ch11-12_calki II.dvi

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Twierdzenie 11.4 (o addytywno´

sci ca lki wzgle

dem przedzia lu)

Je´sli a < c < b i funkcja f ma funkcje

pierwotna

na przedziale [a, b] , to zachodzi r´owno´s´c

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx .

Dow´

od. Niech F oznacza funkcje

pierwotna

funkcji f . Wtedy prawdziwe sa

wzory:

f (x) dx = F (b) − F (a) ,

f (x) dx = F (c) − F (a) ,

f (x) dx = F (b) − F (c) .

Z nich teza wynika natychmiast.

Punktem wyj´scia do wielu zastosowa´

n ca lki jest

Twierdzenie 11.5 (o sumach Riemanna)

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest cia

g la, to dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze

je˙zeli a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b , x

i−1

≤ t

≤ x

oraz x

− x

i−1

< δ dla ka˙zdego

i = 1, 2, . . . , n , to zachodzi nier´owno´s´c

f (x) dx −

f (t

)(x

− x

) + f (t

)(x

− x

) + . . . + f (t

)(x

− x

n−1

)

< ε .

Dow´

od. Poniewa˙z funkcja f jest cia

g la na przedziale [a, b] , wie

c na ka˙zdym z przedzia l´ow

i−1

, x

] przyjmuje kresy. Niech m

oznacza kres dolny, a M

— g´

orny. Wobec tego dla ka˙zdego

x ∈ [x

i−1

, x

] zachodzi nier´

owno´s´c m

i−1

≤ f(x) ≤ M

. Wobec tego, na mocy twierdzenia o po-

r´

ownywaniu ca lek zachodza

nier´

owno´sci:

− x

i−1

) ≤

i−

f (x) dx ≤ M

− x

i−1

) dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n .

Dodaja

c je stronami i korzystaja

c z twierdzenia o addytywno´sci funkcji wzgle

dem przedzia lu

otrzymujemy

i=1

− x

i−1

) ≤

f (x) dx ≤

i=1

− x

i−1

) .

Poniewa˙z f jest cia

g la na przedziale domknie

tym [a, b] , wie

c dla ka˙zdego ε > 0 istnieje liczba

δ > 0 , taka ˙ze je´sli |t − s| < δ , to |f(t) − f(s)| <

b−a

.* Wobec tego je´sli x

− x

i−1

< δ , to

− m

b−a

dla wszystkich i . Sta

d od razu wynika, ˙ze zachodzi:

i=1

− m

) (x

− x

i−1

) <

b − a

i=1

− x

i−1

) = ε . Sta

d teza wynika natychmiast: liczby

i=1

f (t

)(x

− x

i−1

) oraz

f (x) dx le˙za

mie

dzy sumami

i=1

− x

i−1

) i

i=1

− x

i−1

) ,

kt´

orych r´

o˙znica jest mniejsza od ε . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

To nie jest deﬁnicja cia֒g lo´sci i w zasadzie wymaga dowodu!

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Sumy

i=1

− x

i−1

) i

i=1

− x

i−1

) nazywane sa

dolna

i g´

orna

suma

Darboux,

suma

i=1

f (t

)(x

−x

i−1

) — suma

Riemanna. Istnieja

funkcje niecia

g le, kt´

ore maja

funkcje pier-

wotne, czyli sa

ca lkowalne w sensie Newtona, dla kt´

orych teza twierdzenia o sumach Riemanna

nie zachodzi. Przyk lad´ow podawa´c nie be

dziemy, zainteresowany czytelnik mo˙ze je znale´z´c

w pozycjach obszerniejszych, np. we wspominanym ju˙z drugim tomie ksia

˙zki G.M.Fichtenholza,

”Rachunek r´o˙zniczkowy i ca lkowy”. Podamy jednak deﬁnicje

ca lkowalno´sci w sensie Riemanna.

Deﬁnicja 11.6 ( funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna)

Funkcja f : [a, b] −→ IR jest ca lkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
liczba rzeczywista I , taka ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je˙zeli

a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b , x

i−1

≤ t

≤ x

oraz x

− x

i−1

< δ dla ka˙zdego

i = 1, 2, . . . , n , to zachodzi nier´owno´s´c

I −

f (t

)(x

− x

) + f (t

)(x

− x

) + . . . + f (t

)(x

− x

n−1

)

< ε .

Liczba I nazywana jest ca lka

Riemanna funkcji f na przedziale domknie

tym [a, b] i oznaczana

jest symbolem

f (x) dx .

Z twierdzenia o sumach Riemanna wynika, ˙ze funkcje cia

g le sa

ca lkowalne w sensie Rie-

manna i ˙ze ich ca lki Riemanna oraz Newtona to te same liczby. Stosowanie tego samego symbolu

jest wie

c w pe lni uzasadnione tym bardziej, ˙ze mo˙zna udowodni´c, ˙ze je´sli funkcja (niecia

g la) jest

ca lkowalna zar´

owno w sensie Riemanna jak i w sensie Newtona, to obie ca lki sie

pokrywaja

O funkcjach ca lkowalnych w sensie Riemanna powiemy niewiele.

Twierdzenie 11.7 (o ograniczono´

sci funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna) Funkcja

ca lkowalna w sensie Riemanna jest ograniczona.

Twierdzenie 11.8 (o ca lkowalno´

sci funkcji niecia

g lej w sko´

nczenie wielu punktach)

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest ograniczona i ma sko´nczenie wiele punkt´ow niecia

g lo´sci, to jest

ca lkowalna w sensie Riemanna.

Twierdzenie 11.9 (o ca lkowalno´

sci funkcji monotonicznej )

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest monotoniczna, to jest ca lkowalna w sensie Riemanna.

Dowody tych twierdze´

n pomijamy, cho´c nie sa

ani trudne, ani d lugie. Zajmijmy sie

raczej

interpretacja

sum Riemanna. Za l´

o˙zmy, ˙ze f jest funkcja

dodatnia

. By rozpatrze´c sume

Rie-

manna podzielili´smy przedzia l [a, b] na kr´

otkie przedzialiki. W ka˙zdym z nich wybrali´smy

punkt t

. Sk ladnik f (t

)(x

− x

i−1

) , to pole prostoka

ta o podstawie [x

i−1

, x

] i wysoko´sci

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

f (t

) . G´orna podstawa tego prostoka

ta ma punkt wsp´

olny w wykresem funkcji f na przedziale

i−1

, x

] . Mo˙zna wie

c my´sle´c, ˙ze przybli˙zamy ,,pole pod wykresem” za pomoca

wielu wa

skich

prostoka

t´ow. Dolna suma Darboux zwia

zana jest z przybli˙zaniem tego samego pola z do lu,

w tym przypadku prostoka

ty mieszcza

sie

pod wykresem. G´

orna suma Darboux to suma p´ol

nieco wy˙zszych prostoka

t´ow, tak ˙ze ich suma zawiera ,,pole pod wykresem”. Zinterpretownie

sum w przypadku funkcji ujemnej nie nastre

cza k lopot´

ow. W przypadku funkcji zmieniaja

cej

znak nale˙zy podzieli´c przedzia l na cze

´sci tak, by na ka˙zdej z nich funkcja mia la sta ly znak (ni-

estety mo˙ze sie

okaza´c, ˙ze musi ich by´c niesko´

nczenie wiele). Gdyby ca lki s lu˙zy ly jedynie do

obliczania p´ol nie musieliby´smy o nich w og´ole o takich funkcjach m´

owi´c. Poka˙zemy jeszcze

kilka przyk lad´ow geometryczne i ﬁzycznych. W dalszym cia

gu w przypadku zbioru A ⊆ R

przez |A| lub |A|

oznacza´c be

dziemy jego obje

to´s´c (matematycy cze

sto u˙zywaja

terminu: mi-

are

tr´ojwymiarowa

). Pole zbioru A oznacza´c be

dziemy przez |A| lub |A|

, je´sli mo˙zliwe be

tpliwo´sci dotycza

ce wymiaru. Podobnie d lugo´s´c krzywej C oznaczymy przez |C| lub |C|

Obliczanie obje

to´

sci

Za l´

o˙zmy, ˙ze A ⊂ IR

jest przyzwoitym zbiorem ograniczonym.* Niech P (z) oznacza pole

przekroju zbioru A p laszczyzna

przechodza

przez punkt (0, 0, z) , prostopad la

do osi

−−→

OZ .

Wtedy obje

to´s´c |A| zbioru A r´owna jest

P (z) dz , przy czym a i b sa

tak dobrane, by

p laszczyzna, o kt´

orej mowa nie przecina la zbioru A , gdy z /

∈ [a, b] . ´Scis lego dowodu tego wzoru

nie podamy, spr´

obujemy jednak wyja´sni´c jego geneze

. Punktem wyj´scia be

dzie stwierdzenie, ˙ze

je´sli zbi´

or A sk lada sie

z podstawy B zawartej w pewnej p laszczy´znie Π i wszystkich odcink´ow

do niej prostopad lych, tej samej d lugo´sci h , kt´

orych jeden koniec le˙zy w zbiorze B i kt´ore le˙za

po jednej stronie p laszczyzny Π ,

♣

to obje

to´s´c zbioru |A| = |B| · h . To stwierdzenie uog´olnia

wzory na obje

to´s´c walca, prostopad lo´scianu, czy graniastos lupa prostego.

Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze zbi´

or A jest ,,dostatecznie przyzwoity” oraz ˙ze

a = z

< z

< . . . < z

n−1

< z

= b

jest podzia lem przedzia lu [a, b] na dostatecznie kr´

otkie przedzia ly. Wtedy obje

to´s´c tej cze

´sci

zbioru A , kt´

ora jest zawarta mie

dzy p laszczyznami o r´

ownaniach z = z

i−1

i z = z

r´owna jest

P (t

)(z

− z

i−1

) , gdzie t

∈ [z

i−1

, z

] jest odpowiednio dobranym punktem

liczba P (t

) ma

by´c ´srednia

warto´scia

p´

ol P (z) dla z ∈ [z

i−1

, z

] — ta cze

´s´c zbioru A to nieomal walec, na og´o l

nieko lowy, o polu podstawy P (t

)

. W tej sytuacji mo˙zemy twierdzi´c, ˙ze obje

to´s´c r´owna jest

Nie mo˙zemy tu wyja´

snia´

c o jakie zbiory mo˙ze w rzeczywisto´

sci chodzi´

c. Wystarczy powiedzie´

c, ˙ze to o czym

chcemy powiedzie´

c mo˙ze by´

c stosowane w przypadku zbior´

ow otwartych, domknie֒tych i wielu innych, kiedy´s

my´

slano, ˙ze do wszystkich, ale tak nie jest. Rozstrzyganie tych kwestii nale˙zy pozostawi´

c matematykom. Nie-

matematyk mo˙ze przyja֒´c, ˙ze chodzi o wszystkie zbiory.

♣

Matematycy nazywaja֒ taki zbi´or walcem o podstawie B , a zwyk ly walec — walcem ko lowym.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

i=1

P (t

)(z

− z

i−1

) . Gdyby´smy nie starali sie

wybra´c punktu t

tak, by zachodzi la r´owno´s´c,

to i tak zachodzi laby r´owno´s´c przybli˙zona przy za lo˙zeniu, ˙ze pole P (z) jest funkcja

cia

g la

a przynajmniej ca lkowalna

w sensie Riemanna, zmiennej z . To m´

owi o tym jak nale˙zy my´sle´c

o obje

to´sci. Powinna by´c r´owna |A| =

P (z) dz . Mo˙zna albo u´sci´sli´c deﬁnicje

obje

to´sci, albo

przyja

´c, ˙ze podany wz´or to jej deﬁnicja. Poka˙zemy teraz na kilku przyk ladach jak ten wz´or

dzia la. Zaczniemy od wzor´ow znanych ze szko ly.

Przyk lad 11.1

Niech B be

dzie zbiorem zawartym w p laszczy´znie Π , kt´

orego pole r´owne jest

P . Niech W be

dzie punktem le˙za

cym poza p laszczyzna

Π i niech S oznacza sume

wszystkich

odcink´ow zaczynaja

cych sie

w punkcie W , kt´orych drugi koniec le˙zy w zbiorze B (je´sli B jest

ko lem i punkt W le˙zy nad jego ´srodkiem, to S jest sto˙zkiem o podstawie B i wierzcho lku W ;

je´sli B jest wieloka

tem, to S jest ostros lupem o wierzcho lku W i podstawie B ) — taki zbi´or S

matematycy nazywaja

sto˙zkiem o podstawie B i wierzcho lku W . Niech h oznacza odleg lo´s´c

punktu W od p laszczyzny Π , czyli wysoko´s´c sto˙zka S . Przetnijmy sto˙zek S p laszczyzna

r´

ownoleg la

do Π , kt´

orej odleg lo´s´c od p laszczyzny Π r´

owna jest z ∈ [0, h] . Otrzymany przekr´oj

jest ﬁgura

podobna

do B , w skali

h−z

. Poniewa˙z stosunek p´

ol ﬁgur podobnych jest r´owny

kwadratowi skali podobie´

nstwa, wie

c pole P (z) tego przekroju jest r´

owne

h−z

P . Wobec

tego

|S| =

h−z

P dz =

− 2hz + z

dz =

− h

1
3

P h .

Otrzymali´smy wie

c podawane w szko lach wzory na obje

to´s´c sto˙zka i ostros lupa jednocze´snie,

w rzeczywisto´sci wz´

or otrzymany w tym przyk ladzie jest nieco og´

olniejszy.

Przyk lad 11.2

Za l´

o˙zmy, ˙ze ka˙zdy przekr´

oj poziomy zbioru A otrzymany w wyniku prze-

cie

cia zbioru A p laszczyzna

znajduja

sie

na wysoko´sci z ∈ [0, h] ma to samo pole P i ˙ze

przekroje p laszczyznami poziomymi znajduja

cymi sie

na innych wysoko´sciach sa

puste. Wobec

tego zachodzi r´

owno´s´c |A| =

P dz = P h . Otrzymany wynik stosuje sie

oczywi´scie do

prostopad lo´scianu, ale r´

ownie˙z do r´

ownoleg lo´scianu, moga

doj´s´c skre

cenia r´

o˙zne na r´o˙znych

poziomach. Twierdzenie to zosta lo sformu lowane w XVII w. przez Cavalieri’ego. Jest zwane za-

sada

Cavalieri’ego. W czasach kiedy autor tego tekstu by l uczniem liceum, zasada ta znajdowa la

sie

w podre

czniku do geometrii, z kt´

orego uczyli sie

wtedy wszyscy liceali´sci w Polsce.

Przyk lad 11.3

Zajmijmy sie

kula

o promieniu r . Bez straty og´

olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna

przyja

´c, ˙ze jej ´srodkiem jest punkt 0 . Przecinaja

c kule

p laszczyzna

z lo˙zona

z punkt´ow, kt´orych

trzecia wsp´

o lrze

dna r´

owna jest z otrzymujemy ko lo o promieniu

√

− z

. Pole tego ko la

r´

owne jest π(r

− z

) . Wobec tego obje

to´s´c kuli r´

owna jest

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−r

π(r

− z

) dz = π r

· 2r −

1
3

−

1
3

(−r)

4
3

πr

Zn´ow otrzymali´smy w bardzo prosty spos´ob znany ze szko ly wz´

or. Otrzyma l go dawno temu

Archimedes dzie

ki zre

cznemu rozumowaniu geometrycznemu. Nie znano wtedy ca lek, wie

c zaje

mu to wie

cej miejsca ni˙z nam korzystaja

cym z wielu znacznie p´

o´zniejszych pomys l´ow.

Przyk lad 11.4

Znajdziemy obje

to´s´c de

tki zak ladaja

c, ˙ze powstaje ona w wyniku obrotu

ko la o promieniu r > 0 wok´o l prostej le˙za

cej w p laszczy´znie tego ko la w odleg lo´sci R > r od

jego ´srodka. Matematycy powierzchnie

tki nazywaja

torusem, czego oczywi´scie nie trzeba

pamie

ta´c. Przyjmiemy, ˙ze ´srodkiem ko la o promieniu r jest punkt (R, 0, 0) oraz ˙ze to ko lo le˙zy

w p laszczy´znie y = 0 . Przetnijmy (w my´sli) de

tke

p laszczyzna

pozioma

przechodza

przez

punkt (0, 0, z) . Przekr´oj jest pier´scieniem ko lowym, kt´

orego promie´

n wewne

trzny r´owny jest

R −

√

− z

a zewne

trzny to R +

√

− z

, zatem polem tego pier´scienia ko lowego jest liczba

π R +

√

− z

− π R −

√

− z

= 4πR

√

− z

Wynika sta

d, ˙ze obje

to´scia

tki jest

−r

4πR

√

− z

dz = 4πR ·

1
2

πr

= 2π

. Zadanie

zosta lo rozwia

zane.

Tych kilka przyk lad´

ow nie´zle ilustruje skuteczno´s´c rachunku ca lkowego. Otrzymanie tych

wzor´

ow bez rachunku ca lkowego jest mo˙zliwe, ale znane autorowi wyprowadzenia w istocie

zawieraja

przej´scia graniczne r´

ownowa˙zne temu, kt´

ore pojawia sie

w twierdzeniu o sumach

Riemanna. Mo˙zna wie

c twierdzi´c, ˙ze stworzenie rachunku ca lkowego stanowi lo ukoronowanie

wysi lk´

ow wielu ludzi obliczaja

cych r´

o˙zne wielko´sci, np. obje

to´sci.

Obliczanie p´

ol jeszcze raz

Przedstawili´smy przed chwila

podej´scie do kwestii obliczania obje

to´sci polegaja

ce na ,,plas-

terkowaniu” zbioru tr´

ojwymiarowego. Za l´

o˙zmy, ˙ze na przedziale domknie

tym dane sa

dwie

funkcje cia

g le g, f : [a, b] −→ IR , przy czym dla ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi r´owno´s´c g(x) ≥ f(x).

Korzystaja

c z wzoru na pole pod wykresem funkcji i odejmuja

c pola pod wykresem funkcji f

od pola pod wykresem funkcji g otrzymujemy

g(x) dx −

f (x) dx =

(g(x) − f(x)) dx .

Jest to pole obszaru ograniczonego z do lu wykresem funkcji f , a z g´

ory — wykresem funkcji g

(mo˙zna oczywi´scie za lo˙zy´c, ˙ze f (x) ≥ 0 dla ka˙zdego x ∈ [a, b] , bo pole nie zmienia sie

przy prze-

sunie

ciu). Jest mniej wie

cej jasne, ˙ze je´sli opu´scimy za lo˙zenie g ≥ f , to wz´or na pole obszaru

ograniczonego wykresami funkcji g i f w dalszym cia

gu be

dzie obowia

zywa´c tyle, ˙ze w wy-

niku otrzymamy

|f(x) − g(x)|dx . Okazuje sie

, ˙ze ca lkujemy d lugo´s´c odcinka otrzymanego

w przecie

ciu obszaru prosta

pionowa

(zamiast pola przekroju w przypadku obje

to´sci) i w wyniku

otrzymujemy pole obszaru (zamiast obje

to´sci). Przyk ladowo pole ko la mo˙zna oblicza´c traktuja

je jako obszar zawarty mie

dzy wykresami funkcji −

√

− x

oraz

√

− x

. Jest wie

c ono

r´

owne

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−r

√

− x

− −

√

− x

dx = 2 R

−r

√

− x

dx = 2

πr

= πr

Nie be

dziemy teraz mno˙zy´c przyk lad´ow. Zaznaczy´c chcieli´smy jedynie, ˙ze pola mo˙zna oblicza´c

pos luguja

c sie

sama

idea

, kt´ora ma zastosowanie w przypadku obje

to´sci. Sugeruje to mo˙zli-

wo´s´c zbudowania og´olniejszej teorii niezale˙znej od wymiaru. Dokonali tego matematycy na

prze lomie XIX i XX wieku, dwa najwa˙zniejsze nazwiska to B.Riemann i H.Lebesgue. Teoria

Lebesgue’a zyska la wielka

popularno´s´c ze wzgle

du na znacznie wygodniejsze w u˙zyciu twierdze-

nia pozwalaja

ce na obliczanie granic cia

g´ow ca lek. Tych problem´

ow nie be

dziemy tu omawia´c.

przedstawione w wielu podre

cznikach przeznaczonych dla matematyk´

ow i ﬁzyk´ow teoretyk´ow.

D lugo´

s´

c wykresu funkcji

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : [a, b] −→ (0, +∞) jest r´o˙zniczkowalna i ˙ze jej pochodna f

′

jest cia

g la na

przedziale [a, b] . Jasne jest, ˙ze d lugo´s´c krzywej powinni´smy przybli˙za´c d lugo´scia

lamanej (linii

z lo˙zonej z odcink´ow), kt´orej wierzcho lki dziela

wykres funkcji f na ma le fragmenty. Om´owimy

to nieco dok ladniej.

Niech a = x

< x

< . . . < x

= b . Niech l

oznacza d lugo´s´c odcinka la

cza

cego

punkty x

i−1

, f (x

i−1

)

i x

, f (x

)

. Mamy wie

− x

i−1

)

+ (f (x

) − f(x

i−1

))

Z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej wynika, ˙ze istnieje taka liczba t

∈ [x

i−1

, x

] , ˙ze

zachodzi r´

owno´s´c

p(x

− x

i−1

)

+ f

′

)

− x

i−1

)

= (x

− x

i−1

)

p1 + (f

′

)

) .

Sta

d wynika, ˙ze d lugo´s´c lamanej r´

owna jest

+ l

+ . . . + l

i=1

− x

i−1

)

p1 + (f

′

)

) .

D lugo´s´c wykresu funkcji f to wobec tego

1 + (f

′

(x))

dx — wynika to oczywi´scie z twier-

dzenia o sumach Riemanna.

Ten wynik jest bardzo jasny z punktu widzenia ﬁzyki. Za l´

o˙zmy, ˙ze wykres funkcji to np.

szosa, po kt´

orej porusza sie

samoch´

od w ten spos´

ob, ˙ze sk ladowa pozioma wektora pre

dko´sci

r´

owna jest 1 . Niech x oznacza czas. Wtedy w chwili x znajdujemy sie

w punkcie

x, f (x)

— zak ladamy, ˙ze startujemy z punktu a, f (a)

, wtedy f

′

(x) mierzy pre

dko´s´c zmian warto´sci

funkcji f w chwili x , jest wie

c to sk ladowa pionowa wektora pre

dko´sci naszego pojazdu. Jego

pre

dko´scia

skalarna

jest wie

c d lugo´s´c wektora pre

dko´sci, czyli liczba

1 + (f

′

(x))

, ta pre

dko´s´c

jest oczywi´scie zale˙zna od czasu. Przebyta

droge

nale˙zy oblicza´c mno˙za

c czas przez pre

dko´s´c.

Poniewa˙z pre

dko´s´c jest zmienna, wie

c prowadzi to do dzielenia czasu podr´

o˙zy, na kr´otkie od-

cinki, w kr´

otkim okresie czasu pre

dko´s´c jest prawie sta la (pre

dko´s´c jest funkcja

cia

g la

czasu),

naste

pnie mno˙zymy ten kr´

otki czas przez pre

dko´s´c z jaka

sie

w nim poruszamy i sumujemy.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Otrzymujemy sume

Riemanna funkcji

1 + (f

′

(x))

, a po przej´sciu granicznym (rozpatrywane

odcinki czasu sa

coraz bli˙zsze 0 ) otrzymujemy ca lke

1 + (f

′

(x))

dx . Rozumuja

c analo-

gicznie doj´s´c mo˙zna do wniosku, ˙ze

f (x) dx jest droga

przebyta

przez pojazd poruszaja

sie

po prostoliniowej drodze w ten spos´ob, ˙ze w chwili x jego pre

dko´scia

jest f (x) .

Ten argument jest bardzo wa˙zny historycznie: Newton tworzy l rachunek r´

o˙zniczkowy i ca l-

kowy w silnym zwia

zku z ﬁzyka

. Poje

cie pre

dko´sci nie jest trudne, przemawia do wyobra´zni, wie

studenci proszeni sa

o chwile

zastanowienia nad tym tekstem! Warto te˙z zda´c sobie sprawe

z te-

go, ˙ze ca lkowicie analogicznie przyspieszenie jest powia

zane z pre

dko´scia

— po prostu wsze

dzie

zaste

pujemy po lo˙zenie przez pre

dko´s´c i jednocze´snie pre

dko´

s´

przez przyspieszenie.

Przyk lad 11.5

Obliczymy d lugo´s´c luku paraboli y = x

zaczynaja

cego sie

w punkcie (0, 0)

i ko´

ncza

cego sie

w punkcie a, a

. Zgodnie z poprzedzaja

cymi ten przyk lad rozwa˙zaniami ta

d lugo´s´c r´owna jest

p1 + (2x)

dx . Podobna

ca lke

obliczyli´smy w przyk ladzie 10.28. Teraz

zrobimy to nieco inaczej. Niech x =

1
2

tg t . Wtedy

√

1 + 4x

p1 + tg

t =

cos

cos t

— mo˙zemy tak napisa´c, bo mo˙zemy przyjmowa´c, ˙ze t ∈ (−

) i wobec tego cos t > 0 . Je´sli

x =

1
2

tg t , to dx =

2 cos

dt , wie

R √1 + 4x

dx =

2 cos

dt =

cos

t+sin

2 cos

dt =

1
2

cos t

dt +

1
2

R sin t

sin t

cos

przez

=====

cze֒´sci

1
2

cos t

dt +

1
2

sin t

2 cos

−

1
2

cos t

2 cos

dt =

sin t

4 cos

1
4

cos t

dt =

sin t

4 cos

1
4

cos t

1−sin

dt =

sin t

4 cos

1
8

cos t

1−sin t

dt +

1
8

cos t

1+sin t

dt + C =

sin t

4 cos

−

1
8

ln(1 − sin t) +

1
8

ln(1 + sin t) + C =

sin t

4 cos

1
8

1+sin t
1−sin t

+ C =

sin t

4 cos

1
8

(1+sin t)

1−sin

+ C =

sin t

4 cos

1
4

1+sin t

cos t

+ C =

1
4

cos t

· tg t + ln(

cos t

+ tg t)

+ C =

1
4

√

1 + 4x

· 2x + ln(

√

1 + 4x

+ 2x)

+ C

Sta

d wynika, ˙ze ten luk paraboli ma d lugo´s´c.

a
2

√

1 + 4a

1
4

ln 2a +

√

1 + 4a

Okazuje sie

, ˙ze wynik jest zadziwiaja

co skomplikowany. W XIX w. matematykom uda lo sie

wykaza´c, ˙ze d lugo´s´c elipsy, kt´

ora nie jest okre

giem, nie daje sie

wyrazi´c za pomoca

tzw. funkcji

elementarnych. Mo˙zna to zrobi´c za pomoca

tzw. funkcji eliptycznych. Piszemy o tym po to

jedynie, by raz jeszcze przestrzec, ˙ze m´

owimy tu jedynie o rzeczach w matematyce najprostszych,

bo te tylko znajduja

sie

w i tak wype lnionych programach studi´

ow.

Obliczymy teraz d lugo´s´c okre

gu, a w la´sciwie jego po lowy, cho´c wszyscy dobrze wiedza

, co

otrzymamy. Tu rachunek be

dzie bardzo prosty, a r´

o˙znica mie

dzy okre

giem i elipsa

tak niewielka.

Niewielka ale bardzo istotna: w ca lce, kt´

ora

trzeba znale´z´c w przypadku elipsy wyste

puje iloraz

dw´

och

wielomian´

ow kwadratowych, w przypadku okre

gu wielomian jest tylko jeden.

Przyk lad 11.6

P´

o lokra

g o promieniu r > 0 mo˙zemy potraktowa´c jako wykres funkcji

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

√

− x

zdeﬁniowanej na przedziale [−r, r] . Wobec tego jego d lugo´s´c r´owna jest

−r

1 +

√

− x

′

dx =

−r

1 +

−x

√

−x

dx =

−r

1 +

−x

dx =

−r

√

−x

x=r sin t

==========

dx=r cos t dt

= r

π/2

−π/2

dt = πr .

Otrzymali´smy wie

c dobrze znany wynik.*

Pola powierzchni bry l obrotowych

Poka˙zemy teraz jest jeszcze jedno zastosowanie geometryczne ca lek, tym razem do obliczania

pola powierzchni bry ly obrotowej. Tym razem punktem wyj´scia be

dzie wz´

or na pole powierzchni

bocznej sto˙zka πrl , gdzie r to promie´

n podstawy sto˙zka, a l to d lugo´s´c tworza

cej. Z tego wzoru

bez trudu mo˙zna wyprowadzi´c wz´or na pole powierzchni bocznej sto˙zka ´scie

tego, w kt´orym

wie

ksza podstawa ma promie´

n r

, mniejsza — promie´

n r

, a tworza

ca to l . Ten sto˙zek ´scie

mo˙zna potraktowa´c jako wynik odcie

cia od sto˙zka o promieniu podstawy r

i tworza

cej l

−r

sto˙zka o promieniu podstawy r

i tworza

cej l

−r

— wynika to z podobie´

nstwa tr´ojka

t´ow.

Wobec tego pole powierzchni bocznej sto˙zka ´scie

tego jest r´

owne π

2
1

−r

−π

2
2

−r

= πl (r

+ r

) .*

Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcja f : [a, b] −→ (0, +∞) jest r´o˙zniczkowalna i ˙ze jej pochodna jest cia

g la.

Obr´

ocimy wykres funkcji f wok´

o l osi x . W wyniku otrzymamy powierzchnie

, kt´orej pole

obliczymy. Zauwa˙zmy jeszcze tylko, ˙ze je´sli funkcja f jest liniowa, to w wyniku tego obrotu

otrzymujemy powierzchnie

boczna

sto˙zka ´scie

tego ewentualnie walca, je´sli funkcja jest sta la.

Podzielimy przedzia l [a, b] punktami a = x

< x

< . . . < x

= b na kr´

otkie, niekoniecznie

r´

owne, przedzia ly. To, co powstaje w wyniku obrotu cze

´sci wykresu odpowiadaja

cej przedzia lowi

i−1

, x

] , mo˙zna przybli˙zy´c sto˙zkiem ´scie

tym o wysoko´sci x

− x

i−1

i promieniach podstaw

f (x

) , f (x

i−1

) — ten sto˙zek staje sie

walcem, gdy f (x

i−1

) = f (x

) . Pole powierzchni bocznej

takiego sto˙zka, to zgodnie z przypomnianymi przed chwila

wzorami πl

f (x

i−1

) + f (x

)

, gdzie

oznacza jego tworza

, czyli

− x

i−1

)

+ (f (x

) − f(x

i−1

))

= (x

− x

i−1

)

1 + f

′

)

dla pewnego t

∈ (x

i−1

, x

) , istnienie takiej liczby t wynika z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci

´sredniej. Poniewa˙z przedzia l [x

i−1

, x

] jest ,,kr´

otki”, wie

πl

(f (x

i−1

) + f (x

)) ≈ 2π · f(t

)

1 + f

′

)

przyje

li´smy tu, ˙ze f (x

i−1

) ≈ f(t

) ≈ f(x

) , co jest dopuszczalne, ale nie chcemy sie

wdawa´c

w bardziej szczeg´

o lowe szacunki, bo dla os´

ob o niewielkiej wprawie be

one trudnawe i na

pewno ˙zmudne, dla wprawnych — banalne.

Wobec tego pole powierzchni powsta lej w wyniku obrotu wykresu funkcji f mo˙zna przy-

Troche֒ oszukuja֒c: funkcja

√

−x

nie ma sko´

nczonej pochodnej w ko´

ncach przedzia lu, o tym opowiemy p´

o´

zniej.

Troche֒ to przypomina wz´or na pole trapezu:

1
2

(2πr

+2πr

)l – po lowa sumy podstaw razy wysoko´

s´

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

bli˙zy´c suma

i=1

2π·f(t

)

1 + f

′

)

, kt´ora z kolei, na mocy twierdzenia o sumach Riemanna,

przybli˙za ca lke

2πf (t)

1 + f

′

(t)

dt . Ta ca lka jest wie

c r´

owna polu powierzchni powsta lej

w wyniku obrotu funkcji f wok´o l osi x . B le

dy, kt´ore pope lniamy w kolejnych krokach sa

ma le

i to jako b le

dy wzgle

dne, co jest wa˙zne, bo pola cze

´sci, na kt´

ore poszatkowali´smy powierzchnie

ma le i jest ich wiele, wie

c teoretycznie b le

dy mog lyby sie

zsumowa´c do czego´s du˙zego — tak

sie

nie dzieje, bo jak zapewniamy czytelnik´ow, b le

dy wzgle

dne sa

ma le! Tu jeszcze raz stykamy

sie

z jedna

z podstawowych idei analizy matematycznej: funkcje

przybli˙zamy funkcja

liniowa

tak, by b la

d wzgle

dny

by l ma ly! Czas na jaki´s przyk lad.

Przyk lad 11.7

Niech f (x) =

√

− x

dla a ≤ x ≤ a + h , przy czym −r ≤ a oraz

a + h ≤ r . W wyniku obrotu wykresu funkcji f okre´slonej na przedziale [a, a + h] otrzymujemy
cze

´s´c powierzchni kuli zawarta

mie

dzy dwiema r´ownoleg lymi p laszczyznami, kt´orych odleg lo´s´c

r´owna jest h . Zgodnie z om´owionym wzorem pole tej cze

´sci sfery r´

owne jest

2π

a+h

− x

1 +

−x

√

− x

dx = 2πr

a+h

dx = 2πrh .

W szczeg´

olno´sci, je˙zeli a = −r i h = 2r otrzymujemy wz´or na pole powierzchni ca lej kuli, kt´ory

wie

kszo´s´c maturzyst´

ow mia la okazje

pozna´c w szkole. Jednak otrzymali´smy co´s wie

cej: wz´or na

pole powierzchni cze

´sci sfery zawartej mie

dzy dwiema r´

ownoleg lymi p laszczyznami oddalonymi

o h . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze we wzorze tym NIE wyste

puje liczba a . Oznacza to, ˙ze pole jest od

a niezale˙zne, wa˙zne jest tylko to, ˙ze obie p laszczyzny przecinaja

sfere

. Mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze jedna

z tych p laszczyzn przechodzi przez jeden z biegun´

ow, a mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze p laszczyzna r´ownika

dzieli przestrze´

n mie

dzy nimi na p´o l. Pola sa

r´

owne! Nie jest to chyba ca lkiem oczywiste, cho´c

Archimedes z pewno´scia

to wiedzia l.*

Przyk lad 11.8

Obliczymy teraz pole powierzchni de

tki opisanej ju˙z w przyk ladzie 11.4.

Przypomnijmy: powierzchnia de

tki by la otrzymana jako wynik obrotu okre

gu zdeﬁniowanego

r´

ownaniami y = 0 , (x − R)

+ z

= r

wok´

o l osi z . Mo˙zna wie

c przyja

´c, ˙ze obracamy wok´o l

osi z (a nie wok´

o l osi x ) wykresy dwu funkcji zmiennej z R +

√

− z

oraz R −

√

− z

Cze

´s´c wsp´

olna otrzymanych powierzchni sk lada sie

z dw´

och okre

g´

ow, wie

c jej pole r´owne jest 0,

zatem mo˙zemy obliczy´c pola obu powierzchni i doda´c. W pierwszym przypadku pole r´owne jest

2π

−r

R +

√

− z

1 +

−z

√

−z

dz = 2πr

−r

√

−z

+ 1

dz = 2π

rR + 2πr

W podre֒czniku do geometrii u˙zywanym we wszystkich polskich liceach, gdy autor tego tekstu by l uczniem,

twierdzenie to by lo podane wraz z dowodem nie korzystaja֒cym w jawnej postaci z ca lek. Oczywi´scie tylko

cze֒´s´c uczni´ow je zauwa˙za la.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

wie

c w drugim —

2π

−r

R −

√

− z

1 +

−z

√

−z

dz = 2π

rR − 2πr

. Sumuja

otrzymujemy 4π

rR .

Jest wie

c widoczne, ˙ze za pomoca

ca lek mo˙zna da´c sobie rade

z obliczaniem obje

to´sci, p´ol

i d lugo´sci. Doda´c warto, ˙ze cze

sto wyniki nie daja

sie

wyrazi´c za pomoca

funkcji elementarnych.

Jednak wyra˙zenie ich nawet za pomoca

samej ca lki jest wa˙zne, bo wymy´slono wiele metod

przybli˙zonego obliczania ca lek, wie

c nawet je´sli mamy wynik nieelementarnie wyra˙zony, to i tak

mo˙zna uzyskiwa´c istotne oszacowania z dok ladno´scia

ca lkowicie wystarczaja

dla zastosowa´

w matematyce i poza nia

. Nie be

dziemy oczywi´scie tych temat´

ow rozwija´c w ramach wyk ladu

wprowadzaja

cego student´ow I roku w matematyke

Ca lki niew la´

sciwe

Spotkali´smy sie

przy obliczaniu d lugo´sci okre

gu z problemem ca lkowania funkcji, kt´ora nie by la

zdeﬁniowana w ko´

ncu przedzia lu, a nawet w obu ko´

ncach. Takie funkcje pojawiaja

sie

w wielu

sytuacjach. Trzeba wie

c wyja´sni´c nieco dok ladniej jak deﬁniujemy ca lki i co mo˙zna wnioskowa´c

z ich istnienia.

Deﬁnicja 11.10 (ca lki niew la´

sciwej )

Je´sli funkcja f : [a, b) −→ IR ma funkcje

pierwotna

i istnieje granica lim

c→b

−

f (x) dx , to granice

nazywamy ca lka

niew la´sciwa

funkcji f na przedziale [a, b) . Oznaczamy ja

tak samo, jak

ca lke

w la´sciwa

f (x) dx . Je´sli ca lka niew la´sciwa jest sko´

nczona, to m´

owimy, ˙ze jest zbie˙zna.

Analogicznie deﬁniowana jest ca lka niew la´sciwa z funkcji okre´slonej na przedziale otwarto–

domknie

tym (a, b] .

Je´sli funkcja jest okre´slona na przedziale otwartym (a, b) i istnieja

ca lki niew la´sciwe na

przedzia lach (a, c] i [c, b) , to ich sume

, je´sli jest zdeﬁniowana, nazywamy ca lka

niew la´sciwa

funkcji f na przedziale (a, b) . Oznaczamy jak zwykle symbolem

f (x) dx .

Przyk lad 11.9

Obliczymy ca lke

−r

√

−x

dx . Funkcja jest niezdeﬁniowana w obu ko´

ncach

przedzia lu, wie

c rozpatrzymy oddzielnie dwie ca lki:

√

−x

dx oraz

−r

√

−x

dx . Zachodzi

wz´

√

−x

dx = arcsin

+ C , zatem

lim

c→r

−

√

−x

dx = lim

c→r

−

arcsin

c
r

− arcsin

0
r

= arcsin

r
r

Podobnie

lim

c→−r

√

−x

dx =

lim

c→−r

arcsin

0
r

− arcsin

−r

= arcsin 1 =

. Obie ca lki sa

sko´

nczone, czyli zbie˙zne. Zgodnie z deﬁnicja

ca lka

−r

√

−x

dx jest zbie˙zna do

= π .

Przyk lad 11.10

Obliczymy ca lke

∞

1+x

dx . Zachodza

r´

owno´sci

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

∞

1+x

dx = lim

c→∞

1+x

dx = lim

c→∞

(arctg x)

= lim

c→∞

(arctg c − arctg 0) =

Ca lka jest wie

c sko´

nczona, zatem funkcja arctg ma ca lke

niew la´sciwa

na p´

o lprostej [0, ∞) . Bez

trudu stwierdzi´c mo˙zna, ˙ze zachodzi r´owno´s´c

∞

−∞

1+x

dx = π .

Przyk lad 11.11

Teraz zajmiemy sie

ca lka

∞

dx zak ladaja

c, ˙ze a 6= −1 . Mamy

∞

dx =

lim

c→∞

dx =

lim

c→∞

a+1

lim

c→∞

−1

a+1

+∞ je´sli a > −1 ,

−1

a+1

je´sli a < −1 .

Okaza lo sie

, ˙ze im wie

kszy wyk ladnik tym wie

ksza ca lka. Dla ,,du˙zych” wyk ladnik´ow ca lka

jest niesko´

nczona dla ,,ma lych” sko´

nczona: tym mniejsza im mniejszy wyk ladnik. Oczywi´scie

s lowa ,,ma ly” i ,,du˙zy” maja

znaczenie umowne.

Przyk lad 11.12

Obliczymy

∞

−λx

dx zak ladaja

c, ˙ze λ > 0 , w przypadku λ ≤ 0 warto´sci

funkcji podca lkowej nie sa

mniejsze ni˙z 1, wie

c ca lka jest niesko´

nczona, bo musi by´c wie

ksza od

pola prostoka

ta o wysoko´sci 1 i dowolnie d lugiej podstawie. Mamy

∞

−λx

dx = lim

c→∞

−λx

dx = lim

c→∞

−

−λx

λ>0

====

Wykazali´smy wie

c, ˙ze dla ka˙zdego λ > 0 funkcja e

−λx

ma sko´

nczona

ca lke

niew la´sciwa

p´

o lprostej [0, ∞) .

Przyk lad 11.13

Wyka˙zemy teraz, ˙ze ca lka

+∞

−∞

−x

dx jest sko´

nczona. Mamy e

≥ 1+x

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x , wie

−x

dx ≤

1+x

dx <

. Ca lka

−x

dx ro´snie

wraz z c , oczywi´scie teraz rozwa˙zamy tylko c > 0 . Wobec tego granica lim

c→∞

−x

dx istnieje

i jedyna

kwestia

jest to, czy jest ona sko´

nczona. Poniewa˙z dla ka˙zdego c > 0 ca lka jest mniejsza

ni˙z

, wie

∞

−x

dx = lim

c→∞

−x

dx ≤

Spe lnili´smy obietnice

: udowodnili´smy, ˙ze ca lka jest sko´

nczona, cho´c jej nie obliczyli´smy, bo to

jest nieco trudniejsze.

Wida´c z powy˙zszych przyk lad´ow, ˙ze powody, dla kt´

orych trzeba rozpatrywa´c czasem ca lki

nieoznaczone, bywaja

r´

o˙zne. Mo˙zemy mie´c do czynienia z nieograniczona

funkcja lub z nieogra-

niczona

dziedzina

funkcji. Nie be

dziemy tych spraw dok ladnie omawia´c, bo jak ju˙z wielokrotnie

m´

owili´smy, studenci nie musza

tych kwestii zg le

bi´c, natomiast powinni troche

o nich wiedzie´c.

Wypada stwierdzi´c, ˙ze jedna z podstawowych r´

o˙znic miedzy ca lka

Riemanna i ca lka

nie-

w la´sciwa

jest to, ˙ze w przypadku ca lki niew la´sciwej nie jest prawdziwe twierdzenie o sumach

Riemanna. W przypadku ca lki niew la´sciwej mo˙zna na og´

o l po wybraniu drobnego podzia lu

dziedziny wybra´c w przedzia lach, kt´

ore tworza

ten podzia l, punkty w taki spos´

ob, ˙ze otrzymana

suma Riemanna be

dzie odleg la od ca lki.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Je´sli np. rozwa˙zamy ca lke

√

1−x

dx , to dziela

c przedzia l [0, 1] na kr´otkie przedzia-

liki punktami 0 = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= 1 , nie jeste´smy w stanie unikna

´c tego,

˙ze w przedziale [x

n−1

, x

) funkcja

√

1−x

przyjmuje warto´sci dowolnie du˙ze. Mo˙zemy wie

wybra´c w nim punkt t

w taki spos´ob, by liczba

−x

n−

√

1−t

by la wie

ksza ni˙z np. 15071410, co

spowoduje, ˙ze niezale˙znie od tego jak wybierzemy punkty w pozosta lych przedzialikach warto´s´c

sumy Riemanna be

dzie wielokrotnie przewy˙zsza´c d lugo´s´c okre

gu o promieniu 1.

Oczywi´scie stwarza to problemy z interpretacja

ca lki, ale nic na to nie mo˙zna poradzi´c.

Ca lki niew la´sciwe pojawiaja

sie

w naturalny spos´ob, bo przecie˙z nie mo˙zna uzna´c obliczania

d lugo´sci okre

gu za zadanie bardzo sztuczne. Po prostu nale˙zy z wie

ksza

ostro˙zno´scia

je stosowa´c,

ale nale˙zy to robi´c. We wspomnianym przypadku mo˙zna np. twierdzi´c, ˙ze rozpatruja

c nieco

kr´otszy luk odpowiadaja

cy przedzia lowi [0, c) mo˙zemy go przybli˙za´c ca lka

, ca lka

√

1−x

r´o˙zni sie

minimalnie od ca lki

√

1−x

dx , wie

c sumy Riemanna pierwszej z nich, wie

c w la´sciwej,

przybli˙zaja

wie

c kr´otszy luk, ale ten kr´otszy przybli˙za d lu˙zszy, wie

c suma Riemanna ca lki

√

1−x

dx przybli˙za ´cwier´c d lugo´sci okre

gu o promieniu 1.

Ten przyk lad pokazuje, jak mo˙zna radzi´c sobie z tego rodzaju problemami. W dalszym

cia

gu be

dziemy przyjmowa´c, ˙ze opisane wcze´sniej interpretacje ca lek w la´sciwych (d lugo´sci, pola,

obje

to´sci) zachowuja

sens r´

ownie˙z w przypadku ca lek niew la´sciwych. Poka˙zemy teraz jak ko-

rzystaja

c z tych interpretacji mo˙zna obliczy´c ca lke

+∞

−∞

−x

dx . Przypomijmy, ˙ze funkcja pier-

wotna funkcji e

−x

jest nieelementarna, wie

c nasze poste

powania be

dzie ca lkowicie odmienne

od prezentowanych dotychczas.

Przyk lad 11.14

Wyka˙zemy, ˙ze

+∞

−∞

−x

dx =

√

π . Zaczniemy od obliczenia obje

to´sci

zbioru pod wykresem funkcji z = e

−x

−y

, wie

c funkcji dwu zmiennych x i y . Opiszmy ten

zbi´

or wzorami: A =

(x, y, z):

0 ≤ z ≤ e

−x

−y

. Jego obje

to´s´c to zgodnie z tym, o czym

wcze´sniej m´

owili´smy, ca lka (tym razem niew la´sciwa) z funkcji P (z) , gdzie P (z) oznacza pole

przekroju zbioru A p laszczyzna

pozioma

przechodza

przez punkt (0, 0, z) . Ten przekr´oj

to ko lo le˙za

ce w p laszczy´znie poziomej. Sk lada sie

ono z tych punkt´

ow (x, y, z) , dla kt´orych

spe lniona jest nier´

owno´s´c: 0 < z ≤ e

−x

−y

(przypominamy, ˙ze liczba z > 0 jest na razie

ustalona). Jest ona r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci − ln z ≥ x

+ y

. Wobec tego kwadrat promienia

tego ko la jest r´

owny − ln z , wie

c pole tego ko la r´

owne jest −π ln z .

Teraz spojrzymy na to zagadnienie z nieco innej strony. Przetniemy zbi´

or A p laszczyzna

prostopad la

do osi

−−→

przechodza

przez punkt (0, y, 0) . Niech S(y) oznacza pole tego

przekroju. Jasne jest, ˙ze przekr´

oj sk lada sie

z tych punkt´

ow postaci (x, y, z) , dla kt´orych

spe lniona jest nier´

owno´s´c 0 < z ≤ e

−x

−y

, wie

c ta sama co poprzednio z tym jednak, ˙ze tym

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

razem ustalona jest liczba y , natomiast liczby x oraz z sie

zmieniaja

sie

w podanych granicach.

To pole to oczywi´scie pole pod wykresem funkcji e

−x

−y

, wie

c r´

owne jest ono

+∞

−∞

−x

−y

dx ,

zn´

ow ca lka niew la´sciwa. Mamy wie

c S(y) = e

−y

+∞

−∞

−x

dx ; e

−y

jako wielko´s´c niezale˙zna

od x mo˙ze i powinna by´c traktowana jako sta la, wie

c mo˙zna ja

wy la

czy´c przed ca lke

. Liczba

+∞

−∞

−x

dx nie zale˙zy od y , wie

c obje

to´s´c zbioru A jest r´

owna

+∞

−∞

S(y) dy =

+∞

−∞

−x

dx ·

+∞

−∞

−y

dy .

Oczywi´scie

+∞

−∞

−x

dx =

+∞

−∞

−y

dy — warto´s´c ca lki z danej funkcji jest niezale˙zna od

nazwy zmiennej. Mamy wie

c prawo napisa´c:

+∞

−∞

−x

π(− ln z)dz = −π

ln z dz .

Wystarczy teraz obliczy´c

ln z dz . Mamy

R ln z dz = z ln z − z + C , te

ca lke

obliczali´smy ju˙z

wcze´sniej. Wobec tego

ln z dz = 1 · ln(1) − 1 − lim

z→0

z ln z − z

= −1 , bo lim

z→0

z ln z = 0 , co

mo˙zna obliczy´c korzystaja

c z regu ly de l’Hospitala. Wykazali´smy zatem, ˙ze zachodzi r´owno´s´c

π =

+∞

−∞

−x

, a wie

c po wycia

gnie

ciu pierwiastka z obu stron otrzymujemy obiecana

r´

owno´s´c

√

π =

+∞

−∞

−x

dx .

Czytelnicy, kt´

orzy s lyszeli co´s o szeregach, z pewno´scia

zauwa˙zyli podobie´

nstwa mie

dzy

ca lkami niew la´sciwymi i szeregami, nawet terminologia jest w podobna. Podamy teraz wa˙zne

twierdzenie, kt´

ore to podobie´

nstwo podkre´sla i kt´

ore nie mie´sci sie

w programie matematyki dla

student´

ow chemii.

Twierdzenie 11.11 (Kryterium ca lkowe Cauchy’ego Maclaurina zbie ˙zno´

sci

Je´sli funkcja f : [1, ∞] −→ [1, ∞) jest nierosna

ca, to szereg

∞

n=1

f (n) jest zbie˙zny, czyli cia

o wyrazie f (1) + f (2) + · · · + f(n) ma sko´nczona

granice

, wtedy i tylko wtedy, gdy ca lka

niew la´sciwa

∞

f (x) dx jest zbie˙zna.

Dow´

od. Nie ma oczywi´scie ˙zadnego problemu z istnieniem ca lek

f (c) dx , bowiem ich ist-

nienie jest konsekwencja

monotoniczno´sci funkcji f (tego twierdzenia nie dowodzili´smy, jednak

przytoczyli´smy je). Podobnie szereg

∞

n=1

f (n) ma sume

by´c mo˙ze niesko´

nczona

, bo jego wyrazy

nieujemne. Funkcja f jest nierosna

ca, wie

c nier´

owno´s´c f (n) ≥

n+1

f (x) dx ≥ f(n + 1)

ma miejsce dla ka˙zdej liczby naturalnej n . Sta

d wynika, ˙ze

∞

n=1

f (n) ≥

∞

f (x) dx ≥

∞

n=2

f (n) .

Z tej nier´

owno´sci teza twierdzenia wynika natychmiast.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Warto podkre´sli´c, ˙ze twierdzenie bywa u˙zyteczne w wielu przypadkach, czasem latwiej

mo˙zna stwierdzi´c zbie˙zno´s´c ca lki a w innych przypadkach — szeregu. Podajemy je tylko po

to, by zilustrowa´c mo˙zliwo´sci przeformu lowywania zagadnie´

n, nie chcemy jednak wdawa´c sie

w analize

przyk lad´ow. Om´owimy jeszcze jedno bardzo proste zastosowanie ca lek w ﬁzyce.

Srodek masy

Przypomnijmy, ˙ze ´srodkiem masy uk ladu dw´och punkt´

ow materialnych A, B , kt´orych masy

r´owne m

, m

nazywamy taki punkt C odcinka AB , ˙ze |AC| m

= |BC| m

(prawo

d´zwigni). Za l´o˙zmy, ˙ze A = (x

, y

, z

) , B = (x

, y

, z

) . Z twierdzenia Pitagorasa zas-

tosowanego dwukrotnie wynika, ˙ze

|AB| =

p(x

− x

)

+ (y

− y

)

+ (z

− z

)

— jest to d lugo´s´c przeka

tnej prostopad lo´scianu (by´c mo˙ze zdegenerowanego do prostoka

ta lub

odcinka), kt´orego krawe

dzie sa

r´ownoleg le do osi uk ladu wsp´

o lrze

dnych i kt´

orego przeciwleg lymi

wierzcho lkami sa

punkty A i B . Powinna by´c spe lniona r´

owno´s´c

C = A +

(B − A) =

= x

− x

), y

− y

), z

− z

)

A +

B .

Przyjmujemy tu, ˙ze dodajemy punkty (lub wektory) sumuja

c ich pierwsze wsp´

o lrze

dne, potem

drugie i trzecie. To samo dotyczy mno˙zenia punktu (wektora) przez liczbe

Przyjmuje sie

, ˙ze ´srodek masy uk ladu 3 punkt´

ow jest ´srodkiem masy pary punkt´ow, z kt´o-

rych jeden to kt´

orykolwiek z rozpatrywanej tr´

ojki, a drugi to ´srodek masy pozosta lych dw´och.

Deﬁnicja ta nie zale˙zy, jak sie

za chwile

przekonamy od tego, jak tr´

ojke

,,dzielimy”. Gdyby

stwierdzenie to nie by lo prawda

, to deﬁnicja musia laby by´c zmieniona jako niezbyt dobrze

nadaja

ca sie

do opisu rzeczywisto´sci. Podobnie deﬁniujemy ´srodek masy wie

kszej liczby punkt´ow

materialnych: wybieramy dwa i zaste

pujemy je ich ´srodkiem masy (jego masa

jest suma mas).

Stosuja

c te

deﬁnicje

do punkt´

ow A

= (x

, y

, z

) , A

= (x

, y

, z

) , . . . , A

= (x

, y

, z

)

stwierdzamy, ˙ze ich ´srodek masy to

C =

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ · · · +

+ m

+ · · · + m

, czyli

C =

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

Z tego wzoru natychmiast wynika, ˙ze kolejno´s´c punkt´

ow jest nieistotna. Wada

tego okre´slenia

jest to, ˙ze uk lady z lo˙zone ze sko´

nczenie punkt´

ow (np. n ) materialnych nie sa

jedynymi, z kt´o-

rymi mamy do czynienia. Wyste

puja

te˙z inne, np. cia la sztywne itp. Poka˙zemy teraz na

przyk ladach jak poje

cie ´srodka masy mo˙ze by´c uog´

olnione na inne przypadki.

Zaczniemy od ,,tworu jednowymiarowego”. Be

dziemy my´sle´c dla prostoty o cienkim, jed-

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

norodnym

drucie, kt´ory ma kszta lt wykresu funkcji f : [a, b] −→ R . Wyobra´zmy sobie, ˙ze drut

sk lada sie

z kr´otkich ,,kawa lk´ow” odpowiadaja

cych podzia lowi przedzia lu [a, b] na przedzia ly

, x

] , [x

, x

] , . . . , [x

n−1

, x

] , przy czym a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b.

Poniewa˙z te kawa lki sa

kr´otkie, wie

c wydaje sie

rozsa

dnym za lo˙zenie, ˙ze ´srodek masy i –tego

kawa lka to punkt (t

, f (t

)) .* Za lo˙zyli´smy, ˙ze drut jest jednorodny, co oznacza, ˙ze mo˙zna

przyja

´c, ˙ze masa jest proporcjonalna do d lugo´sci. D lugo´s´c kawa lka odpowiadaja

cego przedzia-

lowi [x

i−1

, x

] to

i−

p1 + (f

′

(t))

dt . Przyjmuja

c, ˙ze masa w la´sciwa jest r´

owna ̺ mo˙zemy

przyja

´c, ˙ze masa i –tego kawa lka jest r´owna

i−

p1 + (f

′

(t))

dt ≈ ̺(x

− x

i−1

)

p1 + (f

′

))

Wobec tego pierwsza wsp´o lrze

dna ´srodka masy drutu jest w przybli˙zeniu r´

owna

·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+t

·̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

Na mocy twierdzenia o sumach Riemanna wielko´s´c ta jest w przybli˙zeniu r´

owna

p1 + (f

′

(t))

p1 + (f

′

(t))

Dla drugiej wsp´

o lrze

dnej ´srodka masy drutu otrzymujemy kolejno wyra˙zenia

f (t

)·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+f (t

)·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+f (t

)·̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

oraz

f (t)

p1 + (f

′

(t))

p1 + (f

′

(t))

Przyk lad 11.15

Sprawdzimy jak uzyskane wzory dzia laja

w przypadku odcinka. Przyjmi-

jmy, ˙ze f (x) = kx + l , gdzie k, l sa

ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Rozwa˙zamy funkcje

na przedziale domknie

tym [a, b] . Dla prostoty przyjmujemy, ˙ze ̺ = 1 . Oczywi´scie f

′

(x) = k

dla ka˙zdego x ∈ [a, b] . Niech C = (c

, c

) oznacza ´srodek masy odcinka, kt´

orego ko´

ncami sa

punkty a, f (a)

= a, ka + l , b, f (b) = b, kb + l . Stosuja

c wyprowadzone wzory otrzymu-

jemy

√

1+k

√

1+k

b2−a2

√

1+k

(b−a)

√

1+k

b+a

oraz

(kt+l)

√

1+k

√

1+k

b2−a2

+l(b−a)

√

1+k

(b−a)

√

1+k

= k

b+a

+ l .

Jak wida´c otrzymali´smy ´srodek odcinka, czego nale˙za lo oczekiwa´c.

Przyk lad 11.16

Teraz zajmiemy sie

lukiem okre

gu x

+ y

= 1 , kt´

orego ko´

ncami sa

punkty

(cos α, sin α) i (cos β, sin β) , 0 ≤ β < α ≤ π . Zn´ow zak ladamy, ˙ze ̺ = 1 . Luk wybrali´smy tak,

Troche֒ nacia֒gamy. Jak sie֒ za chwile֒ przekonamy, ´srodek cia la masy wcale nie musi by´c punktem tego tego cia la,

najprostszy przyk lad, to sko´

nczony uk lad punkt´

ow, a inny to luk okre֒gu. Ju˙z nied lugo!

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

by mie´sci l sie

w ca lo´sci w g´ornym p´o lokre

gu, bo m´owimy jedynie o wykresach funkcji. W tym

wypadku o wykresie funkcji

√

1 − x

, kt´orej pochodna

jest

√

1 − x

′

1
2

(1 − x

)

−1/2

· (−2x) =

−x

√

1−x

Niech C = (c

, c

) oznacza ´srodek masy tego luku. Mamy wie

c jak poprzednio

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

−

√

1−t

cos β

cos α

−arccos(t)

cos β

cos α

sin α−sin β

α−β

— przypomnie´c warto, ˙ze arccos to funkcja odwrotna do funkcji cos rozpatrywanej na prze-

dziale [0, π] . Wz´or na jej pochodna

mo˙zna wywnioskowa´c z r´

owno´sci x = arccos(cos x) ; na

przedziale [0, π] funkcja sinus przyjmuje jedynie nieujemne warto´sci, wie

√

1 − cos

α = sin α

oraz

p1 − cos

β = sin β . Analogicznie

cos β

cos α

√

1−t

−t

√

1−t2

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

cos β

cos α

−arccos(t)

cos β

cos α

cos β−cos α

α−β

Wobec tego ´srodkiem masy jednorodnego luku o ko´

ncach (cos α, sin α) i (cos β, sin β) jest

sin α−sin β

α−β

cos β−cos α

α−β

Jest on odleg ly od ´srodka okre

gu o

sin α−sin β

α−β

cos β−cos α

α−β

sin

α−2 sin α sin β+sin

β+cos

β−2 cos β cos α+cos

(α−β)

cos(β−α)=cos β cos α+sin β sin α

=======================

2−2 cos(β−α)

(α−β)

cos(2γ)=1−2 sin

=============

4 sin

2 α−β

(α−β)

sin

α−β

< 1 .

Widzimy wie

c, ˙ze ´srodek masy tego luku znajduje sie

poza tym lukiem. Mo˙zna sobie wyobrazi´c,

˙ze do luku do la

czono cie

ciwe

, na kt´

orej jest on oparty i obszar ograniczony przez luk i cie

ciwe

wype lniono substancja

doskonale sztywna

o masie 0, masa cie

ciwy jest r´

ownie˙z r´owna 0. Wtedy

´srodek masy tego nowego (abstrakcyjnego) tworu pokrywa sie

ze ´srodkiem masy luku i mo˙zna

my´sle´c, ˙ze jest to punkt, w kt´

orym to cia lo nale˙zy podeprze´c, by mia lo szanse znale´z´c sie

w r´ow-

nowadze w polu grawitacyjnym Ziemi. Nie wydaje sie

, by ten wynik by l ca lkiem oczywisty, cho´c

oczywi´scie nie u˙zywaja

c ca lek te˙z mo˙zna go uzyska´c (niekoniecznie w p´

o l minuty).

Uwaga 11.12 Je´sli a < b < c i f : [a, c] → R jest funkcja

o cia

g lej pochodnej, C

= (x

, y

)

jest ´srodkiem masy wykresu funkcji f : [a, b] −→ R , C

= (x

, y

) — ´srodkiem masy wykresu

funkcji f : [b, c] −→ R przy za lo˙zeniu, ˙ze ̺ = 1 , to ´srodkiem masy wykresu funkcji f: [a, c] −→ R
jest punkt

C =

gdzie m

1 + f

′

(t)

dt , m

1 + f

′

(t)

dt sa

masami odpowiednio wykres´ow

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

funkcji f : [a, b] → R i f: [b, c] → R .
Wynika to natychmiast z wzoru

g(t) dt =

g(t) dt +

g(t) dt : je´sli C = (u, v) , to

u =

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

oraz

v =

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

Oznacza to, ˙ze deﬁnicja ´srodka masy, kt´

ora

podali´smy jest niesprzeczna z czynionym w trakcie

wyprowadzania wzoru na jego wsp´

o lrze

dne za lo˙zeniem, ˙ze mo˙zna fragmenty cia la zaste

powa´c

ich ´srodkami masy i traktowa´c p´

o´zniej jako punkty materialne.

Przyk lad 11.17

(Tr´

ojka

)

Znajdziemy ´srodek obwodu tr´

ojka

ta, zn´

ow zak ladamy, ˙ze ̺ = 1 , kt´

orego wierzcho lkami sa

punkty A, B, C ∈ R

. Za l´

o˙zmy, ˙ze boki le˙za

ce naprzeciwko wierzcho lk´

ow A , B i C maja

odpowiednio d lugo´sci a , b i c , czyli ˙ze masy tych bok´

ow r´

owne sa

a, b, c . Wtedy ´srodkami

mas bok´

ow a , b i c sa

punkty

B+C

C+A

A+B

, w kt´

orych umieszczono masy a , b i c .

Zgodnie z om´

owionymi wcze´sniej wzorami ´srodkiem masy tego uk ladu trzech punkt´ow materi-

alnych jest punkt

M =

a+b+c

B+C

a+b+c

A+C

a+b+c

A+B

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

Mo˙zna te˙z spojrze´c na te

r´

owno´s´c inaczej: umieszczono w wierzcho lku A mase

b + c , w wierz-

cho lku B — mase

c + a , w wierzcho lku C — mase

a + b , wtedy ´srodkiem masy uk ladu tych

trzech punkt´

ow materialnych jest punkt

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C ,

czyli ´srodek masy obwodu tr´

ojka

ta. Mo˙zna zapyta´c: w jakich tr´

ojka

tach ´srodek masy obwodu

tr´ojka

ta pokrywa sie

z punktem

A+B+C

, czyli ´srodkiem masy uk ladu trzech punkt´ow materi-

alnych A, B, C z r´

ownymi masami? Odpowied´z na to pytanie jest prosta, je´sli punkty A, B, C

nie le˙za

na jednej prostej (czyli sa

wierzcho lkami tr´

ojka

ta). Jest tak w tr´

ojka

cie r´ownobocznym

(oczywiste) i tylko w nim, co zaraz wyka˙zemy. Rzecz w tym, ˙ze je´sli te dwa punkty pokrywaja

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

sie

, to

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C = A +

c+a

2(a+b+c)

(B − A) +

a+b

2(a+b+c)

(C − A) oraz

A+B+C

= A +

1
3

(B − A) +

1
3

(C − A) .

Wobec tego z r´owno´sci

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C =

A+B+C

wynika, ˙ze

c+a

2(a+b+c)

−

1
3

(B − A) = −

b+a

2(a+b+c)

1
3

(C − A) , a poniewa˙z wektory

−−−−→

B − A

−−−−→

C − A nie sa

r´ownoleg le,* wie

c musza

zachodzi´c r´owno´sci:

c+a

2(a+b+c)

−

1
3

= 0 = −

b+a

2(a+b+c)

1
3

one r´ownowa˙zne r´owno´sciom a + c = 2b i a + b = 2c . Z nich wynika, ˙ze 2b − c = a = 2c − b ,

wie

c 3b = 3c , czyli b = c . Wtedy r´ownie˙z a = b , co oznacza, ˙ze tr´

ojka

t jest r´

ownoboczny.

Warto jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli w wierzcho lkach tr´ojka

ta umie´scimy r´

owne masy, to ´srodkiem

masy uk ladu takich trzech punkt´ow materialnych be

dzie punkt przecie

cia ´srodkowych tr´ojka

ta,

czyli punkt zwany ´srodkiem cie

˙zko´sci tr´ojka

ta. Jest tak, bo ´srodek masy uk ladu dw´och punkt´ow

materialnych A, B o r´ownych masach m, ´srodek odcinka la

cza

cego te punkty, w kt´orym

umieszczamy mase

2m . Teraz szukamy ´srodka masy punktu C z masa

m i punktu

A+B

z masa

2m . Jest to punkt

m+2m

C +

m+2m

A+B

A+B+C

, zgodnie z obietnica

Zadanko: wykaza´

c, ˙ze w przypadku punkt´

A, B, C le˙za

cych na jednej prostej wypowiedziane

wy˙zej twierdzenie nie jest prawdziwe, czyli poda´

c przyk lad trzech punkt´

ow materialnych

A, B, C

le˙za

cych na jednej prostej, kt´

orych ´srodkiem masy jest punkt

A+B+C

, chocia˙z masy w nich

umieszczone nie sa

r´

owne.

Warto doda´c, ˙ze w r´

o˙znych przypadkach nie mo˙zna zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest sta la, np.

cze

´s´c drutu mo˙ze by´c zrobiona z jednego metalu, inna cze

´s´c z drugiego. W przypadku badania

ruchu np. statku kosmicznego, te˙z nie bardzo mo˙zna zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest sta la: inna

maja

np. ´sciany (pancerz!), inna

kosmonauci, jeszcze inna

powietrze, kt´

orym oddychaja

ludzie.

Ten komentarz wyja´snia, ˙ze w zasadzie nawet trudno zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest cia

g la, na

og´

o l nie jest, ale takimi kwestiami zajmowa´c sie

nie be

dziemy. Za l´

o˙zmy na razie, ˙ze mamy do

czynienia z cia lem, kt´

orego kszta lt jest dobrze opisany jako wykres funkcji f : [a, b] −→ R , kt´ora

ma cia

g la

pochodna

w przedziale [a, b] . My´slimy o warto´sci funkcji ̺ jak o granicy ilorazu

m(x

)

ℓ(x

)

, liczba ℓ(x

, x

) oznacza d lugo´s´c fragmentu wykresu funkcji f , kt´

orego ko´

ncami sa

punkty (x

, f (x

)) i (x

, f (x

)) , a liczba m(x

, x

) — jego mase

, x

≤ x ≤ x

, przechodzimy

do granicy przy x

− x

−→ 0 . Zak ladamy, ˙ze ta granica istnieje i ˙ze jest funkcja

cia

g la

na x [a, b] .

Niech a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b be

takimi punktami przedzia lu [a, b] , ˙ze

r´

o˙znice x

− x

i−1

,,ma le” dla i = 1, 2, . . . , n . Niech x

i−1

≤ t

≤ x

. W takiej sytuacji masa

bo punkty A,B,C nie le˙za֒ na jednej prostej.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

wykresu funkcji f : [a, b] −→ R jest r´owna w przybli˙zeniu

̺(t

)

− x

)

+ f (x

) − f(x

)

+ ̺(t

)

− x

)

+ f (x

) − f(x

)

+ · · · +

+ ̺(t

)

− x

n−1

)

+ f (x

) − f(x

n−1

)

= ̺(t

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ ̺(t

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ · · · +

+ ̺(t

)(x

− x

n−1

)

1 + f

′

(τ

)

istnienie liczb τ

, τ

, . . . , τ

wynika z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej; oczywi´scie

i−1

< τ

< x

dla i = 1, 2, . . . , n . Liczby t

, t

, . . . , t

zosta ly wybrane dowolnie z przedzia l´ow

, x

] , [x

, x

] , . . . , [x

n−1

, x

] . Wobec tego nic nie stoi na przeszkodzie, by przyja

´c, ˙ze t

= τ

dla wszystkich i . Wtedy masa wykresu funkcji f : [a, b] −→ R r´owna jest w przybli˙zeniu

̺(τ

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ ̺(τ

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ · · · +

+ ̺(τ

)(x

− x

n−1

)

1 + f

′

(τ

)

Prowadzi to, na mocy twierdzenia o sumach Riemanna, do stwierdzenia, ˙ze masa krzywej r´owna

jest

̺(t)

1 + f

′

(t)

dt .

Mo˙zemy teraz zastanowi´c sie

nad wsp´

o lrze

dnymi ´srodka masy tej krzywej.

Oznaczmy go

przez C = (c

, c

) . Rozumuja

c tak, jak w przypadku sta lej ge

sto´sci otrzymujemy przybli˙zone

r´

owno´sci:

≈

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

(τ

))

+···+τ

̺(τ

)̺(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

(τ

))

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

))

+···+̺(τ

)(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

))

oraz

≈

f (τ

)̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

(τ

))

+···+f (τ

)̺(τ

)̺(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

(τ

))

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

))

+···+̺(τ

)(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

))

Sta

d i z twierdzenia o sumach Riemanna wnioskujemy, ˙ze

t̺(t)

√

1+(f

′

(t))

̺(t)

√

1+(f

′

(t))

f (t)̺(t)

√

1+(f

′

(t))

̺(t)

√

1+(f

′

(t))

Z punktu widzenia matematyka te r´

owno´sci to deﬁnicja ´srodka masy, dla ﬁzyka to zapewne

twierdzenie, kt´

orego dow´

od podany zosta l wy˙zej.

Zajmiemy sie

teraz ´srodkiem masy obszaru p laskiego. Dla uproszczenia zajmowa´c sie

dziemy obszarem postaci G = {(x, y) :

a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} , gdzie f: [a, b] −→ [0, ∞)

oznacza funkcje

cia

g la

. Zak ladamy od razu, ˙ze masa nie ma sta lej ge

sto´sci i oznaczamy ge

sto´s´c

masy przez ̺(x, y) — deﬁnicja ge

sto´sci analogiczna do poprzednio podanej z tym, ˙ze teraz

rozpatrujemy zbiory dwuwymiarowe, wie

c mo˙zemy np. dzieli´c mase

ma lego ko la przez jego pole

i oblicza´c granice

zak ladaja

c, ˙ze promie´

n da

˙zy do 0 . Tak jak poprzednio zak ladamy, ˙ze ̺ jest

funkcja

cia

g la

w zbiorze G .

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Zn´ow podzielimy przedzia l [a, b] na kr´otkie przedzia ly:

a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b .

Zaczniemy od jednego pionowego ,,paska”:

= {(x, y) :

i−1

≤ x ≤ x

, 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Mo˙zna przyja

´c, ˙ze ze wzgle

du na cia

g lo´s´c ge

sto´sci masy ̺ i znikoma

szeroko´s´c S

sto´s´c

zale˙zy tylko od zmiennej y . Rozumuja

c tak jak w przypadku krzywej dochodzimy do wniosku,

˙ze ´srodek masy zbioru S

(ti)

s̺(t

,s)ds

(ti)

̺(t

,s)ds

, gdzie t

oznacza odpowiednio dobrany punkt

przedzia lu [x

i−1

, x

] . Mo˙zna wie

c przyja

´c (i to w la´sciwie robimy), ˙ze ´srodkiem masy pionowego

odcinka o ko´

ncach (x, 0) , (x, f (x)) jest punkt

(x)

s̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

i ˙ze masa w nim skupiona to

f (x)

̺(x, s)ds . Niech C = (c

, c

) oznacza poszukiwany ´srodek masy obszaru G . Rozumuja

tak jak poprzednio stwierdzamy, ˙ze

(x)

̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

s̺

(x,s)ds

(x)

(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

s̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

Widzimy, ˙ze w obu wzorach mianownik jest taki sam: to masa zbioru G . W liczniku ca lkujemy

raz pierwsza

wsp´

o lrze

dna

wymno˙zona

przez ge

sto´s´c masy, raz druga

. Doda´c nale˙zy, ˙ze mo˙zna

rozpatrze´c zbi´

or ograniczony z g´

ory wykresem funkcji cia

g lej g: [a, b] −→ R i z do lu wykresem

funkcji cia

g lej f : [a, b] −→ R za lo˙zywszy, ˙ze f(x) ≤ g(x) dla a ≤ x ≤ b . Jest mniej wie

cej

jasne, ˙ze uzyskane wzory be

wygla

da´c tak:

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

s̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

(´sr.m.)

Podkre´sli´c wypada, ˙ze rozwa˙zania poprzedzaja

ce te wzory to nie dow´

od (przynajmniej nie

z punktu widzenia matematyka) — sa

to argumenty za przyje

ciem, ˙ze wzory (´sr.m.) deﬁniuja

´srodek masy zbioru G = {x, y:

a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja

cia

g la ̺: G −→ [0, ∞) jest ge

sto´scia

masy. Zapewne ﬁzyk teoretyk by lby sk lonny zgodzi´c sie

z matematykiem, ale ﬁzyk eksperymentator uzna lby te rozwa˙zania za dow´

od. Nie be

dziemy teraz

rozwa˙za´c ˙zadnych przyk lad´

ow ze zmienna

sto´scia

masy, wie

c na zako´

nczenie tych rozwa˙za´

napiszmy jeszcze, ˙ze w przypadku sta lej ge

sto´sci, dla prostoty przyjmujemy ̺ ≡ 1 , otrzymujemy

x g(x)−f (x)

g(x)−f (x)

(x)

sds

g(x)−f (x)

1
2

(g(x))

−(f (x))

g(x)−f (x)

(´sr.m.’)

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Przyk lad 11.18

Znajdziemy teraz ´srodek masy tr´

ojka

ta zak ladaja

c, ˙ze ge

sto´s´c masy r´owna

jest 1 we wszystkich jego punktach (tzn. tr´ojka

t jest jednorodny). Za l´

o˙zmy, ˙ze wierzcho lkami

tr´ojka

ta sa

punkty A = (0, 0) , B = (b

, b

) i C = (c

, c

) przy czym 0 ≤ c

≤ b

, b

> 0 .

Oczywi´scie zak ladamy, ˙ze A 6= B 6= C 6= A . Zak ladamy te˙z, ˙ze −b

+ b

> 0 , ten warunek

m´owi, ˙ze punkt C le˙zy ,,nad” prosta

−b

x + b

y = 0 , kt´

ora przechodzi przez punkty A i B .

♥

Niech f (x) =

x . Wykresem funkcji f jest prosta AB . Ograniczmy jej dziedzine

do przedzia-

lu [0, b

] . Wtedy jej wykresem jest odcinek AB. Na tym samym przedziale okre´slimy funkcje

g :

g(x) =

x dla 0 ≤ x ≤ c

i g(x) =

−c

(x − c

) + c

−c

(x − b

) + b

dla c

≤ x ≤ b

oczywi´scie je´sli c

= 0 — obowia

zuje jedynie drugi wz´

or, a je´sli c

= b

— tylko pierwszy.

Funkcje f, g zdeﬁniowali´smy, by m´oc stwierdzi´c, ˙ze zbi´

G = {(x, y) :

0 ≤ x ≤ b

, f (x) ≤ y ≤ g(x)}

jest tr´ojka

tem o wierzcho lkach A, B, C i zastosowa´c wzory na wsp´

o lrze

dne ´srodka masy tak

okre´slonego zbioru. Niech M = (m

, m

) be

dzie ´srodkiem masy G . Znajdziemy najpierw pole

|G| tr´ojka

ta G . Mamy

|G| =

g(x) − f(x)

dx = R

g(x) − f(x)

dx + R

g(x) − f(x)

dx =

−

xdx + R

−c

(x − b

) + b

−

dx =

−b

x dx +

−c

(x − b

) −

(x − b

)

dx =

−b

x dx +

−c

−

(x − b

)dx =

−b

−c

)

(x−b

)

−b

2
1

−

−b

−c

)

−b

)

−b

+ b

− c

) =

1
2

− b

— otrzymali´smy wz´

or na pole tr´

ojka

ta, oczywi´scie mogli´smy obej´s´c sie

bez ca lek, ale z ca lkami

jest wygodniej ze wzgle

du na stosowany tu opis tr´

ojka

ta. Teraz trzeba znale´z´c jeszcze dwie

ca lki. Mamy

|G| =

x g(x) − f(x)

dx = R

x g(x) − f(x)

dx + R

x g(x) − f(x)

dx =

−

dx +

−c

(x − b

) + b

−

dx =

−c

dx +

−c

(x − b

) −

(x − b

)

dx =

−c

dx +

−c

−

− b

x)dx =

−c

−b

−c

)

− b

♥

Ka˙zdy tr´

ojka֒t mo˙zna przesuna֒´c bez obracania, tak, by jego skrajny lewy punkt znalaz l sie֒ na osi OY , je´sli

tych skrajnych lewych punkt´

ow jest wiele, to na osi rze֒dnych znajduje sie֒ ca ly bok, tr´ojka֒t przesuwamy tak,

by najni˙zszy ze skrajnych lewych punkt´

ow znalaz l sie֒ w pocza֒tku uk ladu wsp´o lrze֒dnych. Jedyne ograniczaja֒ce

za lo˙zenie to c

≤b

, ale rozwa˙zenie drugiego przypadku nie nastre֒cza ˙zadnych trudno´sci. Zreszta֒, gdyby´smy

dopu´

scili obroty nie ograniczaja֒c sie֒ do przesuwania w og´ole ˙zadnych k lopot´ow tego rodzaju by nie by lo.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−c

3
1

−b

−c

)

3
1

−c

3
1

− b

2
1

−c

2
1

−b

2
1

−b

2
1

− b

2
1

−b

)

−b

2
1

−b

+2c

2
1

−b

)

+ b

− 2c

−b

)(b

)

zatem m

0+b

. Otrzymali´smy wz´or zgodny z obietnica

: pierwsza ´srodka masy

tr´ojka

ta jednorodnego to ´srednia arytmetyczna pierwszych wsp´

o lrze

dnych jego wierzcho lk´ow.

Znajdziemy druga

wsp´o lrze

dna

. ´

Srodek masy odcinka jednorodnego [f (x), g(x)] to oczywi´scie

f (x)+g(x)

, jego (umowna) masa to g(x) − f(x) , zatem

|G| =

1
2

g(x)

− f(x)

dx =

1
2

−

dx +

1
2

−c

(x − b

) + b

−

dx =

1
2

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

dx +

1
2

−c

(x − b

) + b

−

−c

(x − b

) + b

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

1
2

−b

−c

)

(x − b

)

−b

−c

)

(x − b

) + 2b

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

1
2

−b

−c

)

−b

−c

)

(x − b

)

+ 2b

−b

−c

)

(x − b

)

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−b

)(2b

−b

)

−c

)

(x − b

)

+ b

−b

−c

)

(x − b

)

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−

−b

)(2b

−b

)

−c

)

− b

)

+ b

−b

−c

)

− b

)

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−(b

−b

)(2b

−b

)(c

−b

)+3b

−b

)(c

−b

)

= (b

− b

)

+(2b

−b

)(c

−b

)−3b

−b

)

= (b

− b

)

−b

−(−b

−b

= (b

− b

)

−b

Wynika sta

d, ˙ze m

0+b

, a to jest wynik, kt´

ory chcieli´smy uzyska´c. Po d lugich

i cie

˙zkich cierpieniach zako´

nczyli´smy dow´

od tego, ˙ze ´srodek cie

˙zko´sci tr´

ojka

ta jest ´srodkiem

masy jednorodnego tr´

ojka

ta. No i nareszcie KONIEC!

Poka˙zemy jak mo˙zna to rozumowanie skr´

oci´c. Zaczniemy od pola tr´

ojka

ta. Znajdziemy

najpierw odleg lo´s´c punktu C = (c

, c

) od prostej b

x − b

y = 0 . Prosta sk lada sie

z punkt´ow

postaci (tb

, tb

) , t ∈ R . Znajdziemy najmniejsza

z liczb

p(c

− tb

)

+ (c

− tb

)

. Mamy

− tb

)

+ (c

− tb

)

= t

+ b

) − 2t(b

+ b

) + c

+ c

= (b

+ b

) t −

−

)

+ c

Sta

d wynika, ˙ze najmniejsza warto´s´c wyra˙zenia (c

− tb

)

+ (c

− tb

)

jest r´

owna

−

)

+ c

2
1

2
2

)(c

2
1

2
2

)−(b

)

2
1

2
2

2
1

2
2

−(b

2
1

2
2

+2b

)

2
2

2
1

2
2

−2b

−b

)

Wynika sta

d, ˙ze odleg lo´s´c punktu C = (c

, c

) od prostej b

x−b

y = 0 jest r´

owna

−b

√

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−b

√

♥

Znale´zli´smy wysoko´s´c tr´ojka

ta ABC . Jego pole to

| △ (ABC)| =

1
2

+ b

−b

√

−b

A teraz ju˙z pora na ´srodek masy tr´ojka

ta ABC ale ,,na raty”. Punkt D := (c

) le˙zy

na boku AB tr´ojka

ta ABC . Je´sli 0 < c

< b

, to odcinek CD dzieli tr´

ojka

t ABC na dwa

tr´ojka

ty ADC i DBC .

Zachodzi r´owno´s´c | △ (ADC)| =

1
2

· c

−

− b

♠

Niech E = (e

, e

)

oznacza ´srodek masy tr´ojka

ta ADB . Mamy w tej sytuacji

· | △ (ADC)| = e

− b

= R

x −

dx = R

−c

dx =

−c

3
1

−b

2
1

zatem e

2
3

1
3

0 + c

+ c

. Naste

pnie

· | △ (ADC)| = e

− b

= R

1
2

−

dx =

1
2

−

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

3·2b

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

3·2b

−b

)(b

)

3·2b

zatem e

1
3

0 + c

Pole tr´

ojka

ta DBC r´

owne jest

1
2

− c

) c

−

−c

− b

♣

Niech F = (f

, f

) oznacza ´srodek cie

˙zko´sci tr´

ojka

ta DBC . Mamy wie

· | △ (DBC)| = f

−c

− b

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

dx = R

−c

−

− b

x) dx =

= −

−b

−c

)

− b

x) dx = −

−b

−c

)

− b

= −

−b

−c

)

3
1

−c

3
1

− b

2
1

−c

2
1

= −

−b

2(b

+ b

+ c

) − 3b

+ c

)

= −

−b

− b

+ 2c

−b

− c

+ b

− c

−b

)(b

−c

)

1
3

· b

+ c

Wobec tego f

1
3

· (b

+ c

) .

Znajdziemy druga

wsp´

o lrze

dna

´srodka masy tr´

ojka

ta DBC . Zachodza

r´

owno´sci

· | △ (DBC)| = f

−c

− b

1
2

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

dx =

−c

6(b

−c

)

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

−c

6(b

−c

)

−

−c

6(b

−c

)

−c

6(b

−c

)

− c

−

2
2

− c

−c

+ b

+ c

) − b

+ b

+ c

)

♥

Za lo˙zyli´

smy na wste֒pie, ˙ze b

−b

>0 .

♠

Podstawa֒ jest bok CD

♣

Podstawa֒ jest bok CD

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−c

− b

) + (b

+ b

)(b

− b

)

−c

)(b

−b

)

+ b

−c

)(b

−b

)

1
3

· b

+ c

Wobec tego f

1
3

· b

+ c

Kilka zada´

int. 01 Obliczy´c obje

to´s´c sto˙zka obrotowego o promieniu podstawy r > 0 i wysoko´sci h > 0 .

int. 02 Obliczy´c obje

to´s´c ostros lupa o polu podstawy P > 0 i wysoko´sci h > 0 .

int. 03 Obliczy´c obje

to´s´c elipsoidy

≤ 1 .

int. 04 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu: y

= 4x

, przy czym y ≥ 0,

0 ≤ x ≤

8
9

int. 05 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = 2

√

x , przy czym 1 ≤ x ≤ 9 .

int. 06 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = ln x , przy czym 1 ≤ x ≤ 2 .
int. 07 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = ln cos x , przy czym 0 ≤ x ≤

int. 08 Por´owna´c ca lki nie obliczaja

c ich:

1
2

sin

x dx

1
2

sin

x dx,

−x

dx .

int. 09 Okre´sli´c znak ca lki

2π

x sin x dx,

1
2

ln x dx ,

−2

dx,

2π

sin x

dx .

int. 10 Obliczy´c ca lki niew la´sciwe

1−x

dx ,

√

x dx ,

∞

−x

dx , wiedza

c, ˙ze

∞

−x

dx =

1
2

√

π ,

∞

−x

dx .

int. 11 Obliczy´c granice

cia

gu (a

) przez obliczenie pewnej ca lki, je´sli a

(a)

n+1

n+2

+ . . .

n+n

(b)

+ . . . +

(c)

√

(d)

+···+n

int. 12 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

dx jest sko´

nczona?

int. 13 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

∞

dx jest sko´

nczona?

int. 14 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

∞

x ln

dx jest sko´

nczona?

int. 15 Wykaza´c, ˙ze ca lka

∞

sin x

dx jest zbie˙zna, za´s ca lka

∞

sin x

dx jest rozbie˙zna.

int. 16 Obliczy´c pochodna

funkcji f , je´sli f (x) =

x+1

dt ,

x−1

dt ,

x−1

dt .

int. 17 Obliczy´c ca lke

|x−5|

x−5

+ 1) dx – w punkcie 5 funkcja podca lkowa nie jest zdeﬁniowana,

−1

(|x|)

′

+ x) dx – w punkcie 0 funkcja podca lkowa nie jest zdeﬁniowana,

−1

|x| dx ,

−10

− 5x + 6| dx .

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

int. 18 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego luku paraboli y = x

, 0 ≤ x ≤ 3 .

int. 19 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru {(x, y): 0 ≤ y ≤ x

, 0 ≤ x ≤ 3} .

int. 20 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego luku sinusoidy y = sin x , 0 ≤ x ≤ π .

Jedna z ca lek jest nieelementarna, ale mo˙zna skorzysta´

c z symetrii

D lugo´s´c sinusoidy te˙z nie da sie

, wyrazi´c za pomoca

, funkcji elementarnych, wie

c prosze

o przybli˙zenie. Aby oszacowa´c z do lu nale˙zy np. rozpatrzy´c punkty (0, sin 0) , (

, sin

) ,

(

, sin

) , (

, sin

) , (

, sin

) i znale´z´c d lugo´s´c lamanej (nale˙zy skorzysta´c ze sprze

elektronicznego). Aby oszacowa´c z g´ory nale˙zy z wymienionych punkt´

ow poprowadzi´c

proste styczne do wykresu funkcji sinus, znale´z´c punkty przecie

cia stycznych w kolejnych

punktach i obliczy´c d lugo´s´c lamanej opisanej na luku sinusoidy zaczynaja

cym sie

w punkcie

(0, sin 0) a ko´

ncza

cym sie

w punkcie (

, sin

) . Por´

owna´c wyniki szacowania.

int. 21 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru {(x, y): 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ π} .
int. 22 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru ograniczonego parabolami 2x = y

i 2y = x

int. 23 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnej ´cwiartki elipsy

{(x, y):

≤ 1, 0 ≤ x, 0 ≤ y} .

int. 24 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnej p´

o lkuli o promieniu r > 0 .

int. 25 Zale´z´c ´srodek masy p´

o ltorusa, tj bry ly powsta lej w wyniku obrotu ko la o promieniu r > 0

wok´

o l prostej le˙za

cej w jego p laszczy´znie w odleg lo´sci R > r od ´srodka ko la.

int. 26 Wykaza´c, ˙ze je´sli 0 ≤ x ≤ 1 , to lim

n→∞

n(n + 1)x

(1 − x) = 0 i jednocze´snie zachodzi

r´

owno´s´c

n(n + 1)x

n−1

(1 − x)dx = 1 . Wynika sta

d, ˙ze nie mo˙zna wnioskowa´

c tego, ˙ze

ca lki da

˙za

0 z tego tylko, ˙ze funkcje podca lkowe da

˙za

0 .

int. 27

∗

Wyprowadzenie wzoru Wallisa

a. Niech I

π/2

sin

x dx . Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 2 za-

chodzi r´

owno´s´c I

n−1

n−2

. Dla dowodu mo˙zna dwukrotnie sca lkowa´c odpowiednie

funkcje przez cze

´sci: sin

x = sin x · sin

n−1

x = sin

n−1

x · (− cos x)

′

, . . .

b. Obliczy´c I

oraz I

, a naste

pnie I

i I

2n+1

dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 0 .

c. Wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

= 0 .

d. Wykaza´c, ˙ze cia

g (I

) jest maleja

cy oraz ˙ze lim

n→∞

2n+1

= 1 .

e. Wykaza´c, ˙ze

= lim

n→∞

2n+1

2·4·...·2n

1·3·...·(2n−1)