Całki krzywoliniowe I i II rodzaju
Zad 1. Oblicz całki:
a)
Z
L
xy ds, gdzie L jest obwodem prostok ˛
ata o wierzchołkach (0, 0), (0, 2), (4, 2) i (4, 0);
b)
Z
L
(x
2
+ y
2
)
n
ds, gdzie L jest okr˛egiem o promieniu a;
c)
Z
L
z
2
x
2
+ y
2
ds, gdzie L jest lini ˛
a ´srubow ˛
a: x = a cos t, y = a sin t, z = at, t ∈ [0, 2π].
Zad 2. Oblicz mas˛e krzywej:
a) L jest ´cwiartk ˛
a elipsy (x, y ≥ 0), ρ = y;
b) L jest opisana równaniami x = e
t
cos t, y = e
t
sin t, z = e
t
, t ∈ [0, τ ], a ρ jest proporcjonalne
do odwrotno´sci odległo´sci od pocz ˛
atku układu i ρ(1, 0, 1) = 1.
Zad 3. Oblicz całki: a)
Z
L
(x
2
− y
2
)dx, L – fragment paraboli y = x
2
od (0, 0) do (2, 4);
b)
Z
(1,1)
(0,0)
xydx + (y − x)dy wzdłu˙z 1) y
2
= x, 2) y = x
3
;
c)
Z
(π,2π)
(0,0)
−x cos ydx + y sin xdy.
Zad 4. Oblicz pola powierzchni figur wyci˛etych krzywymi:
a) kardioida (x = 2a cos t − a cos 2t, y = 2a sin t − a sin 2t);
b) (x + y)
3
= xy, wskazówka: y = xt.
Zad 5. Wyznacz funkcj˛e na podstawie jej ró˙zniczki:
a) du = x
2
dx + y
2
dy;
b) du = (2x cos y − y
2
sin x)dx + (2y cos x − x
2
sin y)dy;
c) du =
2x(1 − e
y
)dx + e
y
(1 + x
2
)dy
(1 + x
2
)
2
.