1
CAŁKA KRZYWOLINIOWA
Def
Krzywą o równaniu parametrycznym
gdzie
, nazywamy łukiem gładkim, jeŜeli
róŜnym wartościom parametru t odpowiadają róŜne punkty krzywej i jeŜeli istnieją ciągłe pochodne
,
, które w Ŝadnym punkcie nie są na raz równe 0.
JeŜeli krzywa daje się przedstawić jako suma skończonej liczby łuków gładkich, to nazywamy ją krzywą
regularną.
Def
KaŜdemu łukowi
dla
, moŜna nadać jedną z dwóch orientacji (kierunków). Punkt
, moŜemy ustalić jako początek, zaś , za koniec łuku, albo na odwrót. W pierwszym
przypadku kierunek łuku jest zgodny ze wzrostem parametru t. Mówimy, Ŝe łuk jest zorientowany
dodatnio. W drugim przypadku, mówimy Ŝe łuk jest zorientowany ujemnie.
Całka krzywoliniowa nieskierowana
Def
Niech f(x,y) będzie funkcją określoną w kaŜdym punkcie (x,y) krzywej regularnej K. Krzywą K rozcinamy
na n kolejnych krzywych K
1
, K
2
, …, K
n
. Liczbę
∆
, ∆
, … , ∆
nazywamy normą podziału
(
∆
, 1,2, … , długości tych krzywych). Na kaŜdej krzywej K
i
wybieramy jeden punkt
,
.
JeŜeli granica
lim
!"
∑ $
,
∆
%
(przy normie podziału dąŜącej do 0) jest liczbą i nie zaleŜy od
sposobu podziału K na fragmenty K
i
ani od wyboru punktów
,
, to nazywamy ją całką krzywoliniową
niezorientowaną (lub całką krzywoliniową nieskierowaną) z funkcji f(x,y) po krzywej K i oznaczamy
symbolem
& $, '(
)
.
Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej
1.
Niech
$ * 1 na K.
Wtedy
∫
=
K
K
dl
- długość krzywej K.
2.
Niech K – krzywa płaska,
.
0
),
(
>
∈
f
K
C
f
Wtedy
∫
K
dl
y
x
f
)
,
(
- pole części powierzchni walcowej
znajdujące się pod wykresem funkcji f (rys).
Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej
1.
Jeśli
+ - gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuŜ
krzywej K, to
∫
K
dl
ρ
- masa krzywej K o zmiennej gęstości.
2.
Jeśli d – funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to
∫
K
dl
d
ρ
2
- moment bezwładności krzywej K względem tej prostej.
x
y
z
z=f(x,y)
K
2
Tw
Zachodzą następujące własności:
1.
& ,$, '( ,
)
& $, '(
)
dla dowolnej stałej λ
2.
& -$, . /, 0'(
)
& $, '( . & /, '(
)
)
3.
JeŜeli krzywa K jest rozcięta w pewnym punkcie na dwie krzywe K’ oraz K”, to
& $, '(
)
& $, '(
)
. & $, '(
)"
Tw (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)
Niech K będzie łukiem gładkim
dla
. JeŜeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze
otwartym zawierającym łuk K, to
(
)
dt
t
y
t
x
t
y
t
x
f
ds
y
x
f
K
)
(
)
(
)
(
),
(
)
,
(
2
2
+
=
∫
∫
β
α
.
Uwaga
Jeśli K będzie łukiem gładkim
2
3 3
dla
,
to
∫
∫
+
+
⋅
=
K
dt
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
f
ds
z
y
x
f
β
α
)
(
)
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
,
,
(
2
'
2
'
2
'
Wniosek
JeŜeli krzywa K jest określona równaniem
dla
4 , to powyŜszy wzór przyjmuje postać.
(
)
.
)
(
1
)
(
,
)
,
(
2
'
dx
x
y
x
y
x
f
dl
y
x
f
b
a
K
+
⋅
=
∫
∫
Całka krzywoliniowa skierowana
Def
Definicja
całki krzywoliniowej zorientowanej (skierowanej) jest szczególnym przypadkiem definicji całki
krzywoliniowej niezorientowanej.
Zakładamy, Ŝe w kaŜdym punkcie (x,y) krzywej regularnej zorientowanej (dodatnio lub ujemnie) K
zaczepiony jest pewien wektor
56, -7, , 8, 0. Wówczas
9 $, '(
)
9 7, ' . 8, '
)
Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej – to praca wykonana zmienną siłą
56, -7, , 8, 0 na krzywej ( na drodze) K.
Własność
Oznaczmy przez – K krzywą róŜniącą się od krzywej K jedynie orientacją. Wtedy
9 7, ' . 8, '
:)
9 7, ' . 8, '
)
Uwaga
JeŜeli
56, , 3 -7, , 3, 8, , 3, ;, , 30, wówczas & $, , 3'(
)
& 7, , 3' . 8, , 3' . ;, , 3'3
)
3
Tw (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)
JeŜeli funkcje
7, , 8, są ciągłe wzdłuŜ dodatnio zorientowanej krzywej regularnej
dla
, to
9 7, ' . 8, '
)
9<7=, >? . 8=, >?@
A
B
'
Uwaga
Jeśli
2
3 3
dla
,
to
9 7, , 3' . 8, , 3' . ;, , 3'3
)
9<7=, , 3>
. 8=, , 3>
. ;=, , 3>3
@
A
B
'
Wniosek
Dla krzywej K o równaniu
dla
4, powyŜszy wzór przyjmuje postać.
9 7, ' . 8, '
)
9<7=, > . 8=, >?@
C
D
'
Tw (Greena)
Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar jednospójny D,
P, Q -
funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.
P x y dx
Q x y dy
Q
x
P
y
dxdy
K
D
( , )
( , )
+
=
−
+
∫
∫∫
∂
∂
∂
∂