Liczby zespolone

Definicja 9.1 (liczb zespolonych)

Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi , gdzie i oznacza jednostke

,

urojona

,

, przyjmujemy, ˙ze i

2

= −1 za´s a i b sa

,

liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

zespolonych z

1

= a + bi i z

2

= c + di to z

1

+ z

2

= (a + c) + (b + d)i . Iloczyn

liczb zespolonych z

1

= a + bi i z

2

= c + di to z

1

z

2

= (ac − bd) + (ad + bc)i . Zbi´or

wszystkich liczb zespolonych oznaczany jest (na ca lym ´swiecie z wyja

,

tkiem polskich

szk´o l ´srednich) przez C .

Stwierdzenie 9.2 (przemienno´s´

c dzia la´

n)

Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

, z

2

zachodza

,

r´owno´sci

z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

oraz

z

1

z

2

= z

2

z

1

,

czyli dodawanie i mno˙zenie sa

,

dzia laniami przemiennymi.

Dow´

od. Uzasadniamy to w naste

,

puja

,

cy spos´ob:

z

1

+ z

2

= (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = z

2

+ z

1

,

bo wynik dodawania liczb rzeczywistych nie zale˙zy od kolejno´sci sk ladnik´ow. Teraz

mno˙zenie:

z

1

z

2

= (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ca − db) + (cb + da)i =

= (c + di)(a + bi) = z

2

z

1

,

bo dodawanie i mno˙zenie liczb rzeczywistych sa

,

przemienne.

Zamiast pisa´c a + 0i be

,

dziemy pisa´c a , zamiast pisa´c 0 + bi be

,

dziemy pisa´c

bi . Liczby postaci bi , b ∈ R nazywa´c be

,

dziemy urojonymi. Dzie

,

ki tej umowie liczby

rzeczywiste to szczeg´olne liczby zespolone — „te w kt´orych nie ma i ”. Liczbe

,

a

nazywamy cze

,

´scia

,

rzeczywista

,

liczby z = a + bi , piszemy Re z = a ; cze

,

´scia

,

urojona

,

liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe

,

b , piszemy Im z = b

W taki sam spos´ob sprawdzi´c mo˙zna, ˙ze zachodzi

Stwierdzenie 9.3 ( la

,

czno´s´

c, rozdzielno´s´

c, istnienie r´

o˙znicy i ilorazu)

1. Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

, z

2

, z

3

zachodza

,

r´owno´sci:

(z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

) — dodawanie jest la

,

czne,

(z

1

z

2

)z

3

= z

1

(z

2

z

3

) — mno˙zenie jest la

,

czne,

z

1

(z

2

+ z

3

) = z

1

z

2

+ z

1

z

3

— mno˙zenie jest rozdzielne wzgle

,

dem dodawania.

2. Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

, z

2

istnieje dok ladnie jedna taka liczba zes-

polona z , ˙ze z

1

+ z = z

2

. Nazywana jest r´o˙znica

,

liczb z

2

i z

1

. Oznaczamy ja

,

symbolem z

2

− z

1

.

1

Liczby zespolone

3. Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

6= 0 i z

2

istnieje dok ladnie jedna taka liczba

zespolona z , ˙ze z

1

z = z

2

. Liczba ta zwana jest ilorazem liczb z

2

i z

1

. Oznaczamy

ja

,

symbolem

z

2

z

1

lub z

2

/z

1

.

Dow´

od. Jedynie dow´od istnienia ilorazu r´o˙zni sie

,

nieco od dowodu przemienno´sci

dzia la´

n. Przyjmijmy, ˙ze z

1

= a + bi , z

2

= c + di . Szukamy liczby zespolonej

z = x + yi , dla kt´orej z

2

= zz

1

, czyli c+di = (a+bi)(x+yi) = (ax−by)+(ay +bx)i .

Ma wie

,

c by´c c = ax−by i jednocze´snie d = ay+bx . Otrzymali´smy wie

,

c uk lad r´owna´

n

z niewiadomymi x, y . Mno˙za

,

c pierwsze z nich przez a , drugie przez b i dodaja

,

c stro-

nami otrzymujemy ac + bd = (a

2

+ b

2

)x , zatem x =

ac+bd
a

2

+b

2

, dzielenie jest wykonalne,

bo 0 6= a+bi , wie

,

c co najmniej jedna z liczb a, b jest 6= 0 . Analogicznie otrzymujemy

wz´or y =

ad−bc
a

2

+b

2

.

Wykazali´smy wszystkie podstawowe w lasno´sci dzia la´

n. Jest oczywiste, ˙ze dla

dowolnej liczby z ∈ C zachodza

,

r´owno´sci 1 · z = z , 0 · z = 0 oraz 0 + z = z .

Na liczbach zespolonych mo˙zemy wie

,

c wykonywa´c dzia lania tak, jak na liczbach

rzeczywistych. Na przyk lad (znosimy „niewymierno´s´c w mianowniku” ):

c+di
a+bi

=

(c+di)(a−bi)
(a+bi)(a−bi)

=

(c+di)(a−bi)

a

2

−(bi)

2

=

(ac+bd)+(ad−bc)i

a

2

−b

2

i

2

=

(ac+bd)+(ad−bc)i

a

2

−b

2

(−1)

=

=

ac+bd
a

2

+b

2

+

ad−bc
a

2

+b

2

i .

Niestety, nie wszystko jest tak jak w przypadku liczb rzeczywistych. W zbiorze C

nie mo˙zna w sensowny spos´ob wprowadzi´c nier´owno´sci. Nadamy temu zdaniu posta´c

twierdzenia, a naste

,

pnie udowodnimy je.

Twierdzenie 9.4 (o nieistnieniu nier´

owno´sci w zbiorze liczb zespolonych)

W zbiorze C nie istnieje relacja ≺ taka, ˙ze

1. Je´sli z

1

, z

2

∈ C , to zachodzi dok ladnie jedna z trzech mo˙zliwo´sci:

z

1

= z

2

albo z

1

≺ z

2

albo z

2

≺ z

1

(ka˙zde dwie liczby mo˙zna por´owna´c);

2. je´sli z

1

≺ z

2

i z

2

≺ z

3

, to z

1

≺ z

3

(nier´owno´s´c ma by´c przechodnia);

3. je´sli z

1

≺ z

2

i z ∈ C , to z

1

+ z ≺ z

2

+ z (do obu stron nier´owno´sci wolno doda´c

dowolna

,

liczbe

,

z ∈ C );

4. je´sli z

1

≺ z

2

i 0 ≺ z , to zz

1

≺ zz

2

(nier´owno´s´c wolno pomno˙zy´c obustronnie

przez dowolna

,

liczbe

,

z wie

,

ksza

,

od 0 ).

Dow´

od. Za l´o˙zmy bowiem, ˙ze uda lo nam sie

,

w jaki´s spos´ob zdefiniowa´c nier´owno´s´c

≺ w taki spos´ob, ˙ze spe lnione sa

,

warunki 1 – 4. Je´sli 0 ≺ z , to 0 = 0 · z ≺ z · z = z

2

,

czyli kwadraty liczb dodatnich sa

,

dodatnie. Mamy oczywi´scie z

2

= (−z)

2

. Je´sli

z ≺ 0 , to 0 = z + (−z) ≺ 0 + (−z) = −z , zatem 0 ≺ (−z)

2

= z

2

, wie

,

c r´ownie˙z

w tym przypadku 0 ≺ z

2

. Wobec tego kwadraty liczb r´o˙znych od zera musza

,

by´c

2

Liczby zespolone

dodatnie. Mamy 1

2

= 1 i i

2

= −1 , zatem 0 ≺ 1 i jednocze´snie 0 ≺ −1 . Dodaja

,

c do

obu stron pierwszej z tych nier´owno´sci liczbe

,

−1 otrzymujemy −1 ≺ (−1) + 1 = 0 ,

co przeczy temu, ˙ze 0 ≺ −1 . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Okaza lo sie

,

wie

,

c, ˙ze liczb zespolonych por´ownywa´c sie

,

nie da. Mo˙zna oczywi´scie

definiowa´c jakie´s nier´owno´sci mie

,

dzy liczbami zespolonymi rezygnuja

,

c z cze

,

´sci wa-

runk´ow 1 – 4, ale takie nier´owno´sci nie sa

,

u˙zyteczne, wie

,

c na og´o l nikt tego nie

robi.

Liczby zespolone mo˙zna, a nawet nale˙zy, traktowa´c jako punkty p laszczyzny.

Przyjmujemy, ˙ze cze

,

´s´c rzeczywista liczby zespolonej to pierwsza wsp´o lrze

,

dna (czyli

pozioma), a cze

,

´s´c urojona to druga wsp´o lrze

,

dna (pionowa) punktu p laszczyzny. Przy

takiej interpretacji suma z

1

+z

2

liczb zespolonych mo˙ze by´c potraktowana jako koniec

wektora, kt´ory jest suma

,

wektor´ow

−→

0z

1

i

−→

0z

2

.

Definicja 9.5 (warto´sci bezwzgle

,

dnej)

Warto´scia

,

bezwzgle

,

dna

,

|z| liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe

,

√

a

2

+ b

2

,

argumentem Argz liczby z = a+bi 6= 0 — dowolna

,

liczbe

,

ϕ taka

,

, ˙ze cos ϕ =

a

√

a

2

+b

2

oraz sin ϕ =

b

√

a

2

+b

2

.

Z definicji tej wynika, ˙ze |z| to odleg lo´s´c punktu z od punktu 0 a argument

liczby z , to ka

,

t mie

,

dzy wektorami

−

→

01 i

−

→

0z mierzony w kierunku przeciwnym do

ruchu wskaz´owek zegara.

Arg2 = 0 lub Arg2 = 1410π , Argi =

π

2

lub Argi = −

3π

2

, Arg(−1 + i) = π −

π

4

=

=

3
4

π , |2| = 2 = | − 2| = |2i| = | − 2i| , |1 + i| = | − 1 + i+ = |1 − i| = | − 1 − i| =

√

2 .

Twierdzenie 9.6 (nier´

owno´s´

c tr´

ojka

,

ta)

Dla dowolnych liczb zespolonych z

1

, z

2

zachodzi nier´owno´s´c |z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

| ,

jest ona r´owno´scia

,

jedynie wtedy, gdy punkty p laszczyzny odpowiadaja

,

ce liczbom

0, z

1

, z

2

le˙za

,

na jednej prostej, przy czym 0 nie le˙zy mie

,

dzy* z

1

i z

2

.

Dowodu wynika on ze znanych w lasno´sci figur geometrycznych (np. tr´ojka

,

ta).

Ci kt´orzy ich nie lubia

,

geometrii, bez k lopotu stwierdza

,

, ˙ze dla dowolnych liczb

rzeczywistych a

1

, b

1

, a

2

, b

2

nier´owno´s´c

p

(a

1

+ a

2

)

2

+ (b

1

+ b

2

)

2

≤

p

a

2

1

+ b

2

1

+

p

a

2

2

+ b

2

2

,

jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci

(a

1

+ a

2

)

2

+ (b

1

+ b

2

)

2

≤ a

2

1

+ b

2

1

+ 2

p

a

2

1

+ b

2

1

·

p

a

2

2

+ b

2

2

+ a

2

2

+ b

2

2

,

czyli nier´owno´sci:

*

nieostro, jedna z liczb z

1

,z

2

mo˙ze by´

c zerem

3

Liczby zespolone

a

1

a

2

+ b

1

b

2

≤

p

a

2

1

+ b

2

1

·

p

a

2

2

+ b

2

2

,

wie

,

c nier´owno´sci:

0 ≤ (a

2

1

+ b

2

1

) · (a

2

2

+ b

2

2

) − (a

1

a

2

+ b

1

b

2

)

2

= a

2

1

a

2

2

+ a

2

1

b

2

2

+ a

2

2

b

2

1

+ a

2

2

b

2

2

−

− (a

2

1

a

2

2

+ 2a

1

a

2

b

1

b

2

+ b

2

1

b

2

2

) = (a

1

b

2

− a

2

b

1

)

2

,

w po la

,

czeniu z nier´owno´scia

,

a

1

a

2

+ b

1

b

2

≥ 0 . Nier´owno´s´c 0 ≤ (a

1

b

2

− a

2

b

1

)

2

jest

prawdziwa zawsze. R´owno´s´c (a

1

b

2

− a

2

b

1

)

2

= 0 , czyli a

1

b

2

= a

2

b

1

mo˙zna przepisa´c

w postaci b

2

=

a

2

a

1

· b

1

, gdy a

1

6= 0 lub a

2

=

b

2

b

1

· a

1

, gdy b

1

6= 0 , wie

,

c w postaci

z

2

= tz

1

, gdy z

1

6= 0 . Warunek a

1

a

2

+ b

1

b

2

≥ 0 wymusza, by t ≥ 0 .

Z r´owno´sci z = a + bi , r = |z| , cos ϕ =

a

√

a

2

+b

2

i sin ϕ =

b

√

a

2

+b

2

wynika, ˙ze

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) .

Zapisali´smy liczbe

,

z w postaci trygonometrycznej.

Za l´o˙zmy, ˙ze z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

) i z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

) . Wtedy

z

1

z

2

= r

1

r

2

cos ϕ

1

cos ϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cos ϕ

1

sin ϕ

2

+ cos ϕ

2

sin ϕ

1

)

=

= r

1

r

2

cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)

— skorzystali´smy tu ze znanych wzor´ow:

cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) = cos ϕ

1

cos ϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

oraz

sin(ϕ

1

+ ϕ

2

) = cos ϕ

1

sin ϕ

2

+ cos ϕ

2

sin ϕ

1

,

z kt´orymi studenci spotykali sie

,

czasem w szko lach. Wykazali´smy w ten spos´ob,

˙ze warto´s´c bezwzgle

,

dna iloczynu dwu liczb zespolonych r´owna jest iloczynowi ich

warto´sci bezwzgle

,

dnych, a argument iloczynu dwu liczb zespolonych r´owna jest su-

mie ich argument´ow. Stosuja

,

c otrzymany wz´or wielokrotnie otrzymujemy

Twierdzenie 9.7 (Wz´

or de Moivre’a)

r(cos ϕ + i sin ϕ)

n

= r

n

cos(nϕ) + i sin(nϕ)

.

Z tego wzoru wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby zespolonej w 6= 0 i ka˙zdej liczby

naturalnej n istnieje dok ladnie n r´o˙znych liczb zespolonych z

1

, z

2

,. . . , z

n

takich,

˙ze z

n

j

= w dla j = 1, 2, . . . , n . Za l´o˙zmy bowiem, ˙ze w = %(cos ψ + i sin ψ) . Je´sli

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) i w = z

n

, to musza

,

by´c spe lnione r´owno´sci % = r

n

oraz

nϕ = ψ + 2kπ dla pewnej liczby ca lkowitej k . Wynika sta

,

d, ˙ze r =

n

√

% , r jest wie

,

c

wyznaczone jednoznacznie. Musi te˙z by´c ϕ =

ψ

n

+

2kπ

n

. Zaste

,

puja

,

c liczbe

,

k liczba

,

k + n zwie

,

kszamy ka

,

t ϕ o 2π , co nie zmienia liczby z . R´o˙zne liczby z otrzymujemy

przyjmuja

,

c kolejno k = 0 , k = 1 ,. . . , k = n − 1 . Otrzymujemy wie

,

c dok ladnie

n r´o˙znych warto´sci. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze odpowiadaja

,

ce im punkty p laszczyzny sa

,

wierzcho lkami n –ka

,

ta foremnego wpisanego w okra

,

g o promieniu r =

n

√

% . Je´sli

w = 1 , to w´sr´od tych liczb jest liczba 1 .

4

Liczby zespolone

Definicja 9.8 (pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej)

Algebraicznym pierwiastkiem n –tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy ka˙zda

,

liczbe

,

zespolona

,

z , dla kt´orej w = z

n

.

Przyk lad 9.1

Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 2 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0

sa

,

dwie liczby:

z

1

= cos

0π

3

+i sin

0π

3

= cos 0+i sin 0 = 1 , z

2

= cos

2π

2

+i sin

2π

2

= cos π+i sin π = −1 .

Przyk lad 9.2

Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0

sa

,

trzy liczby: z

1

= cos

0π

3

+ i sin

0π

3

= 1 , z

2

= cos

2π

3

+ i sin

2π

3

= −

1
2

+ i

√

3

2

oraz

z

3

= cos

4π

3

+ i sin

4π

3

= −

1
2

− i

√

3

2

.

Przyk lad 9.3

Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby −1 = cos π+i sin π

sa

,

trzy liczby:

z

1

= cos

π

3

+ i sin

π

3

=

1
2

+ i

√

3

2

, z

2

= cos

π+2π

3

+ i sin

π+2π

3

= −1 oraz

z

3

= cos

π+4π

3

+ i sin

π+4π

3

=

1
2

− i

√

3

2

.

Przyk lad 9.4

Poniewa˙z cos 2α + i sin 2α = (cos α + i sin α)

2

=

= cos

2

α+2i cos α sin α+i

2

sin

2

α = cos

2

α−sin

2

α+2i cos α sin α , cze

,

´sci rzeczywiste sa

,

r´owne i cze

,

´sci urojone sa

,

r´owne, wie

,

c cos 2α = cos

2

α−sin

2

α i sin 2α = 2 sin α cos α .

Przyk lad 9.5

Zachodza

,

r´owno´sci: cos 3α + i sin 3α = (cos α + i sin α)

3

=

= cos

3

α + 3i cos

2

α sin α + 3i

2

cos α sin

2

α + +i

3

sin

3

α =

= cos

3

α − 3 cos α sin

2

α + i 3 cos

2

α sin α − sin

3

α

.

Wobec tego

cos 3α = cos

3

α − 3 cos α sin

2

α = 4 cos

3

α − 3 cos α ,

sin 3α = 3 cos

2

α sin α − sin

3

α = 3 sin α − 4 sin

3

α .

Widzimy wie

,

c, ˙ze za pomoca

,

liczb zespolonych mo˙zna powia

,

za´c wzory na cos nα

i sin nα z dwumianem Newtona. Mo˙zna przesta´c poszukiwa´c tych wzor´ow w tabli-

cach.

Definicja 9.9 (sprze

,

˙zenia)

Je´sli z = a + bi , a, b ∈ R , to liczbe

,

z = a − bi nazywamy sprze

,

˙zona

,

do liczby z .

2 − 3i = 2 + 3i , 13 = 13 , i = −i . Liczba z jest rzeczywista wtedy i tylko

wtedy, gdy , z = z . Je´sli z /

∈ R , to z ∈ C jest jedyna

,

liczba

,

taka

,

, ˙ze z + z ∈ R

i jednocze´snie z · z ∈ R . Prosty dow´od tego stwierdzenia pozostawiam czytelnikom

w charakterze ´cwiczenia. Mamy te˙z

z · z = (a + bi)(a − bi) = a

2

+ b

2

= |z|

2

,

z + z = 2Rez oraz z − z = 2iImz .

5

Liczby zespolone

Mo˙zemy wie

,

c napisa´c Rez =

1
2

(z + z) i Imz =

1

2i

(z − z) . Punkty p laszczyzny

odpowiadaja

,

ce liczbom z i z sa

,

symetryczne wzgle

,

dem osi rzeczywistej.

Przypomnijmy, ˙ze argument iloczynu dwu liczb zespolonych r´owny jest sumie

argument´ow sk ladnik´ow. Jest to w lasno´s´c przypominaja

,

ce nieco logarytm (logarytm

iloczynu to suma logarytm´ow czynnik´ow). Logarytm to wyk ladnik pote

,

gi. Zdefiniu-

jemy teraz pote

,

ge

,

o podstawie e .

Definicja 9.10 (pote

,

gi o wyk ladniku zespolonym)

e

z

= e

x+iy

= e

x

cos y +i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x+iy , x, y ∈ R .

Czytelnik mo˙ze uzna´c te

,

definicje

,

za dziwna

,

. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze rozszerza

ona definicje

,

pote

,

gi o wyk ladniku rzeczywistym. e

πi

= e

0

cos π + i sin π

= −1 ,

e

ln 2+πi

= e

ln 2

cos π + i sin π

= −2 . Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c.Zauwa˙zmy jeszcze,

˙ze je´sli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v ∈ R ), to

e

z+w

= e

(x+u)+i(y+v)

= e

x+u

cos(y + v) + i sin(y + v)

=

= e

x

e

u

cos y +i sin y

cos v +i sin v

= e

x

cos y +i sin y

e

u

cos v +i sin v

= e

z

e

w

.

Widzimy wie

,

c, ˙ze w la´snie zdefiniowanej pote

,

dze liczby e przys luguje podstawowa

w lasno´s´c pote

,

g. Definicja pote

,

gi by la stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie po-

znaja

,

pote

,

gi o wyk ladnikach naturalnych, potem o ca lkowitych ujemnych, potem

o dowolnych wymiernych. Pote

,

ga o wyk ladniku rzeczywistym jest okre´slana tak, by

zachowa´c monotoniczno´s´c i r´owno´s´c e

a+b

= e

a

e

b

. Poniewa˙z zajmujemy sie

,

liczbami

zespolonymi, wie

,

c nie mo˙zna m´owi´c o monotoniczno´sci — w zbiorze liczb zespolonych

nie ma nier´owno´sci. Zamiast monotoniczno´sci mo˙zna za˙za

,

da´c istnienia pochodnej

w punkcie 0 .

Twierdzenie 9.11 (charakteryzuja

,

ce funkcje

,

e

z

)

Funkcja e

z

jest jedyna

,

funkcja

,

f : C −→ C taka

,

, ˙ze spe lnione sa

,

warunki

1

◦

f (z + w) = f (z)f (w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz

2

◦

lim

z→0

f (z)−f (0)

z

= 1 .

Drugi warunek wymaga wyja´snienia. M´owimy, ˙ze lim

z→z

0

h(z) = G ∈ C wtedy

i tylko wtedy, gdy

lim

|z−z

0

|→0



h(z) − G



 = 0 , w ostatnim wyra˙zeniu liczby zespolone

wyste

,

puja

,

tylko pozornie, wie

,

c to ostatnie poje

,

cie nie jest nam obce. Ta definicja to

proste uog´olnienie poje

,

cia granicy stosowanego w przypadku liczb rzeczywistych —

je´sli odleg lo´s´c mie

,

dzy liczbami z i z

0

jest dostatecznie ma la, to odleg lo´s´c mie

,

dzy licz-

bami h(z) i G te˙z jest ma la. Rozpatrywana granica lim

z→0

f (z)−f (0)

z

ma by´c pochodna

,

funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma by´c rozszerzeniem funkcji wyk ladniczej o

6

Liczby zespolone

podstawie e i wyk ladniku rzeczywistym, wie

,

c jej pochodna w punkcie 0 , powinna

by´c r´owna pochodnej funkcji e

x

w punkcie 0 , czyli powinna by´c r´owna 1 .

Tego, ˙ze warunki 1

◦

i 2

◦

definiuja

,

funkcje

,

wyk ladnicza

,

nie be

,

dziemy dowodzi´c.

Wcze´sniej wykazali´smy, ˙ze warunek 1

◦

jest spe lniony. Naszkicujemy dow´od tego,

˙ze funkcji e

z

przys luguje w lasno´s´c 2

◦

. Mo˙zna dowie´s´c, np. za pomoca

,

regu ly de

l’Hospitala*, ˙ze lim

x→0

e

x

−1−x

x

= 0 , lim

y→0

cos y−1

y

= 0 i lim

y→0

sin y−y

y

= 0 . Niech r(x) =

=

e

x

−1−x

x

dla x 6= 0 i r(0) = 0 , ˆ

r(y) =

cos y−1

y

dla y 6= 0 i ˆ

r(0) = 0 oraz ˜

r(y) =

=

sin y−y

y

dla y 6= 0 i ˜

r(0) = 0 . Mamy wie

,

c e

x

− 1 = x[1 + r(x)] , cos y − 1 = yˆ

r(y)

oraz sin y = y[1 + ˜

r(y)] . Wobec tego

e

z

−1

z

=

e

x+iy

−1

x+iy

=

e

x

e

iy

−1

x+iy

=

(e

x

−1)(e

iy

−1)+(e

x

−1)+(e

iy

−1)

x+iy

=

=

x[1+r(x)]·y[ˆ

r(y)+i+i˜

r(y)]+x[1+r(x)]+y[ˆ

r(y)+i+i˜

r(y)]

x+iy

=

= 1 +

xy

x+iy

[1 + r(x)][i + ˆ

r(y) + i˜

r(y)] +

x

x+iy

r(x) +

y

x+iy

ˆ

r(y) + i˜

r(y)

.

Zachodza

,

r´owno´sci lim

x→0

r(x) = 0 , lim

y→0

ˆ

r(y) = 0 oraz lim

y→0

˜

r(y) = 0 . Prawdziwe sa

,

te˙z

wzory





x

x+iy



 =

|x|

√

x

2

+y

2

≤ 1 ,





y

x+iy



 =

|y|

√

x

2

+y

2

≤ 1 i





xy

x+iy



 ≤

√

x

2

+y

2

·

√

x

2

+y

2

√

x

2

+y

2

=

=

p

x

2

+ y

2

= |z| −−−→

z→0

0 . Sta

,

d wynika, ˙ze lim

z→0

e

z

−e

0

z

= 1 .

Z tego, ˙ze lim

z→0

e

z

−1

z

= 1 wynika, ˙ze lim

z→0

e

w+z

−e

w

z

= e

w

dla ka˙zdej liczby ze-

spolonej w . Zwykle te

,

ostatnia

,

r´owno´s´c z oczywistych przyczyn zapisujemy jako

(e

w

)

0

= e

w

.

Rozszerzaja

,

c wie

,

c dziedzine

,

funkcji wyk ladniczej otrzymali´smy funkcje

,

, kt´ora

z formalnego punktu widzenia ma w lasno´sci podobne do funkcji wyk ladniczej w dzie-

dzinie rzeczywistej. Sa

,

jednak istotne r´o˙znice. Wg le

,

bia´c sie

,

w nie nie mo˙zemy z braku

miejsca i czasu, ale o jednej co´s powiemy. Funkcja wyk ladnicza o podstawie e i wy-

k ladniku rzeczywistym jest ´sci´sle rosna

,

ca: je´sli x

1

< x

2

, to e

x

1

< e

x

2

, wie

,

c r´o˙zno-

warto´sciowa (pote

,

gi o podstawie e sa

,

r´owne wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyk ladniki

sa

,

r´owne). Z funkcja

,

wyk ladnicza

,

e

z

jest inaczej. Mamy e

2πi

= cos 2π + i sin 2π = 1 ,

zatem dla ka˙zdego z ∈ C zachodzi r´owno´s´c e

z+2πi

= e

z

e

2πi

= e

z

. Funkcja wyk ladni-

cza w dziedzinie zespolonej jest wie

,

c okresowa, jej okresem jest 2πi — liczba czysto

urojona. Warto´sciami tej funkcji sa

,

wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste)

z jednym wyja

,

tkiem: 0 6= e

z

dla z ∈ C . Wynika to natychmiast z tego, ˙ze ka˙zda

,

liczbe

,

dodatnia

,

r = |w| mo˙zna zapisa´c w postaci e

x

, x ∈ R . Wystarczy przyja

,

´c x = ln r

(jest to oczywi´scie jedyny wyb´or). Naste

,

pnie przyjmujemy y = Argw i otrzymujemy

*

W la´sciwie z definicji pochodnej i wzor´

ow (e

x

)

0

=e

x

, (cos y)

0

=− sin y , (sin y)

0

=cos y .

7

Liczby zespolone

r´owno´s´c w = e

z

, gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy z = ln w jed-

nak trzeba pamie

,

ta´c o tym, ˙ze w dziedzinie zespolonej symbol ln w mo˙ze oznacza´c

kt´ora

,

kolwiek z niesko´

nczenie wielu liczb z , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c w = e

z

.

Mo˙zna wie

,

c napisa´c ln(−1) = πi albo ln(−1) = −5πi itp. Logarytm´ow zespolonych

u˙zywa´c nie be

,

dziemy, natomiast w niekt´orych przypadkach be

,

dziemy stosowa´c pote

,

gi

o podstawie e i wyk ladniku nierzeczywistym.

Informacja:

Liczby zespolone sa

,

u˙zywane, bo w niekt´orych sytuacjach nie spos´ob sie

,

bez nich

obej´s´c. Historycznie pierwszym przypadkiem tego rodzaju by l wz´or na pierwiastki

r´ownania trzeciego stopnia:

je˙zeli x

3

+ px + q = 0 , to x =

3

r

−

q
2

+

q

p

3

27

+

q

2

4

+

3

r

−

q
2

−

q

p

3

27

+

q

2

4

.

Wyprowadzenie tego wzoru nie jest d lugie, ale opu´scimy je. Mo˙zna przecie˙z po pro-

stu sprawdzi´c, ˙ze zdefiniowana za jego pomoca

,

liczba jest pierwiastkiem r´ownania

x

3

+ px + q = 0 wstawiaja

,

c ja

,

w miejsce x do tego r´ownania. Poka˙zemy natomiast,

˙ze stosowanie tego wzoru mo˙ze by´c k lopotliwe. Niech p = −63 , q = −162 , zajmu-

jemy sie

,

wie

,

c r´ownaniem x

3

− 63x − 162 = 0 . Mamy

p

3

27

+

q

2

4

=

p
3

3

+

q
2

2

=

=(−21)

3

+ 81

2

= −2700 < 0 . Teraz z tej liczby nale˙zy wycia

,

gna

,

´c pierwiastek kwa-

dratowy. Ten pierwiastek nie jest liczba

,

rzeczywista

,

! Mo˙zna pomy´sle´c, ˙ze to dlatego,

˙ze nasze r´ownanie nie ma rozwia

,

za´

n rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Mamy bo-

wiem (−3)

3

− 63 · (−3) − 162 = 0 , (−6)

3

− 63 · (−6) − 162 = 0 , 9

3

− 63 · 9 − 162 = 0 ,

wie

,

c nasze r´ownanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste! Otrzymujemy wie

,

c wzory

−3 =

3

p

81 +

√

−2700 +

3

p

81 −

√

−2700 , −6 =

3

p

81 +

√

−2700 +

3

p

81 −

√

−2700 ,

9 =

3

p

81 +

√

−2700 +

3

p

81 −

√

−2700 . Wygla

,

da to nieco podejrzanie: prawe strony

sa

,

r´owne, a lewe r´o˙zne. To jednak tylko poz´or. Sa

,

dwie warto´sci pierwiastka kwadra-

towego z danej liczby zespolonej 6= 0 i trzy warto´sci pierwiastka trzeciego stopnia.

Przy tej interpretacji mo˙zna sie

,

spodziewa´c do trzydziestu sze´sciu pierwiastk´ow tego

r´ownania. To jednak nie jest mo˙zliwe. R´ownanie stopnia trzeciego ma najwy˙zej trzy

pierwiastki (po prostu nie mo˙zna wybiera´c warto´sci tych pierwiastk´ow w spos´ob do-

wolny). Udowodniono, ˙ze nie jest mo˙zliwe napisanie wzor´ow na pierwiastki r´ownania

stopnia trzeciego z u˙zyciem dodawania, odejmowania, mno˙zenia, dzielenia i pierwiast-

kowania, kt´ore nie prowadzi lyby do wycia

,

gania pierwiastk´ow kwadratowych z liczb

ujemnych w przypadku rzeczywistych wsp´o lczynnik´ow i trzech rzeczywistych pier-

wiastk´ow! Oznacza to, ˙ze w tym przypadku bez liczb zespolonych oby´c sie

,

nie mo˙zna.

Zacze

,

to ich wie

,

c u˙zywa´c w XVI wieku, cho´c „ich nie by lo”. Zosta ly ostatecznie zaak-

8

Liczby zespolone

ceptowane na pocza

,

tku XIX wieku, gdy C.F.Gauss pokaza l, ˙ze mo˙zna je potraktowa´c

jako punkty p laszczyzny i ˙ze wtedy dzia lania na liczbach zespolonych zaczynaja

,

mie´c

sens geometryczny. Dzi´s trudno sobie wyobrazi´c matematyke

,

bez nich.

Kilka zada´

n

C .1 Rozwia

,

za´c r´ownanie w zbiorze liczb zespolonych

a. z

2

+ 4z + 5 = 0 ;

b. z +

1
z

= 0 ;

c. z

2

− ¯

z

2

= 0 ;

d. z

2

= z ;

e. z

2004

= z ;

f. e

z

= 1 ;

g. e

z

= −1 ;

h. e

z

= i ;

i. z

2

− (3 + i)z + 8 − i = 0 ;

j. z

2

− (3 + 7i)z − 10 + 11i = 0 ;

k. z

4

+ 5z

2

+ 9 = 0 ;

l. z

4

+ 8z

3

+ 16z

2

+ 9 = 0 ;

l. |z + i| + |z − i| = 2 ;

m. |z + i| + |z − i| =

√

5 ;

o. z

6

+ 7z

3

− 8 = 0 ;

p. z = z

3

;

q. z

8

− 15z

4

− 16 = 0 ;

r. z = −z

2

;

s. z

6

+ 7z

3

− 8 = 0 ;

t. z = z

3

.

u. z

6

+ 2

6

= 0 ;

v. z

6

− 2

6

= 0 .

C .2 Znale´z´c liczby rzeczywiste x, y , dla kt´orych

a. (5 − 8i)x + (7 + 3i)y = 2 − i

b. (7 + 2i)x − (5 − 4i)y = −1 − i

C .3 Przedstawi´c w postaci trygonometrycznej liczby zespolone

a. −5 ,

b. −1 − i ,

c. 9 − 9i

d.

1
2

− i

√

3

2

,

e. −

1
2

− i

√

3

2

,

f. 1 − i

√

3

C .4 Ze znanego wzoru na sume

,

pierwszych n wyraz´ow cia

,

gu geometrycznego wypro-

wadzi´c wz´or na sume

,

: sin ϕ + sin(2ϕ) + · · · + sin nϕ oraz na sume

,

cos ϕ + cos(2ϕ) + · · · + cos(nϕ) .

C .5 ¯

z to punkt symetryczny do punktu z wzgle

,

dem osi rzeczywistej. Znale´z´c punkty

symetryczne do punktu z wzgle

,

dem

a. osi urojonej,

b. prostej o r´ownaniu y = x ,

c. prostej o r´ownaniu y =

√

3

3

x ,

d. prostej o r´ownaniu y =

√

3x .

C .6 a. Znale´z´c zbi´or X z lo˙zony z tych wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych

zachodzi r´owno´s´c

¯

z · z · |z| + |z

3

+ 1| = 1 . Narysowa´c X na p laszczy´znie.

b. Znale´z´c zbi´or X z lo˙zony z tych wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych

zachodzi r´owno´s´c

¯

z · z · |z| + |z

3

− i| = 1 . Narysowa´c X na p laszczy´znie.

C .7 Niech L oznacza zbi´or z lo˙zony ze wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych

zachodzi r´owno´s´c iz = z . Naszkicowa´c zbi´or L na p laszczy´znie. Opisa´c za po-

moca

,

r´ownania zbi´or M powsta ly w wyniku obr´ocenia L o 45

◦

zgodnie z ru-

9

Liczby zespolone

chem wskaz´owek zegara wok´o l punktu 0 = (0, 0) . Mo˙zna u˙zy´c liczb zespolonych,

ewentualnie rzeczywistych.

C .8 Niech L oznacza zbi´or z lo˙zony ze wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych

zachodzi r´owno´s´c −iz = z . Naszkicowa´c zbi´or L na p laszczy´znie. Opisa´c za

pomoca

,

r´ownania zbi´or M powsta ly w wyniku obr´ocenia L o 45

◦

zgodnie z

ruchem wskaz´owek zegara wok´o l punktu 0 = (0, 0) . Mo˙zna u˙zy´c liczb zespolo-

nych, ewentualnie rzeczywistych.

10