2n)!

.

Przyk lad 8.9

Z twierdzenia o wzro´scie wyk ladniczym mo˙zna np. wywnioskowa´c

latwo znany nam ju˙z wz´or e

x

=

∞

X

n=0

x

n

n!

. Mo˙zna po prostu sprawdzi´c, ˙ze szereg

∞

X

n=0

x

n

n!

jest zbie˙zny dla wszystkich liczb rzeczywistych x :

lim

n→∞

|x|

n+1

/(n+1)!

|x|

n

/n!

= lim

n→∞

|x|

n+1

= 0 < 1 ,

wie

,

c szereg

∞

X

n=0

x

n

n!

jest zbie˙zny dla ka˙zdego x 6= 0 , argument jak w dowodzie lematu

o zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego. Teraz oznaczymy sume

,

tego szeregu przez f (x)

13

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

i sprawdzimy, ˙ze wtedy f

0

(x) = f (x) (pro´sciutki rachunek) i wobec tego f (x) = Ce

x

dla pewnej liczby rzeczywistej C i wszystkich liczb rzeczywistych x . Pozostaje znale´z´c

sta la

,

C . Mamy 1 = f (0) = Ce

0

= C .

Przyk lad 8.10

Uzasadnimy s luszno´s´c wzoru sin x =

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n+1)!

x

2n+1

i jedno-

cze´snie wzoru cos x =

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n)!

x

2n

. Je´sli x 6= 0 , to

lim

n→∞

|x|

2n+3

/(2n + 3)!

|x|

2n+1

/(2n + 1)!

= lim

n→∞

x

2

(2n + 2)(2n + 3)

= 0 < 1 ,

wie

,

c szereg

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n+1)!

x

2n+1

jest zbie˙zny dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x 6= 0 . Drugi

szereg r´ownie˙z jest zbie˙zny bezwzgle

,

dnie, co mo˙zna uzasadni´c w taki sam spos´ob lub

zauwa˙zy´c, ˙ze zachodzi wz´or

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n+1)!

x

2n+1

!

0

=

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n)!

x

2n

, ten szereg ostatni

jest zbie˙zny jako pochodna szeregu pote

,

gowego! Mamy te˙z

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n)!

x

2n

!

0

=

∞

X

n=1

(−1)

n

(2n − 1)!

x

2n−1

= −

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n + 1)!

x

2n+1

, (cos x)

0

= − sin x .

Niech f (x) = sin x−

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n+1)!

x

2n+1

i g(x) = cos x−

∞

X

n=0

(−1)

n

(2n)!

x

2n

, wie

,

c f

0

(x) = g(x)

oraz g

0

(x) = −f (x) dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x . Sta

,

d wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby

rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c

f (x)

2

+ g(x)

2

0

= 2f (x)f

0

(x) + 2g(x)g

0

(x) = 2f (x)g(x) + 2g(x)(−f

0

(x)) = 0 ,

zatem funkcja f (x)

2

+ g(x)

2

jest sta la, wie

,

c dla ka˙zdego x ∈ R zachodzi r´owno´s´c

f (x)

2

+ g(x)

2

= f (0)

2

+ g(0)

2

= 0 ,

a to oznacza, ˙ze wzory f (x) = 0 i g(x) = 0 zachodza

,

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x .

W la´snie to chcieli´smy wykaza´c.

Metoda, kt´ora

,

przedstawili´smy polega la na znalezieniu zwia

,

zku mie

,

dzy funkcja

,

i jej pochodna

,

, naste

,

pnie wykazaniu, ˙ze funkcji, dla kt´orych ma miejsce uzyskana

zale˙zno´s´c jest niewiele (tu korzystali´smy z tego, ˙ze funkcja o zerowej pochodnej jest

sta la na przedziale). Wie

,

cej na ten temat opowiemy w drugim semestrze, gdy zaj-

miemy sie

,

tzw. r´ownaniami r´o˙zniczkowymi.

Zadania

8.01 Znale´z´c taki szereg postaci

P

a

n

x

n

, ˙ze f (x) =

∞

X

n=0

a

n

x

n

w pewnym otoczeniu

14

Szeregi pote

,

gowe

Micha l Krych

punktu 0 , je´sli f (x) =

1. (1 + x) ln(1 + x) ;

2.

1
4

ln

1+x
1−x

+

1
2

arctg x ;

3. arctg

2−2x
1+4x

;

4. arctg

2x

2−x

2

;

5.

12−5x

6−5x−x

2

;

6. arccos(1 − 2x

2

) ;

7. x arctg x − ln

√

1 + x

2

;

8. x arcsin x −

√

1 − x

2

;

9. x ln(x+

√

1+x

2

) −

√

1+x

2

;

10. (1 + x)e

−x

;

11. e

x

sin x ;

12. e

x

cos x ;

13.

ln(1 − x)

2

;

14. ln

q

1+x
1−x

;

15. (1 − x)

2

cosh

p

|x| ;

16. (1 + x)

−1

ln(1 + x) ;

17. (arctg x)

2

;

18. x

−2

(arcsin x)

2

;

19. cos

2

x ;

20. sin

3

x ;

21.

x

√

1−2x

;

22.

x

(1−x)(1−x

2

)

;

23. (1 + x + x

2

+ x

3

+ x

4

)

−1

;

24. (1 + x + x

2

)

−1

;

25. sin(3x) sin(5x) ;

26.

1

(1−x

2

)

√

1−x

2

.

8.02 Przedstawi´c funkcje

,

ln(2 + 2x + x

2

) w postaci

P

a

n

(x + 1)

n

.

8.03 Przedstawi´c funkcje

,

(1 − x)

−1

w postaci

P

a

n

1

x

n

.

8.04 Przedstawi´c funkcje

,

ln x w postaci

P

a

n

x+1
x−1

n

.

8.05 Przedstawi´c funkcje

,

x

√

1+x

w postaci

P

a

n

x

1+x

n

.

8.06 Zsumowa´c szereg

a.

P

∞
n=0

1

2n+1

x

2n+1

;

b.

P

∞
n=0

(−1)

n

1

2n+1

x

2n+1

;

c.

P

∞
n=0

x

2n

(2n)!

;

d.

P

∞
n=1

1

n(n+1)

x

n

;

e.

P

∞
n=1

1·3·5·...·(2n−1)

2·4·6·...·(2n)

x

n

;

f.

P

∞
n=1

nx

n

;

g.

P

∞
n=1

(−1)

n

n

2

x

n

;

h.

P

∞
n=1

n(n + 1)x

n

.

8.07 Znale´z´c n –ta

,

pochodna

,

w punkcie 0 funkcji

a. e

x

2

;

b. arctg(2x) .

8.08 Niech f (x) =

P

∞
n=0

a

n

x

n

dla x ∈ R i F (x) =

f (x)

1−x

dla x < 1 . Znale´z´c F

(n)

(0) .

8.09 Niech a

0

= a

1

= 1 i a

n+2

= a

n+1

+ a

n

dla n = 0, 1, 2, . . . . Definiujemy funkcje

,

:

f (x) =

∞

X

n=0

a

n

x

n

= 1 + x + 2x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

+ 8x

5

+ 13x

6

+ . . .

Udowodni´c, ˙ze f (x) =

1

1−x−x

2

.

Przedstawi´c funkcje

,

f w postaci sumy szeregu pote

,

gowego o ´srodku w punkcie 0 .

Napisa´c jawny wz´or na a

n

.

15