Caªki oznaczone

Zadanie 1. Obliczy¢ caªki oznaczone:

1

Z

0

x

2

(x + 1)

2

dx

,

ln 2

Z

0

√

e

x

− 1dx,

e

Z

1

4

√

1 + ln x

x

dx,

9

Z

4

√

xdx

√

x − 7

,

3

Z

−3

x

2

p

9 − x

2

dx,

2

Z

1

e

1

x2

x

3

dx,

e

Z

e

−1

| ln x| dx,

1

Z

0

xarctgx dx,

π

Z

0

p

sin x − sin

3

x dx,

8

Z

3

xdx

√

1 + x

,

e

2

Z

e

dx

x ln x

,

π

2

Z

−

π

2

p

cos x − cos

3

x dx,

2

Z

0

f (x) dx

,

gdzie

f (x) =



x

2

dla

0 ≤ x ≤ 1

2 − x

dla

1 ≤ x ≤ 2

,

3

Z

0

sgn x − x

3

dx

,

gdzie

sgn x =







−1 dla x < 0

0

dla

x = 0

1

dla

x > 0

.

Zadanie 2. Obliczy¢ warto±ci caªek niewla±ciwych, o ile istniej¡:

1.

∞

Z

0

e

−x

dx,

2.

∞

Z

−∞

dx

x

2

+ 1

,

3.

0

Z

−∞

dx

x

2

− 1

,

4.

1

Z

0

dx

√

x

,

5.

4

Z

1

dx

(x − 1) (x − 4)

,

6.

∞

Z

0

xdx

x

2

+ 6

,

7.

0

Z

−∞

x

2

dx

x

2

+ 1

,

8.

∞

Z

3

dx

x ln x

,

9.

4

Z

3

dx

x (x − 4)

,

10.

0

Z

−2

x

−

2
3

dx,

11.

∞

Z

−∞

dx

x

2

+ 6x + 12

,

12.

∞

Z

0

e

x

dx

(1 + e

x

)

2

,

13.

1

Z

0

ln xdx,

14.

1
2

Z

0

dx

x ln

2

x

,

15.

∞

Z

1

dx

x

√

1 + x

2

,

16.

π

2

Z

π

4

dx

sin

2

2x

.

(Odpowiedzi: 11.

π

√

3

, 12. 1, 13. -1, 14.

1

ln 2

, 15. ln 1 +

√

2

, 16. rozbie»na.)

Zadanie 3. Obliczy¢ pole gury ograniczonej krzywymi:

a) y = cos x, y = sin x, x = 0, x =

π

4

,

b) y = x

2

− 2x − 3,

y = −2x + 6

,

c) y = ctgx, x =

π

4

,

x =

π

2

,

d) y = e

2x

,

y = e,

x = 0

,

e) y =

√

x,

y = x

2

,

f) y

2

= 2x,

x + y = 1

,

g) y =

1

x

2

+1

,

x = 1,

x = −1

,

h) y = x

2

− x − 6,

y = −x

2

+ 5x + 14

,

i) y = 6x

√

1 − x

2

,

x = 0,

x = 1

,

j) y = arcsin x, x = −1, x = 1.

Zadanie 4. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego krzyw¡ o równaniu biegunowym r = g (ϕ) oraz promieniami:
ϕ = ϕ

1

i ϕ = ϕ

2

, je»eli:

a) g (ϕ) = 3ϕ, ϕ

1

= 0,

ϕ

2

= 2π

,

b) g (ϕ) = 2 (cos ϕ + 1) , ϕ

1

= 0,

ϕ

2

= 2π

,

c) g (ϕ) =

k

ϕ

,

ϕ

1

=

π

4

,

ϕ

2

= 2π,

k > 0,

d) g (ϕ) = 4pcos

2

ϕ,

ϕ

1

= 0,

ϕ

2

=

π

4

.

1

(Odpowiedzi: a) 12π

3

, b) 6π, c)

7k

2

4π

, d) 4 .)

Zadanie 5. Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku krzywej:

a) y = ln 1 − x

2

dla x ∈ [−

1
2

,

1
2

],

b) y = ln cos x

dla x ∈ [−

π

4

,

π

4

],

c) x = a (t − sin t) , y = a (1 − cos t)

dla t ∈ [0, 2π],

d) x = t

2

,

y = t −

1
3

t

3

dla t ∈ [0,

√

3],

e) 9y

2

= x (3 − x)

2

,

gdy 1 ≤ x ≤ 3, y ≥ 0,

f) r(ϕ) =

6

ϕ

,

gdy

3
4

≤ ϕ ≤

4
3

,

g) y = arcsin x +

√

1 − x

2

,

gdy −

1
2

≤ x ≤

1
2

,

h) x = r (cos t + t sin t) , y = r (sin t − t cos t) ,

gdy r > 0, 0 ≤ t ≤

√

2,

i) r = a sin

3 ϕ

3

,

gdy 0 ≤ ϕ ≤ 3π.

Zadanie 6. Obliczy¢ objeto±¢ bryªy powstaªej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi:

a) y

2

= x, x = 4

wokóª osi OX,

b) y = sin x, dla x ∈ [0, π]

wokóª osi OX,

c) y =

3

x

2

+9

dookoªa swojej asymptoty,

d) y = 4x, y = x, xy = 1 dookoªa osi OY dla y > 0,
e)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

dookoªa osi OY ,

f) x

2

− y

2

= 9

dla 3 ≤ x ≤ 3

√

2

.

Zadanie 7. Obliczy¢ pole powierzchni zakre±lonej przez obrót linii dookoªa osi OX:

a) y = sin x

dla 0 ≤ x ≤ π,

b) x

2

+ y

2

= 25

,

c) x

2
3

+ y

2
3

= a

2
3

.

(Odpowiedzi: a) 2π

√

2 + ln 1 +

√

2

, b) 100π, c)

12

5

πa

2

.

)

2