LISTA 14 - Ca÷

ki wielokrotne.

Zadanie 1

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a nieskierowan ¾

a

R

L

dl

x y

, gdzie L jest

odcinkiem prostej y =

1
2

x

2 o ko´ncach A(0;

2), B(4; 0).

Zadanie 2

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a nieskierowan ¾

a

R

L

xydl

, gdzie L jest

brzegiem prostok ¾

ata utworzonego przez proste: x = 0; x = 4; y = 0; y = 2:

Zadanie 3

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a nieskierowan ¾

a

R

L

p

2ydl, gdzie L jest

÷

ukiem cykloidy: x = a(t

sin t), y = a(1

cos t), a > 0, 0

t

2 :

Zadanie 4

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a nieskierowan ¾

a

R

L

p

x

2

+ y

2

dl

, gdzie

L

jest okr ¾

egiem o równaniu x

2

+ y

2

= ay:

Zadanie 5

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a skierowan ¾

a

R

L

2xydx + x

2

dy

, gdzie

L

jest ÷

ukiem paraboli y = x

2

od punktu O(0; 0) do punktu A(1; 1):

Zadanie 6

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a skierowan ¾

a

R

L

dx

y

dy

x

, gdzie L jest

obwodem trójk ¾

ata ABC o wierzcho÷

kach: A(1; 1), B(2; 1), C(2; 2):

Zadanie 7

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a skierowan ¾

a

R

L

ydx xdy

, gdzie L jest

dodatnio skierowan ¾

a elips ¾

a o równaniach: x = a cos t, y = b sin t, 0

t

2 .

Zadanie 8

Obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a skierowan ¾

a

R

AB

yxe

x

dx + (x

1)e

x

dy

po dowolnej drodze ca÷

kowania, ÷¾

acz ¾

acej punkty A(0; 2), B(1; 2):

Zadanie 9

Obliczy´c

H

+C

2x(y

1)dx + x

2

dy

po konturze …gury ograniczonej

liniami: y = x

2

oraz y = 9:

Zadanie 10

Przy pomocy Twierdzenia Greena obliczy´c ca÷k ¾

e krzywoliniow ¾

a

H

L

x

2

ydx + xy

2

dy

, gdzie L jest okr ¾

egiem x

2

+ y

2

= r

2

z obiegiem dodatnim.

Zadanie 11

Obliczy´c d÷ugo´s´c kardioidy o równaniach: x = 2a cos t a cos 2t,

y = 2a sin t

a sin 2t:

Zadanie 12

Obliczy´c pole …gury ograniczonej elips ¾

a: x = a cos t, y = b sin t:

1

Zadanie 13

Obliczy´c mas ¾

e ÷

uku AB krzywej y = ln x, je·zeli w ka·zdym

punkcie ÷

uku jego g ¾

esto´s´c liniowa jest wprost proporcjonalna do kwadratu od-

ci ¾

etej oraz x

A

= 1 i x

B

= 3.

Zadanie 14

Znale´z´c wspó÷rz ¾

edne ´srodka ci ¾

e·zko´sci ÷uku AB linii ´srubowej

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, je´sli g ¾

esto´s´c liniowa ÷uku w ka·zdym jego

punkcie jest wprost proporcjonalna do wspó÷

rz ¾

ednej z ÷

uku oraz t

A

= 0 i

t

B

= .

Bibliogra…a

[1] G.I. Zaporo·

zec, Metody rozwi ¾

azywania zada´n z analizy matematycznej,

WNT Warszawa, 1974.

2