Całki krzywoliniowe I i II rodzaju

Zad 1. Oblicz całki:

a)

Z

L

xy ds, gdzie L jest obwodem prostok ˛

ata o wierzchołkach (0, 0), (0, 2), (4, 2) i (4, 0);

b)

Z

L

(x

2

+ y

2

)

n

ds, gdzie L jest okr˛egiem o promieniu a;

c)

Z

L

z

2

x

2

+ y

2

ds, gdzie L jest lini ˛

a ´srubow ˛

a: x = a cos t, y = a sin t, z = at, t ∈ [0, 2π].

Zad 2. Oblicz mas˛e krzywej:

a) L jest ´cwiartk ˛

a elipsy (x, y ≥ 0), ρ = y;

b) L jest opisana równaniami x = e

t

cos t, y = e

t

sin t, z = e

t

, t ∈ [0, τ ], a ρ jest proporcjonalne

do odwrotno´sci odległo´sci od pocz ˛

atku układu i ρ(1, 0, 1) = 1.

Zad 3. Oblicz całki: a)

Z

L

(x

2

− y

2

)dx, L – fragment paraboli y = x

2

od (0, 0) do (2, 4);

b)

Z

(1,1)

(0,0)

xydx + (y − x)dy wzdłu˙z 1) y

2

= x, 2) y = x

3

;

c)

Z

(π,2π)

(0,0)

−x cos ydx + y sin xdy.

Zad 4. Oblicz pola powierzchni figur wyci˛etych krzywymi:

a) kardioida (x = 2a cos t − a cos 2t, y = 2a sin t − a sin 2t);
b) (x + y)

3

= xy, wskazówka: y = xt.

Zad 5. Wyznacz funkcj˛e na podstawie jej ró˙zniczki:

a) du = x

2

dx + y

2

dy;

b) du = (2x cos y − y

2

sin x)dx + (2y cos x − x

2

sin y)dy;

c) du =

2x(1 − e

y

)dx + e

y

(1 + x

2

)dy

(1 + x

2

)

2

.