Macierze i wyznaczniki

Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i om´owimy ukÃlady r´owna´

n liniowych z wieloma

niewiadomymi. Zaczniemy od definicji.

Definicja 8.1 (macierzy)

Tablice

,

prostoka

,

tna

,

A =









a

1,1

a

1,2

. . .

a

1,n

a

2,1

a

2,2

. . .

a

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m,1

a

m,2

. . . a

m,n







 nazywa´c be

,

dziemy macierza

,

o

m wierszach i n kolumnach. Czasem stosowa´c be

,

dziemy oznaczenie A = (a

i,j

)

1≤i≤m

1≤j≤n

lub A = (a

i,j

) , gdy nie be

,

dzie wa

,

tpliwo´sci, o macierz jakiego wymiaru chodzi.

Macierze mo˙zna mno˙zy´c przez liczby mno˙za

,

c ka˙zdy wyraz macierzy przez te

,

liczbe

,

:

cA =









a

1,1

a

1,2

. . .

a

1,n

a

2,1

a

2,2

. . .

a

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m,1

a

m,2

. . . a

m,n







 =









ca

1,1

ca

1,2

. . .

ca

1,n

ca

2,1

ca

2,2

. . .

ca

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

ca

m,1

ca

m,2

. . . ca

m,n







.

Macierze tego samego wymiaru mo˙zna dodawa´c dodaja

,

c odpowiednie wyrazy:









a

1,1

. . .

a

1,n

a

2,1

. . .

a

2,n

..

.

. ..

..

.

a

m,1

. . . a

m,n







+









b

1,1

. . .

b

1,n

b

2,1

. . .

b

2,n

..

.

. ..

..

.

b

m,1

. . . b

m,n







 =









a

1,1

+ b

1,1

. . .

a

1,n

+ b

1,n

a

2,1

+ b

2,1

. . .

a

2,n

+ b

n,n

..

.

. ..

..

.

a

m,1

+ b

m,1

. . . a

m,n

+ b

m,n







.

Mno˙zenie macierzy przez liczby i ich dodawanie z punktu widzenia wÃlasno´sci

formalnych nie r´o˙zni sie

,

od dodawania liczb rzeczywistych. Inaczej jest z mno˙zeniem

macierzy, kt´ore zaraz zdefiniujemy. Zdefiniujemy iloczyn macierzy A = (a

r,s

) , kt´ora

ma m kolumn przez macierz B = (b

s,t

) , kt´ora ma m wierszy. W wyniku otrzymamy

macierz C = (c

r,t

) , kt´ora ma tyle wierszy co macierz A i tyle kolumn co macierz B .









a

1,1

a

2,1

. . . a

1,m

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,m

..

.

..

.

. ..

..

.

a

k,1

a

k,2

. . . a

k,m







·









b

1,1

b

1,2

. . .

b

1,n

b

2,1

b

2,2

. . .

b

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

b

m,1

b

m,2

. . . b

m,n







 =









c

1,1

c

1,2

. . . c

1,n

c

2,1

c

2,2

. . . c

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

c

k,1

c

k,2

. . . c

k,n







,

gdzie c

r,t

=

P

m
s=1

a

r,s

b

s,t

dla dowolnego r ∈ {1, 2, . . . , k} , t ∈ {1, 2, . . . , n} . Oz-

nacza to, ˙ze wyraz c

r,t

macierzy C mo˙zemy potraktowa´c jako iloczyn skalarny r –

tego wiersza macierzy A i t –tej kolumny macierzy B . WÃla´snie po to, by m´oc m´owi´c

1

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

o tym iloczynie skalarnym musimy zaÃlo˙zy´c, ˙ze pierwsza macierz ma tyle samo kolumn

co druga wierszy. Pomno˙zymy teraz dwie macierze:

µ

1 2 3
4 5 6

¶

·





1 2
3 4
5 6



 =

µ

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6
4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 5 4 · 2 + 5 · 4 + 6 · 6

¶

=

µ

22 28
49 64

¶

.

A teraz pomno˙zymy je w przeciwnej kolejno´sci:





1 2
3 4
5 6



·

µ

1 2 3
4 5 6

¶

=





1 · 1 + 2 · 4 1 · 2 + 2 · 5 1 · 3 + 2 · 6
3 · 1 + 4 · 4 3 · 2 + 4 · 5 3 · 3 + 4 · 6
5 · 1 + 6 · 4 5 · 2 + 6 · 5 5 · 3 + 6 · 6



 =





9

12 15

19 26 33
29 40 51



.

Wida´c, ˙ze otrzymali´smy r´o˙zne wyniki, nawet wymiary sie

,

nie zgadzaja

,

. Oznacza to,

˙ze to mno˙zenie macierzy nie jest przemienne — wynik zale˙zy od kolejno´sci czynnik´ow!

Oznacza to, ˙ze na og´oÃl A · B 6= B · A .

Mno˙zenie to jest Ãla

,

czne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C) . Wyka˙zemy to twierdze-

nie. Niech A = (a

r,s

)

1≤r≤k

1≤s≤l

, B = (b

s,t

)

1≤s≤l

1≤t≤m

, C = (c

t,u

)

1≤t≤m
1≤u≤n

. Znajdziemy

najpierw wyraz macierzy A · B znajduja

,

cy sie

,

w r –tym wierszu i t –tej kolum-

nie:

P

l
s=1

a

r,s

b

s,t

. Wobec tego w r –tym wierszu i u –tej kolumnie iloczynu (AB)C

znajduje sie

,

P

m
t=1

¡ P

l
s=1

a

r,s

b

s,t

¢

c

t,u

. Jest to suma iloczyn´ow postaci a

r,s

b

s,t

c

t,u

,

w kt´orych wska´zniki s, t przyjmuja

,

dowolne dopuszczalne warto´sci, tzn. 1 ≤ s ≤ l ,

1 ≤ t ≤ m . Powtarzaja

,

c te obliczenia w przypadku iloczynu A(BC) otrzymu-

jemy

P

l
s=1

a

r,s

¡ P

m
t=1

b

s,t

c

t,u

¢

, co jak Ãlatwo stwierdzi´c jest suma

,

iloczyn´ow postaci

a

r,s

b

s,t

c

t,u

, w kt´orych wska´zniki s, t przyjmuja

,

dowolne dopuszczalne warto´sci, tzn.

1 ≤ s ≤ l , 1 ≤ t ≤ m , co oznacza, ˙ze otrzymali´smy ten sam wynik, co w poprzednim

iloczynie.

Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze prawdziwe sa

,

naste

,

puja

,

ce stwierdzenia:

1

◦

A + B = B + A dla dowolnych macierzy A, B tego samego wymiaru;

2

◦

(A + B) + C = A + (B + C) dla dowolnych macierzy A, B, C tego samego

wymiaru;

3

◦

A + O = O + A dla dowolnej macierzy A , tu i dalej O oznacza macierz tego

samego wymiaru co A , w kt´orej wszystkie wyrazy sa

,

r´owne 0;

4

◦

dla dowolnej macierzy A istnieje macierz B tego samego wymiaru taka, ˙ze

A + B = B + A = O (oczywi´scie b

i,j

= −a

i,j

);

5

◦

(A · B) · C = A · (B · C) dla dowolnych macierzy A, B, C , dla kt´orych mno˙zenie

jest zdefiniowane;

2

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

6

◦

A · I = A dla dowolnej macierzy A , I oznacza tu i dalej macierz kwadra-

towa

,

, kt´ora ma tyle wierszy ile A kolumn i kt´orej wszystkie wyrazy na gÃl´ownej

przeka

,

tnej* sa

,

r´owne 1, a poza nia

,

sa

,

r´owne 0, tzn. i

i,i

= 1 oraz i

i,j

= 0 dla

i 6= j ; r´ownie˙z I · A = A , ale teraz macierz I ma tyle kolumn ile wierszy ma

macierz A ;

7

◦

A · (B + C) i (B + C) · A dla dowolnych macierzy, dla kt´orych dziaÃlania sa

,

zdefiniowane.

Macierz kwadratowa

I =

















1 0 0 0 . . . 0
0 1 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0

..

.

..

.

..

.

..

.

. .. ...

0 0 0 0 . . . 1

















,

kt´ora wysta

,

piÃla w punkcie 6

◦

nazywana jest macierza

,

jednostkowa

,

, wÃlasno´s´c 6

◦

m´owi, ˙ze peÃlni ona w zbiorze macierzy role

,

podobna

,

do tej, kt´ora

,

peÃlni liczba 1

w mno˙zeniu liczb rzeczywistych. R´o˙znica polega na tym, ˙ze jest wiele macierzy

jednostkowych: w ka˙zdym wymiarze jedna.

UkÃlad l r´owna´

n liniowych z k niewiadomymi

a

1,1

x

1

+ a

1,2

x

2

+ a

1,3

x

3

+ · · · + a

1,k

x

k

= b

1

a

2,1

x

1

+ a

2,2

x

2

+ a

2,3

x

3

+ · · · + a

2,k

x

k

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

l,1

x

1

+ a

l,2

x

2

+ a

l,3

x

3

+ · · · + a

l,k

x

k

= b

l

mo˙zna zapisa´c w postaci

A · ~x = ~b,

gdzie A = (a

i,j

)

1≤i≤l

1≤j≤k

, ~x jest pionowo zapisanym wektorem o k wsp´oÃlrze

,

dnych,

czyli macierza

,

o jednej kolumnie i k wierszach, analogicznie ~b . Niewiadomymi sa

,

x

1

, x

2

, . . . , x

k

. Nie zakÃladamy, ˙ze liczba niewiadomych r´owna jest liczbie r´owna´

n:

mo˙ze by´c k < l , k = l , k > l . Przeanalizujemy teraz rozwia

,

zywanie ukÃladu r´owna´

n

liniowych. Oczywi´scie nie mo˙zna spodziewa´c sie

,

, ˙ze w ka˙zdej sytuacji otrzymamy

jedno rozwia

,

zanie. Nawet wtedy, gdy liczba r´owna´

n jest r´owna liczbie niewiadomych,

*

GÃl´

owna przeka,tna macierzy kwadratowej C=(c

i,j

) skÃlada sie, z wyraz´ow c

i,i

, Ãla,czy wie,c lewy g´orny

r´

og macierzy z prawym dolnym.

3

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

ukÃlad mo˙ze mie´c niesko´

nczenie wiele rozwia

,

za´

n lub mo˙ze ich nie mie´c wcale. Be

,

-

dziemy mno˙zy´c r´ownania przez liczby r´o˙zne od 0 , dodawa´c je stronami, zmienia´c

kolejno´s´c r´owna´

n. Nie be

,

dziemy przepisywa´c niewiadomych. Oznacza to, ˙ze be

,

dziemy

zajmowa´c sie

,

tzw. rozszerzona

,

macierza

,

ukÃladu r´owna´

n liniowych, czyli macierza

,









a

1,1

a

1,2

. . . a

1,k

b

1

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,k

b

2

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

a

l,1

a

l,2

. . .

a

l,k

b

k







,

bo zawiera ona wszystkie informacje o ukÃladzie r´owna´

n, wie

,

c nie ma potrzeby prze-

pisywa´c niewiadomych. Cze

,

sto u˙zywany jest termin macierz ukÃladu — r´o˙zni sie

,

ona

od macierzy rozszerzonej brakiem ostatniej kolumny.

Poka˙zemy na przykÃladach metode

,

zwana

,

eliminacja

,

Gaussa*. Rozwa˙zymy ukÃlad

r´owna´

n:

x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

= 20;

x

1

+ x

2

− x

3

+ x

4

= 4;

2x

1

− x

2

+ x

3

+ x

4

= 7;

3x

1

+ x

2

− x

3

− x

4

= −2 .

Zgodnie z zapowiedzia

,

nie be

,

dziemy pisa´c niewiadomych, wystarczy macierz rozsze-

rzona.

W macierzy







0

1

2

3

20

1

1 −1

1

4

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2





 zamienimy pierwszy i drugi wiersz po to, by

w lewym g´ornym rogu znalazÃla sie

,

jedynka:







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2





.

Czytelnik zechce sprawdzi´c, ˙ze







0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1





·







0

1

2

3

20

1

1 −1

1

4

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2





 =







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2







— oznacza to, ˙ze zamiast m´owi´c o przestawianiu wierszy mo˙zemy m´owi´c o mno˙zeniu

macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana

,

macierz. Czytelnik zastanowi sie

,

,

*

Chodzi o eliminowanie niewiadomych z kolejnych r´

owna´

n

4

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

przez jaka

,

macierz nale˙zy pomno˙zy´c wyj´sciowa

,

macierz, by czwarty wiersz zamieniÃl

sie

,

miejscem z pierwszym lub trzecim i og´olnie, by zamieniÃly sie

,

miejscami wiersze

i –ty oraz j –ty.

Naste

,

pna operacje nie zmieni pierwszego ani drugiego wiersza, za to od trzeciego

odejmiemy pierwszy pomno˙zony przez 2 i jednocze´snie od czwartego wiersza odej-

miemy pierwszy pomno˙zony przez 3 . W rezultacie otrzymujemy:







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −2

2 −4 −14







Czytelnik zechce zwr´oci´c uwage

,

na to, ˙ze







1 0 0 0
0 1 0 0

−2 0 1 0
−3 0 0 1





·







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2





 =







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −2

2 −4 −14





,

wie

,

c r´ownie˙z to przeksztaÃlcenie macierzy mo˙zna potraktowa´c jako mno˙zenie jej z le-

wej strony przez odpowiednio dobrana

,

macierz. Zauwa˙zmy przy okazji, ˙ze







1 0 0 0
0 1 0 0

−2 0 1 0
−3 0 0 1





 =







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

−3 0 0 1





·







1 0 0 0
0 1 0 0

−2 0 1 0

0 0 0 1





,

co oznacza, ˙ze operacje

,

mo˙zna byÃlo przeprowadzi´c w dw´och etapach i wtedy r´ownie˙z

mo˙zna byÃlo to potraktowa´c jak mno˙zenie przeksztaÃlcanej macierzy z lewej strony

przez odpowiednio dobrana

,

macierz.

W wyniku otrzymali´smy macierz, w pier-

wszej kolumnie kt´orej wyste

,

puje w jednym miejscu jedynka a — poza nia

,

same

zera. Z punktu widzenia ukÃladu r´owna´

n oznacza to, ˙ze niewiadoma x

1

wyste

,

puje

teraz w jednym tylko r´ownaniu, w pierwszym! Oznacza to, ˙ze pozostaÃle niewiadome

mo˙zemy znale´z´c u˙zywaja

,

c pozostaÃlych trzech r´owna´

n, a naste

,

pnie z pierwszego r´ow-

nania wyliczy´c x

1

.

♣

Teraz wyeliminujemy x

2

z trzeciego i z czwartego r´ownania. Dla uproszczenia

rachunk´ow najpierw podzielimy czwarty wiersz przez 2 . Otrzymamy







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −1

1 −2

−7





.

R´ownie˙z ta operacja mo˙ze by´c przedstawiona jako mno˙zenie macierzy z lewej strony

przez odpowiednio dobrana

,

macierz:

♣

Niewiadoma x

1

zostaÃla wyeliminowana z trzech r´

owna´

n, kolej na x

2

.

5

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych







1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1
2





·







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −2

2 −4 −14





 =







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −1

1 −2

−7





.

Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi pomno˙zony przez 3 , a do czwartego do-

damy drugi:







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

9

8

59

0 0

3

1

13





.

Podobnie jak poprzednio mo˙zna uzyska´c ten sam rezultat przez mno˙zenie z lewej

strony przez odpowiednio dobrana

,

macierz:







1 0 0 0
0 1 0 0
0 3 1 0
0 1 0 1





·







1

1 −1

1

4

0

1

2

3

20

0 −3

3 −1

−1

0 −1

1 −2

−7





 =







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

9

8

59

0 0

3

1

13





.

Teraz zamienimy (tylko dla uproszczenia oblicze´

n) miejscami trzeci i czwarty wiersz:







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

9

8

59





.

I zn´ow widzimy, ˙ze







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0





·







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

9

8

59

0 0

3

1

13





 =







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

9

8

59





.

Teraz od czwartego wiersza odejmujemy trzeci pomno˙zony przez 3 :







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

0

5

20





.

Mo˙zna ten ostatni krok przedstawi´c w postaci mno˙zenia z lewej strony przez macierz:







1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0 −3 1





·







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

9

8

59





 =







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

0

5

20





.

W zasadzie zrobili´smy nieomal wszystko: w czwartym r´ownaniu jest ju˙z tylko jedna

niewiadoma, w trzecim — dwie, w drugim — trzy, tylko w pierwszym sa

,

wszyst-

kie. Oznacza to, ˙ze mo˙zemy znale´z´c kolejno warto´sci niewiadomych. Zrobimy to nie

u˙zywaja

,

c w dalszym cia

,

gu niewiadomych jawnie. Podzielimy najpierw ostatni wiersz

przez 5 :

6

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

0

1

4







— byÃlo to mno˙zenie z lewej strony przez macierz







1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1
5





.

Teraz wyeliminujemy x

4

z pierwszych trzech r´owna´

n: odejmujemy czwarty wiersz

od trzeciego i pierwszego, a od drugiego odejmujemy czwarty pomno˙zony przez 3 :







1 1 −1 0 0
0 1

2 0 8

0 0

3 0 9

0 0

0 1 4





.

Wykonali´smy teraz takie mno˙zenie:







1 0 0 −1
0 1 0 −3
0 0 1 −1
0 0 0

1





·







1 1 −1

1

4

0 1

2

3

20

0 0

3

1

13

0 0

0

1

4





 =







1 1 −1 0 0
0 1

2 0 8

0 0

3 0 9

0 0

0 1 4





.

Teraz dzielimy trzeci wiersz przez 3 :







1 0

0

0

0 1

0

0

0 0

1
3

0

0 0

0

1





·







1 1 −1 0 0
0 1

2 0 8

0 0

3 0 9

0 0

0 1 4





 =







1 1 −1 0 0
0 1

2 0 8

0 0

1 0 3

0 0

0 1 4





.

Usuniemy teraz x

3

z pierwszych dw´och r´owna´

n:







1 0

1 0

0 1 −2 0
0 0

1 0

0 0

0 1





·







1 1 −1 0 0
0 1

2 0 8

0 0

1 0 3

0 0

0 1 4





 =







1 1 0 0 3
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4





.

Ostatnia operacja to usunie

,

cie x

2

z pierwszego r´ownania:







1 −1 0 0
0

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1





·







1 1 0 0 3
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4





 =







1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4





.

No to wszystko sie

,

udaÃlo i po tych przeksztaÃlceniach ukÃlad r´owna´

n przybraÃl taka

,

posta´c:

x

1

= 1;

x

2

= 2;

x

3

= 3;

x

4

= 4;

co oznacza, ˙ze udaÃlo nam sie

,

go rozwia

,

za´c! Ma on dokÃladnie jedno rozwia

,

zanie.

Pokazali´smy, ˙ze rozwia

,

zywanie ukÃladu mo˙zna potraktowa´c jako mno˙zenie przez kolej-

7

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

ne macierze (uwaga na kolejno´s´c!)







1 −1 0 0
0

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1





·







1 0

1 0

0 1 −2 0
0 0

1 0

0 0

0 1





·







1 0

0

0

0 1

0

0

0 0

1
3

0

0 0

0

1





·







1 0 0 −1
0 1 0 −3
0 0 1 −1
0 0 0

1





·

·







1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1
5





·







1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0 −3 1





·







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0





·







1 0 0 0
0 1 0 0
0 3 1 0
0 1 0 1





·

·







1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1
2





 ·







1 0 0 0
0 1 0 0

−2 0 1 0
−3 0 0 1





 ·







0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1





 =









0

0

1
5

1
5

1
3

−

1
6

−

7

15

11
30

1
3

−

2
3

−

1

15

4

15

0

1
2

1
5

−

3

15







.

Widzimy wie

,

c, ˙ze rozwia

,

zywanie ukÃladu r´owna´

n mo˙zna interpretowa´c jako mno˙zenie

macierzy:









0

0

1
5

1
5

1
3

−

1
6

−

7

15

11
30

1
3

−

2
3

−

1

15

4

15

0

1
2

1
5

−

3

15







·







0

1

2

3

20

1

1 −1

1

4

2 −1

1

1

7

3

1 −1 −1

−2





 =







1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4





.

Doda´c nale˙zy, ˙ze mno˙za

,

c wiersze przez liczby, dodaja

,

c je, zmieniaja

,

c ich kolejno´s´c

wykonywali´smy operacje odwracalne, zawsze mogli´smy przeksztaÃlci´c macierz ,,z pow-

rotem”. Dzie

,

ki temu wszystkie kolejne ukÃlady r´owna´

n byÃly r´ownowa˙zne, zatem os-

tatni ukÃlad r´owna´

n byÃl r´ownowa˙zny pierwszemu.

Om´owimy jeszcze jeden przykÃlad, ale ju˙z nie be

,

dziemy tÃlumaczy´c, jak operacje

na wierszach macierzy mo˙zna zasta

,

pi´c mno˙zeniem z lewej strony przez odpowiednio

dobrana

,

macierz.

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0;

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 0;

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 0.

Zaczniemy od wypisania macierzy rozszerzonej tego ukÃladu:





1 −2

1 0

4 −5

2 0

5

2 −3 0



.

Teraz odejmiemy od drugiego wiersza pierwszy pomno˙zony przez 4, a od wiersza

trzeciego — pierwszy pomno˙zony przez 5:





1

−2

1 0

0

3

−2 0

0

12 −8 0



.

Teraz od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomno˙zony przez 4 :

8

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych





1 −2

1 0

0

3 −2 0

0

0

0 0



.

Dzielimy drugi wiersz przez 3 :





1 −2

1

0

0

1 −

2
3

0

0

0

0

0



.

Dodajemy do pierwszego wiersza drugi pomno˙zony przez 2





1 0 −

1
3

0

0 1 −

2
3

0

0 0

0

0



.

Tym razem rezultat jest ale nieco inny ni˙z poprzednio. UkÃlad ma niesko´

nczenie wiele

rozwia

,

za´

n. Warto´s´c x

3

jest dowolna i wtedy x

1

=

1
3

x

3

, x

2

=

2
3

x

3

. Jak wida´c mo˙ze

sie

,

tak zdarzy´c r´ownie˙z wtedy, gdy liczba r´owna´

n jest r´owna liczbie niewiadomych.

Obejrzymy ten sam ukÃlad po drobnej zmianie:

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0;

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 3;

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 6.

Wykonujemy kolejno te same operacje, kt´ore wykonali´smy przed chwila

,

. R´o˙znica po-

jawi sie

,

tylko w czwartej kolumnie (czyli po prawej stronie r´owna´

n). Otrzymujemy

w ko´

ncu:





1 0 −

1
3

2

0 1 −

2
3

1

0 0

0

−6



.

UkÃlad jest wie

,

c sprzeczny — r´ownanie 0 = −6 rozwia

,

za´

n nie ma. Natomiast bez

trudu stwierdzamy, ˙ze punkt (

1
3

x

3

+ 2,

2
3

x

3

+ 1, x

3

) = (2, 1, 0) + x

3

(

1
3

,

2
3

, 1) jest

rozwia

,

zaniem zar´owno pierwszego jak i drugiego r´ownania dla ka˙zdej liczby x

3

, wie

,

c

jest rozwia

,

zaniem ukÃladu

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 3

.

Do przeksztaÃlcania dw´och pierwszych r´owna´

n nie u˙zyli´smy ani razu r´ownania trze-

ciego, zatem ten ostatni ukÃlad dw´och r´owna´

n jest r´ownowa˙zny ukÃladowi

x

1

−

1
3

x

3

= 2

x

2

−

2
3

x

3

= 1

.

PrzeksztaÃlcaja

,

c w podobny spos´ob ukÃlad

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 3

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 6

.

9

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

stwierdzamy, ˙ze jest on speÃlniony przez punkt (

16
11

, 1,

12
11

) i ˙ze dla ka˙zdej liczby t

tr´ojka

(

16
11

+ t, 1 + 2t,

12
11

+ 3t) = (

16
11

, 1,

12
11

) + t(1, 2, 3)

r´ownie˙z jest rozwia

,

zaniem tego ukÃladu dw´och r´owna´

n.

ZostaÃla jeszcze jedna mo˙zliwo´s´c:

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0;

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 6.

Bez trudu stwierdzamy, ˙ze punkt (1,

1
2

, 0) speÃlnia ten ukÃlad r´owna´

n oraz ˙ze dla ka˙zdej

liczby t ukÃlad ten speÃlniony jest przez (1,

1
2

, 0) + t(1, 2, 3) = (1 + t,

1
2

+ 2t, 3t) .

Widzimy wie

,

c, ˙ze chocia˙z ukÃlad trzech r´owna´

n jest sprzeczny, to ukÃlady dowolnych

dw´och maja

,

rozwia

,

zania, kt´ore jeste´smy w stanie opisa´c. Geometria zwia

,

zana z ty-

mi r´ownaniami nie jest skomplikowana. Ka˙zde z r´owna´

n opisuje jaka

,

´s pÃlaszczyzne

,

.

W przypadku ukÃladu

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0;

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 0;

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 0.

te trzy pÃlaszczyzny maja

,

wsp´olna

,

prosta

,

przechodza

,

ca

,

przez punkt ~0 = (0, 0, 0) ,

r´ownolegÃla

,

do wektora (1, 2, 3) . W przypadku ukÃladu

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0;

4x

1

− 5x

2

+ 2x

3

= 3;

5x

1

+ 2x

2

− 3x

3

= 6.

jest nieco inaczej. Przesunie

,

te zostaÃly dwie pÃlaszczyzny. W wyniku tego nie ma

punktu wsp´olnego dla trzech pÃlaszczyzn, ale ka˙zde dwie maja

,

wsp´olna

,

prosta

,

. Ka˙zda

z trzech prostych jest r´ownolegÃla do wektora (1, 2, 3) .

Bez trudu mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze za pomoca

,

opisanych przeksztaÃlce´

n macierzy

rozszerzonej mo˙zna ja

,

doprowadzi´c do postaci schodkowej: ka˙zdy naste

,

pny wiersz

zawiera´c be

,

dzie wie

,

cej zer na pocza

,

tku, czyli w odpowiadaja

,

cym temu wierszowi

r´ownaniu wysta

,

pi mniej niewiadomych ni˙z w poprzednim.

♠

Je´sli ostatni nieze-

rowy wiersz zawiera tylko jeden wyraz r´o˙zny od 0 i to na samym ko´

ncu, to ukÃlad

jest sprzeczny. Je´sli nie, to ma rozwia

,

zania. Mo˙ze zdarzy´c sie

,

, ˙ze rozwia

,

za´

n jest

niesko´

nczenie wiele, a mo˙ze te˙z zdarzy´c sie

,

, ˙ze tylko jedno. W szczeg´oÃly nie be

,

dziemy

wchodzi´c. Warto jednak nadmieni´c, ˙ze je´sli znajdziemy dwa rozwia

,

zania ukÃladu li-

♠

Interesuje nas tylko pocza,tkowy blok samych zer, zera wyste,puja,ce na dalszych miejscach nic nas

chwilowo nie obchodza,.

10

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

niowego, np. ~x i ~y , to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej α wektor α~x+(1−α)~y r´ownie˙z

oka˙ze sie

,

rozwia

,

zaniem. Mamy bowiem: A~x = ~b i A~y = ~b , zatem

A

¡

α~x + (1 − α)~y

¢

= αA~x + (1 − α)A~y = α~b + (1 − α)~b = ~b .

Zbi´or punkt´ow postaci αx + (1 − α)y = y + α(x − y) , α ∈ R , to prosta przechodza

,

ca

przez punkt y w kierunku wektora −−−→

x − y , wie

,

c przechodza

,

ca r´ownie˙z przez punkt x .

Wykazali´smy, ˙ze wraz z ka˙zdymi dwoma punktami zbi´or rozwia

,

za´

n ukÃladu liniowego

zawiera prosta

,

, kt´ora przechodzi przez te punkty. Takie zbiory matematycy nazywaja

,

podprzestrzeniami afinicznymi.

Podprzestrzenie afiniczne przechodza

,

ce przez 0 nazywane sa

,

liniowymi. Pod-

przestrzenie liniowe maja

,

te

,

szczeg´olna

,

wÃlasno´s´c, ˙ze suma wektor´ow z takiej pod-

przestrzeni jest jej elementem. To samo dotyczy iloczynu wektora przez liczbe

,

. Mamy

z nimi do czynienia w przypadku rozwi´za´

n r´ownania Ax = 0 P´o´zniej oka˙ze sie

,

, ˙ze

sa

,

one szczeg´olnie wa˙zne r´ownie˙z z powod´ow algebraicznych.

Z macierzami kwadratowymi wia

,

˙za

,

sie

,

wyznaczniki. Przypomnijmy ich definicje

,

.

Definicja 8.2 (wyznacznika macierzy kwadratowej)

Wyznacznikiem det(A) = |A| macierzy (a

1,1

) nazywamy liczbe

,

a

1,1

. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze

zdefiniowali´smy ju˙z wyznaczniki macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego ni˙z n .

Niech A = (a

i,j

) be

,

dzie macierza

,

o n wierszach i n kolumnach. Wyznacznikiem

det(A) = |A| macierzy A nazywamy liczbe

,

a

1,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,2

a

2,3

. . . a

2,n

a

3,2

a

3,3

. . . a

3,n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n,2

a

n,3

. . . a

n,n

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

1,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,3

. . . a

2,n

a

3,1

a

3,3

. . . a

3,n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n,1

a

n,3

. . . a

n,n

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ · · · +

+(−1)

1+n

a

1,n

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,n−1

a

3,1

a

3,2

. . . a

3,n−1

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n,1

a

n,2

. . . a

n,n−1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

Na wszelki wypadek opiszemy sÃlowami ten wz´or. Wyznacznik macierzy 1 × 1,

to po prostu jedyny jej wyraz (w tym przypadku lepiej pisa´c np. det(−2) = −2 ni˙z

u˙zywa´c pionowych kresek i ryzykowa´c skojarzenie z warto´scia

,

bezwzgle

,

dna

,

). Wyz-

nacznik macierzy n × n znajdujemy rozwijaja

,

c go wzgle

,

dem pierwszego wiersza:

liczbe

,

(−1)

1+j

a

1,j

mno˙zymy przez wyznacznik macierzy wymiaru n − 1 × n − 1

powstaÃlej z danej macierzy przez wykre´slenie pierwszego wiersza i j –tej kolumny.

Poka˙zemy na przykÃladach jak to dziaÃla.

¯

¯

¯

¯

1 5
2 7

¯

¯

¯

¯ = 1 · 7 − 5 · 2 = −3 i og´olnie

¯

¯

¯

¯

a b

c d

¯

¯

¯

¯ = ad − bc ;

11

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 −2

1

4 −5

2

5

2 −3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= 1 ·

¯

¯

¯

¯

−5

2

2 −3

¯

¯

¯

¯ − (−2) ·

¯

¯

¯

¯

4

2

5 −3

¯

¯

¯

¯ + 1 ·

¯

¯

¯

¯

4 −5
5

2

¯

¯

¯

¯ =

= 1·

£

(−5)·(−3)−2·2

¤

−(−2)·

£

4·(−3)−2·5

¤

+1·

£

4·2−(−5)·5

¤

= 11+2·(−22)+33 = 0 ;

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0

1

2

3

1

1 −1

1

2 −1

1

1

3

1 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= 0 ·

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 −1

1

−1

1

1

1 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− 1 ·

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 −1

1

2

1

1

3 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ 2 ·

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

1

1

2 −1

1

3

1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+

+ 3 ·

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

1 −1

2 −1

1

3

1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

= −

µ ¯

¯

¯

¯

1

1

−1 −1

¯

¯

¯

¯ +

¯

¯

¯

¯

2

1

3 −1

¯

¯

¯

¯ +

¯

¯

¯

¯

2

1

3 −1

¯

¯

¯

¯

¶

+ 2

µ ¯

¯

¯

¯

−1

1

1 −1

¯

¯

¯

¯ −

¯

¯

¯

¯

2

1

3 −1

¯

¯

¯

¯ +

¯

¯

¯

¯

2 −1
3

1

¯

¯

¯

¯

¶

−

− 3

µ ¯

¯

¯

¯

−1

1

1 −1

¯

¯

¯

¯ −

¯

¯

¯

¯

2

1

3 −1

¯

¯

¯

¯ −

¯

¯

¯

¯

2 −1
3

1

¯

¯

¯

¯

¶

=

= −(0 − 5 − 5) + 2(0 + 5 + 5) − 3(0 + 5 − 5) = 10 + 20 − 0 = 30 .

Mamy nadzieje

,

, ˙ze definicja zostaÃla wyja´sniona. Poka˙zemy teraz jeszcze na-

jprostsze zastosowania poje

,

cia wyznacznika. Udowodnili´smy, ˙ze pole r´ownolegÃloboku

rozpie

,

tego przez wektory (u

1

, u

2

) , (v

1

, v

2

) r´owne jest |u

1

v

2

− u

2

v

1

| . Mo˙zemy wie

,

c

napisa´c, ˙ze to pole r´owne jest |

¯

¯

¯

¯

u

1

u

2

v

1

v

2

¯

¯

¯

¯ | .*

Kwadrat pola r´ownolegÃloboku rozpie

,

tego przez wektory ~u, ~v ∈ R

3

jest r´owny

k~uk

2

k~vk

2

− (~u · ~v)

2

=

¯

¯

¯

¯

~u · ~u ~u · ~v
~v · ~u ~v · ~v

¯

¯

¯

¯

— ten wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem Grama wektor´ow ~u, ~v . Mo˙zna te˙z

rozwa˙za´c wyznacznik Grama trzech lub wie

,

kszej liczby wektor´ow, ale o tym opowiemy

p´o´zniej.

Niech ~i = (1, 0, 0) , ~j = (0, 1, 0) , ~k = (0, 0, 1) . Wtedy

~u × ~v =

¯

¯

¯

¯

¯

¯

~i

~j

~k

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= ~i

¯

¯

¯

¯

u

2

u

3

v

2

v

3

¯

¯

¯

¯ −

~j

¯

¯

¯

¯

u

1

u

3

v

1

v

3

¯

¯

¯

¯ +

~k

¯

¯

¯

¯

u

1

u

2

v

1

v

2

¯

¯

¯

¯ =

=

µ ¯

¯

¯

¯

u

2

u

3

v

2

v

3

¯

¯

¯

¯ , −

¯

¯

¯

¯

u

1

u

3

v

1

v

3

¯

¯

¯

¯ ,

¯

¯

¯

¯

u

1

u

2

v

1

v

2

¯

¯

¯

¯

¶

= (u

2

v

3

− u

3

v

2

, −u

1

v

3

+ u

3

v

1

, u

1

v

2

− u

2

v

1

) .

Wida´c wie

,

c, ˙ze je´sli spamie

,

tamy, co to jest wyznacznik, to nie be

,

dziemy mie´c kÃlopotu

z iloczynem wektorowym. Po zapoznaniu sie

,

z wÃlasno´sciami wyznacznik´ow przeko-

namy sie

,

, ˙ze moga

,

nam jeszcze w co najmniej kilku przypadkach uÃlatwi´c ˙zycie.

Do sformuÃlowania twierdzenia opisuja

,

cego podstawowe wÃlasno´sci wyznacznik´ow

przyda nam sie

,

naste

,

puja

,

ce oznaczenie: D

i;j

oznacza wyznacznik macierzy powstaÃlej

*

Niskie pionowe kreski oznaczaja, warto´s´c bezwzgle,dna,, wysokie — wyznacznik.

12

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

z macierzy A przez wykre´slenie i –tego wiersza i j –tej kolumny, D

i,j;k,l

oznacza

wyznacznik macierzy powstaÃlej z A przez wykre´slenie i –tego i j –tego wiersza oraz

kolumn o numerach k, l . Niech

A =









a

1,1

a

1,2

. . . a

1,n

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

n,1

a

n,2

. . . a

n,n









Zachodzi wtedy

Twierdzenie 8.3 (o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznika)

1

◦

Dla dowolnej liczby i ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi r´owno´s´c

det(A) = (−1)

i+1

a

i,1

D

i,1

+ (−1)

i+2

a

i,2

D

i,2

+ · · · + (−1)

i+n

a

i,n

D

i,n

— jest to

rozwinie

,

cie Laplace’a wzgle

,

dem i –tego wiersza;

2

◦

Dla dowolnej liczby j ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi r´owno´s´c

det(A) = (−1)

1+j

a

1,j

D

1,j

+ (−1)

2+j

a

2,j

D

2,j

+ · · · + (−1)

i+n

a

n,j

D

n,j

— jest to

rozwinie

,

cie Laplace’a wzgle

,

dem i –tej kolumny;

3

◦

Zachodzi r´owno´s´c

det(A) = (−1)

1+2+1+2

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,2

a

2,1

a

2,2

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,2

+ (−1)

1+2+1+3

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,3

a

2,1

a

2,3

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,3

+

+ · · · + (−1)

1+2+1+n

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,n

a

2,1

a

2,n

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,n

+ (−1)

1+2+2+3

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,3

a

2,2

a

2,3

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,3

+

+(−1)

1+2+2+4

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,4

a

2,2

a

2,4

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,4

+ · · · + (−1)

1+2+2+n

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,n

a

2,2

a

2,n

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,n

+

+ · · · + (−1)

1+2+n−1+n

¯

¯

¯

¯

a

1,n−1

a

1,n

a

2,n−1

a

2,n

¯

¯

¯

¯ D

1,2;n−1,n

—

jest rozwinie

,

cie Laplace’a wzgle

,

dem dw´och pierwszych wierszy. Wyste

,

puje

w tej sumie

¡

n

2

¢

=

n(n−1)

2

skÃladnik´ow (2 kolumny spo´sr´od n kolumn wybra´c

mo˙zna na

¡

n

2

¢

sposoby). WykÃladnik pote

,

gi to suma numer´ow wierszy (czyli

1 + 2 ) i numer´ow kolumn, z kt´orych wybrane zostaÃly wyrazy wyznacznika 2 × 2 ;

4

◦

Je´sli jaki´s wiersz (lub kolumne

,

) pomno˙zymy przez liczbe

,

c , to wyznacznik te˙z

zostanie pomno˙zony przez c .

5

◦

Je´sli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni

znak, w szczeg´olno´sci je´sli dwa wiersze (dwie kolumny) pokrywaja

,

sie

,

, to wyz-

nacznik jest r´owny 0 ;

6

◦

Je´sli do jednego wiersza dodamy drugi pomno˙zony przez jaka

,

kolwiek liczbe

,

, to

wyznacznik nie ulegnie zmianie.

13

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

7

◦

Je´sli a

i,j

= b

i,j

dla wszystkich j i wszystkich i 6= i

0

, to det(a

i,j

) + det(b

i,j

) =

= det(c

i,j

) , gdzie c

i,j

= a

i,j

= b

i,j

dla i 6= i

0

oraz c

i

0

,j

= a

i

0

,j

+ b

i

0

,j

, czyli

wyznaczniki, w kt´orych wszystkie wiersze sa

,

identyczne z jednym wyja

,

tkiem

dodajemy sumuja

,

c wyja

,

tkowe wiersze w obu, a pozostaÃle przepisujemy.

Obliczanie wyznacznik´ow na podstawie tej definicji lub definicji klasycznej, kt´o-

rej nawet nie przytoczymy, prowadzi do wielu rachunk´ow, kt´ore w wypadku wyznacz-

nik´ow du˙zego wymiaru sa

,

kÃlopotliwe nawet przy u˙zyciu komputer´ow. Twierdzenie

o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznika pozwoli upraszcza´c te rachunki. Zanim

udowodnimy wÃlasno´sci 1

◦

— 7

◦

poka˙zemy na przykÃladzie, jak mo˙zna z nich ko-

rzysta´c. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0

1

2

3

1

1 −1

1

2 −1

1

1

3

1 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

Be

,

dziemy stosowa´c sformuÃlowane wÃla´snie wÃlasno´sci wÃlasno´sci doprowadzaja

,

c wyz-

nacznik do jak najprostszej postaci. Mamy wie

,

c kolejno

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0

1

2

3

1

1 −1

1

2 −1

1

1

3

1 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

5

◦

== −

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

1 −1

1

0

1

2

3

2 −1

1

1

3

1 −1 −1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

6

◦

== −

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

1 −1

1

0

1

2

3

0 −3

3 −1

0 −2

2 −4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2

◦

========

wg. I kol.

= −

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 2

3

−3 3 −1
−2 2 −4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

6

◦

== −

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 2 3
0 9 8
0 6 2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2

◦

========

wg. I kol.

−

¯

¯

¯

¯

9 8
6 2

¯

¯

¯

¯

4

◦

== − 3 ·

¯

¯

¯

¯

3 8
2 2

¯

¯

¯

¯

4

◦

==

= −3 · 2 ·

¯

¯

¯

¯

3 8
1 1

¯

¯

¯

¯ = −6 · (3 − 8) = 30 .

Jak wida´c rachunki nie byÃly przesadnie skomplikowane. Jasne jest, ˙ze celem tych

przeksztaÃlce´

n byÃlo doprowadzanie do pojawiania sie

,

wielu zer w jednej kolumnie,

a naste

,

pnie rozwinie

,

cie wzgle

,

dem tej kolumny, co pozwalaÃlo na kolejne zmniejszanie

wymiaru wyznacznika. Nie be

,

dziemy mno˙zy´c przykÃlad´ow tego rodzaju, bo ka˙zdy

sam powinien obliczy´c kilka wyznacznik´ow, by doj´s´c do pewnej wprawy w ich prze-

ksztaÃlcaniu.

Udowodnimy teraz twierdzenie o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznik´ow.

Zacznijmy od stwierdzenia, ˙ze w przypadku wyznacznik´ow macierzy wymiaru 2 × 2

wszystkie cze

,

´sci twierdzenia mo˙zna Ãlatwo sprawdzi´c bezpo´srednio z definicji. ZaÃlo-

˙zymy, ˙ze twierdzenie zachodzi dla wszystkich wyznacznik´ow wymiar´ow mniejszych

ni˙z 5 i wyka˙zemy jego prawdziwo´s´c dla wyznacznik´ow wymiaru 5 . Dow´od og´olny

14

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

r´o˙zni sie

,

od tego, kt´ory podamy za chwile

,

, tym jedynie, ˙ze zamiast liczby 5 po-

jawi´c sie

,

musi literka n . Obliczany wyznacznik oznaczamy przez D . Zaczniemy od

wykazania wÃlasno´sci 3

◦

. Mamy

D =

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,2

a

1,3

a

1,4

a

1,5

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= a

1,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,2

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

1,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

1,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

1,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

1,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

= a

1,1

D

1;1

− a

1,2

D

1;2

+ a

1,3

D

1;3

− a

1,4

D

1;4

+ a

1,5

D

1;5

=

= a

1,1

¡

a

2,2

D

1,2;1,2

− a

2,3

D

1,2;1,3

+ a

2,4

D

1,2;1,4

− a

2,5

D

1,2;1,5

¢

−

−a

1,2

¡

a

2,1

D

1,2;1,2

−a

2,3

D

1,2;2,3

+a

2,4

D

1,2;2,4

−a

2,5

D

1,2;2,5

¢

+

+ a

1,3

¡

a

2,1

D

1,2;1,3

− a

2,2

D

1,2;2,3

+ a

2,4

D

1,2;3,4

− a

2,5

D

1,2;3,5

¢

−

− a

1,4

¡

a

2,1

D

1,2;1,4

− a

2,2

D

1,2;2,4

+ a

2,3

D

1,2;3,4

− a

2,5

D

1,2;4,5

¢

+

+ a

1,5

¡

a

2,1

D

1,2;1,5

− a

2,2

D

1,2;2,5

+ a

2,3

D

1,2;3,5

− a

2,4

D

1,2;4,5

¢

=

=

¡

a

1,1

a

2,2

− a

1,2

a

2,1

¢

D

1,2;1,2

−

¡

a

1,1

a

2,3

− a

1,3

a

2,1

¢

D

1,2;1,3

+

+

¡

a

1,1

a

2,4

− a

1,4

a

2,1

¢

D

1,2;1,4

−

¡

a

1,1

a

2,5

− a

1,5

a

2,1

¢

D

1,2;1,5

+

+

¡

a

1,2

a

2,3

− a

1,3

a

2,2

¢

D

1,2;2,3

−

¡

a

1,2

a

2,4

− a

1,4

a

2,2

¢

D

1,2;2,4

+

+

¡

a

1,2

a

2,5

− a

1,5

a

2,2

¢

D

1,2;2,5

+

¡

a

1,3

a

2,4

− a

1,4

a

2,3

¢

D

1,2;3,4

−

−

¡

a

1,3

a

2,5

− a

1,5

a

2,3

¢

D

1,2;3,5

+

¡

a

1,4

a

2,5

− a

1,5

a

2,4

¢

D

1,2;4,5

=

=

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,2

a

2,1

a

2,2

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,2

−

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,3

a

2,1

a

2,3

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,3

+

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,4

a

2,1

a

2,4

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,4

−

−

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,5

a

2,1

a

2,5

¯

¯

¯

¯ D

1,2;1,5

+

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,3

a

2,2

a

2,3

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,3

−

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,4

a

2,2

a

2,4

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,4

+

+

¯

¯

¯

¯

a

1,2

a

1,5

a

2,2

a

2,5

¯

¯

¯

¯ D

1,2;2,5

+

¯

¯

¯

¯

a

1,3

a

1,4

a

2,3

a

2,4

¯

¯

¯

¯ D

1,2;3,4

−

−

¯

¯

¯

¯

a

1,3

a

1,5

a

2,3

a

2,5

¯

¯

¯

¯ D

1,2;3,5

+

¯

¯

¯

¯

a

1,4

a

1,5

a

2,4

a

2,5

¯

¯

¯

¯ D

1,2;4,5

.

Zako´

nczyli´smy dow´od wÃlasno´sci 3

◦

. Po zako´

nczeniu dowodu caÃlego twierdzenia to

samo rozumowanie zostaÃlo zapisane bez dodatkowych oznacze´

n. Mo˙zna wie

,

c sobie

obejrze´c jak to wygla

,

da.

Mo˙ze wypada doda´c, ˙ze ten dow´od mo˙zna przeprowadzi´c nie u˙zywaja

,

c a˙z tylu

15

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

wzor´ow. Jest jasne, ˙ze je´sli rozwijamy wyznacznik najpierw wedÃlug pierwszego wier-

sza, a potem wg. drugiego, to w rozwinie

,

ciu pojawia

,

sie

,

wszystkie wyznaczniki

postaci D

1,2;i,j

, i < j , bo ,,wycinamy” z macierzy dwa pierwsze wiersze i jakie´s

dwie kolumny. Nale˙zy zobaczy´c z jakim wsp´oÃlczynnikiem ten wyznacznik sie

,

pojawi.

Mo˙zemy z pierwszego wiersza wybra´c i –ty wyraz a z drugiego j –ty lub odwrot-

nie. W pierwszym przypadku wsp´oÃlczynnik jest r´owny (−1)

1+i

a

1,i

(−1)

1+j−1

a

2,j

=

(−1)

1+i+j

a

1,i

a

2,j

, bo wyraz a

2,j

to j − 1 –y wyraz w wyznaczniku powstaÃlym po

usunie

,

ciu pierwszego wiersza i i –tej kolumny. W drugim przypadku wsp´oÃlczynnik

r´owny jest (−1)

1+j

a

1,j

(−1)

1+i

= (−1)

2+i+j

a

1,j

a

1,i

. Sta

,

d wynika, ˙ze wyznacznik

D

1,2;i,j

pojawia sie

,

ze wsp´oÃlczynnikiem

(−1)

1+i+j

¯

¯

¯

¯

a

1,i

a

1,j

a

2,i

a

2,j

¯

¯

¯

¯ = (−1)

1+2+i+j

¯

¯

¯

¯

a

1,i

a

1,j

a

2,i

a

2,j

¯

¯

¯

¯ .

W wykÃladniku wyste

,

puje wie

,

c suma numer´ow wszystkich tych wierszy i kolumn, kt´ore

,,wycie

,

li´smy”. W tym rozumowaniu wymiar macierzy nie odgrywaÃl najmniejszej roli,

nawet z punktu widzenia zapisu.

W ten spos´ob wykazana zostaÃla wÃlasno´s´c trzecia dla wyznacznik´ow macierzy

wymiaru 5 × 5 . Z niej natychmiast wynika, ˙ze je´sli zamienimy miejscami wiersz pier-

wszy i drugi, to caÃly wyznacznik zmieni znak (bo tak jest w przypadku wyznacznik´ow

macierzy 2 × 2 ). Je´sli zamienimy miejscami kt´orekolwiek dwa wiersze o numerach

wie

,

kszych ni˙z 1 , to zmienia

,

znaki wszystkie wyznaczniki macierzy 4 × 4 , zatem

caÃly wyznacznik zmieni znak. Zamiane

,

miejsc wiersza pierwszego i np. czwartego

zrealizowa´c mo˙zna jako trzy kolejne zamiany: pierwszy z drugim, drugi z czwartym

i wreszcie pierwszy z drugim. To oznacza, ˙ze w wyniku zamiany miejscami dw´och

wierszy wyznacznik zmienia znak.

Teraz wyka˙zemy, ˙ze to samo jest prawda

,

w wyniku zamiany miejscami dwu

sa

,

siednich (na razie) kolumn. Je´sli np. zamieniamy miejscami kolumne

,

trzecia

,

i

czwarta

,

, to wyrazy a

1,3

i a

1,4

wysta

,

pia

,

w rozwinie

,

ciu wyznacznika ze zmienionymi

znakami, natomiast wyznaczniki przez kt´ore mno˙zymy te wyrazy nie ulegna

,

zmianie.

Znaki, z kt´orymi wyste

,

puja

,

a

1,1

, a

1,2

i a

1,5

nie zmienia

,

sie

,

, ale zmieni sie

,

kole-

jno´s´c kolumn w wyznacznikach, przez kt´ore mno˙zymy te wyrazy, wie

,

c te wyznaczniki

(macierzy 4 × 4 ) zmienia

,

znak. Zamiane

,

miejscami dwu kolumn niesa

,

siednich real-

izujemy jako wiele zamian kolumn sa

,

siednich, np. zamiana drugiej kolumny z pia

,

ta

,

to cia

,

g zamian: druga z trzecia

,

, trzecia z czwarta

,

, czwarta z pia

,

ta

,

, czwarta z trze-

cia

,

, trzecia z druga

,

. W opisanym przypadku zamieniali´smy kolejne kolumny 5 razy,

czyli wyznacznik zmieniaÃl znak 5 , wie

,

c go zmieniÃl. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze liczba

16

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

zamian kolejnych kolumn jest zawsze nieparzysta. Wykazana zostaÃla wÃlasno´s´c pia

,

ta.

Czwarta te˙z bardzo Ãlatwo wynika z prawdziwo´sci twierdzenia dla wyznacznik´ow

ni˙zszego wymiaru: mno˙zenie pierwszego wiersza przez liczbe

,

c z definicji wyznacznika

powoduje pomno˙zenie go przez c . Pomno˙zenie innego wiersza powoduje pomno˙zenie

ka˙zdego z wyznacznik´ow stopnia 4 wyste

,

puja

,

cych w definicji wyznacznika stopnia

5 przez c , wie

,

c r´ownie˙z w tym przypadku wyznacznik zostaje pomno˙zony przez c .

Podobnie jest z kolumnami: w ka˙zdym iloczynie a

1,j

D

1;j

mno˙zony przez c jest

dokÃladnie jeden czynnik, wie

,

c iloczyn mno˙zony jest przez c . To ko´

nczy dow´od

wÃlasno´sci czwartej.

Rozwijanie wg. dowolnego wiersza jest mo˙zliwe, bo zamieniamy wiersz pierwszy

z tym, wg. kt´orego mamy ochote

,

rozwina

,

´c wyznacznik, naste

,

pnie rozwijamy wg.

pierwszego wiersza, naste

,

pnie w wyznacznikach stopnia cztery zamieniamy pierwszy

wiersz z tym, w kt´orym znalazÃly sie

,

wyrazy a

1,1

, a

1,2

, . . .

Wyka˙zemy, ˙ze wyznaczniki mo˙zna rozwija´c wzgle

,

dem kolumn. Poniewa˙z ju˙z

wiemy, ˙ze mo˙zna przestawiaja

,

c kolumny zmieniamy jedynie znak wyznacznika, wie

,

c

wystarczy wykaza´c, ˙ze mo˙zna wyznacznik rozwina

,

´c wzgle

,

dem pierwszej kolumny.

Nale˙zy udowodni´c, ˙ze wyznacznik D jest r´owny

a

1,1

D

1;1

− a

2,1

D

2;1

+ a

3,1

D

3;1

− a

4,1

D

4;1

+ a

5,1

D

5;1

.

Rozwijamy ka˙zdy z wyznacznik´ow D

i;1

, i = 2, 3, 4, 5 , wzgle

,

dem pierwszego wiersza.

W wyniku tego pojawiaja

,

sie

,

wyznaczniki D

1,i;1;j

. Wsp´oÃlczynnik przy wyznaczniku

D

1,i;1;j

to:

(−1)

i+1

a

i,1

· (−1)

1+j−1

a

1,j

= (−1)

i+j+1

a

i,1

a

1,j

— wyraz a

1,j

znajduje sie

,

w j − 1 kolumnie wyznacznika D

i,1

.

Teraz rozwijamy wyznacznik D wzgle

,

dem pierwszego wiersza:

D = a

1,1

D

1;1

− a

1,2

D

1;2

+ a

1,3

D

1;3

− a

1,4

D

1;4

+ a

1,5

D

1;5

.

Teraz rozwijamy ka˙zdy z wyznacznik´ow D

1;j

, j = 2, 3, 4, 5 , wzgle

,

dem jego pierwszej

kolumny. W rozwinie

,

ciu pojawi sie

,

wyznacznik D

1,i;1,j

ze wsp´oÃlczynnikiem

(−1)

1+j

a

1,j

(−1)

i−1+1

a

i,1

= (−1)

i+j+1

a

1,j

a

i,1

,

czyli z takim samym jak poprzednio. Wynika z tego, ˙ze

a

1,1

D

1;1

− a

2,1

D

2;1

+ a

3,1

D

3;1

− a

4,1

D

4;1

+ a

5,1

D

5;1

=

= a

1,1

D

1;1

− a

1,2

D

1;2

+ a

1,3

D

1;3

− a

1,4

D

1;4

+ a

1,5

D

1;5

= D ,

a to ko´

nczy dow´od tej cze

,

´sci twierdzenia.

To, ˙ze dwa wyznaczniki, w kt´orych wszystkie wiersze z wyja

,

tkiem i –tego sa

,

iden-

tyczne mo˙zna dodawa´c dodaja

,

c i –te wiersze (wÃlasno´s´c 7

◦

) wynika od razu z tego,

˙ze mo˙zna rozwina

,

´c wyznacznik wzgle

,

dem dowolnego, np. i –tego wiersza. Sta

,

d i z

17

Macierze i wyznaczniki

MichaÃl Krych

tego, ˙ze wyznacznik, w kt´orym dwa wiersze sie

,

pokrywaja

,

jest r´owny 0 oraz z tego,

˙ze mno˙zenie wiersza przez liczbe

,

c jest r´ownowa˙zne mno˙zeniu wyznacznika przez

c , wynika, ˙ze dodanie do i –tego wiersza wiersza j –tego pomno˙zonego przez c nie

zmienia wyznacznika: do danego wyznacznika dodajemy wyznacznik r´o˙znia

,

cy sie

,

od

danego tylko tym, ˙ze w miejscu i –tego wiersza pojawia sie

,

j –ty pomno˙zony przez

c , czyli dodajemy 0 . W ten spos´ob zako´

nczyli´smy dow´od twierdzenia.

Na deser pokazujemy jak wygla

,

da uzasadnienie wÃlasno´sci trzeciej bez wprowa-

dzania dodatkowych oznacze´

n, ale to tylko ciekawostka, a nie zache

,

ta (wre

,

cz pr´oba

znieche

,

cenia) do dowodzenia w ten spos´ob.

D =

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,2

a

1,3

a

1,4

a

1,5

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= a

1,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,2

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

1,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,3

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

1,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,4

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

1,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,5

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

1,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

2,1

a

2,2

a

2,3

a

2,4

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

5,1

a

5,2

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

= a

1,1

Ã

a

2,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,4

a

3,5

a

4,2

a

4,4

a

4,5

a

5,2

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

2,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,3

a

3,5

a

4,2

a

4,3

a

4,5

a

5,2

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

2,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

5,2

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

!

− a

1,2

Ã

a

2,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,3

a

3,4

a

3,5

a

4,3

a

4,4

a

4,5

a

5,3

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+

+a

2,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,3

a

3,5

a

4,1

a

4,3

a

4,5

a

5,1

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,3

a

3,4

a

4,1

a

4,3

a

4,4

a

5,1

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

!

+ a

1,3

Ã

a

2,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,4

a

3,5

a

4,2

a

4,4

a

4,5

a

5,2

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

2,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,4

a

3,5

a

4,1

a

4,4

a

4,5

a

5,1

a

5,4

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

2,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,2

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,2

a

3,4

a

4,1

a

4,2

a

4,4

a

5,1

a

5,2

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

!

−

−a

1,4

Ã

a

2,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,3

a

3,5

a

4,2

a

4,3

a

4,5

a

5,2

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,3

a

3,5

a

4,1

a

4,3

a

4,5

a

5,1

a

5,3

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+ a

2,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,2

a

3,5

a

4,1

a

4,2

a

4,5

a

5,1

a

5,2

a

5,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

−

−a

2,5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,2

a

3,3

a

4,1

a

4,2

a

4,3

a

5,1

a

5,2

a

5,3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

!

+ a

1,5

Ã

a

2,1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,2

a

3,3

a

3,4

a

4,2

a

4,3

a

4,4

a

5,2

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

− a

2,2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

3,1

a

3,3

a

3,4

a

4,1

a

4,3

a

4,4

a

5,1

a

5,3

a

5,4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

+

18