Funkcje wielu zmiennych — cia

,

gÃlo´s´

c, r´

o˙zniczkowalno´s´

c

Podajemy tu kilka definicji i twierdze´

n (z dowodami, kt´ore w wie

,

kszo´sci zostana

,

pominie

,

te na wyk ladzie), kt´ore pozwola

,

m´owi´c o cia

,

g lo´sci i r´o˙zniczkowalno´sci funk-

cji wielu zmiennych. Z konieczno´sci jest to tylko przegla

,

d najwa˙zniejszych spo´sr´od

najbardziej podstawowych zagadnie´

n. Definicji kuli wielowymiarowej nie podam na

wyk ladzie, ale jest ono wygodne i powszechnie stosowane, wie

,

c je tu umieszczam.

Definicja 16.1 (kuli k –wymiarowej) *

Kula

,

otwarta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 nazywamy zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk < r} ,

kula

,

domknie

,

ta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 — zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk ≤ r} .

Jasne jest, ˙ze jednowymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku w punkcie p ∈ IR i pro-

mieniu r > 0 jest przedzia l o ´srodku w punkcie p i d lugo´sci 2r . Jednowymiarowa

kula domknie

,

ta o´srodku w punkcie p i promieniu r > 0 to po prostu przedzia l

domknie

,

ty o ´srodku w punkcie p i d lugo´sci 2r . W tym wymiarze kula domknie

,

ta

r´o˙zni sie

,

od otwartej (o tym samym ´srodku i promieniu) jedynie dwoma punktami.

Jasne jest, ˙ze dwuwymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku p ∈ IR

2

i promieniu r > 0 jest

ko lo o ´srodku p i promieniu r jednak bez punkt´ow „brzegowych”, tj. bez punkt´ow,

kt´orych odleg lo´s´c od p r´owna jest dok ladnie r . Kula domknie

,

ta o ´srodku p i pro-

mieniu r > 0 to ko lo z „brzegiem” o ´srodku p i promieniu r . Tr´ojwymiarowa kula

otwarta to po prostu kula bez punkt´ow brzegowych, a kula domknie

,

ta to kula z punk-

tami brzegowymi. Wida´c wie

,

c, ˙ze te nazwy motywowane sa

,

terminologia

,

stosowana

,

do przestrzeni tr´ojwymiarowej. Mimo, ˙ze mo˙ze sie

,

komu´s wydawa´c ´smiesznym nazy-

wanie przedzia lu kula

,

, to jednak warto zap laci´c taka

,

cene

,

za jednolita

,

terminologie

,

stosowana

,

w odniesieniu do przestrzeni r´o˙znych wymiar´ow, to u latwia formu lowanie

zar´owno twierdze´

n jak i ich dowod´ow.

Definicja 16.2 (zbioru otwartego w IR

k

)

Zbi´or G nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ G

istnieje liczba dodatnia r taka, ˙ze B(p, r) ⊂ G , czyli gdy z tego, ˙ze kx − pk < r

wynika, ˙ze x ∈ G .

Jasne jest, ˙ze ca la przestrze´

n k –wymiarowa jest zbiorem otwartym, w tym kon-

kretnym przypadku mo˙zna przyja

,

´c np. r = 13 . R´ownie˙z zbi´or pusty jest otwarty.

*

angielskie s lowo: ball

1

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Wynika to sta

,

d, ˙ze je´sli poprzednik implikacji jest fa lszywy (czyli p ∈ ∅ ), to z tej

nieprawdy ju˙z wszystko wynika w szczeg´olno´sci istnienie liczby r > 0 . Oczywi´scie

zn´ow to rozumienie s lowa wynika nie zawsze jest zgodne z potocznym, ale przyje

,

to

wynikanie w ten w la´snie spos´ob interpretowa´c. R´ownie˙z otwarta kula k –wymiarowa

w przestrzeni k –wymiarowej jest zbiorem otwartym: je´sli q ∈ B(p, r) , to przyj-

muja

,

c % = r − kq − pk , otrzymujemy B(q, %) ⊂ B(p, r) , bo je´sli kx − qk < % ,

to kx − pk ≤ kx − qk + kq − pk < % + kq − pk = r . Z tego ostatniego zdania

wynika, ˙ze przedzia l otwarty jest otwartym podzbiorem prostej. Natomiast odcinek

bez ko´

nc´ow otwartym podzbiorem p laszczyzny nie jest, bo przecie˙z ˙zaden jego punkt

nie jest ´srodkiem dwuwymiarowej kuli, czyli ko la zawartego w tym odcinku, bo od-

cinek w og´ole ˙zadnego ko la nie zawiera. Widzimy wie

,

c, ˙ze to czy zbi´or jest otwarty,

czy te˙z nie, zale˙zy nie tylko od samego zbioru, lecz r´ownie˙z od tego z jakiego punktu

widzenia jest on rozpatrywany! Czytelnik sprawdzi bez trudu, ˙ze p laszczyzna bez jed-

nego punktu, p laszczyzna bez sko´

nczenie wielu punkt´ow, p laszczyzna bez sko´

nczenie

wielu prostych sa

,

otwartymi podzbiorami p laszczyzny. Tr´ojka

,

t otwartym podzbiorem

p laszczyzny nie jest, bo ˙zadne ko lo o ´srodku w punkcie le˙za

,

cym na boku tr´ojka

,

ta za-

warte w tr´ojka

,

cie nie jest. Natomiast tr´ojka

,

t bez bok´ow i wierzcho lk´ow jest zbiorem

otwartym, bo ka˙zdy punkt nie le˙za

,

cy na boku tr´ojka

,

ta jest ´srodkiem ko la zawartego

w tr´ojka

,

cie bez bok´ow. Podobnie kwadrat nie jest otwartym podzbiorem p laszczyzny,

ale staje sie

,

otwarty po usunie

,

ciu bok´ow wraz z wierzcho lkami. Obszar nad parabola

,

y = x

2

, czyli zbi´or takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y > x

2

jest otwartym podzbiorem

p laszczyzny. R´ownie˙z obszar z lo˙zony z takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y < x

2

jest otwarty.

Analogiczne przyk lady mo˙zna rozwa˙zy´c w przestrzeni tr´ojwymiarowej, co pozosta-

wiamy czytelnikom w charakterze prostego ´cwiczenia.

Definicja 16.3 (zbioru domknie

,

tego w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or F ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´or R

k

\ F jest otwarty.

Podane poprzednio przyk lady zbior´ow otwartych daja

,

od razu przyk lady zbior´ow

domknie

,

tych: z tego, ˙ze ca la przestrze´

n IR

k

jest zbiorem otwartym wnioskujemy

natychmiast, ˙ze zbi´or pusty jest domknie

,

ty. Z tego, ˙ze zbi´or pusty jest otwarty

wynika, ˙ze ca la przestrze´

n jest zbiorem domknie

,

tym. Poniewa˙z kula otwarta jest

zbiorem otwartym, wie

,

c dope lnienie kuli otwartej jest zbiorem domknie

,

tym. Zbiory

sko´

nczone sa

,

domknie

,

te, prosta jest podzbiorem domknie

,

tym p laszczyzny, przestrzeni

tr´ojwymiarowej. Jasne jest te˙z, ˙ze k –wymiarowa kula domknie

,

ta jest podzbiorem

domknie

,

tym przestrzeni IR

k

. To stwierdzenie uzasadnimy. Niech q /

∈ B(p, r) , tzn.

2

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

kq − pk > r . Niech % = kq − pk − r . Oczywi´scie % > 0 . Niech x ∈ B(q, %) , tzn.

kx − qk < % = kq − pk − r . Sta

,

d wynika, ˙ze r < kq − pk − kx − qk ≤ kx − pk , co

oznacza, ˙ze x /

∈ B(p, r) , a wie

,

c B(q, %) ∩ B(p, r) = ∅ . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze kula

B(q, %) jest zawarta w dope lnieniu kuli B(p, r) , a poniewa˙z q oznacza tu dowolny

punkt dope lnienia kuli B(p, r) , wie

,

c dope lnienie to jest otwarte, zatem sama kula

B(p, r) jest zbiorem domknie

,

tym w IR

k

.

Zbiory otwarte maja

,

swoja

,

charakteryzacje

,

„wewne

,

trzna

,

” – nie ma konieczno´sci

badania dope lnienia zbioru. W podobny spos´ob mo˙zna scharakteryzowa´c zbioru do-

mknie

,

te. Przyda sie

,

nam do tego poje

,

cie granicy cia

,

gu punkt´ow.

Definicja 16.4 (granicy cia

,

gu punkt´

ow przestrzeni euklidesowej)

Cia

,

g (p

n

) jest zbie˙zny do granicy p wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

kp

n

−pk = 0 .

Wida´c, ˙ze definicja ta r´o˙zni sie

,

od definicji cia

,

gu liczbowego bardzo nieznacznie:

w przypadku cia

,

gu wysta

,

pi la warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy wyrazu cia

,

gu i granicy,

w przypadku cia

,

gu punkt´ow przestrzeni m´owimy o odleg lo´sci wyrazu cia

,

gu od grani-

cy. Wida´c wyra´znie, ˙ze r´o˙znica obu definicji jest raczej kosmetyczna ni˙z merytoryczna

— warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy dwu liczb to przecie˙z odleg lo´s´c mie

,

dzy nimi, je´sli

o liczbach my´slimy jak o punktach prostej.

Twierdzenie 16.5 (charakteryzuja

,

ce zbiory domknie

,

te)

Zbi´or F jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy z tego ˙ze punkty p

1

, p

2

, . . . nale˙za

,

do zbioru F oraz p = lim

n→∞

p

n

wynika, ˙ze r´ownie˙z p ∈ F .

Dow´

od. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze zbi´or F jest domknie

,

ty, czyli ˙ze zbi´or IR

k

\ F jest

otwarty. Niech p = lim

n→∞

p

n

i niech punkty cia

,

gu (p

n

) nale˙za

,

do zbioru F . Je´sli

p /

∈ F , to poniewa˙z zbi´or IR

k

\ F jest otwarty, wie

,

c istnieje taka liczba r > 0 , ˙ze

B(p, r) ⊂ IR

k

\ F . Wobec tego w kuli B(p, r) nie ma punkt´ow cia

,

gu (p

n

) , bo one

le˙za

,

w zbiorze F , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

kp

n

−pk ≥ r , wbrew temu, ˙ze lim

n→∞

kp

n

−pk = 0 . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze zbi´or F spe lnia

warunek opisany w tre´sci zadania i nie jest domknie

,

ty, tzn. jego dope lnienie nie jest

otwarte. Istnieje wie

,

c punkt p ∈ IR

k

\ F taki, ˙ze ˙zadna kula o ´srodku p nie jest

zawarta w zbiorze IR

k

\ F . Niech p

n

∈ B(p,

1

n

) ∩ F . Mamy wie

,

c kp

n

− pk <

1

n

,

zatem lim

n→∞

kp

n

− pk = 0 , czyli lim

n→∞

p

n

= p i wobec tego musi te˙z by´c p ∈ F ,

wbrew uczynionemu za lo˙zeniu. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z twierdzenia tego wynika natychmiast, ˙ze np. zbi´or IR

2

\{(0, 0)} nie jest zbiorem

3

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

domknie

,

tym. Mamy bowiem lim

n→∞

(

1

n

, 0) = (0, 0) /

∈ IR

2

\ {(0, 0)} , chocia˙z oczywi´scie

(

1

n

, 0) ∈ IR

2

\ {(0, 0)} . W taki sam spos´ob mo˙zna wykaza´c, ˙ze zbi´or Q z lo˙zony ze

wszystkich liczb wymiernych nie jest domknie

,

tym podzbiorem prostej: ka˙zda liczba

niewymierna jest granica

,

cia

,

gu liczb wymiernych. Zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or ten nie jest

r´ownie˙z otwarty, bo r´ownie˙z ka˙zda liczba wymierna mo˙ze przedstawiona jako granica

cia

,

gu liczb niewymiernych. Widzieli´smy wie

,

c, ˙ze istnieja

,

zbiory, kt´ore sa

,

jednocze´snie

otwarte i domknie

,

te ( IR

k

i ∅ ), istnieja

,

te˙z zbiory, kt´ore nie sa

,

ani otwarte ani do-

mknie

,

te!

Twierdzenie 16.6 (charakteryzuja

,

ce zbie˙zno´s´

c cia

,

g´

ow w IR

k

)

Cia

,

g (p

n

) punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest zbie˙zny do punktu p ∈ IR

k

wtedy

i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla i = 1, 2, . . . , k , tu p

n

= (p

1,n

, p

2,n

, . . . , p

k,n

)

dla n = 1, 2, . . . i p = (p

1

, p

2

, . . . , p

k

) .

Dow´

od. Dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , k} zachodzi nier´owno´s´c:

|p

i,n

− p

i

| ≤

p

|p

1,n

− p

1

|

2

+ |p

2,n

− p

2

|

2

+ · · · + |p

k,n

− p

k

|

2

= kp

n

− pk ,

z kt´orej wynika od razu, ˙ze je´sli lim

n→∞

p

n

= p , to lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla ka˙zdego i ∈

{1, 2, . . . , k} . W druga

,

strone

,

twierdzenie wynika natychmiast z definicji odleg lo´sci:

pod pierwiastkiem jest k sk ladnik´ow i ka˙zdy z nich da

,

˙zy do 0, co jest tre´scia

,

za lo˙zenia.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie to pozwala w istocie rzeczy sprowadza´c badanie zbie˙zno´sci cia

,

gu

punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej do badania zbie˙zno´sci k cia

,

g´ow liczbowych.

Istotna

,

role

,

w przypadku cia

,

g´ow liczbowych gra lo twierdzenie Bolzano–Weierstrassa.

Gwarantowa lo ono mo˙zliwo´s´c wybierania podcia

,

g´ow zbie˙znych z cia

,

g´ow ograniczo-

nych. Twierdzenie to pozostaje w mocy w przypadku wielowymiarowym. Przed sfor-

mu lowaniem tego twierdzenia wypada powiedzie´c, ˙ze cia

,

g (zbi´or) nazywamy ogra-

niczonym, je´sli wszystkie jego wyrazy (elementy) znajduja

,

sie

,

w pewnej kuli. Przy-

pomnijmy, ˙ze w jednowymiarowym przypadku kulami sa

,

przedzia ly, wie

,

c ta defini-

cja to po prostu uog´olnienie definicji stosowanej w przypadku jednowymiarowym.

Warto od razu zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli cia

,

g punkt´ow przestrzeni IR

k

jest ograniczony, to

r´ownie˙z cia

,

gi liczbowe: utworzony z jego pierwszych wsp´o lrze

,

dnych, utworzony z dru-

gich wsp´o lrze

,

dnych itd. sa

,

zbie˙zne. Czytelnik bez trudu stwierdzi, ˙ze je´sli wszystkie

cia

,

gi utworzone ze wsp´o lrze

,

dnych o ustalonym numerze sa

,

ograniczone, to r´ownie˙z

cia

,

g punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest ograniczony. Twierdzenie to nie by lo

om´owione w czasie wyk ladu, tu jednak je zamieszczam w przekonaniu, ˙ze niekt´orym

studentom zapoznanie sie

,

z nim u latwi nauke

,

matematyki.

4

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Twierdzenie 16.7 (Bolzano–Weiertrassa, przypadek wielowymiarowy)

Z ka˙zdego ograniczonego cia

,

gu (p

n

) punkt´ow przestrzeni IR

k

mo˙zna wybra´c podcia

,

g

zbie˙zny do pewnego punktu p ∈ IR

k

, tzn. istnieje ´sci´sle rosna

,

cy cia

,

g (n

j

) liczb

naturalnych taki, ˙ze zachodzi r´owno´s´c lim

j→∞

p

n

j

= p .

Dow´

od. Z poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze trzeba wybra´c cia

,

g (n

j

) w taki

spos´ob, by wszystkie cia

,

gi

p

1,n

j

,

p

2,n

j

,. . . , p

k,n

j

by ly zbie˙zne. Twierdzenie

Bolzano–Weierstrassa jest prawdziwe dla cia

,

g´ow liczbowych, zatem istnieje cia

,

g (n

j

)

taki, ˙ze cia

,

g (p

1,n

j

) jest zbie˙zny, ale nie wiemy nic o naste

,

pnych k − 1 cia

,

gach:

(p

2,n

j

) , (p

3,n

j

) , itd. Mo˙zemy jednak skorzysta´c z tego, ˙ze wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu

zbie˙znego te˙z sa

,

zbie˙zne i to do tej samej granicy. Zasta

,

pimy wie

,

c cia

,

g wyj´sciowy (p

n

)

cia

,

giem (p

n

j

) (wie

,

c pierwsze wsp´o lrze

,

dne tworza

,

cia

,

g zbie˙zny) i z tego cia

,

gu wybie-

rzemy podcia

,

g (p

n

0

j

) w taki spos´ob, by cia

,

g (p

2,n

0

j

) by l zbie˙zny. Jest to mo˙zliwe, bo

cia

,

g (p

2,n

j

) jest ograniczony, wie

,

c mo˙zemy zastosowa´c jednowymiarowe twierdzenie

Bolzano–Weiertrassa. Uzyskamy wie

,

c w ten spos´ob cia

,

g (p

n

0

j

) , kt´orego pierwsze i

drugie wsp´o lrze

,

dne tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne.* Wystarczy te

,

procedure

,

zastosowa´c jesz-

cze kolejno k − 2 razy, by uzyska´c podcia

,

g, kt´orego wszystkie wsp´o lrze

,

dne: pierwsze,

drugie, itd. tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne, dzie

,

ki czemu r´ownie˙z sam podcia

,

g jest zbie˙zny.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Podamy teraz jedna

,

z najwa˙zniejszych definicji tej cze

,

´sci wyk ladu.

Definicja 16.8 (zbioru zwartego)

Zbi´or C nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z ka˙zdego cia

,

gu punkt´ow

zbioru C mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w zbiorze C .

Zbiory zwarte moga

,

by´c definiowane w taki spos´ob w nieco og´olniejszej sytuacji

ni˙z rozpatrywana przez nas, moga

,

to by´c mianowicie podzbiory tzw. przestrzeni me-

trycznych. Podamy teraz twierdzenie, kt´ore w og´olnej sytuacji nie jest prawdziwe,

ale jest prawdziwe i bardzo u˙zyteczne w przypadku tych zbior´ow, kt´orymi zajmowa´c

sie

,

be

,

dziemy w tej przysz lo´sci.

Twierdzenie 16.9 (charakteryzuja

,

ce zbiory zwarte w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknie

,

ty i ograniczony.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty. Je´sli C nie jest ograniczony, to dla

ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje taki punkt p

n

∈ C , ˙ze p

n

/

∈ B(0, n) . Oznacza to,

˙ze kp

n

k ≥ n . Poniewa˙z C jest zbiorem zwartym, wie

,

c z cia

,

gu (p

n

) wybra´c mo˙zna

*

Pierwsze – bo podcia,g cia,gu zbie˙znego jest zbie˙zny, drugie – bo tak wybieramy.

5

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

podcia

,

g zbie˙zny (p

n

j

) do pewnego punktu p ∈ C . Sta

,

d wynika, ˙ze cia

,

g kp

n

j

− pk

jest zbie˙zny do 0, wie

,

c jest ograniczony. Zachodzi nier´owno´s´c kp

n

j

k ≤ kpk+kp

n

j

−pk ,

a z niej i ze zdania poprzedniego wynika, ˙ze cia

,

g p

n

j

jest ograniczony, co oczywi´scie

przeczy temu, ˙ze kp

n

j

k ≥ n

j

. Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi by´c ograniczony. Teraz wyka˙zemy, ˙ze musi by´c r´ownie˙z domknie

,

ty. Za l´o˙zmy, ˙ze

nie jest domknie

,

ty. Wtedy istnieje cia

,

g (p

n

) punkt´ow zbioru C zbie˙zny do punktu

p /

∈ C . Wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu (p

n

) sa

,

oczywi´scie zbie˙zne do punktu p , wie

,

c nie

mo˙zna wybra´c z tego cia

,

gu podcia

,

gu, kt´orego granica nale˙za laby do C . Wobec tego

podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi by´c te˙z domknie

,

ty. Czas na dow´od implikacji

przeciwnej. Zak ladamy teraz, ˙ze zbi´or C ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty i ograniczony. Niech

(p

n

) be

,

dzie cia

,

giem punkt´ow zbioru C . Na mocy twierdzenia Bolzano–Weierstrassa

mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

,

g (p

n

j

) zbie˙zny do pewnego punktu p . Poniewa˙z zbi´or

C jest domknie

,

ty a wyrazy cia

,

gu (p

n

j

) sa

,

elementami zbioru domknie

,

tego C , wie

,

c

r´ownie˙z jego granica, czyli punkt p jest elementem zbioru C . Wykazali´smy wie

,

c,

˙ze z cia

,

gu punkt´ow zbioru C mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w

zbiorze C , a to oznacza, ˙ze C jest zbiorem zwartym. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Interesuja

,

nas nie tylko zbiory, ale r´ownie˙z funkcje, w tym funkcje cia

,

g le. Defi-

nicja cia

,

gowa (Heinego) cia

,

g lo´sci funkcji przenosi sie

,

na przypadek wielowymiarowy

bez ˙zadnych zmian. Je´sli A ⊂ IR

k

i f : A −→ IR

l

jest funkcja

,

okre´slona

,

na zbiorze A ,

to f jest cia

,

g la w punkcie p ∈ IR

k

wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, ˙ze lim

n→∞

p

n

= p ,

p

n

∈ A wynika, ˙ze lim

n→∞

f (p

n

) = f (p) . Mo˙zna r´ownie˙z przeformu lowa´c definicje

,

otoczeniowa

,

(Cauchy’ego): funkcja f : A −→ IR

l

jest cia

,

g la w punkcie p ∈ A wte-

dy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli

q ∈ A i kq − pk < δ , to kf (q) − f (p)k < ε . Poniewa˙z definicje te nie r´o˙znia

,

sie

,

od podawanych w przypadku jednowymiarowym, wie

,

c dow´od ich r´ownowa˙zno´sci

pomijamy, zreszta

,

nie r´o˙zni sie

,

on od dowodu w przypadku jednowymiarowym niczym

istotnym. Warto te˙z doda´c, ˙ze je´sli funkcje f, g sa

,

cia

,

g le i odpowiednia operacja na

nich jest zdefiniowana, to cia

,

g le sa

,

r´ownie˙z funkcje f ± g , f · g (iloczyn skalarny),

f ×g (iloczyn wektorowy), f

−1

(np. je´sli warto´sciami funkcji sa

,

macierze odwracalne

i f (x)

−1

oznacza macierz odwrotna

,

do macierzy f (x) ), f ◦ g (z lo˙zenie funkcji f z

funkcja

,

g ). Natomiast funkcja odwrotna do funkcji cia

,

g lej mo˙ze nie by´c cia

,

g la: je´sli

f (t) = (2 + cos t) cos(t

√

2), (2 + cos t) sin(t

√

2), sin t

,

to funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa, wie

,

c ma funkcje

,

odwrotna

,

, ale ta funkcja odwrot-

na nie ma ani jednego punktu cia

,

g lo´sci.

6

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Dzie

,

ki twierdzeniu Bolzano–Weierstrassa pozostaje te˙z w mocy

Twierdzenie 16.10 (Weierstrassa o osia

,

ganiu kres´

ow przez funkcje

,

cia

,

g la

,

)

Je´sli f : C −→ IR jest funkcja

,

cia

,

g la

,

w ka˙zdym punkcie zbioru zwartego C ⊂ IR

k

, to

istnieja

,

punkty p, q ∈ C takie, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ C zachodzi nier´owno´s´c

podw´ojna f (p) ≤ f (x) ≤ f (q) , czyli f (p) jest najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f za´s

f (q) – najwie

,

ksza

,

.

Twierdzenie to ma kapitalne znaczenie. Pozwala ono stwierdza´c, ˙ze np. poszuki-

wana przez nas najwie

,

ksza warto´s´c funkcji istnieje, co zwalnia nas z obowia

,

zku prze-

prowadzania cze

,

sto k lopotliwych rozumowa´

n w konkretnych sytuacjach. Ju˙z w przy-

padku funkcji jednej zmiennej by ly podane przyk lady jego stosowania. Teraz mie´c

to be

,

dzie jeszcze wie

,

ksze znaczenie, bo trudniej w przypadku funkcji wielu zmien-

nych m´owi´c o jej monotoniczno´sci ni˙z w jednowymiarowym przypadku, zreszta

,

gdy

zbi´or jest skomplikowany, mo˙ze to by´c w og´ole niewykonalne ( w prostych sytuacjach

mo˙zna rozpatrywa´c dana

,

funkcje

,

wielu zmiennych kolejno jako funkcje

,

zmiennej x

1

,

potem jako funkcje

,

zmiennej x

2

, . . . ). Przyk lady pojawia

,

sie

,

nieco p´o´zniej.

Zajmiemy sie

,

teraz r´o˙zniczkowaniem funkcji wielu zmiennych. Zaczniemy od

poje

,

cia pochodnej cza

,

stkowej, bo jest ono najprostszym z tych, kt´orymi przyjdzie

nam sie

,

zaja

,

´c. W tym rozdziale, je´sli nie napiszemy wyra´znie, ˙ze jest inaczej, funk-

cja f : G −→ IR

l

be

,

dzie okre´slona na zbiorze otwartym G ⊂ IR

k

. Be

,

dziemy stara´c

sie

,

przenie´s´c twierdzenia u˙zyteczne dla optymalizacji funkcji o warto´sciach rzeczywi-

stych, czyli dla znajdowania ich warto´sci najmniejszych oraz najwie

,

kszych. W nie-

kt´orych przypadkach poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej nam wystarczy, a w niekt´orych

zmuszeni zostaniemy do u˙zycia poje

,

cia r´o˙zniczki funkcji, kt´ore zdefiniujemy p´o´zniej.

Definicja 16.11 (pochodnej cza

,

stkowej)

Pochodna

,

cza

,

stkowa

,

pierwszego rze

,

du odwzorowania f : G −→ IR

l

ze wzgle

,

du na

zmienna

,

x

i

, 1 ≤ i ≤ k , w punkcie p ∈ G , nazywamy granice

,

lim

h→0

f (p+he

i

)−f (p)

h

,

o ile istnieje; e

i

∈ IR

k

to wektor, kt´orego wszystkie wsp´o lrze

,

dne z wyja

,

tkiem i –tej

sa

,

r´owne 0 a i –ta r´owna jest 1: e

i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) . Te

,

pochodna

,

cza

,

stkowa

,

oznaczamy symbolem

∂f

∂x

i

(p) .

Przyk lad 16.1

Niech f (x) = x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

. Z definicji pochodnej cza

,

stkowej

wynika, ˙ze zachodzi naste

,

puja

,

cy wz´or:

∂f

∂x

1

(x) = lim

h→0

f (x + he

1

) − f (x)

h

= lim

h→0

f (x

1

+ h, x

2

, x

3

, x

4

) − f (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

h

=

7

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

= lim

h→0

x

1

+ h + 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

− (x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

)

h

= 1 .

Pochodna

,

∂f

∂x

1

funkcji f obliczamy traktuja

,

c x

1

jako argument funkcji f przy jed-

noczesnym traktowaniu zmiennych x

2

, x

3

, x

4

jako sta lych (parametr´ow). Oblicza-

ja

,

c analogicznie otrzymujemy jeszcze trzy r´owno´sci:

∂f

∂x

2

(x) = 6x

2

2

,

∂f

∂x

3

(x) = e

x

4

,

∂f

∂x

4

(x) = x

3

e

x

4

.

Przyk lad 16.2

Niech f



r

ϕ



=



r cos ϕ

r sin ϕ



– tym razem wsp´o lrze

,

dne punkt´ow

piszemy pionowo, co — jak sie

,

oka˙ze p´o´zniej — ma sens. Obliczymy pochodna

,

tej

funkcji wzgle

,

dem zmiennej r :

∂f

∂r



r

ϕ



= lim

h→0

f



r + h

ϕ



− f



r

ϕ



h

= lim

h→0



(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ



−



r cos ϕ

r sin ϕ



h

=

= lim

h→0



cos ϕ

sin ϕ



=



cos ϕ

sin ϕ



.

Teraz kolej na pochodna

,

wzgle

,

dem zmiennej ϕ :

∂f

∂ϕ



r

ϕ



= lim

h→0

f



r

ϕ + h



− f



r

ϕ



h

= lim

h→0



r cos(ϕ + h)

r sin(ϕ + h)



−



r cos ϕ

r sin ϕ



h

=

=





lim

h→0

r cos(ϕ+h)−r cos ϕ

h

lim

h→0

r sin(ϕ+h)−r sin ϕ

h



 =



−r sin ϕ

r cos ϕ



.

Widzimy wie

,

c, ˙ze w przypadku odwzorowania o warto´sciach w IR

2

otrzymali´smy

wektor, a nie liczbe

,

! Rezultat ten jest dok ladnie taki, jakiego nale˙za lo sie

,

spodziewa´c.

Je´sli funkcja o warto´sciach w przestrzeni IR

l

ma w punkcie pochodna

,

wzgle

,

dem jed-

nej ze swych k zmiennych, to ta pochodna cza

,

stkowa jest wektorem l –wymiarowym.

W la´sciwie na tym mo˙zna by sko´

nczy´c, ale warto jeszcze otrzymany rezultat zinter-

pretowa´c fizycznie.* Mo˙zna my´sle´c, ˙ze warto´scia

,

funkcji f jest punkt p laszczyzny od-

dalony o r od punktu



0
0



lub wektor zaczynaja

,

cy sie

,

w punkcie



0
0



i ko´

ncza

,

cy

sie

,

w punkcie f



r

ϕ



=



r cos ϕ

r sin ϕ



— traktujemy wie

,

c liczby r i ϕ jako tzw.

wsp´o lrze

,

dne biegunowe punktu p laszczyzny. Przy obliczaniu pochodnej wzgle

,

dem

*

Do przeczytania dalszej cze

,

´sci tego przyk ladu wystarczy rozumie´c poje

,

cie pre

,

dko´sci znane z

lekcji fizyki w szkole.

8

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

r traktujemy zmienna

,

ϕ jako sta la

,

. Mo˙zemy interpretowa´c zmienna

,

r jako czas.

Po zmianie czasu o h znajdujemy sie

,

w punkcie f



r + h

ϕ



=



(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ



.

Znale´zli´smy sie

,

wie

,

c w punkcie le˙za

,

cym na tej samej p´o lprostej wychodza

,

cej z punktu

(0, 0) , ale w innej odleg lo´sci od pocza

,

tku uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. Zmiana odleg lo´sci

r´owna jest zmianie czasu. Wobec pre

,

dko´s´c skalarna powinna by´c r´owna 1 a wektor

pre

,

dko´sci powinien by´c r´ownoleg ly do p´o lprostej, po kt´orej porusza sie

,

punkt. Wektor



cos ϕ

sin ϕ



jest r´ownoleg ly do p´o lprostej wychodza

,

cej z punktu



0
0



i przechodza

,

cej

przez punkt



r cos ϕ

r sin ϕ



. Jego d lugo´s´c to 1. Jest to wektor r´owny pre

,

dko´sci wektorowej

poruszaja

,

cego sie

,

punktu. Podobnie mo˙zna zinterpretowa´c pochodna

,

wzgle

,

dem ϕ .

Tym razem r sie

,

nie zmienia, natomiast zmienia sie

,

ka

,

t jaki tworzy wektor o pocza

,

tku



0
0



i ko´

ncu



r cos ϕ

r sin ϕ



z osia

,

odcie

,

tych (pozioma

,

osia

,

uk ladu wsp´o lrze

,

dnych).

W tej sytuacji ϕ oznacza zar´owno czas jak i ten ka

,

t. Wobec tego ruch odbywa

sie

,

po okre

,

gu o ´srodku



0
0



i promieniu r . Chwilowa pre

,

dko´s´c wektorowa jest

wie

,

c wektorem stycznym do tego okre

,

gu. D lugo´s´c tego wektora to oczywi´scie r , bo

pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´owna jest 1. Wektorowi

∂f

∂ϕ



r

ϕ



=



−r sin ϕ

r cos ϕ



przys luguja

,

obie

te w lasno´sci. Jest on wektorem pre

,

dko´sci chwilowej w tym ruchu w momencie ϕ .

Przyk lad 16.3

Niech f





r

ϕ
ψ



 =





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 . Tym razem nale˙zy my´sle´c

o tzw. wsp´o lrze

,

dnych sferycznych: liczba r jest odleg lo´scia

,

od pocza

,

tku uk ladu

wsp´o lrze

,

dnych, ϕ — szeroko´scia

,

geograficzna

,

na sferze o ´srodku





0
0
0



 i promie-

niu r , za´s ψ – d lugo´scia

,

geograficzna

,

na tej sferze. Obliczamy pochodne cza

,

stkowe

wzgle

,

dem kolejnych zmiennych:

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



 =





cos ϕ cos ψ

cos ϕ sin ψ

sin ϕ



 ,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



 =





−r sin ϕ cos ψ

−r sin ϕ sin ψ

r cos ϕ



 ,

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



 =





−r cos ϕ sin ψ

r cos ϕ cos ψ

0



 .

9

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Pierwsza z nich,

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



, to wektorowa pre

,

dko´s´c w ruchu jednostajnym po promie-

niu wychodza

,

cym z punktu





0
0
0



 i przechodza

,

cym przez punkt





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 ;

druga z nich,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c wektorowa w ruchu po po ludniku z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i d lugo´s´c geograficzna

,

, jedynie szeroko´s´c geo-

graficzna zmienia sie

,

); trzecia to

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c w ruchu po r´ownole˙zniku

z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i szeroko´s´c geograficzna

,

, jedy-

nie d lugo´s´c geograficzna zmienia sie

,

). W pierwszym przypadku pre

,

dko´s´c skalarna

r´owna jest 1, bo czas r´owny jest odleg lo´sci od punktu





0
0
0



 , w drugim pre

,

dko´s´c

skalarna r´owna jest promieniowi po ludnika (bo pre

,

dko´s´c ka

,

towa jest r´owna 1) czyli

r , w trzecim natomiast pre

,

dko´s´c skalarna r´owna jest promieniowi r´ownole˙znika (bo

pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´ownie˙z w tym przypadku r´owna jest 1) czyli r cos ϕ . Oczywi´scie te

pre

,

dko´sci skalarne r´owne sa

,

odpowiednio d lugo´sciom wektor´ow

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ





i

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



.

Przyk lad 16.4

Niech f



x

y



=



0,

je´sli x = 0 = y;

xy

x

2

+y

2

, je´sli x 6= 0 lub y 6= 0. Funkcja ta nie

jest cia

,

g la w punkcie



0
0



, bowiem dla x 6= 0 mamy f



x
x



=

1
2

i jednocze´snie

f



0
0



= 0 6=

1
2

. Oznacza to, ˙ze je´sli zbli˙zamy sie

,

do punktu



0
0



we

,

druja

,

c wzd lu˙z

prostej o r´ownaniu y = x , to warto´sci badanej funkcji nie da

,

˙za

,

do 0 = f



0
0



.

Oczywi´scie jest to jedyny punkt niecia

,

g lo´sci tej funkcji. Zbadamy teraz kwestie

,

ist-

nienia pochodnych cza

,

stkowych funkcji f . We wszystkich punktach z wyja

,

tkiem

punktu



0
0



pochodne cza

,

stkowe istnieja

,

, co wynika od razu z twierdze´

n pozwa-

laja

,

cych na obliczanie pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. R´ownie˙z w

10

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

punkcie



0
0



funkcja f ma pochodne cza

,

stkowe. Wyka˙zemy to. Mamy

lim

h→0

f



h

0



− f



0
0



h

= lim

h→0

0 − 0

h

= 0 .

Wykazali´smy, ˙ze

∂f
∂x



0
0



= 0 . W taki sam spos´ob wykazujemy, ˙ze

∂f

∂y



0
0



= 0 .

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli x 6= 0 lub y 6= 0 , to

∂f
∂x



x

y



=

y

3

− x

2

y

(x

2

+ y

2

)

2

— wynika to

natychmiast z twierdzenia o pochodnej ilorazu dwu funkcji jednej zmiennej. Analo-

gicznie

∂f

∂y



x
y



=

x

3

− xy

2

(x

2

+ y

2

)

2

. Zache

,

camy czytelnika do samodzielnego sprawdzenia

tych wzor´ow oraz do sprawdzenia, ˙ze pochodne cza

,

stkowe, kt´ore w la´snie znale´zli´smy,

sa

,

niecia

,

g le w punkcie



0
0



.

Przyk lad czwarty pokazuje, ˙ze stwierdzenie istnienia pochodnych cza

,

stkowych

w jakim´s punkcie, a nawet w ca lej dziedzinie funkcji nie pozwala jeszcze zbyt wiele

na temat tej funkcji wywnioskowa´c – z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika

nawet cia

,

g lo´s´c funkcji! Jasne jest, ˙ze potrzebne nam sa

,

w lasno´sci pozwalaja

,

ce na

stwierdzanie cia

,

g lo´sci funkcji i co wie

,

cej na stwierdzanie, ˙ze jej zachowanie w ma lym

otoczeniu punktu r´o˙zniczkowalno´sci jest w przybli˙zeniu takie jak funkcji liniowej. To

jest podstawowa idea w rachunku r´o˙zniczkowym. Stosowali´smy rozumowania oparte

na tej w la´snie idei wielokrotnie w przypadku funkcji jednej zmiennej. To one dopro-

wadzi ly nas do sformu lowania twierdze´

n pozwalaja

,

cych na ustalanie w jakich prze-

dzia lach funkcja r´o˙zniczkowalna jest monotoniczna, w jakich punktach mo˙ze mie´c

lokalne ekstrema itd. Podamy teraz definicje

,

r´o˙zniczkowalno´sci funkcji wielu zmien-

nych i warunek wystarczaja

,

cy dla r´o˙zniczkowalno´sci.

Definicja 16.12 (funkcji r´

o˙zniczkowalnej w punkcie)

Funkcja f : G −→ IR

l

okre´slona na zbiorze G otwartym w IR

k

jest r´o˙zniczkowalna

w punkcie p ∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz L , ˙ze

lim

h→0

f (p+h)−f (p)−Lh

khk

= 0 .

Wtedy macierz L nazywamy r´o˙zniczka

,

funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbo-

lem Df (p) lub df (p) lub f

0

(p) .

Pochodna cza

,

stkowa obliczana jest po to, by uzyska´c informacje o tym jak zmie-

nia sie

,

funkcja w kierunku jednej z osi uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. R´o˙zniczke

,

, o ile ist-

nieje, obliczamy po to, by dowiedzie´c sie

,

jak zachowuje sie

,

funkcja w ca lym otoczeniu

11

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

punktu. Poje

,

ciem po´srednim jest pochodna kierunkowa.

Definicja 16.13 (pochodnej kierunkowej)

Pochodna

,

funkcji f : G −→ IR

l

w punkcie p , w kierunku wektora v nazywamy

granice

,

lim

t→0

f (p + tv) − f (p)

t

,

je´sli ta granica istnieje. Te

,

pochodna

,

oznaczamy symbolem f

0

v

(p) .

Jasne jest, ˙ze w la´snie uog´olnili´smy poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej:

∂f

∂x

i

(p) = f

0

e

i

(p) .

Pochodna kierunkowa w kierunku wektora v obliczana jest po to, by oceni´c tempo

zmian funkcji w otoczeniu punktu p na prostej przechodza

,

cej przez punkt p r´ow-

noleg lej do wektora v . W punktach r´o˙zniczkowalno´sci funkcji pochodna

,

kierunkowa

,

mo˙zna latwo znale´z´c po obliczeniu r´o˙zniczki funkcji.

Twierdzenie 16.14 (Fermata)

Je´sli p jest punktem wewne

,

trznym dziedziny G funkcji f : G −→ R , f (p) jest

najwie

,

ksza

,

lub najmniejsza warto´scia

,

funkcji f i istnieje f

0

v

(p) , to f

0

v

(p) = 0 .

Dow´

od. Poniewa˙z p le˙zy wewna

,

trz zbioru G , wie

,

c istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze

je´sli |t| < δ , to p+tv ∈ G . Poniewa˙z f (p) jest najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

funkcji f , wie

,

c

dla ka˙zdej liczby t , dla kt´orej 0 < |t| < δ , zachodzi nier´owno´s´c f (p + th) ≤ f (p) .

Z niej wynika, ˙ze je´sli −δ < t < 0 , to

f (p+tv)−f (p)

t

≥ 0 oraz

f (p+tv)−f (p)

t

≤ 0 ,

gdy 0 < t < δ . Pierwsza nier´owno´s´c powoduje, ˙ze f

0

v

(p) ≥ 0 . Z drugiej wynika, ˙ze

f

0

v

(p) ≤ 0 . La

,

cza

,

c obie otrzymujemy f

0

v

(p) = 0 .

Twierdzenie 16.15 (o istnieniu pochodnej kierunkowej w punktach

r´

o˙zniczkowalno´sci funkcji)

Je´sli funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p ∈ G , v ∈ IR

k

, to funkcja

f ma w punkcie p pochodna kierunkowa

,

w kierunku wektora v i zachodzi r´owno´s´c:

f

0

v

(p) = Df (p)v .

Dow´

od. Mamy

lim

t→0

f (p+tv)−f (p)

t

= lim

t→0



f (p+tv)−f (p)−Df (p)(tv)

ktvk

·

ktvk

t

+ Df (p)v



= Df (p)v

— skorzystali´smy tu z tego, ˙ze iloczyn wyra˙zenia

ktvk

t

, ograniczonego, i wyra˙zenia

da

,

˙za

,

cego do 0 ma granice

,

0 oraz z tego, ˙ze Df (p)(tv) = tDf (p)v i oczywi´scie z

12

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

tego, ˙ze f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , z czego wynika od razu, ˙ze

lim

t→0



f (p + tv) − f (p) − Df (p)(tv)

ktvk



= 0 .

W ten spos´ob zako´

nczyli´smy dow´od tego twierdzenia.

Z tego twierdzenia wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze przy ustalonym punkcie p po-

chodna f

0

v

(p) jest liniowa

,

funkcja

,

wektora v oczywi´scie pod warunkiem r´o˙zniczko-

walno´sci funkcji f w tym punkcie. Oznacza to, ˙ze f

0

αv+βw

(p) = αf

0

v

(p) + βf

0

w

(p)

dla dowolnych liczb rzeczywistych α, β i dowolnych wektor´ow v, w ∈ R

k

.

Czytelnik zechce sprawdzi´c, ˙ze je´sli f

0
0

= 0 i f

x
y

=

x

2

y

x

2

+y

2

, gdy przynajmniej

jedna z liczb x , y jest r´o˙zna od 0, to f

0

v

(0) = f (v) dla ka˙zdego wektora v ∈ IR

k

.

W tym przypadku pochodna w kierunku wektora v w punkcie 0 nie jest wie

,

c liniowa

,

funkcja

,

wektora v , a co za tym idzie funkcja f nie jest r´o˙zniczkowalna w punkcie 0 .

Zache

,

camy do sprawdzenia, ˙ze f jest w tym punkcie cia

,

g la.

Powt´orzmy: z r´o˙zniczkowalno´sci funkcji w punkcie wynika istnienie pochod-

nych kierunkowych w tym punkcie we wszystkich kierunkach, w szczeg´olno´sci ist-

nienie pochodnych cza

,

stkowych. Z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika na-

wet cia

,

g lo´s´c funkcji — widzieli´smy to na przyk ladzie funkcji

xy

x

2

+y

2

. Mo˙zna poda´c

przyk lad funkcji kt´ora w pewnym punkcie ma pochodne kierunkowe we wszystkich

kierunkach i to r´owne 0 i jednocze´snie nie jest cia

,

g la w tym punkcie. Oznacza to,

˙ze zbadanie zachowania sie

,

funkcji na prostych przechodza

,

cych przez dany punkt

to jedynie wste

,

p do zbadania zachowania sie

,

tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

Tych kwestii nie be

,

dziemy jednak dok ladnie analizowa´c, bo to wykracza znacznie

poza potrzeby wie

,

kszo´sci chemik´ow.

Definicja 16.16 (gradientu funkcji)

Wektor grad f (p) nazywamy gradientem funkcji f r´o˙zniczkowalnej w punkcie p ,

je´sli Df (p)v = grad f (p) · v dla ka˙zdego wektora v ∈ R

k

.

Z definicji wynika od razu, ˙ze grad f (p) =

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

∂f

∂x

1

(p),

∂f

∂x

1

(p), . . . ,

∂f

∂x

k

(p)

— r´o˙z-

nica mie

,

dzy gradientem i r´o˙zniczka

,

jest na tym etapie czysto formalna. R´o˙zniczka to

macierz (ewentualnie przekszta lcenie liniowe), a gradient to wektor.

Rozwa˙zmy teraz funkcje

,

f : G −→ IR r´o˙zniczkowalna

,

w punkcie p ∈ G . Niech v

i w oznaczaja

,

takie wektory, ˙ze kvk = k grad f (p)k i w = grad f (p) . Mamy wtedy

f

0

v

(p) = Df (p)v = v · grad f (p) = v · w ≤ kvk · kwk = kwk

2

= f

0

w

(p) .

Wykazali´smy wie

,

c

13

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Twierdzenie 16.17 (o kierunku najszybszego wzrostu funkcji)

Pochodna funkcji f w kierunku gradientu funkcji w danym punkcie p jest najwie

,

ksza

,

spo´sr´od wszystkich pochodnych w tym punkcie w kierunku wektor´ow o d lugo´sci

k grad f (p)k .

Zwykle m´owimy, ˙ze gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji, bo

pochodna mierzy tempo zmian funkcji, je´sli pochodna jest dodatnia to funkcja ro´snie.

Rozwa˙zanie jedynie wektor´ow o danej d lugo´sci jest konieczne, bo f

0

αv

(p) = αf

0

v

(p)

dla dowolnego punktu p , dowolnego wektora v i dowolnej liczby rzeczywistej α ,

a my chcemy por´ownywa´c tempo wzrostu funkcji wzd lu˙z prostych przechodza

,

cych

przez punkt p oczywi´scie przy za lo˙zeniu, ˙ze po ka˙zdej prostej poruszamy sie

,

z ta

,

sama

,

pre

,

dko´scia

,

— podany w tym zdaniu wz´or stwierdza po prostu, ˙ze zmiana pre

,

dko´sci

poruszania sie

,

po prostej przechodza

,

cej przez p powoduje wzrost pre

,

dko´sci zmian

funkcji w takim samym stosunku. W istocie rzeczy s lowo gradient nie jest niezbe

,

dne

w tym wyk ladzie, ale poniewa˙z jest ono u˙zywane powszechnie we wszystkich je

,

zykach,

wie

,

c my te˙z go unika´c nie be

,

dziemy.

Twierdzenie 16.18 (o r´

o˙zniczce z lo˙zenia dwu funkcji)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p a funkcja f w punkcie g(p)

oraz ˙ze z lo˙zenie f ◦ g jest zdefiniowane, tj. dziedzina funkcji f zawiera zbi´or warto´sci

funkcji g . Wtedy z lo˙zenie f ◦ g jest r´o˙zniczkowalne w punkcie p i zachodzi r´owno´s´c:

D(f ◦ g)(p) = Df (g(p)) · Dg(p) , tu kropka oznacza mno˙zenie macierzy.

Dow´

od. Niech r(h) =

g(p+h)−g(p)−Dg(p)h

khk

dla h 6= 0 i r(0) = 0 . Wobec tego

g(p + h) = g(p) + Dg(p)h + r(h) · khk . R´o˙zniczkowalno´s´c funkcji g w punkcie p to

po prostu cia

,

g lo´s´c funkcji r w punkcie 0 .

Analogicznie r´o˙zniczkowalno´s´c funkcji f w punkcie g(p) to cia

,

g lo´s´c funkcji % ,

zdefiniowanej za pomoca

,

r´owno´sci %(H) =

f (g(p)+H)−g(p)−Df ((p))H

kHk

i %(0) = 0 , w

punkcie 0 .

Mamy teraz

f (g(p + h)) = f (g(p)) + Df (g(p)) g(p + h) − g(p)

+

+ % g(p + h) − g(p)

·

g(p + h) − g(p)

=

= f (g(p)) + Df (g(p)) Dg(p)h + r(h)khk

+

+ % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)h + r(h)khk

=

= f (g(p)) + Df (g(p))Dg(p)h +

+ khk · Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

.

Jasne jest, ˙ze wyra˙zenie

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

jest ograniczone oraz ˙ze zachodzi

14

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

r´owno´s´c lim

h→0

Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

= 0 , a sta

,

d ju˙z latwo wynika,

˙ze lim

h→0

Df (g(p))r(h) + % Dg(p)h + r(h)khk

·

Dg(p)

h

khk

+ r(h)

= 0 , czyli ˙ze

lim

h→0

f (g(p+h))−f (g(p))−Df (g(p))Dg(p)h

khk

= 0 , a to oznacza, ˙ze

D(f ◦ g)(p) = Df (p) · Dg(p) .

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Je´sli studenci zechca

,

, to moga

,

zauwa˙zy´c, ˙ze ten dow´od w istocie rzeczy sugeruje,

˙ze mo˙zna (i w rzeczywisto´sci nale˙zy) my´sle´c o wydzielaniu cze

,

´sci sta lej ( f (g(p)) ),

a naste

,

pnie liniowej ( Df (g(p))Dg(p)h ) przekszta lcenia, gdy usi lujemy znale´z´c jego

r´o˙zniczke

,

w danym punkcie. Mo˙zna to prze´sledzi´c na jakim´s przyk ladzie, czego w

tym miejscu nie zrobimy, ale zache

,

camy czytelnik´ow do samodzielnego znalezienia co

najmniej jednej pochodnej w ten spos´ob.

Naste

,

pne twierdzenie podamy bez dowodu.

Twierdzenie 16.19 (o r´

o˙zniczce funkcji odwrotnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p zbioru otwartego

G ⊂ IR

k

, ˙ze jej zbi´or warto´sci jest otwarty w IR

l

, ˙ze r´o˙zniczka Df (p) jest macierza

,

odwracalna

,

oraz ˙ze funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa i funkcja odwrotna f

−1

jest

cia

,

g la w punkcie f (p) . Wtedy funkcja f

−1

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie f (p)

i zachodzi r´owno´s´c D(f

−1

)(p) = (Df (p))

−1

.

Warto jedynie zaznaczy´c, ˙ze g l´ownym problemem w tym twierdzeniu jest istnie-

nie r´o˙zniczki przekszta lcenia odwrotnego. Sam wz´or jest konsekwencja

,

twierdzenia o

pochodnej z lo˙zenia dwu funkcji ( f i f

−1

).

Dwa ostatnie twierdzenia pokazuja

,

, ˙ze nale˙zy my´sle´c o pochodnej (r´o˙zniczce)

funkcji wielu zmiennych jako o macierzy. Doda´c nale˙zy, ˙ze twierdzenie o r´o˙zniczce

z lo˙zenia dwu funkcji to jedna z g l´ownych przyczyn, dla kt´orych mno˙zenie macierzy

jest zdefiniowane w la´snie w taki spos´ob.

Poka˙zemy jedno z licznych zastosowa´

n tego twierdzenia. Niech γ: (−1, 1) −→ R

k

be

,

dzie funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

. Wtedy wektor γ

0

(t

0

) jest styczny w punkcie γ(t

0

) do

obrazu funkcji γ , czyli do krzywej z lo˙zonej ze wszystkich punkt´ow postaci γ(t) , gdzie

t ∈ (−1, 1) . Nale˙zy my´sle´c, ˙ze w chwili t poruszaja

,

cy sie

,

punkt materialny znajduje

sie

,

w miejscu γ(t) . W takiej sytuacji naturalnym pomys lem jest przyje

,

cie, ˙ze wek-

tor γ

0

(t) to wektor pre

,

dko´sci chwilowej w momencie t . Oczywi´scie pre

,

dko´s´c jest

styczna do drogi. Te kilka zda´

n to oczywi´scie agitacja, ale jedna z definicji wektora

15

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

stycznego do krzywej to w la´snie one (po opuszczeniu tre´sci fizycznej, kt´ora jest przy-

czyna

,

przyje

,

cia w la´snie takiej definicji wektora stycznego) . W szczeg´o ly wchodzi´c

nie be

,

dziemy z braku czasu.

Za l´o˙zmy, ˙ze f : R

k

−→ R i γ: (−1, 1) −→ R

k

sa

,

funkcjami r´o˙zniczkowalnymi

oraz ˙ze istnieje taka liczba c , ˙ze f γ(t)

= c dla t ∈ (−1, 1) . Wtedy

0 = (f ◦ γ)

0

(0) = Df γ(0)

· γ

0

(0) = grad f γ(0)

· γ

0

(0) .

Wykazali´smy, ˙ze wektory grad f γ(0)

i γ

0

(0) sa

,

prostopad le. Je´sli poprowadzi-

my przez punkt p := γ(0) wszystkie mo˙zliwe krzywe r´o˙zniczkowalne, to otrzymamy

wszystkie wektory styczne do „powierzchni” f (x) = c w punkcie p . Ka˙zdy z nich

jest prostopad ly do gradientu funkcji f w punkcie p . Oznacza to, ˙ze gradient jest

prostopad ly do „p laszczyzny”* Je´sli ten gradient jest niezerowy, to mo˙zemy znale´z´c

r´ownanie „p laszczyzny stycznej”.

Przyk lad 16.5

Niech f (x, y) = y − sin x i niech c = 0 . Zbi´or M zdefiniowany

r´ownaniem 0 = f (x, y) to wykres funkcji sinus. Niech p = (

π

6

,

1
2

) . Mamy wie

,

c

f (

π

6

,

1
2

) =

1
2

− sin

π

6

= 0 , czyli p ∈ M . Wektory styczne do zbioru M (czyli do

sinusoidy) w punkcie p sa

,

prostopad le do wektora

grad f (

π

6

,

1
2

) = (− cos

π

6

, 1) = (−

√

3

2

, 1) .

Je´sli punkt (x, y) le˙zy na stycznej do M w punkcie p , to

0 = (−

√

3

2

, 1) · (x −

π

6

, y −

1
2

) = −

√

3

2

(x −

π

6

) + (y −

1
2

) .

Czytelnik bez trudu rozpozna r´ownanie prostej stycznej do sinusoidy w punkcie

p = (

π

6

,

1
2

) , kt´ore poprzednio otrzymywali´smy nieco inaczej. Zauwa˙zy te˙z, ˙ze w przy-

padku wykresu dowolnej funkcji r´o˙zniczkowalnej otrzymany na opisanej teraz drodze

rezultat be

,

dzie identyczny z uzyskiwanym przez skorzystanie z definicji prostej stycz-

nej do wykresu funkcji podanej w pierwszym semestrze.

Przyk lad 16.6

Niech f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

i niech c = 14 . Niech M be

,

dzie

zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c

14 = c = f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

Oczywi´scie p := (1, −2, 3) ∈ M . Zbi´or M jest sfera

,

, kt´orej ´srodkiem jest punkt

(0, 0, 0) i kt´orej promie´

n jest r´owny

√

14 . Znajdziemy p laszczyzne

,

Π styczna

,

do tej

sfery w punkcie p = (1, −2, 3) . Mamy grad f (1, −2, 3) = (2, −4, 6) .

Je´sli (x, y, z) ∈ Π , to

*

To nie zawsze jest p laszczyzna, np. zwykle wymiar r´

owny jest k−1 , wie,c dla k>3 m´owimy na og´o l

o przestrzeni stycznej do powierzchni f (x)=c .

16

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

0 = (x − 1, y + 2, z − 3) · (2, −4, 6) = 2(x − 1) − 4(y + 2) + 6(z − 3) .

Otrzymali´smy r´ownanie p laszczyzny stycznej do sfery M w punkcie (1, −2, 3) .

Przyk lad 16.7

Uk lad r´owna´

n y = 0 i (x − 7)

2

+ z

2

= 25 opisuje okra

,

g o ´srodku

w punkcie (7, 0, 0) i promieniu 5 le˙za

,

cy w p laszczy´znie wyznaczonej przez osie OX

i OZ . R´ownanie (x − 7)

2

+ z

2

= 25 mo˙zemy przepisa´c w postaci 14x = x

2

+ z

2

+ 24 .

Z tego r´ownania wynika, ˙ze 196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przy czym to ostatnie r´ownanie

r´ownowa˙zne jest poprzedniemu przy za lo˙zeniu, ˙ze x ≥ 0 . Zaste

,

puja

,

c x

2

w r´ownaniu

196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przez x

2

+ y

2

otrzymujemy r´ownanie powierzchni powsta lej

w wyniku obrotu okre

,

gu (x − 7)

2

+ z

2

= 25 le˙za

,

cego w p laszczy´znie y = 0 wok´o l osi

OZ — ta powierzchnia wygla

,

da jak napompowana de

,

tka, np. rowerowa; matematycy

zwa

,

ja

,

torusem. Tak otrzymane r´ownanie tej powierzchni ma posta´c

196(x

2

+ y

2

) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

2

.

Latwo mo˙zna przekona´c sie

,

, ˙ze jednym z punkt´ow tej powierzchni jest p := (6, 8, 4) .

Niech f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

2

− 196(x

2

+ y

2

) . Jasne jest, ˙ze r´ownanie torusa

mo˙zna zapisa´c jako f (x, y, z) = 0 . Zachodzi r´owno´s´c

grad f (x, y, z) = 2x(x

2

+y

2

+z

2

)−392x, 2y(x

2

+y

2

+z

2

)−392y, 2z(x

2

+y

2

+z

2

)

. Z

niej wynika, ˙ze grad f (6, 8, 4) = (−960, −1080, 928) . R´ownanie p laszczyzny stycznej

ma wie

,

c posta´c:

0 = (x − 6, y − 8, z − 4) · (−960, −1280, 928) = −960(x − 6) − 1280(y − 8) + 928(z − 4) .

Po podzieleniu przez 32 otrzymujemy −30(x − 6) − 40(y − 8) + 29(z − 4) , czyli

30x + 40y − 29z − 384 = 0 .

Uwaga 16.20 (na deser) Najprostsze funkcje to liniowe.

Je´sli f (x, y) = Ax + By + C , to grad f (x, y) = []A, B] . Wynika sta

,

d, ˙ze

wektor (A, B) jest prostopad ly do prostej stycznej zbioru opisanego r´ownaniem

0 = f (x, y) = Ax + By + C , czyli do prostej Ax + By + C = 0 .

Je´sli f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , to grad f (x, y, z) = (A, B, C) , wie

,

c wektor

(A, B, C) jest prostopad ly do p laszczyzny stycznej do zbioru opisanego r´ownaniem

0 = f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , wie

,

c do p laszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 .

To akurat wiemy od dawna. Okaza lo sie

,

jednak, ˙ze jest to szczeg´olny przypadek

og´olniejszego twierdzenia.

Przyk lad 16.8

Niech f

x
y

=

xy

x

2

+y

2

. Znajdziemy kresy tej funkcji w zbiorze

IR

2

\ {0} . Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli t 6= 0 , to f (tx) = f (x) dla dowolnego x 6= 0 ,

w lasno´s´c ta nazywana jest jednorodno´scia

,

stopnia 0 funkcji. Wynika sta

,

d, ˙ze w celu

17

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

znalezienia kres´ow funkcji f wystarczy rozpatrywa´c jej warto´sci w punktach dowol-

nie ustalonego okre

,

gu o ´srodku w punkcie 0 , np. okre

,

gu o promieniu 1. Okra

,

g ten jest

oczywi´scie zbiorem domknie

,

tym i ograniczonym, czyli zwartym. Wobec tego nasza

funkcja przyjmuje w jakim´s punkcie tego okre

,

gu swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c i w jakim´s

innym punkcie tego okre

,

gu swa

,

warto´s´c najmniejsza

,

. Wobec tego, ˙ze funkcja ta jest

jednorodna stopnia 0, ta najmniejsza warto´s´c jest najmniejsza

,

warto´scia

,

w ca lej

dziedzinie funkcji i przyjmowana jest nie tylko w jednym punkcie, ale we wszyst-

kich punktach prostej przechodza

,

cej przez ten punkt i 0 , z wyja

,

tkiem oczywi´scie

punktu 0 , w kt´orym funkcja nie jest zdefiniowana. To samo mo˙zna powiedzie´c o

warto´sci najwie

,

kszej.

Mamy

∂f
∂x

x
y

=

y

3

−x

2

y

(x

2

+y

2

)

2

oraz

∂f
∂y

x
y

=

x

3

−xy

2

(x

2

+y

2

)

2

. Wida´c, ˙ze gradient jest wek-

torem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy x

2

= y

2

, czyli gdy x = ±y . Podsta-

wiaja

,

c x = ±y otrzymujemy f

x
x

=

1
2

oraz f

x

−x

= −

1
2

. Wynika sta

,

d, ˙ze naj-

wie

,

ksza

,

warto´scia

,

tej funkcji jest

1
2

za´s najmniejsza

,

−

1
2

. Szukanie kres´ow zosta lo

zako´

nczone.

Nadmieni´c wypada, ˙ze rozwia

,

zane przed chwila

,

zadanie mo˙zna rozwia

,

za´c nic

o pochodnych nie wiedza

,

c. Znajdziemy kres g´orny warto´sci funkcji. Mamy znale´z´c

najmniejsza

,

liczbe

,

k , taka

,

˙ze je´sli

x
y

6=

0
0

zachodzi nier´owno´s´c

xy

x

2

+y

2

≤ k , tzn.

kx

2

− xy + ky

2

≥ 0 . Oczywi´scie k ≥

1
2

=

1·1

1

2

+1

2

. Dla k =

1
2

nier´owno´s´c przybiera

posta´c: 0 ≤

1
2

x

2

− xy +

1
2

y

2

=

1
2

(x − y)

2

, wie

,

c jest prawdziwa. Sta

,

d od razu wynika,

˙ze liczba

1
2

jest kresem g´ornym funkcji

xy

x

2

+y

2

. Z r´owno´sci f

−x

y

= −f

x
y

wynika

natychmiast, ˙ze kresem dolnym funkcji f jest −

1
2

.

Uwaga: okaza lo sie

,

, ˙ze grad f

x
y

=

x

2

−y

2

(x

2

+y

2

)

2

−y

x

, wie

,

c ten wektor jest prostopad ly

do wektora

x
y

, wobec tego pochodna kierunkowa w kierunku wektora

x
y

i ka˙zdego

do niego r´ownoleg lego r´owna jest 0, zatem funkcja f jest sta la na p´o lprostej wycho-

dza

,

cej z 0 i przechodza

,

cej przez

x
y

— korzystali´smy z tego w rozwia

,

zaniu, a teraz

pokazali´smy inne, bardziej „uczone” uzasadnienie tego stwierdzenia.

Przyk lad 16.9

Niech f

x
y

=

xy

x

2

−2xy+9y

2

. Funkcja ta jest poprawnie okre´slona

w zbiorze IR

2

\ {0} , bo x

2

− 2xy + 9y

2

= (x − y)

2

+ 5y

2

= 0 wtedy i tylko wtedy,

gdy y = 0 = x − y , czyli gdy

x
y

=

0
0

. Znajdziemy kresy tej funkcji w zbiorze

IR

2

\ {0} . Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie f (tx) = f (x) dla dowolnych

t 6= 0 i x 6= 0 , wie

,

c w celu znalezienia kres´ow funkcji f wystarczy rozpatrywa´c jej

warto´sci w punktach dowolnie ustalonego okre

,

gu o ´srodku w punkcie 0 , np. okre

,

gu

18

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

o promieniu 1. Okra

,

g ten jest oczywi´scie zbiorem domknie

,

tym i ograniczonym, czyli

zwartym. Wobec tego nasza funkcja przyjmuje w jakim´s punkcie tego okre

,

gu swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c i w jakim´s innym punkcie tego okre

,

gu swa

,

warto´s´c najmniej-

sza

,

. Ta najmniejsza warto´s´c jest najmniejsza

,

warto´scia

,

w ca lej dziedzinie funkcji i

przyjmowana jest nie tylko w jednym punkcie, ale we wszystkich punktach prostej

przechodza

,

cej przez ten punkt i 0 , z wyja

,

tkiem oczywi´scie punktu 0 , w kt´orym

funkcja nie jest zdefiniowana. To samo dotyczy warto´sci najwie

,

kszej.

Mamy

∂f
∂x

x
y

=

9y

3

−x

2

y

(x

2

−2xy+9y

2

)

2

oraz

∂f
∂y

x
y

=

x

3

−9xy

2

(x

2

−2xy+9y

2

)

2

. Wida´c, ˙ze gradient

jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy x

2

= 9y

2

, czyli gdy x = ±3y .

Podstawiaja

,

c x = ±3y otrzymujemy f

3y

y

=

1
4

oraz f

3y

−y

= −

1
4

. Wynika sta

,

d, ˙ze

najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

tej funkcji jest

1
4

za´s najmniejsza

,

−

1
8

. Szukanie kres´ow zosta lo

zako´

nczone.

Nadmieni´c wypada, ˙ze rozwia

,

zane przed chwila

,

zadanie mo˙ze rozwia

,

za´c liceali-

sta, kt´ory nic o pochodnych nie wie.

Znajdziemy kres g´orny warto´sci funkcji, czyli taka

,

najmniejsza

,

liczbe

,

k ∈ R , ˙ze

je´sli

x
y

6=

0
0

, to

xy

x

2

−2xy+9y

2

≤ k , tzn. kx

2

− (2k + 1)xy + 9ky

2

≥ 0 . Oczywi´scie

k ≥

1
8

=

1·1

1

2

−2·1·1+9·1

2

> 0 . Aby nier´owno´s´c kx

2

−(2k+1)xy+9ky

2

≥ 0 by la spe lniona

dla wszystkich liczb x przy ustalonych k i y , wyr´o˙znik tr´ojmianu kwadratowego nie

mo˙ze by´c dodatni:

0 ≥ ∆ = (2k + 1)

2

y

2

− 36k

2

y

2

= y

2

(2k + 1 − 6k)(2k + 1 + 6k) = y

2

(1 − 4k)(1 + 8k),

co oznacza, ˙ze 1 − 4k ≤ 0 , czyli k ≥

1
4

. Dla k =

1
4

nier´owno´s´c przybiera posta´c:

1
4

≥

xy

x

2

−2xy+9y

2

, czyli

♠

x

2

− 2xy + 9y

2

≥ 4xy , tzn. 0 ≤ x

2

− 6xy + 9y

2

= (x − 3y)

2

,

wie

,

c jest prawdziwa. Liczba

1
4

jest zatem kresem g´ornym funkcji

xy

x

2

−2xy+9y

2

.

Je´sli nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ k zachodzi dla wszystkich

x
y

∈ R

2

\ {

0
0

} ,

to k ≤

(−1)·1

(−1)

2

−2(−1)·1+9·1

2

= −

1

12

< 0 , wie

,

c k musi by´c liczba

,

ujemna

,

. Nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ k jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci kx

2

− (2k + 1)xy + 9ky

2

≤ 0 ,a ta za-

chodzi dla wszystkich x ∈ R przy ustalonym y i k < 0 , gdy

0 ≥ ∆ = (2k +1)

2

y

2

−36k

2

y

2

= y

2

(2k +1−6k)(2k +1+6k) = y

2

(1−4k)(1+8k), wie

,

c

gdy 1 + 8k ≤ 0 , czyli gdy k ≤ −

1
8

. Nier´owno´s´c

xy

x

2

−2xy+9y

2

≥ −

1
8

jest r´ownowa˙zna

nier´owno´sci 0 ≤ x

2

+ 6xy + 9y

2

= (x + 3y)

2

, wie

,

c jest prawdziwa. Oznacza to, ˙ze

kresem dolnym funkcji

xy

x

2

−2xy+9y

2

jest liczba −

1
8

.

Przyk lad 16.10

Znajdziemy najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c wyra˙zenia xy

2

z

3

♠ Mianownik jest dodatni: x

2

−2xy+9y

2

>0 , gdy

x 6= 0

lub

y 6= 0

19

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

za lo˙zywszy, ˙ze x, y, z ≥ 0 i x + y + z = 6 .

Niech C =

n

x

y
z



:

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6

o

i f



x

y
z



= xy

2

z

3

.

Funkcja f jest cia

,

g la na IR

3

, wie

,

c r´ownie˙z na zbiorze C . Zbi´or C jest ograniczony,

bo je´sli punkt



x

y
z



znajduje sie

,

zbiorze C , to 0 ≤ x ≤ 6 , 0 ≤ y ≤ 6 , 0 ≤ z ≤ 6 . Jest

te˙z domknie

,

ty, to je´sli



x

n

y

n

z

n



∈ C , czyli x

n

≥ 0 , y

n

≥ 0 , z

n

≥ 0 , x

n

+y

n

+z

n

= 6 oraz

lim

n→∞



x

n

y

n

z

n



=



x

y
z



, to r´ownie˙z 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z i x + y + z = 6 , czyli



x

y
z



∈ C .

Ograniczony i domknie

,

ty podzbi´or IR

3

jest zwarty, wie

,

c funkcja

,

cia

,

g la okre´slona

na tym zbiorze przyjmuje w jakim´s jego punkcie warto´s´c najmniejsza

,

i w jakim´s

punkcie warto´s´c najwie

,

ksza

,

. C oczywi´scie nie zawiera ˙zadnej kuli, wie

,

c nie mo˙zna

tu stosowa´c twierdzenia o zerowaniu sie

,

gradientu w punktach lokalnego ekstremum.

Mo˙zna natomiast wyznaczy´c jedna

,

z trzech zmiennych za pomoca

,

dwu pozosta lych,

np. x = 6−y−z i rozwa˙zy´c funkcje

,

dwu zmiennych: g

y
z

= (6−y−z)y

2

z

3

na zbiorze

D =



y
z

:

0 ≤ y, 0 ≤ z, y + z ≤ 6

. Zbi´or D , podobnie jak C , jest zwarty. Funk-

cja g jest cia

,

g la w ka˙zdym punkcie p laszczyzny, wie

,

c r´ownie˙z w punktach zbioru D

i wobec tego przyjmuje w jakim´s punkcie tego zbioru warto´s´c najmniejsza

,

i w ja-

kim´s punkcie — warto´s´c najwie

,

ksza

,

. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze zbi´or D jest tr´ojka

,

tem

prostoka

,

tnym r´ownoramiennym kt´orego wierzcho lkami sa

,

punkty

0
0

,

6
0

i

0
6

.

Na brzegu tego tr´ojka

,

ta, czyli w punktach prostej y = 0 , w punktach prostej

z = 0 oraz w punktach prostej y + z = 6 funkcja g przyjmuje warto´s´c 0.

Wewna

,

trz tr´ojka

,

ta przyjmuje warto´sci dodatnie. Wobec tego jej najmniejsza

,

warto´scia

,

jest liczba 0, a warto´s´c najwie

,

ksza jest przyje

,

ta w pewnym punkcie we-

wne

,

trznym. W tym punkcie wewne

,

trznym gradient funkcji g jest r´owny 0 .

Mamy grad g



y
z



=



−y

2

z

3

+ 2yz

3

(6 − y − z)

−y

2

z

3

+ 3y

2

z

2

(6 − y − z)



. Obie wsp´o lrze

,

dne maja

,

by´c

r´owne 0, a poniewa˙z szukamy punkt´ow wewna

,

trz tr´ojka

,

ta D , wie

,

c y > 0 i z > 0 , za-

tem musza

,

by´c spe lnione r´owno´sci



−y + 2(6 − y − z) = 0,
−z + 3(6 − y − z) = 0,

czyli



3y + 2z = 12,
3y + 4z = 18.

Wynika sta

,

d, ˙ze z = 3 i y = 2 . Poniewa˙z warto´s´c najwie

,

ksza jest przyjmowana

w pewnym punkcie, a jedynym kandydatem jest punkt

2
3

, wie

,

c najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

funkcji g na zbiorze D jest liczba g

2
3

= (6 − 2 − 3)2

2

3

3

= 108 .

Przyk lad 16.11

Niech f

x
y

= xy

2

e

−x−2y

. Znajdziemy kresy tej funkcji w pierw-

szej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, tj. w zbiorze C =

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0

o

. We

wszystkich punktach brzegu zbioru funkcja przyjmuje warto´s´c 0, wewna

,

trz warto´sci

20

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

sa

,

dodatnie. Kresem dolnym jest wie

,

c 0. Zajmiemy sie

,

kresem g´ornym. Zachodzi

r´owno´s´c grad f

x
y

=

y

2

(1−x)

xy(2−2y)

e

−x−2y

. Jedynym punktem zerowania sie

,

gradientu

funkcji f wewna

,

trz dziedziny jest punkt

1
1

. Warto´s´c funkcji w tym punkcie r´owna

jest e

−3

. Z wzoru e

t

= 1 + t +

t

2

2!

+ · · · wynika, ˙ze w pierwszej ´cwiartce uk ladu

wsp´o lrze

,

dnych zachodzi e

x+2y

≥

(x+2y)

4

4!

. Sta

,

d wynika, ˙ze

f

x
y

= xy

2

e

−x−2y

=

xy

2

e

x+2y

≤

4!xy

2

(x+2y)

4

≤

4!

x+2y

< e

−3

,

gdy x + 2y > 4!e

3

. Wobec tego kres g´orny funkcji w pierwszej ´cwiartce jest taki sam

jak w zbiorze

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 4!e

3

o

. Ten ostatni zbi´or jest zwarty,

wie

,

c funkcja f , jako cia

,

g la, przyjmuje w jakim´s jego punkcie warto´s´c najwie

,

ksza

,

,

kt´ora jest oczywi´scie wie

,

ksza lub r´owna e

−3

. Wobec tego, ˙ze na brzegu tego zbioru

zachodzi co najmniej jedna z r´owno´sci: x = 0 , y = 0 , x + 2y = 4!e

3

, warto´s´c naj-

wie

,

ksza przyjmowana jest w punkcie wewne

,

trznym. W tym punkcie gradient musi

by´c wektorem zerowym. Wobec tego jest to punkt

1
1

. Wobec tego kresem g´ornym

tej funkcji jest liczba f

1
1

= e

−3

. Zadanie zosta lo rozwia

,

zane.

Drugi spos´ob znalezienia kresu g´ornego.

Do momentu znalezienia gradientu rozumujemy tak, jak poprzednio. Mamy wie

,

c

∂f
∂x

x
y

= y

2

(1 − x)e

−x−2y

. Je´sli wie

,

c potraktujemy y jako sta la

,

, to wraz ze wzrostem

x funkcja f ro´snie na przedziale [0, 1] i maleje na p´o lprostej [1, +∞) . Wobec tego

jej najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest f

1
y

= y

2

e

−1−2y

.

Teraz znajdujemy najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji y

2

e

−1−2y

na p´o lprostej [0, ∞) .

Pochodna

,

jest funkcja

∂f
∂y

1
y

= 2y(1−y)e

−1−2y

, kt´orej warto´sci sa

,

dodatnie na prze-

dziale (0, 1) , a ujemne na p´o lprostej (1, ∞) . Wobec tego funkcja y

2

e

−1−2y

ro´snie

na przedziale [0, 1] , a na p´o lprostej [1, ∞) — maleje. Jej najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest

wie

,

c liczba f

1
1

= e

−3

.

To zadanie mo˙zna od razu sprowadzi´c do poszukiwania warto´sci najwie

,

kszych i naj-

mniejszych funkcji jednej zmiennej, bo interesuja

,

ca nas funkcja jest iloczynem dwu

funkcji nieujemnych: funkcji xe

−x

zmiennej x oraz funkcji y

2

e

−2y

zmiennej y, ta

obserwacja oczywi´scie upraszcza rozwia

,

zanie!

Przyk lad 16.12

Niech f

x
y

= (x + 3y)e

−x

2

−3y

. Znajdziemy kresy tej funkcji

w pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, tj. w zbiorze C =



x
y

: x ≥ 0, y ≥ 0

.

Zauwa˙zmy, ˙ze we wszystkich punktach zbioru C warto´sci funkcji sa

,

liczbami nie-

ujemnymi przy czym tylko w punkcie

0
0

warto´scia

,

jest 0, w pozosta lych punktach

warto´sci sa

,

dodatnie. Wynika sta

,

d od razu, ˙ze kresem dolnym funkcji jest liczba 0.

21

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Znajdziemy kres g´orny funkcji f . Rozpoczniemy od znalezienia gradientu funkcji:

grad f

x
y

=

1−2x(x+3y)

1−x−3y

· e

−x

2

−3y

. Gradient ten r´owny jest 0 wtedy i tylko wtedy,

gdy x =

1
2

i jednocze´snie y =

1
6

. Warto´scia

,

funkcji w tym punkcie jest e

−3/4

.

Z wzoru e

t

= 1 + t +

t

2

2!

+ · · · wynika, ˙ze je´sli x, y ≥ 0 , to e

x

2

+3y

≥

(x

2

+3y)

2

2!

. Sta

,

d

f

x
y

= (x + 3y)e

−x

2

−3y

≤

2!(x+3y)

(x

2

+3y)

2

=

2x+6y

x

4

+6x

2

y+9y

2

≤

√

2

2

+6

2

√

x

2

+y

2

x

4

+6x

2

y+9y

2

=

√

40

√

x

2

+y

2

x

4

+6x

2

y+9y

2

.

Mianownik jest suma

,

sk ladnik´ow stopnia 2 lub wie

,

kszego, wobec tego dla „du˙zych”

argument´ow powinien by´c du˙zo wie

,

kszy od licznika. Za l´o˙zmy, ˙ze x + y > 10 , x ≥ 0

oraz y ≥ 0 . Wyka˙zemy, ˙ze wtedy zachodzi nier´owno´s´c x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

≥ x

2

+ y

2

:

x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

− (x

2

+ y

2

) = x

4

+ (6y − 1)x

2

+ 8y

2

≥

≥ x

4

+ 6(10 − x) − 1

x

2

= x

2

(x

2

− 6x + 59) = x

2

(x − 3)

2

+ 50

≥ 0 .

Wobec tego f

x
y

≤

√

40

√

x

2

+y

2

x

2

+y

2

=

√

40

√

x

2

+y

2

. Je´sli x + y > 100, x ≥ 0, y ≥ 0 , to

x

2

+ y

2

≥

1
2

(x + y)

2

> 5000 ,

wie

,

c f

x
y

≤

√

40

√

5000

<

1

10

<

1
4

= 1 −

3
4

≤ e

−3/4

.

Wobec tego kres g´orny funkcji f w zbiorze C jest r´owny kresowi g´ornemu tej funkcji

w zbiorze D =

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 100

o

. D jest zbiorem zwartym, wie

,

c

kres g´orny funkcji f jest jej warto´scia

,

w pewnym punkcie tego zbioru. Mo˙ze to by´c

punkt wewne

,

trzny, w kt´orym gradient jest r´owny 0 lub te˙z punkt z brzegu tego

zbioru. W punktach brzegu musi zachodzi´c jedna z trzech r´owno´sci x = 0 , y = 0 ,

x + y = 100 . Ostatni przypadek nie jest interesuja

,

cy, bo ju˙z wykazali´smy, ˙ze w ta-

kich punktach warto´sci funkcji sa

,

mniejsze ni˙z f

1/2
1/6

= e

−3/4

. Za l´o˙zmy wie

,

c, ˙ze

y = 0 . Mamy teraz do czynienia z wyra˙zeniem xe

−x

2

, kt´orego pochodna r´owna jest

(1 − 2x

2

)e

−x

2

, wie

,

c jest dodatnia w przedziale (0,

1

√

2

) natomiast w ka˙zdym punkcie

p´o lprostej (

1

√

2

, +∞) pochodna ta jest ujemna. Wynika sta

,

d, ˙ze wyra˙zenie xe

−x

2

przyjmuje swa

,

najwie

,

ksza warto´s´c w punkcie x =

1

√

2

. Ta

,

najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest

1

√

2

e

−1/2

. Liczba ta jest mniejsza ni˙z e

−3/4

, mo˙zna to sprawdzi´c bez u˙zycia sprze

,

tu

elektronicznego podnosza

,

c obie liczby do pote

,

gi 4 i korzystaja

,

c z nier´owno´sci e < 4 .

Musimy jeszcze zbada´c wyra˙zenie ye

−3y

. Jego pochodna to (1 − 3y)e

−3y

, jest ona

dodatnia na przedziale (0,

1
3

) , ujemna – na p´o lprostej (

1
3

, +∞) , zatem wyra˙zenie to

przyjmuje swa

,

warto´s´c najwie

,

ksza

,

w punkcie y =

1
3

i warto´s´c ta jest r´owna

1
3

e

−1

i

jest ona mniejsza ni˙z e

−3/4

. Wykazali´smy w ten spos´ob, ˙ze kresem g´ornym funkcji

f w zbiorze C jest liczba e

−3/4

= f

1/2
1/6

.

Drugi spos´ob znalezienia kresu g´ornego.

Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie mo˙zemy znale´z´c kres g´orny funkcji f ba-

22

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

daja

,

c kolejno dwie funkcje jednej zmiennej. Potraktujemy wyra˙zenie (x+3y)e

−x

2

−3y

jako funkcje

,

zmiennej y , a x ≥ 0 — jako parametr. Pochodna tego wyra˙zenia to

∂f
∂y

x
y

= 3(1 − x − 3y)e

−x

2

−3y

. Je´sli x ≥ 1 , to pochodna ta jest ujemna dla y > 0 ,

wie

,

c wyra˙zenie (x+3y)e

−x

2

−3y

maleje ze wzrostem zmiennej y , wie

,

c jego najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest xe

−x

2

. Je´sli 0 ≤ x < 1 , to w przedziale (0,

1−x

3

) pochodna jest dodat-

nia a na p´o lprostej (

1−x

3

, +∞) – ujemna, wobec tego w tym przypadku najwie

,

ksza

,

jego warto´scia

,

jest x + 3

1−x

3

e

−x

2

−3(1−x)/3

= e

−x

2

+x−1

. Trzeba teraz znale´z´c kres

g´orny funkcji zmiennej x okre´slonej w przedziale [0, 1) wzorem e

−x

2

+x−1

a na

p´o lprostej [1, +∞) – wzorem xe

−x

2

. W pierwszym przypadku mo˙zemy skorzysta´c

z r´owno´sci −x

2

+ x − 1 = −(x −

1
2

)

2

−

3
4

, a w drugim stwierdzamy po obliczeniu

pochodnej, ˙ze na interesuja

,

cej nas p´o lprostej [1, +∞) funkcja maleje. Sta

,

d wynika,

˙ze najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

tej funkcji zmiennej x jest warto´s´c w punkcie x =

1
2

i jest

ona r´owna e

−3/4

.

Przyk lad 16.13

Niech f

x
y

= (x + y)e

−x

2

−3y

. Znajdziemy kresy tej funkcji

w pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, tj. w zbiorze C =

n

x
y

:

x ≥ 0, y ≥ 0

o

.

Be

,

dziemy poste

,

powa´c tak, jak w przyk ladzie poprzednim, bo funkcja jest podobna.

Mamy grad f

x
y

=

1−2x(x+y)

1−3x−3y

·e

−x

2

−3y

. Ten gradient zeruje sie

,

jedynie w punkcie

3/2

−7/6

, kt´ory to punkt le˙zy poza pierwsza

,

´cwiartka

,

. Wewna

,

trz pierwszej ´cwiartki

funkcja jest dodatnia, na brzegu te˙z, z wyja

,

tkiem punktu 0 , w kt´orym warto´scia

,

f

jest liczba 0. Wobec tego kresem dolnym jest 0. Nale˙zy znale´z´c kres g´orny. Mamy

e

x

2

+3y

≥

(x

2

+3y)

2

2!

=

1
2

(x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

) w ka˙zdym punkcie zbioru C . Je´sli za lo˙zymy

dodatkowo, ˙ze x + y ≥ 10 , to

1
2

(x

4

+ 6x

2

y + 9y

2

) ≥

1
2

(x

2

+ y

2

) , co wykazali´smy

w poprzednim przyk ladzie. Wobec tego

f

x
y

= (x + y)e

−x

2

−3y

≤

2(x+y)

x

2

+y

2

≤

2

√

2

√

x

2

+y

2

x

2

+y

2

=

2

√

2

√

x

2

+y

2

.

Mamy f

1
1

= 2e

−4

>

2

3

4

>

2

100

=

1

50

. Je´sli wie

,

c

p

x

2

+ y

2

≥ 2

√

2 · 50



x, y ≥ 0 ⇒

x + y ≥

p

x

2

+ y

2



, to f

x
y

< f

1
1

, zatem kres g´orny funkcji f w zbiorze C r´owny

jest kresowi g´ornemu funkcji f w zbiorze

D =

n

x
y

:

p

x

2

+ y

2

≤ 2

√

2 · 50, x ≥ 0, y ≥ 0

o

.

Ten zbi´or jest zwarty, wie

,

c kres g´orny funkcji cia

,

g lej f w tym zbiorze jest jej warto´scia

,

w pewnym punkcie tego zbioru. Nie mo˙ze to by´c jego punkt wewne

,

trzny, bo gradient

sie

,

nie zeruje. Musi wie

,

c to by´c punkt brzegowy. W gre

,

wchodza

,

teoretycznie trzy

mo˙zliwo´sci:

p

x

2

+ y

2

= 2

√

2 · 50 , x = 0 i y = 0 . Pierwsza zosta la ju˙z wykluczona,

23

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

bo w punktach dla kt´orych

p

x

2

+ y

2

= 2

√

2 · 50 , warto´s´c funkcji f jest mniejsza ni˙z

jej warto´s´c w punkcie

1
1

. Je´sli x = 0 , to mamy do czynienia z wyra˙zeniem ye

−3y

,

kt´orego najwie

,

ksza

,

warto´scia

,

jest

1
3

e

−1

, co mo˙zna latwo sprawdzi´c (zob. przyk lad

poprzedni). Je´sli y = 0 , to mamy do czynienia z wyra˙zeniem xe

−x

2

, kt´ore przyjmuje

swa

,

najwie

,

ksza

,

warto´s´c w punkcie

1

√

2

, warto´s´c ta r´owna jest

1

√

2

e

−1/2

. Ta ostatnia

liczba, wie

,

ksza ni˙z

1
3

e

−1

, jest kresem g´ornym funkcji f w zbiorze D , wie

,

c r´ownie˙z

w zbiorze C . Podobnie jak w poprzednich przyk ladach mo˙zna rzecz ca la

,

sprowadzi´c

do kolejnego badania dwu funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, najpierw np. zmien-

nej y , potem zmiennej x . Zache

,

camy czytelnika do samodzielnego rozwia

,

zania tego

zadania drugim sposobem.

Zadanie rozpatrywane w tym przyk ladzie jest pozornie prawie to˙zsame z poprzednim.

Jednak czasem pozory myla

,

!

Przyk lad 16.14

Wyka˙zemy, ˙ze gradient funkcji f zdefiniowanej wzorem

f

x
y

= 2(1 − e

2y

+ x

2

)

3

− 3(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 24x

2

e

2y

zeruje sie

,

w dok ladnie jednym punkcie, ˙ze w tym punkcie funkcja ma lokalne maksi-

mum w la´sciwe, chocia˙z jest nieograniczona z g´ory (i z do lu).

Zaczniemy od kres´ow. Mamy f

x

0

= 2x

6

− 3x

4

− 24x

2

−−−−→

x→∞

+∞ , zatem

sup f = +∞ . Mamy te˙z

f

0
y

= 2(1 − e

2y

)

3

− 3(1 − e

2y

)

2

= (1 − e

2y

)

2

2(1 − e

2y

) − 3

−−−−→

y→∞

−∞ ,

bo 1 − e

2y

−−−−→

y→∞

−∞ , zatem inf f = −∞ . Kresy znale´zli´smy bez trudu.

Przejdziemy do ekstrem´ow lokalnych. Znajdziemy najpierw pochodne cza

,

stkowe,

bo w punkcie, w kt´orym funkcja ma lokalnie najmniejsza

,

ba

,

d´z lokalnie najwie

,

ksza

,

warto´s´c pochodne cza

,

stkowe zeruja

,

sie

,

. Maja

,

wie

,

c zachodzi´c r´owno´sci

0 =

∂f
∂x

x
y

=



6(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 6(1 − e

2y

+ x

2

) − 24e

2y



· 2x

oraz

0 =

∂f
∂y

x
y

=



6(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 6(1 − e

2y

+ x

2

) + 24x

2



· (−2e

2y

) .

Poniewa˙z dla ka˙zdego y ∈ IR zachodzi e

2y

> 0 , wie

,

c musi zachodzi´c r´owno´s´c

0 = 6(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 6(1 − e

2y

+ x

2

) + 24x

2

Sta

,

d wynika, ˙ze

0 ≥ 6(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 6(1 − e

2y

+ x

2

) > 6(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 6(1 − e

2y

+ x

2

) − 24e

2y

,

a wobec tego z r´owno´sci 0 =

∂f
∂x

x
y

= . . . wynika, ˙ze x = 0 . Sta

,

d i z r´owno´sci

∂f
∂y

x
y

= 0 wnioskujemy, ˙ze 6(1 − e

2y

)

2

− 6(1 − e

2y

) = 0 , zatem 1 − e

2y

= 1 lub

1 − e

2y

= 0 . Pierwsza r´owno´s´c nigdy nie zachodzi, wie

,

c 1 − e

2y

= 0 , czyli y = 0 . Jest

wie

,

c tylko jeden punkt, w kt´orym gradient badanej funkcji jest wektorem zerowym.

24

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Funkcja mo˙ze mie´c ekstremum lokalne jedynie w tym punkcie. Je´sli x

2

+ y

2

<

1

100

,

to |1 − e

2y

+ x

2

| < 1 , zatem |1 − e

2y

+ x

2

|

3

≤ |1 − e

2y

+ x

2

|

2

, przy czym r´owno´s´c

ma miejsce jedynie wtedy, gdy 1 − e

2y

+ x

2

= 0 . Je´sli dodatkowo

x
y

6=

0
0

, to

f

x
y

= 2(1 − e

2y

+ x

2

)

3

− 3(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 24x

2

e

2y

≤ −(1 − e

2y

+ x

2

)

2

− 24x

2

e

2y

< 0 .

Oznacza to, ˙ze liczba f

0
0

jest najwie

,

ksza

,

spo´sr´od warto´sci przyjmowanych w kole

zdefiniowanym nier´owno´scia

,

x

2

+y

2

<

1

100

, wie

,

c w punkcie

0
0

funkcja f ma lokalne

maksimum w la´sciwe.

Zagadka: jak wygla

,

da wykres tej funkcji ?! — to drobne ´cwiczenie na wyobra´znie

,

,

wykres to powierzchnia dwuwymiarowa w tr´ojwymiarowej przestrzeni, ma on jeden

„szczyt” — lokalne maksimum, ˙zadnych „prze le

,

czy”, „dolin”, bo gradient jest nieze-

rowy, a jednak pnie sie

,

dowolnie wysoko w g´ore

,

i opada dowolnie nisko w d´o l.

W teorii r´o˙zniczkowania funkcji jednej zmiennej rzeczywistej kluczowa

,

role

,

od-

grywa lo twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej. Nie jest ono niestety prawdziwe

nawet dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, kt´orej warto´sciami sa

,

punkty p lasz-

czyzny.

Przyk lad 16.15

Niech f (t) =

cos t

sin t

. Wtedy Df (t) =

− sin t

cos t

. Mamy r´ownie˙z

f (2π) =

1
0

= f (0) . Gdyby twierdzenie Lagrange’a by lo prawdziwe w takiej wersji,

jak dla funkcji o warto´sciach rzeczywistych, to istnia laby taka liczba c ∈ (0, 2π) ,

˙ze

0
0

= f (2π) − f (0) = f

0

(c) · (2π − 0) = 2π

− sin c

cos c

, a to jest niemo˙zliwe, bo

sin

2

c + cos

2

c = 1 , wie

,

c liczby cos c i sin c nie zeruja

,

sie

,

dla jednego c .

Twierdzenie 16.21 (Lagrange’a o warto´sci ´sredniej)

Niech f : G −→ R

l

be

,

dzie funkcja

,

okre´slona

,

na zbiorze otwartym G ⊆ R

k

i niech

p, q ∈ G . Za l´o˙zmy, ˙ze ca ly odcinek o ko´

ncach p, q jest zawarty w zbiorze G . Dla

pewnej liczby t ∈ (0, 1) zachodzi wtedy nier´owno´s´c

kf (p) − f (q)k ≤ kp − qk · kDf p + t(q − p)

k ;

je´sli M jest macierza

,

, kt´ora ma l wierszy i k kolumn, to kM k oznacza najmniejsza

,

taka

,

liczbe

,

nieujemna

,

, ˙ze nier´owno´s´c kM · vk ≤ kM k · kvk zachodzi dla ka˙zdego

wektora v ∈ R

k

. Zachodzi nier´owno´s´c kM k ≤

qP

l
i=1

P

k
j=1

m

2

i,j

, gdzie przez

m

i,j

oznaczyli´smy ten wyraz macierzy M , kt´ory stoi na przecie

,

ciu i –tego wiersza

z j –ta

,

kolumna

,

.

Dow´

od. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

k

be

,

da

,

kolejnymi wsp´o lrze

,

dnymi wektora ~v ∈ R

k

. Wte-

dy z nier´owno´sci Schwarza wynika, ˙ze

kM~vk

2

=

P

l
i=1

P

k
j=1

m

i,j

v

j

2

≤

P

l
i=1

P

k
j=1

m

2

i,j

·

P

k
j=1

v

2

j

=

25

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

=

P

k
j=1

v

2

j

·

P

l
i=1

P

k
j=1

m

2

i,j

= k~vk

2

·

P

l
i=1

P

k
j=1

m

2

i,j

,

zatem kM~vk ≤

qP

l
i=1

P

k
j=1

m

2

i,j

· k~vk .

Niech ϕ(t) = f (q) − f (p)

· f (p + t(q − p)) − f (p)

. ϕ jest funkcja

,

r´o˙znicz-

kowalna

,

okre´slona

,

na [0, 1] , bo f jest funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

okre´slona

,

na zbiorze

zawieraja

,

cym odcinek o ko´

ncach p, q . Mamy te˙z

ϕ

0

(t) = f (q) − f (p)

· Df (p + t(q − p)) · (q − p)

.

Z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej wynika, ˙ze istnieje liczba t ∈ (0, 1) , dla

kt´orej zachodzi r´owno´s´c

ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ

0

(t) · (1 − 0) = f (q) − f (p)

· Df (p + t(q − p)) · (q − p)

.

Poniewa˙z ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = f (q)−f (p)

· f (p+(q−p))−f (p)

= kf (q)−f (p)k

2

,

wie

,

c

kf (q) − f (p)k

2

= f (q) − f (p)

· Df (p + t(q − p)) · (q − p)

≤

≤ kf (q) − f (p)k · kDf (p + t(q − p))k · kq − pk ,

zatem

kf (q) − f (p)k ≤ kDf (p + t(q − p))k · kq − pk .

Z otrzymanej nier´owno´sci teza wynika natychmiast.

Udowodnione twierdzenie nie daje dok ladnego wzoru na f (q)−f (p) , ale pozwala

oszacowa´c te

,

r´o˙znice

,

za pomoca

,

pochodnych cza

,

stkowych, wie

,

c spe lnia

,

te

,

role

,

, kt´ora

,

spe lnia twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej w przypadku funkcji jednej zmien-

nej rzeczywistej.

Zajmiemy sie

,

teraz pochodnymi wy˙zszego rze

,

du, konkretnie drugiego. Niech

f : G −→ R be

,

dzie funkcja

,

, kt´ora ma pochodne cza

,

stkowe pierwszego rze

,

du w ca lym

zbiorze otwartym G .

Ograniczymy sie

,

w istocie rzeczy do pochodnych funkcji o warto´sciach rzeczywi-

stych. Nie ma najmniejszego k lopotu ze zdefiniowaniem pochodnych cza

,

stkowych dru-

giego rze

,

du. Je´sli funkcja f : G −→ R ma w zbiorze otwartym G pochodne cza

,

stkowe

pierwszego rze

,

du, to mo˙zemy pyta´c o to, czy maja

,

one pochodne cza

,

stkowe.

Definicja 16.22 (pochodnych cza

,

stkowych wy˙zszego rze

,

du)

Je´sli pochodna cza

,

stkowa

∂f

∂x

i

ma w punkcie p ∈ G pochodna

,

cza

,

stkowa

,

wzgle

,

dem

zmiennej x

j

, to te

,

pochodna

,

nazywamy pochodna

,

cza

,

stkowa

,

drugiego rze

,

du funkcji

f w punkcie p wzgle

,

dem zmiennych x

i

, x

j

i oznaczamy symbolem

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(p) .

Je´sli i 6= j , to m´owimy o pochodnej mieszanej. Je´sli i = j , to piszemy

∂

2

f

∂x

2

i

(p) .

Analogicznie definiowane sa

,

pochodne cza

,

stkowe wy˙zszych rze

,

d´ow.

26

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Je´sli f

x
y

= x

2

+ 11xy + 37y

2

, to

∂

2

f

∂x

2

(p) = 2 ,

∂

2

f

∂y

2

(p) = 74 ,

∂

2

f

∂y∂x

(p) = 11 ,

∂

2

f

∂x∂y

(p) = 11 , bo

∂f
∂x

x
y

= 2x + 11y i

∂f
∂y

x
y

= 11x + 74y . Przyk lad´ow na razie nie

be

,

dziemy mno˙zy´c, bo w istocie rzeczy nie ma w nich nic istotnie nowego, po prostu

obliczamy naste

,

pne pochodne.

Definicja 16.23 (macierzy drugiej r´

o˙zniczki)

Macierza

,

drugiej r´o˙zniczki funkcji f : G −→ R w punkcie p nazywamy macierz



∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)



, je´sli pochodne

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) istnieja

,

dla i, j ∈ {1, 2, . . . , k} .

Z definicji wynika, ˙ze macierz drugiej r´o˙zniczki jest macierza

,

kwadratowa

,

. „Na

og´o l” jest ona symetryczna, tzn. w r´o˙znych sytuacjach symetrii mo˙ze nie by´c, ale jest

tak w przypadku funkcji „zdefiniowanych wzorami” o czym m´owi naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 16.24 (Schwarza o symetrii drugiej r´

o˙zniczki)

Je´sli funkcja f : G −→ R ma pochodne mieszane

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) i

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(p) w ka˙zdym

punkcie p zbioru G i obie te pochodne sa

,

cia

,

g le w punkcie q ∈ G , to sa

,

w tym

punkcie r´owne:

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(q) =

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(q) .

Dow´

od. Poniewa˙z mowa jest o pochodnych wzgle

,

dem x

i

oraz wzgle

,

dem x

j

, wie

,

c

mo˙zna my´sle´c o funkcji dwu zmiennych, pozosta le zmienne i tak traktowane sa

,

jako

parametry. Dalej zak ladamy wie

,

c, ˙ze G ⊂ R

2

, piszemy x zamiast x

i

oraz y zamiast

x

j

. Niech q =

a

b

i h =

u

v

. Poniewa˙z zak ladamy, ˙ze zbi´or G jest otwarty, wie

,

c

dla dostatecznie ma lych khk okre´sli´c mo˙zemy liczbe

,

g

u

v

= f

a+u

b+v

− f

a+u

v

− f

a

b+v

+ f

a

b

.

Traktuja

,

c f

a+u

b+v

− f

a+u

v

jako funkcje

,

zmiennej u przy ustalonym v mo˙zemy

zastosowa´c jednowymiarowe twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej: istnieje wie

,

c

liczba t ∈ (0, 1) , taka ˙ze g

u

v

= u



∂g
∂x

a+tu

b+v

−

∂g
∂x

a+tu

b



. Traktuja

,

c teraz u i t jako

sta le a v jako zmienna

,

mo˙zemy zn´ow skorzysta´c z twierdzenia o warto´sci ´sredniej:

istnieje wie

,

c liczba s ∈ (0, 1) , taka ˙ze g

u

v

= vu

∂

2

f

∂y∂x

a+tu

b+sv

. Ustalaja

,

c najpierw v

a potem u stwierdzimy w taki sam spos´ob, ˙ze istnieja

,

liczby τ, σ ∈ (0, 1) , takie ˙ze

g

u

v

= uv

∂

2

f

∂x∂y

a+τ u

b+σv

. Przyjmuja

,

c teraz u = v w obu r´owno´sciach otrzymujemy:

lim

u→0

1

u

2

g

u
u

= lim

u→0

∂

2

f

∂y∂x

a+tu

b+sv

=

∂

2

f

∂y∂x

a

b

,

lim

u→0

1

u

2

g

u
u

= lim

u→0

∂

2

f

∂x∂y

a+τ u

b+σv

=

∂

2

f

∂x∂y

a

b

.

Poniewa˙z lewe strony sa

,

r´owne, wie

,

c prawe te˙z. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Od tej pory nie musimy wie

,

c pamie

,

ta´c na czym dok ladnie polega r´o˙znica mie

,

dzy

symbolami

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

i

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

. Ostrzegamy jednak, ˙ze to twierdzenie, jak ka˙zde inne,

27

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

ma za lo˙zenia. Na wszelki wypadek podamy standardowy przyk lad wskazuja

,

cy na

konieczno´s´c pamie

,

tania o tych za lo˙zeniach.

Przyk lad 16.16

Niech

f

x
y

=



0,

je´sli x = 0 = y;

xy

x

2

−y

2

x

2

+y

2

, je´sli x

2

+ y

2

> 0.

Korzystaja

,

c z definicji pochodnej stwierdzamy, ˙ze

∂f
∂y

x

0

= x oraz

∂f
∂x

0
y

= −y .

Sta

,

d ju˙z latwo wynika, ˙ze

∂

2

f

∂x∂y

(0) = 1 6= −1 =

∂

2

f

∂y∂x

(0) . Widzimy wie

,

c, ˙ze mo˙ze sie

,

zdarzy´c, ˙ze pochodne mieszane sa

,

r´o˙zne, ale w przypadkach, kt´orymi be

,

dziemy sie

,

zajmowa´c, be

,

da

,

spe lnione za lo˙zenia twierdzenia o symetrii drugiej r´o˙zniczki!

Uwaga 16.25 W dowodzie twierdzenia o symetrii drugiej r´o˙zniczki pochodna mie-

szana zosta la wyra˙zona jako granica „podw´ojnego ilorazu r´o˙znicowego”, w kt´orym nie

wyste

,

puje ˙zadna pochodna pierwszego rze

,

du. W liczniku wyste

,

puje „r´o˙znica drugiego

rze

,

du”:

f

a+u

b+v

− f

a+u

v

− f

a

b+v

+ f

a

b

=

n

f

a+u

b+v

− f

a+u

v

o

−

n

f

a

b+v

− f

a

b

o

=

=

n

f

a+u

b+v

− f

a

b+v

o

−



f

a+u

v

− f

a

b

Przypomina to o tym, ˙ze druga pochodna mierzy tempo zmian tempa zmian funkcji.

W jednym wymiarze zwia

,

zane to by lo wypuk lo´scia

,

funkcji, tu sytuacja jest nieco

bardziej skomplikowana, bo m´owimy jedynie o pochodnych cza

,

stkowych. Wida´c jed-

nak, ˙ze rozwa˙zamy najpierw zmiany warto´sci funkcji odpowiadaja

,

ce zmianie jednego

argumentu (np. y ) odpowiadaja

,

ce r´o˙znych warto´sciom innego argumentu (w tym

przypadku x ), a potem ich r´o˙znice

,

. To wa˙zna interpretacja.

W rachunku r´o˙zniczkowym najwa˙zniejsza idea to przybli˙zanie funkcji funkcja

,

liniowa

,

, wyste

,

puje ona ju˙z w definicji pochodnej. Naste

,

pny krok to przybli˙zanie wie-

lomianami odpowiedniego stopnia, gdy przybli˙zenia liniowe sa

,

niewystarczaja

,

ce. Od-

powiednie twierdzenia zawieraja

,

wz´or Taylora z r´o˙znymi postaciami reszty. Zajmiemy

sie

,

teraz tym wzorem w przypadku funkcji wielu zmiennych i wielomian´ow drugiego

stopnia. Warto od razu stwierdzi´c, ˙ze mo˙zna u˙zywa´c wielomian´ow wy˙zszego stopnia,

ale nie chcemy komplikowa´c wzor´ow, zreszta

,

, wg. wiedzy autora, wielomiany Taylora

stopnia wy˙zszego ni˙z 2 nie sa

,

zbyt cze

,

sto u˙zywane. Druga

,

przyczyna

,

tego ograniczenia

jest wiara autora w to, ˙ze kto´s kto zrozumia l jak mo˙zna stosowa´c wielomiany Taylora

wy˙zszych stopni w jednym wymiarze i wielomiany stopnia drugiego w wielu wymia-

rach, nie be

,

dzie mie´c trudno´sci z u˙zyciem wielomian´ow Taylora stopnia wy˙zszego ni˙z

2 w przypadku funkcji wielu zmiennych.

28

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Definicja 16.26 (drugiego wielomianu Taylora i drugiej reszty)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ R ma pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du w punkcie

p ∈ G . Drugim wielomianem Taylora funkcji f w punkcie p nazywamy wielomian

zmiennych h

1

, h

2

,. . . , h

k

:

f (p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

.

Druga

,

reszta

,

nazywamy r´o˙znice

,

r

2

(h) = f (p + h) −



f(p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j



 .

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli cho´c jedna z pochodnych

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) jest r´o˙zna od 0, to stopie´

n

drugiego wielomianu Taylora jest r´owny 2.

Przyk lad 16.17

Niech f

x
y

= e

x+3y

. Wtedy

∂f
∂x

x
y

= e

x+3y

,

∂f
∂y

x
y

= 3e

x+3y

,

zatem

∂f

2

∂x

2

x
y

= e

x+3y

,

∂

2

f

∂x∂y

x
y

= 3e

x+3y

i

∂

2

f

∂y

2

x
y

= 9e

x+3y

. Wobec tego drugi

wielomian Taylora funkcji f w punkcie 0 wygla

,

da tak:

1 + 1 · h

1

+ 3 · h

2

+

1
2

1 · h

2

1

+ 3 · h

1

h

2

+ 3 · h

2

h

1

+ 9 · h

2

2

=

= 1 + h

1

+ 3h

2

+

1
2

h

2

1

+ 3h

1

h

2

+

9
2

h

2

2

.

Najwa˙zniejsze, cho´c bardzo proste, twierdzenie brzmi prawie tak samo jak w jed-

nowymiarowym przypadku, ale my wzmocnimy nieco za lo˙zenia, bo konsekwentnie

unikamy poje

,

cia r´o˙zniczki drugiego rze

,

du.

Twierdzenie 16.27 (G.Peano)

Je´sli funkcja f : G −→ R ma pochodne drugiego rze

,

du w zbiorze G i sa

,

one cia

,

g le

w ka˙zdym punkcie zbioru G , to dla ka˙zdego p ∈ G zachodzi r´owno´s´c:

lim

h→0

r

2

(h)

khk

2

= 0 .

Dow´

od. Potraktujemy r

2

jako funkcje

,

zmiennej h . Zachodza

,

wtedy naste

,

puja

,

ce

r´owno´sci r

2

(0) = 0 ,

∂r

2

∂h

i

(h) =

∂f

∂x

i

(p + h) −

∂f

∂x

i

(p) −

P

k
j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

j

, a sta

,

d wy-

nika ju˙z latwo, ˙ze

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) =

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p + h) −

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) . Z cia

,

g lo´sci pochodnych

cza

,

stkowych drugiego rze

,

du wynika, ˙ze lim

h→0

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) = 0 , oczywi´scie r

2

zale˙zy od

p , ale ten punkt jest w ca lym rozumowaniu ustalony. Teraz twierdzenie o warto´sci

´sredniej: kr

2

(h)k = kr

2

(h) − r

2

(0)k ≤ khk sup

0≤τ ≤1

kDr

2

(τ h)k . Zastosujemy to samo

29

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

twierdzenie raz jeszcze tym razem do funkcji

∂r

2

∂h

i

. Mamy

∂r

2

∂h

i

(0) = 0 – wynika

to natychmiast z wzoru na pochodne cza

,

stkowe funkcji r

2

, zatem







∂r

2

∂h

i

(τ h)





 =







∂r

2

∂h

i

(τ h) −

∂r

2

∂h

i

(0)





 ≤ kτ hk sup

0≤σ≤1

D



∂r

2

∂h

i



(στ h)

≤

≤ khk sup

0≤σ≤1

D



∂r

2

∂h

i



(στ h)

Poniewa˙z norma macierzy mo˙zna oszacowa´c przez pierwiastek kwadratowy z sumy

kwadrat´ow wsp´o lczynnik´ow macierzy i lim

h→0

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) = 0 , wie

,

c zachodzi r´owno´s´c

lim

h→0

D



∂r

2

∂h

i



(στ h)

= 0 oraz

kr

2

(h)k

khk

2

≤

1

khk

sup

0≤τ ≤1

kDr

2

(τ h)k ≤

1

khk

sup

0≤τ ≤1

v

u

u

t

k

X

i=1



∂r

2

∂h

i

(τ h)



2

≤

≤ sup

0≤τ ≤1

v

u

u

t

k

X

i=1



sup

0≤σ≤1

D



∂r

2

∂h

i



(στ h)



2

−−−−→

h→0

0

Te szacowania ko´

ncza

,

dow´od.

Dow´od twierdzenia Peano podali´smy g l´ownie po to, by raz jeszcze u´swiadomi´c

czytelnikom, ˙ze pochodna s lu˙zy do oszacowania tempa zmian funkcji.

Przejdziemy teraz do twierdzenia, kt´ore pozwala w wielu przypadkach ustali´c

czy w punkcie zerowania sie

,

gradientu funkcja ma lokalne ekstremum czy te˙z nie.

Twierdzenie 16.28 (

o lokalnych ekstremach funkcji dwukrotnie r´

o˙zniczkowalnej)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ R ma w zbiorze G pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du

oraz ˙ze sa

,

one cia

,

g le. Niech grad f (p) = 0 . Niech D

2

f (p) =



∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)



be

,

dzie

macierza

,

drugiej r´o˙zniczki funkcji f w punkcie p . W tej sytuacji

a. je´sli forma kwadratowa zdefiniowana macierza

,

D

2

f (p) jest dodatnio okre´slona,

czyli gdy dla ka˙zdego wektora ~v 6= ~0 zachodzi nier´owno´s´c

~v · D

2

f (p) · ~v

=

P

k
i=1

v

i

·

P

k
j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)v

j

=

P

k
i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)v

i

v

j

> 0

to funkcja f ma w punkcie p lokalne minimum w la´sciwe;

b. je´sli forma kwadratowa zdefiniowana macierza

,

D

2

f (p) jest ujemnie okre´slona*,

to funkcja f ma w punkcie p lokalne maksimum w la´sciwe;

c. je´sli istnieja

,

takie wektory v ∈ R

k

oraz w ∈ R

k

, ˙ze

v · D

2

f (p)v < 0 < w · D

2

f (p)w ,

to w punkcie p funkcja f nie ma lokalnego ekstremum: w dowolnym otoczeniu

tego punktu znajduja

,

sie

,

punkty x , takie ˙ze f (p) > f (x) oraz punkty y , takie

*

tzn. forma kwadratowa zdefiniowana macierza, przeciwna,, −D

2

f (p) , jest dodatnio okre´slona

30

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

˙ze f (y) > f (p) .

Dow´

od. a. Zbi´or z lo˙zony z wektor´ow o d lugo´sci 1 jest ograniczony (to sfera!) i

domknie

,

ty, wie

,

c funkcja (cia

,

g la) przypisuja

,

ca wektorowi ~v liczbe

,

~v · D

2

f (p)v

przyjmuje w jakim´s jego punkcie swa

,

najmniejsza

,

warto´s´c. Niech ε be

,

dzie ta

,

naj-

mniejsza

,

warto´scia

,

. Je´sli ~x 6= ~0 i ~v =

~

x

k~

xk

, to k~vk = 1 , zatem

ε ≤ ~v · D

2

f (p)v

=

~

x

k~

xk

· D

2

f (p)

~

x

k~

xk

=

1

k~

xk

2

~x · D

2

f (p)~x

,

a sta

,

d wynika, ˙ze ε · k~xk

2

≤ ~x · D

2

f (p)~x

dla ka˙zdego wektora ~x ∈ R

k

. Oczywi´scie

ε > 0 . Z twierdzenia Peano wynika, ˙ze istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je´sli k~hk < δ ,

to |r

2

(~h)| <

ε
2

k~hk

2

. Wobec tego

f (p + ~h) = f (p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

+ r

2

(~h) =

= f (p) +

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

+ r

2

(~h) = f (p) + D

2

f (p)~h · ~h + r

2

(~h) .

Je´sli 0 < k~hk < δ , to warto´s´c bezwzgle

,

dna trzeciego sk ladnika jest mniejsza ni˙z

sk ladnik drugi, wie

,

c ich suma jest dodatnia niezale˙znie od znaku r

2

(~h) . To ko´

nczy

dow´od tego, ˙ze w kuli B(p, δ) najmniejsza

,

warto´s´c funkcja f przyjmuje w punkcie

p i w ˙zadnym innym, wie

,

c ma ona w punkcie p lokalne minimum w la´sciwe.

b. Stosujemy udowodniona

,

ju˙z cze

,

´s´c twierdzenia do funkcji −f .

c. Niech g(t) = f (p + tv) . Poniewa˙z G jest zbiorem otwartym, wie

,

c tym wzorem

funkcje

,

g mo˙zemy zdefiniowa´c na pewnym przedziale otwartym zawieraja

,

cym liczbe

,

0. Funkcja g jest dwukrotnie r´o˙zniczkowalna, bo f ma pochodne drugiego rze

,

du.

Z twierdzenia o pochodnej z lo˙zenia wynika latwo, ˙ze g

0

(t) =

P

k
i=1

∂f

∂x

i

(p + t~v)v

i

,

wobec tego ˙ze grad f (p) = 0 , zachodzi r´owno´s´c g

0

(0) = 0 . Mamy te˙z

g

00

(t) =

k

X

i=1





k

X

j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p + t~v)v

j



 v

i

=

k

X

i,j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p + t~v)v

i

v

j

,

zatem g

00

(0) = D

2

f (p)~v · ~v < 0 . Poniewa˙z g

0

(0) = 0 > g

00

(0) , wie

,

c funkcja g ma

w punkcie 0 lokalne maksimum w la´sciwe, zatem w dowolnym otoczeniu punktu p

znajduja

,

sie

,

punkty, w kt´orych warto´sci funkcji f sa

,

mniejsze ni˙z f (p) . Wynika

sta

,

d, ˙ze funkcja f nie ma w punkcie (p) lokalnego minimum. Mo˙zemy rozwa˙zy´c

teraz funkcje

,

˜

g zdefiniowana

,

wzorem ˜

g(t) = f (p + t~

w) . Rozumuja

,

c dok ladnie tak,

jak przed chwila

,

przekonujemy sie

,

, ˙ze ma ona w punkcie 0 lokalne minimum w la´sciwe,

wie

,

c w dowolnym otoczeniu punktu p znajduja

,

sie

,

punkty, w kt´orych warto´sci sa

,

wie

,

ksze ni˙z f (p) , zatem funkcja f nie ma w punkcie p maksimum lokalnego. Mamy

31

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

wie

,

c do czynienia z siod lem a nie z lokalnym ekstremum.

Wniosek 16.29 (z dowodu twierdzenia o lokalnych ekstremach.)

Je´sli g(t) = f (p+t~v) i funkcja f ma pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du w otoczeniu

punktu p i sa

,

one cia

,

g le w punkcie p , to

g

00

(0) =

k

X

i,j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p)v

i

v

j

.

Wniosek ten m´owi, ˙ze warto´s´c drugiej r´o˙zniczki w punkcie p na wektorze v jest

druga

,

pochodna

,

badanej funkcji ograniczonej do prostej przechodza

,

cej przez punkt

p , r´ownoleg lej do wektora v .

Czytelnik zwr´oci uwage

,

na to, ˙ze dow´od cze

,

´sci a. twierdzenia w istocie rzeczy po-

lega na tym, ˙ze sprawdzamy i˙z zachodzi ono dla wielomian´ow stopnia 2 lub mniejsze-

go, a naste

,

pnie stwierdzeniu, ˙ze przy dostatecznie dobrych za lo˙zeniach o wielomianie

kwadratowym reszta nie ma wp lywu na teze

,

, bo po prostu jest za ma la. Oczywi´scie

twierdzenie ma charakter lokalny, o czym doskonale ´swiadczy przyk lad, kt´ory zreszta

,

za chwile

,

przypomnimy — funkcja tam wyste

,

puja

,

ca ma dwa lokalne minima, ale

˙zadne z nich nie jest minimum globalnym, kt´orego zreszta

,

nie ma, bo funkcja nie jest

ograniczona z do lu. W cze

,

´sci c. okaza lo sie

,

, ˙ze z za lo˙ze´

n wynika istnienie prostej prze-

chodza

,

cej przez p , po ograniczeniu do kt´orej funkcja ma lokalne minimum w la´sciwe

i drugiej prostej przechodza

,

cej przez p , po ograniczeniu do kt´orej funkcja ma mak-

simum w la´sciwe. Takie zjawisko nie mog lo oczywi´scie wysta

,

pi´c w przypadku funkcji

jednej zmiennej. Mo˙ze sie

,

te˙z zdarzy´c, ˙ze forma drugiej r´o˙zniczki jest p´o lokre´slona,

np. dodatnio. Oznacza to, ˙ze D

2

f (p)~v · ~v ≥ 0 — zamiast ostrej nier´owno´sci mamy

tylko nieostra

,

Wtedy nic sie

,

nie da wywnioskowa´c bez dalszego badania funkcji: funk-

cja x

4

+ y

4

ma w punkcie 0 minimum w la´sciwe, zreszta

,

globalne, funkcja −x

4

− y

4

ma w punkcie 0 maksimum w la´sciwe, globalne, funkcja x

4

− y

4

ma w punkcie 0

„siod lo” - w dowolnym otoczeniu punktu 0 przyjmuje zar´owno warto´sci mniejsze ni˙z

f (0) jak i warto´sci wie

,

ksze ni˙z f (0) . W ka˙zdym z tych trzech przypadk´ow zachodza

,

r´owno´sci

0 = f (0) =

∂f
∂x

(0) =

∂f
∂y

(0) =

∂f

2

∂x

2

(0) =

∂f

2

∂x∂y

(0) =

∂f

2

∂y

2

(0) ,

wie

,

c z punktu widzenia twierdzenia o lokalnych ekstremach te funkcje sa

,

nierozr´o˙z-

nialne. Autor spotyka l sie

,

wielokrotnie ze studentami, kt´orzy chcieli bez g le

,

bszego

zastanowienia sie

,

rozszerza´c zakres twierdzenia o lokalnych ekstremach, ale wypi-

sywane tezy by ly nieprawdziwe. Oczywi´scie twierdzenie to mo˙zna uog´olni´c, ale nie

jest to zbyt proste i co gorsza efekty uog´olnienia nie sa

,

warte zachodu, bo otrzymy-

wane warunki sa

,

zbyt skomplikowane, by je pamie

,

ta´c. Wa˙zniejsze jest zrozumienie

32

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

podanej wersji i jej dowodu, bo wtedy w konkretnych sytuacjach, nawet nie obje

,

tych

twierdzeniem, mo˙zna zastosowa´c jego dow´od!

Przyk lad 16.18

Niech f



x

y
z



= x

2

+2y

2

+3z

2

−4x+8y−12z . Jasne jest, ˙ze funkcja

nie jest ograniczona z g´ory:

lim

x→+∞

f



x

0
0



= +∞ . Nie jest jasne czemu r´owny jest kres

dolny funkcji i czy jest on jej warto´scia

,

. Je´sli kres jest warto´scia

,

funkcji okre´slonej na

ca lej przestrzeni, to gradient tej funkcji w punkcie, w kt´orym jest on przyjmowany jest

wektorem zerowym. Mamy grad f



x

y
z



=



2x−4

4y+8

6z−12



. Jasne jest, ˙ze ten wektor r´owny

jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 , y = −2 i z = 2 . Mamy f



2

−2

2



= −24 . Je´sli

wie

,

c kres dolny jest warto´scia

,

funkcji, to musi by´c r´owny −24 . Wyka˙zemy, ˙ze tak jest

w rzeczywisto´sci. f



x

y
z



+ 24 = (x − 2)

2

+ 2(y + 2)

2

+ 3(z − 2)

2

≥ 0 , co ko´

nczy dow´od.

W istocie rzeczy do znalezienia kres´ow rachunek r´o˙zniczkowy w tym zadaniu nie by l

potrzebny, w rzeczywisto´sci funkcja f w ostatnim kroku zosta la potraktowana jako

suma 3 wielomian´ow kwadratowych, ka˙zdy innej zmiennej, kt´ore zosta ly sprowadzone

do postaci kanonicznych! Rachunek r´o˙zniczkowy pomaga tu jedynie ustali´c, jaki punkt

jest podejrzany o to, ˙ze w nim kres jest osia

,

gany, ale oczywi´scie te hipoteze

,

mo˙zna

sformu lowa´c nie licza

,

c ˙zadnych pochodnych.

Przyk lad 16.19

Niech f

x
y

= 2x

2

− 4xy + 10y

2

− 20x + 68y . Podobnie jak

w przyk ladzie poprzednim wida´c, ˙ze

lim

x→+∞

x

0

= +∞ , zatem funkcja nie jest ograni-

czona z g´ory, czyli jej kresem g´ornym jest +∞ . Je´sli kres dolny tej funkcji jest jej

warto´scia

,

, to w punkcie, w kt´orym jest przyjmowany, gradient funkcji f jest wekto-

rem zerowym. Mamy grad f

x
y

=

4x− 4y−20

−4x+20y+68

. Ma wie

,

c by´c

4x − 4y − 20 = 0 = −4x + 20y + 68 .

Rozwia

,

zuja

,

c ten uk lad dw´och r´owna´

n liniowych z dwiema niewiadomymi otrzymu-

jemy x = 2 , y = −3 . Jedynym kandydatem na punkt, w kt´orym m´og lby by´c

osia

,

gnie

,

ty kres dolny tej funkcji, jest wie

,

c punkt

2

−3

. Niech u = x − 2 , v = y + 3 .

Mamy wie

,

c

f

x
y

= f

u+2
v−3

= 2(u + 2)

2

− 4(u + 2)(v − 3) + 10(v − 3)

2

− 20(u + 2) + 68(v − 3) =

= 2u

2

− 4uv + 10v

2

− 122 = 2(u − v)

2

+ 8v

2

− 122

— ostatnie przekszta lcenie to po prostu sprowadzenie wielomianu kwadratowego

zmiennej u , kt´orego wsp´o lczynniki zale˙za

,

od parametru v , do postaci kanonicznej.

Jasne jest, ˙ze najmniejsza

,

warto´scia

,

otrzymanego wyra˙zenia jest liczba −122 oraz

33

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

˙ze warto´s´c ta jest przyjmowana jedynie wtedy, gdy u = v i v = 0 , tzn. u = 0 = v .

Podobnie jak w poprzednim przyk ladzie mo˙zna by lo nie oblicza´c pochodnych, lecz

potraktowa´c od razu funkcje

,

jako wielomian kwadratowy zmiennej u z parametrem

v , sprowadzi´c go do postaci kanonicznej i rzecz ca la

,

zako´

nczy´c.

Przyk lad 16.20

Niech f

x
y

= 2x

2

− 4xy + y

2

− 20x + 14y .

Poniewa˙z

lim

x→+∞

x

0

= +∞ , wie

,

c sup f = +∞ . Poste

,

puja

,

c tak jak w poprzed-

nim przyk ladzie znajdujemy grad f

x
y

=

4x−4y−20

−4x+2y+14

. Ten wektor r´owny jest

0
0

wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 i y = −3 . Podstawmy x = u + 2 , y = v − 3 . Wtedy

f

x
y

= 2(u+2)

2

−4(u+2)(v−3)+(v−3)

2

−20(u+2)+14(v−3) = 2u

2

−4uv+v

2

−41 =

= 2(u − v)

2

− v

2

− 41 .

W odr´o˙znieniu od przyk lad´ow poprzednich wyra˙zenie 2(u − v)

2

− v

2

bywa ujemne,

wie

,

c liczba −41 nie jest kresem dolnym funkcji f . Mamy

f

v
v

= −v

2

− 41 −−−−→

v→∞

−∞ ,

zatem kresem dolnym funkcji f jest −∞ , co oznacza, ˙ze funkcja f nie jest ogra-

niczona r´ownie˙z z do lu. Oczywi´scie r´ownie˙z w tym przyk ladzie u˙zycie pochodnych

nie jest konieczne, mo˙zna od razu potraktowa´c funkcje

,

jako wielomian zmiennej x

zale˙zny od parametru y .

Przyk lad 16.21

Teraz uog´olnimy rezultaty trzech ostatnich przyk lad´ow. Mieli´s-

my w ka˙zdym z nich do czynienia z konkretnym wielomianem drugiego stopnia dwu

zmiennych, czyli z funkcja

,

f , kt´ora

,

mo˙zna zdefiniowa´c wzorem

f

x
y

= Ax

2

+ 2Bxy + Cy

2

+ 2Dx + 2Ey + F ,

przy za lo˙zeniu, ˙ze co najmniej jedna z liczb A , B , C jest r´o˙zna od 0; dw´ojki we

wsp´o lczynnikach pojawiaja

,

sie

,

ze wzgle

,

du na wygode

,

oraz tradycje

,

. Wyra˙zenia x

2

,

xy , y

2

nazywamy jednomianami drugiego stopnia zmiennych x i y (dla ustalenia

stopnia iloczynu dodajemy stopnie czynnik´ow, nawet je´sli jeden wielomian zale˙zy od

x a drugi — od y ).

Rozwa˙zymy kolejno trzy przypadki: AC −B

2

> 0 , AC −B

2

= 0 , AC − B

2

< 0 .

Pierwszy z nich nazywany jest eliptycznym, drugi – parabolicznym, a trzeci – hiperbo-

licznym. Mamy grad f

x
y

= 2

Ax+By+D
Bx+Cy+E

. W przypadku eliptycznym i w przypadku

hiperbolicznym istnieje dok ladnie jeden punkt, w kt´orym grad f jest wektorem ze-

rowym, w przypadku parabolicznym takiego punktu mo˙ze nie by´c albo jest ich nie-

sko´

nczenie wiele. Je´sli grad f

α
β

=

0
0

, to po zastosowaniu podstawienia x = u + α ,

y = v + β otrzymujemy wielomian kwadratowy zmiennych u , v , w kt´orym cze

,

´s´c

34

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

kwadratowa ma te same wsp´o lczynniki A , B , C , natomiast cze

,

´s´c liniowa znika, o

wyrazie wolnym nic powiedzie´c nie mo˙zna. Po podstawieniu otrzymujemy funkcje

,

zmiennych u i v , kt´orej gradient jest wektorem zerowym w punkcie 0 =

0
0

, a wie

,

c

funkcje

,

postaci Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F .

Przypadek eliptyczny.

Poniewa˙z AC − B

2

> 0 , wie

,

c AC > 0 , zatem A 6= 0 6= C . Mo˙zemy wobec tego

napisa´c:

Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F = A u +

B
A

v

2

−

B

2

A

v

2

+ Cv

2

+ e

F =

= A



u +

B
A

v

2

+

AC−B

2

A

2

v

2



+ e

F .*

Je´sli A > 0 , to funkcja f przyjmuje w punkcie 0 warto´s´c e

F , a w pozosta lych punk-

tach warto´sci wie

,

ksze ni˙z e

F – wynika to sta

,

d, ˙ze kwadrat liczby rzeczywistej 6= 0

jest dodatni, za´s 0

2

= 0 . Najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f w tym przypadku jest

liczba e

F , jest ona przyjmowana w jednym tylko punkcie (zerowania sie

,

gradientu),

funkcja jest oczywi´scie nieograniczona z g´ory. Przypadek A < 0 jest w pe lni analo-

giczny, nier´owno´sci zmieniaja

,

kierunki, wie

,

c w tym przypadku funkcja ma warto´s´c

najwie

,

ksza

,

, a z do lu nie jest ograniczona.

Przypadek hiperboliczny.

Teraz mo˙ze zdarzy´c sie

,

, ˙ze A = 0 = C . Je´sli tak jest, to wprowadzamy nowe zmienne

e

x = x + y oraz e

y = x − y , czyli x = e

x+

e

y

2

oraz y = e

x−

e

y

2

. Po podstawieniu cze

,

´s´c

kwadratowa wygla

,

da tak:

B

2

e

x

2

−

B

2

e

y

2

. Przyjmuja

,

c e

A =

B

2

, e

B = 0 oraz e

C =

B

2

otrzymujemy zn´ow wielomian kwadratowy, dla kt´orego e

A e

C − e

B

2

< 0 , przy czym

e

A 6= 0 . Mo˙zemy wie

,

c od razu za lo˙zy´c, ˙ze A 6= 0 , co uchroni nas przed zmiana

,

oznacze´

n nie zmniejszaja

,

c przy tym og´olno´sci rozwa˙za´

n. Przyjmujemy wie

,

c dalej, ˙ze

A > 0 . Przekszta lcaja

,

c tak jak w przypadku eliptycznym otrzymujemy

e

f

u

v

= Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F = A u +

B
A

v

2

−

B

2

A

v

2

+ Cv

2

+ e

F =

= A



u +

B
A

v

2

+

AC−B

2

A

2

v

2



+ e

F .

Oczywi´scie lim

u→∞

f

u

0

= +∞ , zatem funkcja e

f nie jest ograniczona z g´ory. Mamy te˙z

lim

v→∞

f

−vB/A

v

= −∞ , wie

,

c r´ownie˙z z do lu ta funkcja nie jest ograniczona. Kresem

dolnym tej funkcji jest wie

,

c −∞ , a g´ornym +∞ . Wykres tej funkcji jest dwuwymia-

rowa

,

powierzchnia

,

w przestrzeni tr´ojwymiarowej przypominaja

,

ca

,

wygla

,

dem prze le

,

cz

w g´orach, co mi lo´snikom jazdy konnej kojarzy´c mo˙ze sie

,

z siod lem. Om´owmy to nieco

*

Wyr´

o˙znik wielomianu Au

2

+2Buv+Cv

2

zmiennej u r´

owny jest 4v

2

(

B

2

−AC

)

, wie,c gdy v6=0 , to

wielomian ten nie ma pierwiastk´

ow!

35

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

dok ladniej. Je´sli v = 0 , to rozwa˙zamy funkcje

,

Au

2

+ e

F , kt´orej wykresem jest pa-

rabola skierowana ramionami ku g´orze. Je´sli ograniczymy nasza

,

uwage

,

do prostej o

r´ownaniu u +

B
A

v = 0 , to otrzymamy funkcje

,

AC−B

2

A

v

2

+ e

F , kt´orej wykresem jest

parabola skierowana ramionami ku do lowi. Ta druga ma punkt wsp´olny z pierwsza

,

,

po prostu jest podwieszona na pierwszej, ale znajduje sie

,

w innej p laszczy´znie piono-

wej*, mianowicie zawieraja

,

cej prosta

,

u+

B
A

v = 0 . Zmiana wielko´sci u+

B
A

v powoduje

przesunie

,

cie zwisaja

,

cej paraboli do g´ory wzd lu˙z paraboli Au

2

. Wykres naszej funkcji

sk lada sie

,

wie

,

c z parabol zwisaja

,

cych z paraboli Au

2

+ e

F w d´o l, r´ownoleg lych do

prostej u +

B
A

v = 0 , umieszczonych w p laszczyznach pionowych.

Jasne jest, ˙ze w tym przypadku funkcja w punkcie zerowania sie

,

gradientu nie

ma ani lokalnego maksimum ani lokalnego minimum: we

,

druja

,

c z punktu 0 w kie-

runku prostej v = 0 zwie

,

kszamy warto´s´c funkcji, za´s we

,

druja

,

c w kierunku prostej

u +

B
A

v = 0 zmniejszamy warto´s´c funkcji.

Przypadek paraboliczny

Podobnie jak w przypadku eliptycznym co najmniej jedna z liczba A , C musi by´c

r´o˙zna od 0, bo gdyby obie by ly zerami, to z r´owno´sci AC − B

2

= 0 wynika loby, ˙ze

r´ownie˙z B = 0 , co nie jest mo˙zliwe w ´swietle naszego za lo˙zenia. Bez straty og´olno´sci

mo˙zemy przyja

,

´c, ˙ze A 6= 0 , a nawet A > 0 . Przypadek A < 0 pozostawiamy

czytelnikowi. Mamy wie

,

c

Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ 2Du + 2Ev + F =

= A u +

B
A

v +

D

A

2

+



C −

B

2

A



v

2

+ 2 E −

BD

A

v + F −

D

2

A

=

= A u +

B
A

v +

D

A

2

+ 2 E −

BD

A

v + F −

D

2

A

.

Mamy wie

,

c dwa przypadki E −

BD

A

= 0 i E −

BD

A

6= 0 .

W pierwszym przypadku funkcja przyjmuje najmniejsza

,

warto´s´c F −

D

2

A

w ka˙z-

dym punkcie prostej Au + By + D = 0 i oczywi´scie jest nieograniczona z g´ory.

W drugim przypadku funkcja jest nieograniczona z g´ory: lim

u→∞

f

u

0

= +∞ . Jest

te˙z nieograniczona z do lu, bowiem jedna z granic

lim

v→∞

f

−(Bv+D)/A

v

,

lim

v→−∞

f

−(Bv+D)/A

v

r´owna jest −∞ , a druga

,

jest +∞ . W tych przypadkach wykres funkcji mo˙zna wy-

obrazi´c sobie jako doline

,

: w przypadku E −

BD

A

= 0 dno doliny jest poziome, a

w przypadku E −

BD

A

6= 0 – nie.

*

Je´sli B=0 , to te pionowe p laszczyzny sa, prostopad le, pierwsza ma r´ownanie v=0 , a druga – u=0

36

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Uwaga 16.30

W przypadku funkcji jednej zmiennej podali´smy kryterium pozwalaja

,

ce na stwier-

dzenie, czy funkcja ma w punkcie zerowania sie

,

pochodnej lokalne ekstremu czy te˙z

nie. Podobne twierdzenia mo˙zna formu lowa´c dla funkcji dwu i wie

,

kszej liczby zmien-

nych. Szczeg´olnie wa˙zny jest przypadek najprostszy, gdy problem mo˙zna wyja´sni´c

badaja

,

c pochodne drugiego rze

,

du. Zajmiemy sie

,

tym nieco p´o´zniej. Wypada jednak

stwierdzi´c, ˙ze twierdzenia om´owione w ostatnim przyk ladzie stanowia

,

podstawe

,

do

sformu lowania odpowiednich tez w przypadku funkcji dwu zmiennych.

Ostatni przyk lad zawiera dow´od twierdzenia Sylvestera (zob. naste

,

pne twierdze-

nie) w przypadku funkcji dwu zmiennych. Udowodnimy zreszta

,

to twierdzenie za

chwile

,

, by przekona´c czytelnika, ˙ze nic tajemniczego w nim nie ma, cho´c oczywi´scie

jego dow´od nie jest konieczny do zdania egzaminu z matematyki przez studenta che-

mii.

Twierdzenie 16.31 (

Sylvestera o formach kwadratowych dodatnio okre´

slonych)

Niech f be

,

dzie forma

,

kwadratowa

,

okre´slona

,

przez macierz symetryczna

,

A = (a

i,j

)

wymiaru k , tzn. dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, . . . , k} zachodzi r´owno´s´c a

i,j

= a

j,i

,

zatem

f (x) = (Ax) · x =

k

X

i,j=1

a

i,j

x

i

x

j

,

kropka oznacza tu iloczyn skalarny. Niech M

l

= det(a

i,j

)

i,j≤l

. Wtedy f (x) > 0 dla

x 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy M

l

> 0 dla l = 1, 2, . . . , k . M´owimy wtedy, ˙ze forma

f jest dodatnio okre´slona.

Dow´

od. (J.Musielak)*

Zastosujemy indukcje

,

wzgle

,

dem k . Dla k = 1 mamy f (x) = a

1,1

x

2

, zatem

forma jest dodatnio okre´slona wtedy i tylko wtedy, gdy a

1,1

> 0 .

Dla k = 2 mamy

f (x) = a

1,1

x

2

1

+ a

1,2

x

1

x

2

+ a

2,1

x

2

x

1

+ a

2,2

x

2

2

= a

1,1

x

2

1

+ 2a

1,2

x

1

x

2

+ a

2,2

x

2

2

.

Oczywi´scie musi by´c a

1,1

= f (e

1

) > 0 , czyli musi by´c M

1

> 0 . Funkcje

,

f mo˙zemy

potraktowa´c jako wielomian kwadratowy zmiennej x

1

zale˙zny od parametru x

2

.

Ma on przyjmowa´c jedynie warto´sci dodatnie dla x

2

6= 0 . Warunkiem koniecznym i

dostatecznym na to jest, jak wiadomo z nauki w liceum,

0 < −

∆

4

= a

1,1

a

2,2

x

2

2

− a

2

1,2

x

2

2

= (a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

)x

2

2

,

*

Wg. ksia,˙zki Mostowskiego i Starka, Elementy Algebry Wy˙zszej, Warszawa, PWN 1963, wyd 5. Poda-

jemy ten w la´snie dow´

od, bo jest on chyba najbardziej elementarny z tych, kt´

ore autor widzia l, wymaga

jedynie podstawowych wiadomo´sci o wielomianach kwadratowych jednej zmiennej i wyznacznikach.

37

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

czyli M

2

> 0 .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze teza zachodzi dla wszystkich form kwadratowych okre´slonych

na przestrzeni wymiaru mniejszego ni˙z k + 1 . Wyka˙zemy, ˙ze zachodzi r´ownie˙z dla

form okre´slonych na przestrzeni wymiaru k . Mamy

f (x) = a

1,1

x

2

1

+ 2x

1





k+1

X

j=2

a

1,j

x

j



 +

k+1

X

i,j=2

a

i,j

x

i

x

j

.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by f (x) > 0 dla x 6= 0 jest a

1,1

> 0

oraz

0 < −

∆

4

= a

1,1





k+1

X

i,j=2

a

i,j

x

i

x

j



 −





k+1

X

j=2

a

1,j

x

j





2

=

=

k+1

X

i,j=2

a

1,1

a

i,j

x

i

x

j

−

k+1

X

j=2

a

1,i

a

1,j

x

i

x

j

=

k+1

X

i,j=2

b

i,j

x

i

x

j

,

gdzie b

i,j

= a

1,1

a

i,j

− a

1,i

a

1,j

. Ostatnie wyra˙zenie jest forma

,

kwadratowa

,

k zmien-

nych, wie

,

c na mocy za lo˙zenia indukcyjnego warunkiem koniecznym i dostatecznym

jego dodatniej okre´slono´sci jest

| b

2,2

| > 0 ,









b

2,2

b

2,3

b

3,2

b

3,3







 > 0 , . . . ,

















b

2,2

b

2,3

. . .

b

2,k+1

b

3,2

b

3,3

. . .

b

3,k+1

..

.

..

.

. ..

..

.

b

k+1,2

b

k+1,3

. . . b

k+1,k+1

















> 0 .

Dla l ∈ {2, . . . , k + 1} mamy

0 <

















b

2,2

b

2,3

. . . b

2,l

b

3,2

b

3,3

. . . b

3,l

..

.

..

.

. .. ...

b

l,2

b

l,3

. . .

b

l,l

















=

=



















a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

a

1,1

a

2,3

− a

1,2

a

1,3

. . . a

1,1

a

2,l

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,2

− a

1,2

a

1,3

a

1,1

a

3,3

− a

2

1,3

. . . a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,1

a

l,2

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

. . .

a

1,1

a

l,l

− a

2

1,l



















=

=























1

a

1,2

a

1,3

. . .

a

1,l

0

a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

a

1,1

a

2,3

− a

1,2

a

1,3

. . . a

1,1

a

2,l

− a

1,2

a

1,l

0 a

1,1

a

3,2

− a

1,2

a

1,3

a

1,1

a

3,3

− a

2

1,3

. . . a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

a

1,1

a

l,2

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

. . .

a

1,1

a

l,l

− a

2

1,l























.

Ostatnia r´owno´s´c wynika z tego, ˙ze wyznacznik mo˙zna oblicza´c rozwijaja

,

c go wzgle

,

-

dem pierwszej kolumny. Teraz pomno˙zymy pierwszy wiersz przez a

1,2

i dodamy do

drugiego, potem pierwszy wiersz przez a

1,3

i dodamy do trzeciego, itd. Poniewa˙z te

38

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

operacje nie zmieniaja

,

warto´sci wyznacznika, wie

,

c otrzymamy

0 <





















1

a

1,2

a

1,3

. . .

a

1,l

a

1,2

a

1,1

a

2,2

a

1,1

a

2,3

. . . a

1,1

a

2,l

a

1,3

a

1,1

a

3,2

a

1,1

a

3,3

. . . a

1,1

a

3,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,l

a

1,1

a

l,2

a

1,1

a

l,3

. . .

a

1,1

a

l,l





















.

Pomno˙zymy teraz pierwszy wiersz przez liczbe

,

a

1,1

> 0 , nie zmienia to znaku wy-

znacznika, bo mno˙zenie wiersza przez liczbe

,

to to samo, co mno˙zenie wyznacznika

przez te

,

liczbe

,

. W otrzymanym wyznaczniku wszystkie wyrazy w kolumnach drugiej,

trzeciej itd. zawieraja

,

czynnik a

1,1

, wie

,

c z tych kolumn mo˙zna go wy la

,

czy´c, co ozna-

cza podzielenie wyznacznika przez liczbe

,

a

l−1

1,1

> 0 . Znak pozostaje niezmieniony, a

otrzymany wyznacznik to





















a

1,1

a

1,2

a

1,3

. . . a

1,l

a

1,2

a

2,2

a

2,3

. . . a

2,l

a

1,3

a

3,2

a

3,3

. . . a

3,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,l

a

l,2

a

l,3

. . .

a

l,l





















. Tym samym zako´

nczyli´smy

dow´od.

Przyk lad 16.22

Rozwa˙zymy trzy funkcje

f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

2

,

g(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

2

,

h(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

2

.

Znajdziemy ich lokalne ekstrema oraz kresy.

Zachodza

,

r´owno´sci

∂f
∂x

(x, y) = −e

2x

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

,

∂f
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + (y + 1)(y + 2)(2y − 1) −e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

∂g
∂x

(x, y) = −e

2x

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

,

∂g
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + (y + 1)(y + 2)(2y + 3) −e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

,

∂h
∂x

(x, y) = −e

2x

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

,

∂h
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + 2(y + 1)(y + 2)(y + 3) −e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

.

Znajdziemy punkty krytyczne funkcji f, g, h , czyli punkty, w kt´orych ich gra-

dienty sa

,

wektorami zerowymi.

Z r´owno´sci

∂f
∂x

= 0 wynika, ˙ze −e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

= 0 , a z niej i z r´owno´sci

∂f
∂y

= 0 wynika, ˙ze y(y+3)(y+1)(y−2) = 0 . Musi wie

,

c by´c spe lniona jedna z czterech

r´owno´sci y = 2 , y = 0 , y = −1 , y = −3 . Trzeba znale´z´c odpowiadaja

,

ce tym

warto´sciom zmiennej y warto´sci zmiennej x . Prowadzi to do r´owno´sci e

2x

= 3

2

· 0

2

,

39

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

e

2x

= 1

2

· (−2)

2

, e

2x

= 0

2

· (−3)

2

i e

2x

= (−2)

2

· (−5)

2

. Ani pierwsze ani trzecie

r´ownanie nie ma rozwia

,

za´

n. Z drugiego wynika, ˙ze x = ln 2 . Z czwartego z kolei

wnioskujemy, ˙ze x = ln 10 . Znale´zli´smy wie

,

c wszystkie punkty krytyczne funkcji f .

Sa

,

dwa takie punkty: (ln 2, 0) i (ln 10, −3) . W ˙zadnym innym punkcie funkcja f

lokalnego ekstremum nie ma.

Znajdziemy pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du, a raczej drugie wielomiany Tay-

lora tych funkcji. Niech x = ln 2 + u . Mamy

f (x, y) = f (ln 2 + u, y) =

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2(ln 2+u)

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

2

=

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−4e

2u

+ (y

2

− y − 2)

2

2

=

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

+

1
4



−4(1 + 2u +

4u

2

2!

+

8u

3

3!

+ · · ·) + 4 + 4y − 3y

3

− 2y

3

+ y

4



2

=

= −90y

2

− 50y

3

+ 15y

4

+ 6y

5

+

1
4

(−8u + 4y + · · ·)

2

=

= −90y

2

+ 16u

2

− 16uy + 4y

2

+ · · · = 16u

2

− 16uy − 86y

2

+ · · · .

Opu´scili´smy wszystkie cz lony, kt´ore nie maja

,

wp lywu na wsp´o lczynniki przy jedno-

mianach stopnia 2 , tzn przy u

2

, uy, y

2

.

Twierdzenie o lokalnych ekstremach pozwala na stwierdzenie, ˙ze poniewa˙z wyra-

˙zenie (forma kwadratowa) 16u

2

− 16uy − 86y

2

przyjmuje czasem warto´sci dodatnie,

np. dla u = 1 i y = 0 , a czasem ujemne, np. dla u = 0 i y = 1 , wie

,

c funkcja w punk-

cie (ln 2, 0) nie ma ani lokalnego maksimum, ani lokalnego minimum. M´owimy w tym

przypadku o siodle.

Teraz zajmiemy sie

,

okolica

,

punktu (ln 10, −3) . Przyjmiemy, ˙ze x = ln 10 + u i

y = −3 + v . Wtedy

f (x, y) = f (ln 10+u, −3+v) = 6(−3+v)

5

+15(−3+v)

4

−50(−3+v)

3

−90(−3+v)

2

+

+

1
4

−e

2(ln 10+u)

+ (−3 + v + 1)

2

(−3 + v − 2)

2

2

=

= 6(−3)

5

+ 15(−3)

4

− 50(−3)

3

− 90(−3)

2

+

+ 6 · 5 · (−3)

4

v + 15 · 4 · (−3)

3

v − 50 · 3 · (−3)

2

v − 90 · 2 · (−3)v +

+ 6 ·

5
2

· (−3)

3

v

2

+ 15 ·

4
2

· (−3)

2

v

2

− 50 ·

3
2

· (−3)v

2

− 90v

2

+ · · · +

+

1
4



−100(1 + 2u +

4u

2

2!

+ · · ·) + (4 − 4v + v

2

)(25 − 10v + v

2

)



2

=

= 297 − 450v

2

+ · · ·

1
4

(−200u + · · · − 140v + · · ·)

2

=

= 297 − 450v

2

+

1
4

(−200u − 140v)

2

+ · · · =

= 297 + 10000u

2

+ 14000uv + 4450v

2

+ · · · .

Jasne jest, ˙ze wyra˙zenie 10000u

2

+ 14000uv + 4450v

2

bywa dodatnie, np. gdy przyj-

40

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

miemy u = 1, v = 0 . Bywa r´ownie˙z ujemne np. dla u = 14, v = −20 . Wobec w

punkcie (ln 10, −3) funkcja f ma siod lo.

Kres g´orny funkcji f r´owny jest +∞ , bo

lim

y→∞

f

1
2

ln



(y + 1)(y − 2)



, y

= lim

y→∞

(6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

) = +∞ .

Kres g´orny funkcji f r´owny jest −∞ , bo

lim

y→−∞

f

1
2

ln



(y + 1)(y − 2)



, y

= lim

y→−∞

(6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

) = −∞ .

Teraz zajmiemy sie

,

funkcja

,

g . Oczywi´scie obliczenia sa

,

bardzo podobne, wie

,

c

podamy tylko wyniki i wycia

,

gniemy wnioski.

Gradient funkcji g zeruje sie

,

w dw´och punktach: (ln 2, −1) i (ln 10, 2) .

Podstawiaja

,

c x = u + ln 2 i y = v − 1 otrzymujemy

g(x, y) = g(u + ln 2, v − 1) = −31 + 16u

2

+ uv + 94v

2

+ · · · .

Wyra˙zenie 16u

2

+uv +94v

2

jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb u, v z wyja

,

t-

kiem u = 0 = v . Je´sli bowiem potraktujemy je jako wielomian kwadratowy zmiennej

u z parametrem v , to jego wyr´o˙znik r´owny be

,

dzie ∆ = v

2

− 4 · 16 · 94v

2

, wie

,

c

wyr´o˙znik ten jest ujemny dla v 6= 0 ; jasne jest, ˙ze gdy v = 0 , to jedynym u , dla

kt´orego 16u

2

+ uv + 94v

2

= 0 jest liczba 0 . Wobec tego funkcja g ma lokalne

minimum w punkcie (ln 2, −1) .

Podstawiaja

,

c x = u + ln 10 i y = v + 2 otrzymujemy

g(x, y) = g(u + ln 10, v + 2) = 328 + 10000u

2

− 14000uv + 5350v

2

+ · · · .

Wyra˙zenie 10000u

2

− 14000uv + 5350v

2

jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb

u, v z wyja

,

tkiem u = 0 = v , bo

(−14000v)

2

−4·10000·5350v

2

= (196 000 000−214 000 000)v

2

= −18 000 000v

2

< 0 .

Wobec tego funkcja g ma lokalne minimum w punkcie (ln 10, 2) . Podobnie jak dla

funkcji f wykazujemy, ˙ze kresem g´ornym funkcji g jest +∞ , a kresem dolnym —

−∞ . Innych punkt´ow krytycznych ta funkcja nie ma. Prosze

,

spr´obowa´c wyobrazi´c

sobie wykres funkcji g . Jest to niez le ´cwiczenie na zrozumienie sytuacji.

Gradient funkcji h zeruje sie

,

w dw´och punktach: (ln 3, 0) i (ln 15, 2) .

Podstawimy najpierw x = u + ln 3 . Mamy wtedy

h(x, y) = h(u + ln 3, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

+

1
4

−e

2(u+ln 3)

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

2

=

= 81u

2

− 216uy + 54y

2

+ · · · .

Wyra˙zanie 81u

2

−216uy+54y

2

bywa dodatnie, np. gdy y = 0 6= u ; bywa te˙z ujemne,

np. gdy u = y 6= 0 . Wobec tego w punkcie (ln 3, 0) funkcja h ma siod lo.

Teraz kolej na punkt (ln 15, 2) . Podstawimy x = u + ln 15 , y = 2 + v . Po pewnych

41

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

rachunkach otrzymujemy

h(x, y) = h(u + ln 3, 2 + v) = 6(2 + v)

5

+ 15(2 + v)

4

− 50(2 + v)

3

− 90(2 + v)

2

+

+

1
4

−e

2(u+ln 3)

+ (2 + v + 1)

2

(2 + v + 3)

2

2

=

= −328 + 50625u

2

− 54000uv + 14850v

2

+ · · · .

Poniewa˙z 54000

2

− 4 · 50625 · 14850 = −91125000 < 0 , wie

,

c wyra˙zenie 50625u

2

−

54000uv+14850v

2

traktowane jako wielomian kwadratowy zmiennej u z parametrem

v nie ma pierwiastk´ow rzeczywistych, wie

,

c przyjmuje jedynie warto´sci dodatnie z

wyja

,

tkiem przypadku v = 0 , w kt´orym ma jeden pierwiastek podw´ojny u = 0 . W

tej sytuacji funkcja ma lokalne minimum w punkcie (ln 15, 2) .

Tak jak w przypadku funkcji f z latwo´scia

,

stwierdzamy, ˙ze kres g´orny funkcji

h r´owny jest +∞ , a dolny −∞ .

Podsumowanie: w przypadku funkcji jednej zmiennej ekstrem wyste

,

powa ly na

zmiane

,

; w przypadku funkcji dwu zmiennych, tym bardziej w przypadku funkcji

wie

,

kszej ich liczby mo˙ze by´c zupe lnie inaczej. Wynika to z tego, ˙ze struktura geo-

metryczna p laszczyzny jest bardziej z lo˙zona ni˙z struktura prostej, a w wy˙zszych wy-

miarach te efekty sa

,

jeszcze silniejsze. Nie be

,

dziemy w te kwestie wchodzi´c g le

,

biej.

Jednak wypada podkre´sli´c, ˙ze nie wolno zbyt szybko wycia

,

ga´c wniosk´ow i zbytnio

wierzy´c swej intuicji, bo ona mo˙ze zawie´s´c. Trzeba korzysta´c z twierdze´

n, kt´ore sa

,

prawdziwe zwracaja

,

c uwage

,

na to, czy za lo˙zenia sa

,

spe lnione.

Uwaga 16.32 Rozumowania z ostatniego przyk ladu (bezpo´srednio przed ta

,

uwaga

,

)

mo˙zna skr´oci´c bardzo istotnie traktuja

,

c ka˙zda

,

z trzech rozwa˙zanych tam funkcji

jako sume

,

wielomianu 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

zmiennej y i kwadratu pewnej

funkcji dwu zmiennych. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze w punktach −3 i 0 wielomian

6y

5

+15y

4

−50y

3

−90y

2

ma lokalne maksima, a w punktach −1 i 2 — lokalne minima.

Kwadrat funkcji jakiejkolwiek w punkcie, w kt´orym przyjmuje warto´s´c 0 ma swoje

minimum i to nie tylko lokalne. Sta

,

d od razu wynika, ˙ze funkcja g ma w punktach

(ln 2, −1) i (ln 10, 2) lokalne minima — oba sk ladniki maja

,

tam lokalne minima!

Minima te sa

,

w la´sciwe, bo w ˙zadnym innym punkcie funkcja g lokalnego minimum

nie ma, gdy˙z jej jedynymi punktami krytycznymi sa

,

te dwa punkty. Zache

,

camy do

zastosowania tej metody w przypadku funkcji f i funkcji h .

Zadania

16. 01

Zbada´c cia

,

g lo´s´c odwzorowania f : IR

3

→ IR

2

okre´slonego naste

,

puja

,

co:

f (x, y, z) =

 xy

1 + z

2

,

x

2

y

2

z

2

x

2

+ y

2

+ z

2



, gdy (x, y, z) 6= (0, 0, 0) i f (0, 0, 0) = (0, 0) .

16. 02

∗

Niech f (x, y) = x

y

dla x > 0 i y > 0 . Pokaza´c, ˙ze nie mo˙zna okre´sli´c funkcji

42

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

w (0, 0) tak, aby by la ona cia

,

g la w tym punkcie.

16. 03

Definiujemy funkcje

,

f : IR

2

→ IR za pomoca

,

wzor´ow: f (x, y) =

x

2

y

x

4

+ y

2

, gdy

(x, y) 6= (0, 0) oraz f (0, 0) = 0 . Pokaza´c, ˙ze obcie

,

cie f do dowolnej prostej

przechodza

,

cej przez (0, 0) jest funkcja

,

cia

,

g la

,

na tej prostej, mimo ˙ze funkcja f

nie jest cia

,

g la w (0, 0) .

16. 04

∗

Zbi´or S = {x ∈ IR

k

:

f (x) = f (x

0

)} nazywamy poziomica

,

(warstwica

,

) prze-

chodza

,

ca

,

przez punkt x

0

funkcji f : IR

k

→ IR . Pokaza´c, ˙ze poziomice funkcji

cia

,

g lej sa

,

domknie

,

te w IR

k

.

16. 05

Obliczy´c pochodne cza

,

stkowe funkcji

(a) f (x, y) = e

−x

2

−2xy+4

,

(b) f (x, y) = arctan(

x
y

) ,

(c) f (x, y, z) = e

x

sin y + e

y

sin(2z) + e

z

sin(3x) ,

(d) f (x) = kxk =

v

u

u

t

k

X

i=1

x

2

i

, dla x 6= 0 ,

(e) f (x) = e

−x·x

, dla x ∈ IR

k

, gdzie x · x =

k

X

i=1

x

2

i

.

16. 06

„Narysowa´c” naste

,

puja

,

ce zbiory (w odpowiedniej przestrzeni, R

2

lub R

3

):

a. A = {(x, y):

|x| − |y| ≤ 1} ,

b. B = {(x, y):

0 < x + y ≤ 1, y ≥ x

2

} ,

c. C = {(x, y):

0 < x + y ≤ 1, y ≥ x

2

+ 1} ,

d. D = {(x, y):

x

2

+ 2x + y

2

− 4y ≥ −1, 9x

2

+ 16y

2

≤ 144} ,

e. E = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + 2y + 3z = 6} ,

f. F = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + 2y + 3z < 6} ,

g. G = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

= 4z

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

= 9} ,

h. H = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4z

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

i. I = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

= 4, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

j. J = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

k. K = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

> 9} ,

l. L = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

< z, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1} ,

m. M = {(x, y, z):

x

2

− y

2

= z, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1} ,

n. N = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

− z

2

≤ 1} ,

o. O = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, z

2

− x

2

− y

2

≤ 1} ,

p. P = {(x, y, z):

xy ≤ 0, x

2

+ z

2

≤ 1}

r. R = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z < 3} ,

s. S = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + 2z ≥ 6, x + y + z ≤ 6} ,

43

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

t. T = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ −6, x + y + 2z ≥ 6, x + y + z ≤ 6} ,

u. U = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

≥ 1} ,

v. V = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

> 1} ,

w. W = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

= 1} .

16. 07

∗

Wyja´sni´c, kt´ore ze zbior´ow zdefiniowanych w zadaniu 6 sa

,

otwarte, kt´ore domk-

nie

,

te, kt´ore ograniczone, kt´ore zwarte, a kt´ore wypuk le.

16. 08

∗

Cia

,

g lo´s´c normy. Pokaza´c, ˙ze





kxk − kyk





 ≤ kx − yk .

16. 09

∗

Wypuk lo´s´c normy. Pokaza´c, ˙ze kαx + (1 − α)yk ≤ αkxk + (1 − α)kyk dla

0 ≤ α ≤ 1 . Pokaza´c, ˙ze kule B(x

0

, r) , B(x

0

, r) sa

,

zbiorami wypuk lymi. Zbi´or

A jest wypuk ly, je´sli ka˙zdy odcinek, kt´orego ko´

nce le˙za

,

w zbiorze A jest zawarty

w A .

16. 10

Znale´z´c kierunek najszybszego wzrostu funkcji f , czyli jej gradient, w punkcie

P dla:

(a) f (x, y) = arctan(

y
x

) , p = (1, −2) ;(b) f (x, y, z) =

p

xy

2

z

3

, p = (2, 2, 2) ;

(c) f (x, y, z) = e

x−y−z

, p = (5, 2, 3) ;(d) f (x, y, z) = x + 2y + 3z , p = (1, 1, 1) .

Uwaga: dla funkcji f zale˙znej od 3 zmiennych zachodzi r´owno´s´c: grad f (p) =

=∇f (p) =

∂f
∂x

(p),

∂f
∂y

(p),

∂f

∂z

(p)

, analogicznie w przypadku dwu zmiennych.

16. 11

∗

Pokaza´c, ˙ze ni˙zej zdefiniowana funkcja jest r´o˙zniczkowalna w (0, 0) :

f (x, y) =

(

x

3

+y

3

√

x

2

+y

2

, je˙zeli (x, y) 6= (0, 0);

0,

je˙zeli (x, y) = (0, 0).

a funkcja

f (x, y) =

(

x

3

+y

3

x

2

+y

2

, je˙zeli (x, y) 6= (0, 0);

0,

je˙zeli (x, y) = (0, 0).

jest cia

,

g la w punkcie (0, 0) , ale r´o˙zniczkowalna w tym punkcie nie jest.

16. 12

∗

Pokaza´c, ˙ze funkcja f (x, y) =

3

√

xy nie jest r´o˙zniczkowalna w (0, 0) , chocia˙z

istnieja

,

obie pochodne cza

,

stkowe w tym punkcie.

16. 13

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich

ma ona lokalne minima, w kt´orych – lokalne maksima, a w kt´orych nie ma lo-

kalnego ekstremum, je´sli

(a) f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x + 4y − 6z ;

(b) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y ;

(c) f (x, y, z) = x

3

+ y

2

+ z

2

+ 12xy + 2z ;

(d) f (x, y, z) = x +

4y

2

x

+

z

2

y

+

2
z

;

44

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

(e) f (x, y, z) = xy

2

z

3

(6 − x − 2y − 3z) ;

(f) f (x, y) = 3x

8

+ 3y

8

+ 8x

3

y

3

;

(g) f (x, y) = y

2

+ 3x

2

y − x

3

y ;

(h) f (x, y) = y

2

+ y

4

+ 3x

4

− 4x

3

− 12x

2

;

(i) f (x, y) = x

5

y

7

(13 − x − y) ;

(j) f (x, y) = −x

4

+ y

4

+ 4x

2

y − 2y

2

;

w otoczeniu punktu (0, 0) rozwa˙zy´c zachowanie sie

,

funkcji f na paraboli y =

x

2

.

(k) f (x, y) = x

4

− y

4

− 2x

3

− 2xy

2

+ x

2

+ y

2

.

16. 14

Niech f (x, y, z) =

1
9

· 3(x + y)

3

− 18x

2

− 36xy − 54y

2

− 9z

2

+ 2

.

Znale´z´c punkty krytyczne f , tj. te, w kt´orych

grad f (x, y, z) = (x + y)

2

− 4x − 4y, (x + y)

2

− 4x − 12y, −2z

jest wektorem zerowym. Wyja´sni´c, w kt´orych z tych punkt´ow funkcja f ma

lokalne minima, w kt´orych lokalne maksima, a w kt´orych nie ma lokalnego eks-

tremum.

16. 15

∗

Niech f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

2

,

g(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

2

.

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu obu funkcji i wyja´sni´c, w kt´orych punk-

tach funkcje maja

,

lokalne minima, w kt´orych lokalne maksima, a w kt´orych nie

ma lokalnego ekstremum. Wykaza´c, ˙ze funkcje f i g nie sa

,

ograniczone ani z

g´ory ani z do lu.

16. 16

Zobaczmy, co sie

,

mo˙ze wydarzy´c w wymiarze wie

,

kszym ni˙z 1 :

(a) Wykaza´c, ˙ze funkcja (1 + e

y

) cos x − ye

y

ma niesko´

nczenie wiele maksim´ow

lokalnych, chocia˙z nie ma ˙zadnego minimum lokalnego.

(b) Niech f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

2

.

Znale´z´c kresy funkcji f i punkty, w kt´orych funkcja ta ma lokalne ekstrema.

Mo˙zna skorzysta´c z r´owno´sci:

∂f
∂x

(x, y) = −e

2x

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

i

∂f
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) +

+ 2(y + 1)(y + 2)(y + 3) −e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

.

16. 17

Znale´z´c kresy funkcji f w pierwszej ´cwiartce, je´sli f (x, y) =

xy

2

4x

2

+y

4

+4

.

16. 18

∗

Niech f (x, y) =

xy

2

−1

4x

2

+y

4

+4

. Znale´z´c kres g´orny i kres dolny warto´sci funkcji

f w pierwszej ´

cwiartce uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. Wyja´sni´c, czy funkcja f ma

wewna

,

trz pierwszej ´cwiartki uk ladu wsp´o lrze

,

dnych lokalne ekstrema.

45

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Informacja:

∂f
∂x

=

(y

2

+2x)(y

4

−2xy

2

+4)

(4x

2

+y

4

+4)

2

,

∂f
∂x

=

2y(y

2

+2x)(2x

2

+2−xy

2

)

(4x

2

+y

4

+4)

2

.

16. 19

∗

Niech p, q, r ∈ R

2

oznaczaja

,

trzy niewsp´

o lliniowe punkty. Niech f (x) =

kx − pk + kx − qk + +kx − rk dla x ∈ R

2

, tzn. f (x) jest suma

,

odleg lo´sci

punktu x od danych punkt´ow p, q, r . Wykaza´c, ˙ze je´sli f (x

0

) jest najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f : R

2

−→ [0, ∞) , to albo x

0

jest jednym z punkt´ow p, q, r ,

albo ka

,

ty mie

,

dzy wektorami −−−→

x − p, −−−→

x − q, −−−→

x − r sa

,

r´owne

2π

3

.

16. 20

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji f , f (x, y, z) = (3x+2y +z)e

−(6x+5y+3z)

,

na zbiorze E = {(x, y, z):

x > 0, y > 0, z > 0} .

16. 21

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji f , f (x, y, z) = (3x+2y +z)e

−(6x+5y+3z)

,

na zbiorze E = {(x, y, z):

x > 0, y > 0, z > 0} .

16. 22

Niech f (x, y) = x

2

y

5

(8 − x − y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gra-

dientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 10} .

16. 23

Niech f (x, y) = x

6

y

5

(12 − x − y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gra-

dientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema i

jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 10}

i

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 12} .

16. 24

Niech f (x, y) = x

4

y

2

(7 − 4x − 2y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma.

Znale´z´c sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} ,

inf{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1}

i sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 2} .

16. 25

Niech f (x, y) = x

3

y

2

(6 − x − 6y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gra-

dientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 2} .

16. 26

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji x

5

y

7

(13 − x − y) i wyja´sni´c,

w kt´orych z nich ma ona lokalne minima, w kt´orych – lokalne maksima, a

w kt´orych nie ma lokalnego ekstremum. Znale´z´c kresy funkcji f na zbiorze

{(x, y):

|x|, |y| ≤ 10} .

16. 27

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji xy − x − y + 3 , na zbiorze E , je´sli E

jest tr´ojka

,

tem domknie

,

tym o wierzcho lkach (0, 0) , (2, 0) , (0, 4) .

46

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

16. 28

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji x

2

+ y

2

− xy , na zbiorze

E = {(x, y):

|x| + |y| ≤ 1} .

16. 29

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji xy

2

, na zbiorze

E = {(x, y):

x

2

+ y

2

≤ 3} .

16. 30

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji (1 + x

2

)e

−x

2

−y

2

, na p laszczy´znie R

2

.

16. 31

Niech f (x, y, x) = 3x + 2y − z , g(x, y, x) = 3x + 2y + z , T niech ozna-

cza czworo´scian o wierzcho lkach A = (1, 1, 0) , B = (1, 2, 2) , C = (2, 1, 3) ,

D = (3, 2, 4) . Znale´z´c najwie

,

ksza

,

i najmniejsza

,

warto´s´c ka˙zdej z funkcji f, g na

czworo´scianie T . W ilu punktach funkcje f, g przyjmuja

,

warto´sci ekstremalne

na czworo´scianie T .

16. 32

Niech f (x, y, z) = x

4

+ y

5

+ z

6

, g(x, y, z) = 6x

6

+ 4y

4

+ 2z

2

. Mamy

grad f (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = grad g(0, 0, 0) .

Kt´ora z funkcji f, g ma w punkcie (0, 0, 0) lokalne ekstremum i dlaczego?

16. 33

Niech h(x, y) = ay(e

x

− 1) + x sin x − cos y . Dla jakich a ∈ R funkcja h ma

lokalne ekstremum w punkcie (0, 0) , a dla jakich lokalnego ekstremum w tym

punkcie nie ma?

Wskaz´owka: Dla pewnego a badanie drugiej r´o˙zniczki mo˙ze nie pozwoli´c na

stwierdzenie, czy w punkcie (0, 0) funkcja ma lokalne ekstremum, czy te˙z nie;

w tym przypadku warto zainteresowa´c sie

,

prosta

,

przechodza

,

ca

,

przez (0, 0) ,

z lo˙zona

,

z takich punkt´ow (u, v) , ˙ze

∂

2

h

∂x

2

(0, 0)u

2

+ 2

∂

2

h

∂x∂y

(0, 0)uv +

∂

2

h

∂y

2

(0, 0)v

2

= 0 .

16. 34

Niech f (x, y) = x

4

+ y

4

+ 2x

2

y

2

− 2x

2

+ 2y

2

+ 1 .

Znale´z´c punkty krytyczne funkcji f .

Wyja´sni´c, w kt´orych punktach krytycznych funkcja f ma lokalne maksima,

w kt´orych — lokalne minima, a w kt´orych siod la.
Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w kole

K = {(x, y):

x

2

+ y

2

≤ 4}.

16. 35

Niech f (x, y) = x

2

+ (xy − 1)

2

dla (x, y) ∈ R

2

,

Q := {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 1 i

− 1 ≤ y ≤ 1} .

Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, czy f

ma w tych punktach lokalne maksima, lokalne minima lub siod la.

Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w kwadracie Q .

Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w p laszczy´znie R

2

lub wy-

kaza´c, ˙ze jedna z nich lub obie nie istnieja

,

.

16. 36

Niech f (x, y) = 8y

2

+ 6x

2

y − x

3

y .

47

Funkcje wielu zmiennych

Micha l Krych

Znale´z´c punkty krytyczne funkcji f .

Wyja´sni´c, w kt´orych punktach krytycznych funkcja f ma lokalne maksima, w

kt´orych — lokalne minima, a w kt´orych siod la.
Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w prostoka

,

cie

R = {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 6, −3 ≤ y ≤ 1}.

16. 37

Niech f (x, y) = y

2

+ 3x

2

y − x

3

y dla (x, y) ∈ R

2

,

Q := {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 4 i

− 3 ≤ y ≤ 1} .

Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, czy f

ma w tych punktach lokalne maksima, lokalne minima lub siod la.

Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w kwadracie Q .

Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f w p laszczy´znie R

2

lub wy-

kaza´c, ˙ze jedna z nich lub obie nie istnieja

,

.

16. 38

Niech f (x, y) = x

3

− 12xy + 8y

3

. Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c

funkcji f w zbiorze T = {(x, y):

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 i x + y ≤ 4} .

Narysowa´c zbi´or T .

16. 39

Niech f (x, y) = x

2

+ 3xy

2

− xy

3

. Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c

funkcji f w prostoka

,

cie R = {(x, y):

−3 ≤ x ≤ 0 i

− 1 ≤ y ≤ 3} .

16. 40

Niech f (x, y) = 2x

2

y + xy

2

− 12xy . Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c

funkcji f w prostoka

,

cie Q = {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 6 i

− 1 ≤ y ≤ 12} .

16. 41

Niech f (x, y) = x

2

y + xy

2

− 3xy . Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c

funkcji f w kwadracie Q = {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 13 i

− 1 ≤ y ≤ 13} .

48