Macierze i wyznaczniki
Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i om´owimy ukÃlady r´owna´
n liniowych z wieloma
niewiadomymi. Zaczniemy od definicji.
Definicja 8.1 (macierzy)
Tablice
,
prostoka
,
tna
,
A =
a
1,1
a
1,2
. . .
a
1,n
a
2,1
a
2,2
. . .
a
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m,1
a
m,2
. . . a
m,n
nazywa´c be
,
dziemy macierza
,
o
m wierszach i n kolumnach. Czasem stosowa´c be
,
dziemy oznaczenie A = (a
i,j
)
1≤i≤m
1≤j≤n
lub A = (a
i,j
) , gdy nie be
,
dzie wa
,
tpliwo´sci, o macierz jakiego wymiaru chodzi.
Macierze mo˙zna mno˙zy´c przez liczby mno˙za
,
c ka˙zdy wyraz macierzy przez te
,
liczbe
,
:
cA =
a
1,1
a
1,2
. . .
a
1,n
a
2,1
a
2,2
. . .
a
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m,1
a
m,2
. . . a
m,n
=
ca
1,1
ca
1,2
. . .
ca
1,n
ca
2,1
ca
2,2
. . .
ca
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
ca
m,1
ca
m,2
. . . ca
m,n
.
Macierze tego samego wymiaru mo˙zna dodawa´c dodaja
,
c odpowiednie wyrazy:
a
1,1
. . .
a
1,n
a
2,1
. . .
a
2,n
..
.
. ..
..
.
a
m,1
. . . a
m,n
+
b
1,1
. . .
b
1,n
b
2,1
. . .
b
2,n
..
.
. ..
..
.
b
m,1
. . . b
m,n
=
a
1,1
+ b
1,1
. . .
a
1,n
+ b
1,n
a
2,1
+ b
2,1
. . .
a
2,n
+ b
n,n
..
.
. ..
..
.
a
m,1
+ b
m,1
. . . a
m,n
+ b
m,n
.
Mno˙zenie macierzy przez liczby i ich dodawanie z punktu widzenia wÃlasno´sci
formalnych nie r´o˙zni sie
,
od dodawania liczb rzeczywistych. Inaczej jest z mno˙zeniem
macierzy, kt´ore zaraz zdefiniujemy. Zdefiniujemy iloczyn macierzy A = (a
r,s
) , kt´ora
ma m kolumn przez macierz B = (b
s,t
) , kt´ora ma m wierszy. W wyniku otrzymamy
macierz C = (c
r,t
) , kt´ora ma tyle wierszy co macierz A i tyle kolumn co macierz B .
a
1,1
a
2,1
. . . a
1,m
a
2,1
a
2,2
. . . a
2,m
..
.
..
.
. ..
..
.
a
k,1
a
k,2
. . . a
k,m
·
b
1,1
b
1,2
. . .
b
1,n
b
2,1
b
2,2
. . .
b
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
b
m,1
b
m,2
. . . b
m,n
=
c
1,1
c
1,2
. . . c
1,n
c
2,1
c
2,2
. . . c
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
c
k,1
c
k,2
. . . c
k,n
,
gdzie c
r,t
=
P
m
s=1
a
r,s
b
s,t
dla dowolnego r ∈ {1, 2, . . . , k} , t ∈ {1, 2, . . . , n} . Oz-
nacza to, ˙ze wyraz c
r,t
macierzy C mo˙zemy potraktowa´c jako iloczyn skalarny r –
tego wiersza macierzy A i t –tej kolumny macierzy B . WÃla´snie po to, by m´oc m´owi´c
1
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
o tym iloczynie skalarnym musimy zaÃlo˙zy´c, ˙ze pierwsza macierz ma tyle samo kolumn
co druga wierszy. Pomno˙zymy teraz dwie macierze:
µ
1 2 3
4 5 6
¶
·
1 2
3 4
5 6
=
µ
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6
4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 5 4 · 2 + 5 · 4 + 6 · 6
¶
=
µ
22 28
49 64
¶
.
A teraz pomno˙zymy je w przeciwnej kolejno´sci:
1 2
3 4
5 6
·
µ
1 2 3
4 5 6
¶
=
1 · 1 + 2 · 4 1 · 2 + 2 · 5 1 · 3 + 2 · 6
3 · 1 + 4 · 4 3 · 2 + 4 · 5 3 · 3 + 4 · 6
5 · 1 + 6 · 4 5 · 2 + 6 · 5 5 · 3 + 6 · 6
=
9
12 15
19 26 33
29 40 51
.
Wida´c, ˙ze otrzymali´smy r´o˙zne wyniki, nawet wymiary sie
,
nie zgadzaja
,
. Oznacza to,
˙ze to mno˙zenie macierzy nie jest przemienne — wynik zale˙zy od kolejno´sci czynnik´ow!
Oznacza to, ˙ze na og´oÃl A · B 6= B · A .
Mno˙zenie to jest Ãla
,
czne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C) . Wyka˙zemy to twierdze-
nie. Niech A = (a
r,s
)
1≤r≤k
1≤s≤l
, B = (b
s,t
)
1≤s≤l
1≤t≤m
, C = (c
t,u
)
1≤t≤m
1≤u≤n
. Znajdziemy
najpierw wyraz macierzy A · B znajduja
,
cy sie
,
w r –tym wierszu i t –tej kolum-
nie:
P
l
s=1
a
r,s
b
s,t
. Wobec tego w r –tym wierszu i u –tej kolumnie iloczynu (AB)C
znajduje sie
,
P
m
t=1
¡ P
l
s=1
a
r,s
b
s,t
¢
c
t,u
. Jest to suma iloczyn´ow postaci a
r,s
b
s,t
c
t,u
,
w kt´orych wska´zniki s, t przyjmuja
,
dowolne dopuszczalne warto´sci, tzn. 1 ≤ s ≤ l ,
1 ≤ t ≤ m . Powtarzaja
,
c te obliczenia w przypadku iloczynu A(BC) otrzymu-
jemy
P
l
s=1
a
r,s
¡ P
m
t=1
b
s,t
c
t,u
¢
, co jak Ãlatwo stwierdzi´c jest suma
,
iloczyn´ow postaci
a
r,s
b
s,t
c
t,u
, w kt´orych wska´zniki s, t przyjmuja
,
dowolne dopuszczalne warto´sci, tzn.
1 ≤ s ≤ l , 1 ≤ t ≤ m , co oznacza, ˙ze otrzymali´smy ten sam wynik, co w poprzednim
iloczynie.
Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze prawdziwe sa
,
naste
,
puja
,
ce stwierdzenia:
1
◦
A + B = B + A dla dowolnych macierzy A, B tego samego wymiaru;
2
◦
(A + B) + C = A + (B + C) dla dowolnych macierzy A, B, C tego samego
wymiaru;
3
◦
A + O = O + A dla dowolnej macierzy A , tu i dalej O oznacza macierz tego
samego wymiaru co A , w kt´orej wszystkie wyrazy sa
,
r´owne 0;
4
◦
dla dowolnej macierzy A istnieje macierz B tego samego wymiaru taka, ˙ze
A + B = B + A = O (oczywi´scie b
i,j
= −a
i,j
);
5
◦
(A · B) · C = A · (B · C) dla dowolnych macierzy A, B, C , dla kt´orych mno˙zenie
jest zdefiniowane;
2
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
6
◦
A · I = A dla dowolnej macierzy A , I oznacza tu i dalej macierz kwadra-
towa
,
, kt´ora ma tyle wierszy ile A kolumn i kt´orej wszystkie wyrazy na gÃl´ownej
przeka
,
tnej* sa
,
r´owne 1, a poza nia
,
sa
,
r´owne 0, tzn. i
i,i
= 1 oraz i
i,j
= 0 dla
i 6= j ; r´ownie˙z I · A = A , ale teraz macierz I ma tyle kolumn ile wierszy ma
macierz A ;
7
◦
A · (B + C) i (B + C) · A dla dowolnych macierzy, dla kt´orych dziaÃlania sa
,
zdefiniowane.
Macierz kwadratowa
I =
1 0 0 0 . . . 0
0 1 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
..
.
..
.
..
.
..
.
. .. ...
0 0 0 0 . . . 1
,
kt´ora wysta
,
piÃla w punkcie 6
◦
nazywana jest macierza
,
jednostkowa
,
, wÃlasno´s´c 6
◦
m´owi, ˙ze peÃlni ona w zbiorze macierzy role
,
podobna
,
do tej, kt´ora
,
peÃlni liczba 1
w mno˙zeniu liczb rzeczywistych. R´o˙znica polega na tym, ˙ze jest wiele macierzy
jednostkowych: w ka˙zdym wymiarze jedna.
UkÃlad l r´owna´
n liniowych z k niewiadomymi
a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
+ · · · + a
1,k
x
k
= b
1
a
2,1
x
1
+ a
2,2
x
2
+ a
2,3
x
3
+ · · · + a
2,k
x
k
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
l,1
x
1
+ a
l,2
x
2
+ a
l,3
x
3
+ · · · + a
l,k
x
k
= b
l
mo˙zna zapisa´c w postaci
A · ~x = ~b,
gdzie A = (a
i,j
)
1≤i≤l
1≤j≤k
, ~x jest pionowo zapisanym wektorem o k wsp´oÃlrze
,
dnych,
czyli macierza
,
o jednej kolumnie i k wierszach, analogicznie ~b . Niewiadomymi sa
,
x
1
, x
2
, . . . , x
k
. Nie zakÃladamy, ˙ze liczba niewiadomych r´owna jest liczbie r´owna´
n:
mo˙ze by´c k < l , k = l , k > l . Przeanalizujemy teraz rozwia
,
zywanie ukÃladu r´owna´
n
liniowych. Oczywi´scie nie mo˙zna spodziewa´c sie
,
, ˙ze w ka˙zdej sytuacji otrzymamy
jedno rozwia
,
zanie. Nawet wtedy, gdy liczba r´owna´
n jest r´owna liczbie niewiadomych,
*
GÃl´
owna przeka,tna macierzy kwadratowej C=(c
i,j
) skÃlada sie, z wyraz´ow c
i,i
, Ãla,czy wie,c lewy g´orny
r´
og macierzy z prawym dolnym.
3
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
ukÃlad mo˙ze mie´c niesko´
nczenie wiele rozwia
,
za´
n lub mo˙ze ich nie mie´c wcale. Be
,
-
dziemy mno˙zy´c r´ownania przez liczby r´o˙zne od 0 , dodawa´c je stronami, zmienia´c
kolejno´s´c r´owna´
n. Nie be
,
dziemy przepisywa´c niewiadomych. Oznacza to, ˙ze be
,
dziemy
zajmowa´c sie
,
tzw. rozszerzona
,
macierza
,
ukÃladu r´owna´
n liniowych, czyli macierza
,
a
1,1
a
1,2
. . . a
1,k
b
1
a
2,1
a
2,2
. . . a
2,k
b
2
..
.
..
.
. ..
..
.
..
.
a
l,1
a
l,2
. . .
a
l,k
b
k
,
bo zawiera ona wszystkie informacje o ukÃladzie r´owna´
n, wie
,
c nie ma potrzeby prze-
pisywa´c niewiadomych. Cze
,
sto u˙zywany jest termin macierz ukÃladu — r´o˙zni sie
,
ona
od macierzy rozszerzonej brakiem ostatniej kolumny.
Poka˙zemy na przykÃladach metode
,
zwana
,
eliminacja
,
Gaussa*. Rozwa˙zymy ukÃlad
r´owna´
n:
x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 20;
x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 4;
2x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= 7;
3x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= −2 .
Zgodnie z zapowiedzia
,
nie be
,
dziemy pisa´c niewiadomych, wystarczy macierz rozsze-
rzona.
W macierzy
0
1
2
3
20
1
1 −1
1
4
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
zamienimy pierwszy i drugi wiersz po to, by
w lewym g´ornym rogu znalazÃla sie
,
jedynka:
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
.
Czytelnik zechce sprawdzi´c, ˙ze
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
·
0
1
2
3
20
1
1 −1
1
4
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
=
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
— oznacza to, ˙ze zamiast m´owi´c o przestawianiu wierszy mo˙zemy m´owi´c o mno˙zeniu
macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana
,
macierz. Czytelnik zastanowi sie
,
,
*
Chodzi o eliminowanie niewiadomych z kolejnych r´
owna´
n
4
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
przez jaka
,
macierz nale˙zy pomno˙zy´c wyj´sciowa
,
macierz, by czwarty wiersz zamieniÃl
sie
,
miejscem z pierwszym lub trzecim i og´olnie, by zamieniÃly sie
,
miejscami wiersze
i –ty oraz j –ty.
Naste
,
pna operacje nie zmieni pierwszego ani drugiego wiersza, za to od trzeciego
odejmiemy pierwszy pomno˙zony przez 2 i jednocze´snie od czwartego wiersza odej-
miemy pierwszy pomno˙zony przez 3 . W rezultacie otrzymujemy:
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −2
2 −4 −14
Czytelnik zechce zwr´oci´c uwage
,
na to, ˙ze
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
−3 0 0 1
·
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
=
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −2
2 −4 −14
,
wie
,
c r´ownie˙z to przeksztaÃlcenie macierzy mo˙zna potraktowa´c jako mno˙zenie jej z le-
wej strony przez odpowiednio dobrana
,
macierz. Zauwa˙zmy przy okazji, ˙ze
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
−3 0 0 1
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−3 0 0 1
·
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
0 0 0 1
,
co oznacza, ˙ze operacje
,
mo˙zna byÃlo przeprowadzi´c w dw´och etapach i wtedy r´ownie˙z
mo˙zna byÃlo to potraktowa´c jak mno˙zenie przeksztaÃlcanej macierzy z lewej strony
przez odpowiednio dobrana
,
macierz.
W wyniku otrzymali´smy macierz, w pier-
wszej kolumnie kt´orej wyste
,
puje w jednym miejscu jedynka a — poza nia
,
same
zera. Z punktu widzenia ukÃladu r´owna´
n oznacza to, ˙ze niewiadoma x
1
wyste
,
puje
teraz w jednym tylko r´ownaniu, w pierwszym! Oznacza to, ˙ze pozostaÃle niewiadome
mo˙zemy znale´z´c u˙zywaja
,
c pozostaÃlych trzech r´owna´
n, a naste
,
pnie z pierwszego r´ow-
nania wyliczy´c x
1
.
♣
Teraz wyeliminujemy x
2
z trzeciego i z czwartego r´ownania. Dla uproszczenia
rachunk´ow najpierw podzielimy czwarty wiersz przez 2 . Otrzymamy
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −1
1 −2
−7
.
R´ownie˙z ta operacja mo˙ze by´c przedstawiona jako mno˙zenie macierzy z lewej strony
przez odpowiednio dobrana
,
macierz:
♣
Niewiadoma x
1
zostaÃla wyeliminowana z trzech r´
owna´
n, kolej na x
2
.
5
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
2
·
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −2
2 −4 −14
=
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −1
1 −2
−7
.
Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi pomno˙zony przez 3 , a do czwartego do-
damy drugi:
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
9
8
59
0 0
3
1
13
.
Podobnie jak poprzednio mo˙zna uzyska´c ten sam rezultat przez mno˙zenie z lewej
strony przez odpowiednio dobrana
,
macierz:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 3 1 0
0 1 0 1
·
1
1 −1
1
4
0
1
2
3
20
0 −3
3 −1
−1
0 −1
1 −2
−7
=
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
9
8
59
0 0
3
1
13
.
Teraz zamienimy (tylko dla uproszczenia oblicze´
n) miejscami trzeci i czwarty wiersz:
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
9
8
59
.
I zn´ow widzimy, ˙ze
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
·
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
9
8
59
0 0
3
1
13
=
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
9
8
59
.
Teraz od czwartego wiersza odejmujemy trzeci pomno˙zony przez 3 :
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
0
5
20
.
Mo˙zna ten ostatni krok przedstawi´c w postaci mno˙zenia z lewej strony przez macierz:
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0 −3 1
·
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
9
8
59
=
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
0
5
20
.
W zasadzie zrobili´smy nieomal wszystko: w czwartym r´ownaniu jest ju˙z tylko jedna
niewiadoma, w trzecim — dwie, w drugim — trzy, tylko w pierwszym sa
,
wszyst-
kie. Oznacza to, ˙ze mo˙zemy znale´z´c kolejno warto´sci niewiadomych. Zrobimy to nie
u˙zywaja
,
c w dalszym cia
,
gu niewiadomych jawnie. Podzielimy najpierw ostatni wiersz
przez 5 :
6
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
0
1
4
— byÃlo to mno˙zenie z lewej strony przez macierz
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
5
.
Teraz wyeliminujemy x
4
z pierwszych trzech r´owna´
n: odejmujemy czwarty wiersz
od trzeciego i pierwszego, a od drugiego odejmujemy czwarty pomno˙zony przez 3 :
1 1 −1 0 0
0 1
2 0 8
0 0
3 0 9
0 0
0 1 4
.
Wykonali´smy teraz takie mno˙zenie:
1 0 0 −1
0 1 0 −3
0 0 1 −1
0 0 0
1
·
1 1 −1
1
4
0 1
2
3
20
0 0
3
1
13
0 0
0
1
4
=
1 1 −1 0 0
0 1
2 0 8
0 0
3 0 9
0 0
0 1 4
.
Teraz dzielimy trzeci wiersz przez 3 :
1 0
0
0
0 1
0
0
0 0
1
3
0
0 0
0
1
·
1 1 −1 0 0
0 1
2 0 8
0 0
3 0 9
0 0
0 1 4
=
1 1 −1 0 0
0 1
2 0 8
0 0
1 0 3
0 0
0 1 4
.
Usuniemy teraz x
3
z pierwszych dw´och r´owna´
n:
1 0
1 0
0 1 −2 0
0 0
1 0
0 0
0 1
·
1 1 −1 0 0
0 1
2 0 8
0 0
1 0 3
0 0
0 1 4
=
1 1 0 0 3
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
.
Ostatnia operacja to usunie
,
cie x
2
z pierwszego r´ownania:
1 −1 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
·
1 1 0 0 3
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
=
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
.
No to wszystko sie
,
udaÃlo i po tych przeksztaÃlceniach ukÃlad r´owna´
n przybraÃl taka
,
posta´c:
x
1
= 1;
x
2
= 2;
x
3
= 3;
x
4
= 4;
co oznacza, ˙ze udaÃlo nam sie
,
go rozwia
,
za´c! Ma on dokÃladnie jedno rozwia
,
zanie.
Pokazali´smy, ˙ze rozwia
,
zywanie ukÃladu mo˙zna potraktowa´c jako mno˙zenie przez kolej-
7
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
ne macierze (uwaga na kolejno´s´c!)
1 −1 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
·
1 0
1 0
0 1 −2 0
0 0
1 0
0 0
0 1
·
1 0
0
0
0 1
0
0
0 0
1
3
0
0 0
0
1
·
1 0 0 −1
0 1 0 −3
0 0 1 −1
0 0 0
1
·
·
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
5
·
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0 −3 1
·
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
·
1 0 0 0
0 1 0 0
0 3 1 0
0 1 0 1
·
·
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
2
·
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
−3 0 0 1
·
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=
0
0
1
5
1
5
1
3
−
1
6
−
7
15
11
30
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
1
2
1
5
−
3
15
.
Widzimy wie
,
c, ˙ze rozwia
,
zywanie ukÃladu r´owna´
n mo˙zna interpretowa´c jako mno˙zenie
macierzy:
0
0
1
5
1
5
1
3
−
1
6
−
7
15
11
30
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
1
2
1
5
−
3
15
·
0
1
2
3
20
1
1 −1
1
4
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
=
1 0 0 0 1
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
.
Doda´c nale˙zy, ˙ze mno˙za
,
c wiersze przez liczby, dodaja
,
c je, zmieniaja
,
c ich kolejno´s´c
wykonywali´smy operacje odwracalne, zawsze mogli´smy przeksztaÃlci´c macierz ,,z pow-
rotem”. Dzie
,
ki temu wszystkie kolejne ukÃlady r´owna´
n byÃly r´ownowa˙zne, zatem os-
tatni ukÃlad r´owna´
n byÃl r´ownowa˙zny pierwszemu.
Om´owimy jeszcze jeden przykÃlad, ale ju˙z nie be
,
dziemy tÃlumaczy´c, jak operacje
na wierszach macierzy mo˙zna zasta
,
pi´c mno˙zeniem z lewej strony przez odpowiednio
dobrana
,
macierz.
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 0;
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 0.
Zaczniemy od wypisania macierzy rozszerzonej tego ukÃladu:
1 −2
1 0
4 −5
2 0
5
2 −3 0
.
Teraz odejmiemy od drugiego wiersza pierwszy pomno˙zony przez 4, a od wiersza
trzeciego — pierwszy pomno˙zony przez 5:
1
−2
1 0
0
3
−2 0
0
12 −8 0
.
Teraz od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomno˙zony przez 4 :
8
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
1 −2
1 0
0
3 −2 0
0
0
0 0
.
Dzielimy drugi wiersz przez 3 :
1 −2
1
0
0
1 −
2
3
0
0
0
0
0
.
Dodajemy do pierwszego wiersza drugi pomno˙zony przez 2
1 0 −
1
3
0
0 1 −
2
3
0
0 0
0
0
.
Tym razem rezultat jest ale nieco inny ni˙z poprzednio. UkÃlad ma niesko´
nczenie wiele
rozwia
,
za´
n. Warto´s´c x
3
jest dowolna i wtedy x
1
=
1
3
x
3
, x
2
=
2
3
x
3
. Jak wida´c mo˙ze
sie
,
tak zdarzy´c r´ownie˙z wtedy, gdy liczba r´owna´
n jest r´owna liczbie niewiadomych.
Obejrzymy ten sam ukÃlad po drobnej zmianie:
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 3;
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6.
Wykonujemy kolejno te same operacje, kt´ore wykonali´smy przed chwila
,
. R´o˙znica po-
jawi sie
,
tylko w czwartej kolumnie (czyli po prawej stronie r´owna´
n). Otrzymujemy
w ko´
ncu:
1 0 −
1
3
2
0 1 −
2
3
1
0 0
0
−6
.
UkÃlad jest wie
,
c sprzeczny — r´ownanie 0 = −6 rozwia
,
za´
n nie ma. Natomiast bez
trudu stwierdzamy, ˙ze punkt (
1
3
x
3
+ 2,
2
3
x
3
+ 1, x
3
) = (2, 1, 0) + x
3
(
1
3
,
2
3
, 1) jest
rozwia
,
zaniem zar´owno pierwszego jak i drugiego r´ownania dla ka˙zdej liczby x
3
, wie
,
c
jest rozwia
,
zaniem ukÃladu
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 3
.
Do przeksztaÃlcania dw´och pierwszych r´owna´
n nie u˙zyli´smy ani razu r´ownania trze-
ciego, zatem ten ostatni ukÃlad dw´och r´owna´
n jest r´ownowa˙zny ukÃladowi
x
1
−
1
3
x
3
= 2
x
2
−
2
3
x
3
= 1
.
PrzeksztaÃlcaja
,
c w podobny spos´ob ukÃlad
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 3
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6
.
9
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
stwierdzamy, ˙ze jest on speÃlniony przez punkt (
16
11
, 1,
12
11
) i ˙ze dla ka˙zdej liczby t
tr´ojka
(
16
11
+ t, 1 + 2t,
12
11
+ 3t) = (
16
11
, 1,
12
11
) + t(1, 2, 3)
r´ownie˙z jest rozwia
,
zaniem tego ukÃladu dw´och r´owna´
n.
ZostaÃla jeszcze jedna mo˙zliwo´s´c:
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6.
Bez trudu stwierdzamy, ˙ze punkt (1,
1
2
, 0) speÃlnia ten ukÃlad r´owna´
n oraz ˙ze dla ka˙zdej
liczby t ukÃlad ten speÃlniony jest przez (1,
1
2
, 0) + t(1, 2, 3) = (1 + t,
1
2
+ 2t, 3t) .
Widzimy wie
,
c, ˙ze chocia˙z ukÃlad trzech r´owna´
n jest sprzeczny, to ukÃlady dowolnych
dw´och maja
,
rozwia
,
zania, kt´ore jeste´smy w stanie opisa´c. Geometria zwia
,
zana z ty-
mi r´ownaniami nie jest skomplikowana. Ka˙zde z r´owna´
n opisuje jaka
,
´s pÃlaszczyzne
,
.
W przypadku ukÃladu
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 0;
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 0.
te trzy pÃlaszczyzny maja
,
wsp´olna
,
prosta
,
przechodza
,
ca
,
przez punkt ~0 = (0, 0, 0) ,
r´ownolegÃla
,
do wektora (1, 2, 3) . W przypadku ukÃladu
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
4x
1
− 5x
2
+ 2x
3
= 3;
5x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6.
jest nieco inaczej. Przesunie
,
te zostaÃly dwie pÃlaszczyzny. W wyniku tego nie ma
punktu wsp´olnego dla trzech pÃlaszczyzn, ale ka˙zde dwie maja
,
wsp´olna
,
prosta
,
. Ka˙zda
z trzech prostych jest r´ownolegÃla do wektora (1, 2, 3) .
Bez trudu mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze za pomoca
,
opisanych przeksztaÃlce´
n macierzy
rozszerzonej mo˙zna ja
,
doprowadzi´c do postaci schodkowej: ka˙zdy naste
,
pny wiersz
zawiera´c be
,
dzie wie
,
cej zer na pocza
,
tku, czyli w odpowiadaja
,
cym temu wierszowi
r´ownaniu wysta
,
pi mniej niewiadomych ni˙z w poprzednim.
♠
Je´sli ostatni nieze-
rowy wiersz zawiera tylko jeden wyraz r´o˙zny od 0 i to na samym ko´
ncu, to ukÃlad
jest sprzeczny. Je´sli nie, to ma rozwia
,
zania. Mo˙ze zdarzy´c sie
,
, ˙ze rozwia
,
za´
n jest
niesko´
nczenie wiele, a mo˙ze te˙z zdarzy´c sie
,
, ˙ze tylko jedno. W szczeg´oÃly nie be
,
dziemy
wchodzi´c. Warto jednak nadmieni´c, ˙ze je´sli znajdziemy dwa rozwia
,
zania ukÃladu li-
♠
Interesuje nas tylko pocza,tkowy blok samych zer, zera wyste,puja,ce na dalszych miejscach nic nas
chwilowo nie obchodza,.
10
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
niowego, np. ~x i ~y , to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej α wektor α~x+(1−α)~y r´ownie˙z
oka˙ze sie
,
rozwia
,
zaniem. Mamy bowiem: A~x = ~b i A~y = ~b , zatem
A
¡
α~x + (1 − α)~y
¢
= αA~x + (1 − α)A~y = α~b + (1 − α)~b = ~b .
Zbi´or punkt´ow postaci αx + (1 − α)y = y + α(x − y) , α ∈ R , to prosta przechodza
,
ca
przez punkt y w kierunku wektora −−−→
x − y , wie
,
c przechodza
,
ca r´ownie˙z przez punkt x .
Wykazali´smy, ˙ze wraz z ka˙zdymi dwoma punktami zbi´or rozwia
,
za´
n ukÃladu liniowego
zawiera prosta
,
, kt´ora przechodzi przez te punkty. Takie zbiory matematycy nazywaja
,
podprzestrzeniami afinicznymi.
Podprzestrzenie afiniczne przechodza
,
ce przez 0 nazywane sa
,
liniowymi. Pod-
przestrzenie liniowe maja
,
te
,
szczeg´olna
,
wÃlasno´s´c, ˙ze suma wektor´ow z takiej pod-
przestrzeni jest jej elementem. To samo dotyczy iloczynu wektora przez liczbe
,
. Mamy
z nimi do czynienia w przypadku rozwi´za´
n r´ownania Ax = 0 P´o´zniej oka˙ze sie
,
, ˙ze
sa
,
one szczeg´olnie wa˙zne r´ownie˙z z powod´ow algebraicznych.
Z macierzami kwadratowymi wia
,
˙za
,
sie
,
wyznaczniki. Przypomnijmy ich definicje
,
.
Definicja 8.2 (wyznacznika macierzy kwadratowej)
Wyznacznikiem det(A) = |A| macierzy (a
1,1
) nazywamy liczbe
,
a
1,1
. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze
zdefiniowali´smy ju˙z wyznaczniki macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego ni˙z n .
Niech A = (a
i,j
) be
,
dzie macierza
,
o n wierszach i n kolumnach. Wyznacznikiem
det(A) = |A| macierzy A nazywamy liczbe
,
a
1,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
1,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ · · · +
+(−1)
1+n
a
1,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
. . . a
2,n−1
a
3,1
a
3,2
. . . a
3,n−1
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
. . . a
n,n−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Na wszelki wypadek opiszemy sÃlowami ten wz´or. Wyznacznik macierzy 1 × 1,
to po prostu jedyny jej wyraz (w tym przypadku lepiej pisa´c np. det(−2) = −2 ni˙z
u˙zywa´c pionowych kresek i ryzykowa´c skojarzenie z warto´scia
,
bezwzgle
,
dna
,
). Wyz-
nacznik macierzy n × n znajdujemy rozwijaja
,
c go wzgle
,
dem pierwszego wiersza:
liczbe
,
(−1)
1+j
a
1,j
mno˙zymy przez wyznacznik macierzy wymiaru n − 1 × n − 1
powstaÃlej z danej macierzy przez wykre´slenie pierwszego wiersza i j –tej kolumny.
Poka˙zemy na przykÃladach jak to dziaÃla.
¯
¯
¯
¯
1 5
2 7
¯
¯
¯
¯ = 1 · 7 − 5 · 2 = −3 i og´olnie
¯
¯
¯
¯
a b
c d
¯
¯
¯
¯ = ad − bc ;
11
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −2
1
4 −5
2
5
2 −3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 ·
¯
¯
¯
¯
−5
2
2 −3
¯
¯
¯
¯ − (−2) ·
¯
¯
¯
¯
4
2
5 −3
¯
¯
¯
¯ + 1 ·
¯
¯
¯
¯
4 −5
5
2
¯
¯
¯
¯ =
= 1·
£
(−5)·(−3)−2·2
¤
−(−2)·
£
4·(−3)−2·5
¤
+1·
£
4·2−(−5)·5
¤
= 11+2·(−22)+33 = 0 ;
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
1
2
3
1
1 −1
1
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 ·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1
1
−1
1
1
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− 1 ·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1
1
2
1
1
3 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ 2 ·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1
2 −1
1
3
1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+ 3 ·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1 −1
2 −1
1
3
1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= −
µ ¯
¯
¯
¯
1
1
−1 −1
¯
¯
¯
¯ +
¯
¯
¯
¯
2
1
3 −1
¯
¯
¯
¯ +
¯
¯
¯
¯
2
1
3 −1
¯
¯
¯
¯
¶
+ 2
µ ¯
¯
¯
¯
−1
1
1 −1
¯
¯
¯
¯ −
¯
¯
¯
¯
2
1
3 −1
¯
¯
¯
¯ +
¯
¯
¯
¯
2 −1
3
1
¯
¯
¯
¯
¶
−
− 3
µ ¯
¯
¯
¯
−1
1
1 −1
¯
¯
¯
¯ −
¯
¯
¯
¯
2
1
3 −1
¯
¯
¯
¯ −
¯
¯
¯
¯
2 −1
3
1
¯
¯
¯
¯
¶
=
= −(0 − 5 − 5) + 2(0 + 5 + 5) − 3(0 + 5 − 5) = 10 + 20 − 0 = 30 .
Mamy nadzieje
,
, ˙ze definicja zostaÃla wyja´sniona. Poka˙zemy teraz jeszcze na-
jprostsze zastosowania poje
,
cia wyznacznika. Udowodnili´smy, ˙ze pole r´ownolegÃloboku
rozpie
,
tego przez wektory (u
1
, u
2
) , (v
1
, v
2
) r´owne jest |u
1
v
2
− u
2
v
1
| . Mo˙zemy wie
,
c
napisa´c, ˙ze to pole r´owne jest |
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
v
1
v
2
¯
¯
¯
¯ | .*
Kwadrat pola r´ownolegÃloboku rozpie
,
tego przez wektory ~u, ~v ∈ R
3
jest r´owny
k~uk
2
k~vk
2
− (~u · ~v)
2
=
¯
¯
¯
¯
~u · ~u ~u · ~v
~v · ~u ~v · ~v
¯
¯
¯
¯
— ten wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem Grama wektor´ow ~u, ~v . Mo˙zna te˙z
rozwa˙za´c wyznacznik Grama trzech lub wie
,
kszej liczby wektor´ow, ale o tym opowiemy
p´o´zniej.
Niech ~i = (1, 0, 0) , ~j = (0, 1, 0) , ~k = (0, 0, 1) . Wtedy
~u × ~v =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~i
~j
~k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= ~i
¯
¯
¯
¯
u
2
u
3
v
2
v
3
¯
¯
¯
¯ −
~j
¯
¯
¯
¯
u
1
u
3
v
1
v
3
¯
¯
¯
¯ +
~k
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
v
1
v
2
¯
¯
¯
¯ =
=
µ ¯
¯
¯
¯
u
2
u
3
v
2
v
3
¯
¯
¯
¯ , −
¯
¯
¯
¯
u
1
u
3
v
1
v
3
¯
¯
¯
¯ ,
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
v
1
v
2
¯
¯
¯
¯
¶
= (u
2
v
3
− u
3
v
2
, −u
1
v
3
+ u
3
v
1
, u
1
v
2
− u
2
v
1
) .
Wida´c wie
,
c, ˙ze je´sli spamie
,
tamy, co to jest wyznacznik, to nie be
,
dziemy mie´c kÃlopotu
z iloczynem wektorowym. Po zapoznaniu sie
,
z wÃlasno´sciami wyznacznik´ow przeko-
namy sie
,
, ˙ze moga
,
nam jeszcze w co najmniej kilku przypadkach uÃlatwi´c ˙zycie.
Do sformuÃlowania twierdzenia opisuja
,
cego podstawowe wÃlasno´sci wyznacznik´ow
przyda nam sie
,
naste
,
puja
,
ce oznaczenie: D
i;j
oznacza wyznacznik macierzy powstaÃlej
*
Niskie pionowe kreski oznaczaja, warto´s´c bezwzgle,dna,, wysokie — wyznacznik.
12
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
z macierzy A przez wykre´slenie i –tego wiersza i j –tej kolumny, D
i,j;k,l
oznacza
wyznacznik macierzy powstaÃlej z A przez wykre´slenie i –tego i j –tego wiersza oraz
kolumn o numerach k, l . Niech
A =
a
1,1
a
1,2
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
. . . a
2,n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
. . . a
n,n
Zachodzi wtedy
Twierdzenie 8.3 (o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznika)
1
◦
Dla dowolnej liczby i ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi r´owno´s´c
det(A) = (−1)
i+1
a
i,1
D
i,1
+ (−1)
i+2
a
i,2
D
i,2
+ · · · + (−1)
i+n
a
i,n
D
i,n
— jest to
rozwinie
,
cie Laplace’a wzgle
,
dem i –tego wiersza;
2
◦
Dla dowolnej liczby j ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi r´owno´s´c
det(A) = (−1)
1+j
a
1,j
D
1,j
+ (−1)
2+j
a
2,j
D
2,j
+ · · · + (−1)
i+n
a
n,j
D
n,j
— jest to
rozwinie
,
cie Laplace’a wzgle
,
dem i –tej kolumny;
3
◦
Zachodzi r´owno´s´c
det(A) = (−1)
1+2+1+2
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,2
+ (−1)
1+2+1+3
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,3
a
2,1
a
2,3
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,3
+
+ · · · + (−1)
1+2+1+n
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,n
a
2,1
a
2,n
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,n
+ (−1)
1+2+2+3
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,3
a
2,2
a
2,3
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,3
+
+(−1)
1+2+2+4
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,4
a
2,2
a
2,4
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,4
+ · · · + (−1)
1+2+2+n
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,n
a
2,2
a
2,n
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,n
+
+ · · · + (−1)
1+2+n−1+n
¯
¯
¯
¯
a
1,n−1
a
1,n
a
2,n−1
a
2,n
¯
¯
¯
¯ D
1,2;n−1,n
—
jest rozwinie
,
cie Laplace’a wzgle
,
dem dw´och pierwszych wierszy. Wyste
,
puje
w tej sumie
¡
n
2
¢
=
n(n−1)
2
skÃladnik´ow (2 kolumny spo´sr´od n kolumn wybra´c
mo˙zna na
¡
n
2
¢
sposoby). WykÃladnik pote
,
gi to suma numer´ow wierszy (czyli
1 + 2 ) i numer´ow kolumn, z kt´orych wybrane zostaÃly wyrazy wyznacznika 2 × 2 ;
4
◦
Je´sli jaki´s wiersz (lub kolumne
,
) pomno˙zymy przez liczbe
,
c , to wyznacznik te˙z
zostanie pomno˙zony przez c .
5
◦
Je´sli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni
znak, w szczeg´olno´sci je´sli dwa wiersze (dwie kolumny) pokrywaja
,
sie
,
, to wyz-
nacznik jest r´owny 0 ;
6
◦
Je´sli do jednego wiersza dodamy drugi pomno˙zony przez jaka
,
kolwiek liczbe
,
, to
wyznacznik nie ulegnie zmianie.
13
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
7
◦
Je´sli a
i,j
= b
i,j
dla wszystkich j i wszystkich i 6= i
0
, to det(a
i,j
) + det(b
i,j
) =
= det(c
i,j
) , gdzie c
i,j
= a
i,j
= b
i,j
dla i 6= i
0
oraz c
i
0
,j
= a
i
0
,j
+ b
i
0
,j
, czyli
wyznaczniki, w kt´orych wszystkie wiersze sa
,
identyczne z jednym wyja
,
tkiem
dodajemy sumuja
,
c wyja
,
tkowe wiersze w obu, a pozostaÃle przepisujemy.
Obliczanie wyznacznik´ow na podstawie tej definicji lub definicji klasycznej, kt´o-
rej nawet nie przytoczymy, prowadzi do wielu rachunk´ow, kt´ore w wypadku wyznacz-
nik´ow du˙zego wymiaru sa
,
kÃlopotliwe nawet przy u˙zyciu komputer´ow. Twierdzenie
o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznika pozwoli upraszcza´c te rachunki. Zanim
udowodnimy wÃlasno´sci 1
◦
— 7
◦
poka˙zemy na przykÃladzie, jak mo˙zna z nich ko-
rzysta´c. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
1
2
3
1
1 −1
1
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Be
,
dziemy stosowa´c sformuÃlowane wÃla´snie wÃlasno´sci wÃlasno´sci doprowadzaja
,
c wyz-
nacznik do jak najprostszej postaci. Mamy wie
,
c kolejno
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
1
2
3
1
1 −1
1
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5
◦
== −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1 −1
1
0
1
2
3
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6
◦
== −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1 −1
1
0
1
2
3
0 −3
3 −1
0 −2
2 −4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
◦
========
wg. I kol.
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2
3
−3 3 −1
−2 2 −4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6
◦
== −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
0 9 8
0 6 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
◦
========
wg. I kol.
−
¯
¯
¯
¯
9 8
6 2
¯
¯
¯
¯
4
◦
== − 3 ·
¯
¯
¯
¯
3 8
2 2
¯
¯
¯
¯
4
◦
==
= −3 · 2 ·
¯
¯
¯
¯
3 8
1 1
¯
¯
¯
¯ = −6 · (3 − 8) = 30 .
Jak wida´c rachunki nie byÃly przesadnie skomplikowane. Jasne jest, ˙ze celem tych
przeksztaÃlce´
n byÃlo doprowadzanie do pojawiania sie
,
wielu zer w jednej kolumnie,
a naste
,
pnie rozwinie
,
cie wzgle
,
dem tej kolumny, co pozwalaÃlo na kolejne zmniejszanie
wymiaru wyznacznika. Nie be
,
dziemy mno˙zy´c przykÃlad´ow tego rodzaju, bo ka˙zdy
sam powinien obliczy´c kilka wyznacznik´ow, by doj´s´c do pewnej wprawy w ich prze-
ksztaÃlcaniu.
Udowodnimy teraz twierdzenie o podstawowych wÃlasno´sciach wyznacznik´ow.
Zacznijmy od stwierdzenia, ˙ze w przypadku wyznacznik´ow macierzy wymiaru 2 × 2
wszystkie cze
,
´sci twierdzenia mo˙zna Ãlatwo sprawdzi´c bezpo´srednio z definicji. ZaÃlo-
˙zymy, ˙ze twierdzenie zachodzi dla wszystkich wyznacznik´ow wymiar´ow mniejszych
ni˙z 5 i wyka˙zemy jego prawdziwo´s´c dla wyznacznik´ow wymiaru 5 . Dow´od og´olny
14
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
r´o˙zni sie
,
od tego, kt´ory podamy za chwile
,
, tym jedynie, ˙ze zamiast liczby 5 po-
jawi´c sie
,
musi literka n . Obliczany wyznacznik oznaczamy przez D . Zaczniemy od
wykazania wÃlasno´sci 3
◦
. Mamy
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
1,4
a
1,5
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= a
1,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
1,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
1,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= a
1,1
D
1;1
− a
1,2
D
1;2
+ a
1,3
D
1;3
− a
1,4
D
1;4
+ a
1,5
D
1;5
=
= a
1,1
¡
a
2,2
D
1,2;1,2
− a
2,3
D
1,2;1,3
+ a
2,4
D
1,2;1,4
− a
2,5
D
1,2;1,5
¢
−
−a
1,2
¡
a
2,1
D
1,2;1,2
−a
2,3
D
1,2;2,3
+a
2,4
D
1,2;2,4
−a
2,5
D
1,2;2,5
¢
+
+ a
1,3
¡
a
2,1
D
1,2;1,3
− a
2,2
D
1,2;2,3
+ a
2,4
D
1,2;3,4
− a
2,5
D
1,2;3,5
¢
−
− a
1,4
¡
a
2,1
D
1,2;1,4
− a
2,2
D
1,2;2,4
+ a
2,3
D
1,2;3,4
− a
2,5
D
1,2;4,5
¢
+
+ a
1,5
¡
a
2,1
D
1,2;1,5
− a
2,2
D
1,2;2,5
+ a
2,3
D
1,2;3,5
− a
2,4
D
1,2;4,5
¢
=
=
¡
a
1,1
a
2,2
− a
1,2
a
2,1
¢
D
1,2;1,2
−
¡
a
1,1
a
2,3
− a
1,3
a
2,1
¢
D
1,2;1,3
+
+
¡
a
1,1
a
2,4
− a
1,4
a
2,1
¢
D
1,2;1,4
−
¡
a
1,1
a
2,5
− a
1,5
a
2,1
¢
D
1,2;1,5
+
+
¡
a
1,2
a
2,3
− a
1,3
a
2,2
¢
D
1,2;2,3
−
¡
a
1,2
a
2,4
− a
1,4
a
2,2
¢
D
1,2;2,4
+
+
¡
a
1,2
a
2,5
− a
1,5
a
2,2
¢
D
1,2;2,5
+
¡
a
1,3
a
2,4
− a
1,4
a
2,3
¢
D
1,2;3,4
−
−
¡
a
1,3
a
2,5
− a
1,5
a
2,3
¢
D
1,2;3,5
+
¡
a
1,4
a
2,5
− a
1,5
a
2,4
¢
D
1,2;4,5
=
=
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,2
−
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,3
a
2,1
a
2,3
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,3
+
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,4
a
2,1
a
2,4
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,4
−
−
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,5
a
2,1
a
2,5
¯
¯
¯
¯ D
1,2;1,5
+
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,3
a
2,2
a
2,3
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,3
−
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,4
a
2,2
a
2,4
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,4
+
+
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,5
a
2,2
a
2,5
¯
¯
¯
¯ D
1,2;2,5
+
¯
¯
¯
¯
a
1,3
a
1,4
a
2,3
a
2,4
¯
¯
¯
¯ D
1,2;3,4
−
−
¯
¯
¯
¯
a
1,3
a
1,5
a
2,3
a
2,5
¯
¯
¯
¯ D
1,2;3,5
+
¯
¯
¯
¯
a
1,4
a
1,5
a
2,4
a
2,5
¯
¯
¯
¯ D
1,2;4,5
.
Zako´
nczyli´smy dow´od wÃlasno´sci 3
◦
. Po zako´
nczeniu dowodu caÃlego twierdzenia to
samo rozumowanie zostaÃlo zapisane bez dodatkowych oznacze´
n. Mo˙zna wie
,
c sobie
obejrze´c jak to wygla
,
da.
Mo˙ze wypada doda´c, ˙ze ten dow´od mo˙zna przeprowadzi´c nie u˙zywaja
,
c a˙z tylu
15
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
wzor´ow. Jest jasne, ˙ze je´sli rozwijamy wyznacznik najpierw wedÃlug pierwszego wier-
sza, a potem wg. drugiego, to w rozwinie
,
ciu pojawia
,
sie
,
wszystkie wyznaczniki
postaci D
1,2;i,j
, i < j , bo ,,wycinamy” z macierzy dwa pierwsze wiersze i jakie´s
dwie kolumny. Nale˙zy zobaczy´c z jakim wsp´oÃlczynnikiem ten wyznacznik sie
,
pojawi.
Mo˙zemy z pierwszego wiersza wybra´c i –ty wyraz a z drugiego j –ty lub odwrot-
nie. W pierwszym przypadku wsp´oÃlczynnik jest r´owny (−1)
1+i
a
1,i
(−1)
1+j−1
a
2,j
=
(−1)
1+i+j
a
1,i
a
2,j
, bo wyraz a
2,j
to j − 1 –y wyraz w wyznaczniku powstaÃlym po
usunie
,
ciu pierwszego wiersza i i –tej kolumny. W drugim przypadku wsp´oÃlczynnik
r´owny jest (−1)
1+j
a
1,j
(−1)
1+i
= (−1)
2+i+j
a
1,j
a
1,i
. Sta
,
d wynika, ˙ze wyznacznik
D
1,2;i,j
pojawia sie
,
ze wsp´oÃlczynnikiem
(−1)
1+i+j
¯
¯
¯
¯
a
1,i
a
1,j
a
2,i
a
2,j
¯
¯
¯
¯ = (−1)
1+2+i+j
¯
¯
¯
¯
a
1,i
a
1,j
a
2,i
a
2,j
¯
¯
¯
¯ .
W wykÃladniku wyste
,
puje wie
,
c suma numer´ow wszystkich tych wierszy i kolumn, kt´ore
,,wycie
,
li´smy”. W tym rozumowaniu wymiar macierzy nie odgrywaÃl najmniejszej roli,
nawet z punktu widzenia zapisu.
W ten spos´ob wykazana zostaÃla wÃlasno´s´c trzecia dla wyznacznik´ow macierzy
wymiaru 5 × 5 . Z niej natychmiast wynika, ˙ze je´sli zamienimy miejscami wiersz pier-
wszy i drugi, to caÃly wyznacznik zmieni znak (bo tak jest w przypadku wyznacznik´ow
macierzy 2 × 2 ). Je´sli zamienimy miejscami kt´orekolwiek dwa wiersze o numerach
wie
,
kszych ni˙z 1 , to zmienia
,
znaki wszystkie wyznaczniki macierzy 4 × 4 , zatem
caÃly wyznacznik zmieni znak. Zamiane
,
miejsc wiersza pierwszego i np. czwartego
zrealizowa´c mo˙zna jako trzy kolejne zamiany: pierwszy z drugim, drugi z czwartym
i wreszcie pierwszy z drugim. To oznacza, ˙ze w wyniku zamiany miejscami dw´och
wierszy wyznacznik zmienia znak.
Teraz wyka˙zemy, ˙ze to samo jest prawda
,
w wyniku zamiany miejscami dwu
sa
,
siednich (na razie) kolumn. Je´sli np. zamieniamy miejscami kolumne
,
trzecia
,
i
czwarta
,
, to wyrazy a
1,3
i a
1,4
wysta
,
pia
,
w rozwinie
,
ciu wyznacznika ze zmienionymi
znakami, natomiast wyznaczniki przez kt´ore mno˙zymy te wyrazy nie ulegna
,
zmianie.
Znaki, z kt´orymi wyste
,
puja
,
a
1,1
, a
1,2
i a
1,5
nie zmienia
,
sie
,
, ale zmieni sie
,
kole-
jno´s´c kolumn w wyznacznikach, przez kt´ore mno˙zymy te wyrazy, wie
,
c te wyznaczniki
(macierzy 4 × 4 ) zmienia
,
znak. Zamiane
,
miejscami dwu kolumn niesa
,
siednich real-
izujemy jako wiele zamian kolumn sa
,
siednich, np. zamiana drugiej kolumny z pia
,
ta
,
to cia
,
g zamian: druga z trzecia
,
, trzecia z czwarta
,
, czwarta z pia
,
ta
,
, czwarta z trze-
cia
,
, trzecia z druga
,
. W opisanym przypadku zamieniali´smy kolejne kolumny 5 razy,
czyli wyznacznik zmieniaÃl znak 5 , wie
,
c go zmieniÃl. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze liczba
16
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
zamian kolejnych kolumn jest zawsze nieparzysta. Wykazana zostaÃla wÃlasno´s´c pia
,
ta.
Czwarta te˙z bardzo Ãlatwo wynika z prawdziwo´sci twierdzenia dla wyznacznik´ow
ni˙zszego wymiaru: mno˙zenie pierwszego wiersza przez liczbe
,
c z definicji wyznacznika
powoduje pomno˙zenie go przez c . Pomno˙zenie innego wiersza powoduje pomno˙zenie
ka˙zdego z wyznacznik´ow stopnia 4 wyste
,
puja
,
cych w definicji wyznacznika stopnia
5 przez c , wie
,
c r´ownie˙z w tym przypadku wyznacznik zostaje pomno˙zony przez c .
Podobnie jest z kolumnami: w ka˙zdym iloczynie a
1,j
D
1;j
mno˙zony przez c jest
dokÃladnie jeden czynnik, wie
,
c iloczyn mno˙zony jest przez c . To ko´
nczy dow´od
wÃlasno´sci czwartej.
Rozwijanie wg. dowolnego wiersza jest mo˙zliwe, bo zamieniamy wiersz pierwszy
z tym, wg. kt´orego mamy ochote
,
rozwina
,
´c wyznacznik, naste
,
pnie rozwijamy wg.
pierwszego wiersza, naste
,
pnie w wyznacznikach stopnia cztery zamieniamy pierwszy
wiersz z tym, w kt´orym znalazÃly sie
,
wyrazy a
1,1
, a
1,2
, . . .
Wyka˙zemy, ˙ze wyznaczniki mo˙zna rozwija´c wzgle
,
dem kolumn. Poniewa˙z ju˙z
wiemy, ˙ze mo˙zna przestawiaja
,
c kolumny zmieniamy jedynie znak wyznacznika, wie
,
c
wystarczy wykaza´c, ˙ze mo˙zna wyznacznik rozwina
,
´c wzgle
,
dem pierwszej kolumny.
Nale˙zy udowodni´c, ˙ze wyznacznik D jest r´owny
a
1,1
D
1;1
− a
2,1
D
2;1
+ a
3,1
D
3;1
− a
4,1
D
4;1
+ a
5,1
D
5;1
.
Rozwijamy ka˙zdy z wyznacznik´ow D
i;1
, i = 2, 3, 4, 5 , wzgle
,
dem pierwszego wiersza.
W wyniku tego pojawiaja
,
sie
,
wyznaczniki D
1,i;1;j
. Wsp´oÃlczynnik przy wyznaczniku
D
1,i;1;j
to:
(−1)
i+1
a
i,1
· (−1)
1+j−1
a
1,j
= (−1)
i+j+1
a
i,1
a
1,j
— wyraz a
1,j
znajduje sie
,
w j − 1 kolumnie wyznacznika D
i,1
.
Teraz rozwijamy wyznacznik D wzgle
,
dem pierwszego wiersza:
D = a
1,1
D
1;1
− a
1,2
D
1;2
+ a
1,3
D
1;3
− a
1,4
D
1;4
+ a
1,5
D
1;5
.
Teraz rozwijamy ka˙zdy z wyznacznik´ow D
1;j
, j = 2, 3, 4, 5 , wzgle
,
dem jego pierwszej
kolumny. W rozwinie
,
ciu pojawi sie
,
wyznacznik D
1,i;1,j
ze wsp´oÃlczynnikiem
(−1)
1+j
a
1,j
(−1)
i−1+1
a
i,1
= (−1)
i+j+1
a
1,j
a
i,1
,
czyli z takim samym jak poprzednio. Wynika z tego, ˙ze
a
1,1
D
1;1
− a
2,1
D
2;1
+ a
3,1
D
3;1
− a
4,1
D
4;1
+ a
5,1
D
5;1
=
= a
1,1
D
1;1
− a
1,2
D
1;2
+ a
1,3
D
1;3
− a
1,4
D
1;4
+ a
1,5
D
1;5
= D ,
a to ko´
nczy dow´od tej cze
,
´sci twierdzenia.
To, ˙ze dwa wyznaczniki, w kt´orych wszystkie wiersze z wyja
,
tkiem i –tego sa
,
iden-
tyczne mo˙zna dodawa´c dodaja
,
c i –te wiersze (wÃlasno´s´c 7
◦
) wynika od razu z tego,
˙ze mo˙zna rozwina
,
´c wyznacznik wzgle
,
dem dowolnego, np. i –tego wiersza. Sta
,
d i z
17
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
tego, ˙ze wyznacznik, w kt´orym dwa wiersze sie
,
pokrywaja
,
jest r´owny 0 oraz z tego,
˙ze mno˙zenie wiersza przez liczbe
,
c jest r´ownowa˙zne mno˙zeniu wyznacznika przez
c , wynika, ˙ze dodanie do i –tego wiersza wiersza j –tego pomno˙zonego przez c nie
zmienia wyznacznika: do danego wyznacznika dodajemy wyznacznik r´o˙znia
,
cy sie
,
od
danego tylko tym, ˙ze w miejscu i –tego wiersza pojawia sie
,
j –ty pomno˙zony przez
c , czyli dodajemy 0 . W ten spos´ob zako´
nczyli´smy dow´od twierdzenia.
Na deser pokazujemy jak wygla
,
da uzasadnienie wÃlasno´sci trzeciej bez wprowa-
dzania dodatkowych oznacze´
n, ale to tylko ciekawostka, a nie zache
,
ta (wre
,
cz pr´oba
znieche
,
cenia) do dowodzenia w ten spos´ob.
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
1,4
a
1,5
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= a
1,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
1,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,4
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
1,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,5
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= a
1,1
Ã
a
2,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
!
− a
1,2
Ã
a
2,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
!
+ a
1,3
Ã
a
2,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
2,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
!
−
−a
1,4
Ã
a
2,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
5,1
a
5,2
a
5,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
!
+ a
1,5
Ã
a
2,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
18
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
+a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
5,1
a
5,2
a
5,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
!
=
=
³
a
1,1
a
2,2
− a
1,2
a
2,1
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
³
a
1,1
a
2,3
− a
1,3
a
2,1
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
³
a
1,1
a
2,4
− a
1,4
a
2,1
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
³
a
1,1
a
2,5
− a
1,5
a
2,1
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
³
a
1,2
a
2,3
− a
1,3
a
2,2
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
³
a
1,2
a
2,4
− a
1,4
a
2,2
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
³
a
1,2
a
2,5
− a
1,5
a
2,2
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
³
a
1,3
a
2,4
− a
1,4
a
2,3
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−
³
a
1,3
a
2,5
− a
1,5
a
2,3
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
³
a
1,4
a
2,5
− a
1,5
a
2,4
´
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
5,1
a
5,2
a
5,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,3
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,3
a
2,1
a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,4
a
3,5
a
4,2
a
4,4
a
4,5
a
5,2
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,4
a
2,1
a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,5
a
4,2
a
4,3
a
4,5
a
5,2
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,5
a
2,1
a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
5,2
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,3
a
2,2
a
2,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,4
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,4
a
2,2
a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,5
a
4,1
a
4,3
a
4,5
a
5,1
a
5,3
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,5
a
2,2
a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,3
a
3,4
a
4,1
a
4,3
a
4,4
a
5,1
a
5,3
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
a
1,3
a
1,4
a
2,3
a
2,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
−
¯
¯
¯
¯
a
1,3
a
1,5
a
2,3
a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,4
a
4,1
a
4,2
a
4,4
a
5,1
a
5,2
a
5,4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
a
1,4
a
1,5
a
2,4
a
2,5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
3,1
a
3,2
a
3,3
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
5,1
a
5,2
a
5,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Z udowodnionego twierdzenia wynika od razu, ˙ze je´sli w macierzy zasta
,
pimy
wiersze jej kolumnani (z zachowaniem kolejno´sci), to wyznacznik nie ulegnie zmianie:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
2,1
a
3,1
. . . a
n,1
a
1,2
a
2,2
a
3,2
. . . a
n,2
a
1,3
a
2,3
a
3,3
. . . a
n,3
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
1,n
a
2,n
a
3,n
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
— wynika to z tego, ˙ze wyznacznik mo˙zna rozwija´c wzgle
,
dem wierszy lub kolumn.
19
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Macierz otrzymana
,
z danej macierzy A przez opisana
,
zamiane
,
wierszy i kolumn
nazywamy macierza
,
transponowana
,
i oznaczamy przez A
T
, operacja ta stosowana
jest nie tylko do macierzy kwadratowych, np.
µ
1 2 3
4 5 6
¶
T
=
1 4
2 5
3 6
.
Ostatnio wymieniona
,
wÃlasno´s´c wyznacznik´ow mo˙zna wie
,
c zapisa´c tak:
det(A) = det(A
T
)
dla ka˙zdej macierzy kwadratowej A .
Twierdzenie 8.4 (Cramera)
UkÃlad n r´owna´
n liniowych z n niewiadomymi ma dokÃladnie jedno rozwia
,
zanie wtedy
i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego ukÃladu jest r´o˙zny od 0 .
Dow´
od.
Rozwa˙zamy ukÃlad r´owna´
n
a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
+ · · · + a
1,n
x
n
= c
1
;
a
2,1
x
1
+ a
2,2
x
2
+ a
2,3
x
3
+ · · · + a
2,n
x
n
= c
2
;
a
3,1
x
1
+ a
3,2
x
2
+ a
3,3
x
3
+ · · · + a
3,n
x
n
= c
3
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
x
1
+ a
n,2
x
2
+ a
n,3
x
3
+ · · · + a
n,n
x
n
= c
n
.
PrzeksztaÃlcamy go stosuja
,
c opisane wcze´sniej operacje na wierszach: zamieniamy
miejscami wiersze, mno˙zymy wiersz przez liczbe
,
c 6= 0 , dodajemy jeden wiersz do
drugiego. Po pierwszej z tych operacji wyznacznik
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
zmienia znak, po drugiej jest pomno˙zony przez c , po trzeciej nie ulega zmianie. Po
pewnym czasie macierz zostanie sprowadzona do postaci schodkowej. Wyznacznik
tej ostatniej macierzy jest r´owny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik wyj´sciowej
macierzy jest r´owny 0 . Warto zauwa˙zy´c, ˙ze
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
α
1,1
α
1,2
α
1,3
. . . α
1,n
0
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . α
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= α
1,1
· α
2,2
· α
3,3
· . . . · α
n,n
20
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
— wynik otrzymujemy rozwijaja
,
c wyznacznik wzgle
,
dem pierwszej kolumny
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
α
1,1
α
1,2
α
1,3
. . . α
1,n
0
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . α
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= α
1,1
·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
. . . α
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
naste
,
pnie powtarzamy te
,
operacje
,
na wyznaczniku ni˙zszego stopnia. Je´sli na prze-
ka
,
tnej otrzymanej macierzy schodkowej nie ma zer, to wyznacznik ukÃladu te˙z jest
r´o˙zny od 0 . UkÃlad ma wtedy dokÃladnie jedno rozwia
,
zanie, bo ostatnie r´ownanie
wyznacza x
n
, przedostanie x
n−1
itd.
Je´sli natomiast pojawi sie
,
co najmniej jedno 0 , to wyznacznik ukÃladu jest
r´owny 0 . Je´sli ostatni niezerowy wiersz ma posta´c 0, 0, . . . , 0, d
l
przy czym d
l
6= 0 ,
to ukÃlad jest sprzeczny. Je´sli natomiast wygla
,
da on tak 0, 0, . . . , 0, ˜a
l,j
, . . . , d
l
przy
czym ˜a
l,j
6= 0 , to mo˙zna potraktowa´c niewiadome x
j+1
, x
j+2
, . . . , x
n
jako parame-
try, tzn. podstawi´c w ich miejsce dowolne liczby i naste
,
pnie obliczy´c warto´s´c x
j
z
wzoru x
j
=
1
a
l,j
¡
d
l
− a
l,j+1
x
j+1
− a
l,j+2
x
j+2
− · · · − a
l,n
x
n
¢
. Potem mo˙zna zaja
,
´c sie
,
znalezieniem x
j−1
. Je´sli A
l−1,j−1
6= 0 , to mo˙zna warto´s´c niewiadomej x
j−1
wyz-
naczy´c z l − 1 –ego r´ownania. Je´sli a
l−1,j−1=0
, to traktujemy x
j−1
jako naste
,
pny
parametr. W tej sytuacji znajdujemy x
j−2
chyba, ˙ze a
l−2,j−2
= 0 . W tym przy-
padku zaczynamy zajmowa´c sie
,
x
j+2
itd. Wida´c wie
,
c, ˙ze w tej sytuacji ukÃlad r´owna´
n
ma niesko´
nczenie wiele rozwia
,
za´
n.
Definicja 8.5 (rze
,
du macierzy)
Rze
,
dem macierzy prostoka
,
tnej nazywamy najwie
,
kszy ze stopni wyznacznik´ow r´o˙z-
nych od 0 .
Z tej definicji wynika, ˙ze rza
,
d nie mo˙ze przekroczy´c ani liczby wierszy macierzy,
ani te˙z liczby jej kolumn.
Poprawiaja
,
c nieco dow´od twierdzenia Cramera mo˙zna udowodni´c naste
,
puja
,
ce
Twierdzenie 8.6 (Kroneckera – Capelli)
Rze
,
dy macierzy ukÃladu r´owna´
n i macierzy rozszerzonej tego ukÃladu sa
,
r´owne wtedy
i tylko wtedy, gdy ukÃlad ma co najmniej jedno rozwia
,
zanie:
jedno, je´sli rze
,
dy sa
,
r´owne liczbie niewiadomych,
niesko´
nczenie wiele rozwia
,
za´
n, je´sli rze
,
dy sa
,
mniejsze od liczby niewiadomych.
Dowodu tego twierdzenia nie podajemy, zreszta
,
formuÃlujemy je tylko po to, by
poinformowa´c student´ow, ˙ze mo˙zna je sformuÃlowa´c. Student chemii nie mosi go
pamie
,
ta´c.
21
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Twierdzenie 8.7 ( wzory Cramera)
Je´sli
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6= 0 ,
to jedynym rozwia
,
zaniem ukÃladu
a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
+ · · · + a
1,n
x
n
= c
1
;
a
2,1
x
1
+ a
2,2
x
2
+ a
2,3
x
3
+ · · · + a
2,n
x
n
= c
2
;
a
3,1
x
1
+ a
3,2
x
2
+ a
3,3
x
3
+ · · · + a
3,n
x
n
= c
3
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
x
1
+ a
n,2
x
2
+ a
n,3
x
3
+ · · · + a
n,n
x
n
= c
n
.
jest punkt (x
1
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
) zdefiniowany za pomoca
,
r´owno´sci:
x
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
c
2
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
c
3
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
c
n
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
x
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
c
1
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
c
2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
c
3
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
c
n
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
x
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
c
1
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
c
2
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
c
3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
c
n
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, . . . , x
n
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . c
1
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . c
2
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . c
3
..
.
..
.
..
.
. .. ...
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . c
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
. . . a
1,n
a
2,1
a
2,2
a
2,3
. . . a
2,n
a
3,1
a
3,2
a
3,3
. . . a
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n,1
a
n,2
a
n,3
. . . a
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Dow´
od. Z twierdzenia Cramera udowodnionego powy˙zej wynika, ˙ze ukÃlad ma dok-
Ãladnie jedno rozwia
,
zanie. Wystarczy sprawdzi´c, ˙ze mo˙zna je wyrazi´c za pomoca
,
wzor´ow Cramera. Zrobimy to w przypadku n = 3 . Og´olny od tego nie r´o˙zni sie
,
22
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
niczym istotnym. Wyka˙zemy, ˙ze a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
= c
1
. Obliczamy:
a
1,1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
1
a
1,2
a
1,3
c
2
a
2,2
a
2,3
c
3
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
c
1
a
1,3
a
2,1
c
2
a
2,3
a
3,1
c
3
a
3,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
1,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
c
1
a
2,1
a
2,2
c
2
a
3,1
a
3,2
c
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= a
1,1
c
1
¯
¯
¯
¯
a
2,2
a
2,3
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯ − a
1,1
c
2
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,3
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯ + a
1,1
c
3
¯
¯
¯
¯
a
1,2
a
1,3
a
2,2
a
2,3
¯
¯
¯
¯ −
− a
1,2
c
1
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,3
a
3,1
a
3,3
¯
¯
¯
¯ + a
1,2
c
2
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,3
a
3,1
a
3,3
¯
¯
¯
¯ − a
1,2
c
3
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,3
a
2,1
a
2,3
¯
¯
¯
¯ +
+ a
1,3
c
1
¯
¯
¯
¯
a
2,1
a
2,2
a
3,1
a
3,2
¯
¯
¯
¯ − a
1,3
c
2
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
3,1
a
3,2
¯
¯
¯
¯ + a
1,3
c
3
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
¯
¯
¯
¯ =
= c
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
3,1
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ c
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
3,1
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ c
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
1,1
a
1,2
a
1,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= c
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
1,1
a
1,2
a
1,3
a
2,1
a
2,2
a
2,3
a
3,1
a
3,2
a
3,3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
W ten spos´ob zako´
nczyli´smy dow´od r´owno´sci a
1,1
x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
= c
1
, nie
przepisywali´smy mianownika, wie
,
c pojawiÃl sie
,
on na ko´
ncu wraz z c
1
. W taki sam
spos´ob mo˙zna wykaza´c, ˙ze zachodza
,
r´owno´sci a
2,1
x
1
+ a
2,2
x
2
+ a
2,3
x
3
= c
2
oraz
a
3,1
x
1
+ a
3,2
x
2
+ a
3,3
x
3
= c
3
.
Wzor´ow Cramera na og´oÃl sie
,
nie stosuje, bo obliczanie wyznacznik´ow jest kÃlopot-
liwe, a je´sli ju˙z mamy przeprowadza´c operacje na wierszach, to lepiej od razu zaja
,
´c sie
,
macierza
,
rozszerzona
,
. Komputery pomagaja
,
oczywi´scie troche
,
, ale gdy liczba r´owna´
n
jest du˙za, to i tak, nawet przy u˙zycia komputera, nie oblicza sie
,
wyznacznik´ow,
lecz raczej eliminuje sie
,
niewiadome metoda
,
Gaussa. Tym nie mniej mo˙zna te˙z
napisa´c jawny wz´or na macierz A
−1
odwrotna
,
do macierzy A =
¡
a
i,j
¢
, czyli taka
,
,
˙ze A · A
−1
= I = A
−1
· A . Zachodzi wz´or Cramera:
A
−1
=
1
det A
(−1)
1+1
D
1;1
(−1)
1+2
D
1;2
(−1)
1+3
D
1;3
. . .
(−1)
1+n
D
1;n
(−1)
2+1
D
2;1
(−1)
2+2
D
2;2
(−1)
2+3
D
2;3
. . .
(−1)
2+n
D
2;n
(−1)
3+1
D
3;1
(−1)
3+2
D
3;2
(−1)
3+3
D
3;3
. . .
(−1)
3+n
D
3;n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
(−1)
n+1
D
n;1
(−1)
n+2
D
n;2
(−1)
n+3
D
n;3
. . . (−1)
n+n
D
n;n
T
Sprawdzenie poprawno´sci tego wzoru to w zasadzie powt´orzenie dowodu poprawno´sci
wzoru na rozwia
,
zania ukÃladu n r´owna´
n liniowych z n niewiadomymi. Wz´or ten
w przypadku macierzy niewielkiego rozmiaru mo˙ze by´c z powodzeniem u˙zywany, jed-
nak w przypadku macierzy du˙zego wymiaru nie warto go u˙zywa´c, bo liczba oblicze´
n
wzrasta z wymiarem macierzy bardzo szybko. Zn´ow, podobnie jak poprzednio, mo˙zna
23
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
stosowa´c operacje na wierszach. Poka˙zemy jak to wygla
,
da w przypadku macierzy,
kt´orej odwrotna
,
ju˙z raz znale´zli´smy. Rozwa˙zali´smy wcze´sniej ukÃlad r´owna´
n lin-
iowych, kt´orego macierz rozszerzona wygla
,
daÃla tak:
0
1
2
3
20
1
1 −1
1
4
2 −1
1
1
7
3
1 −1 −1
−2
.
Stosowali´smy eliminacje
,
Gaussa. Prowadzi to do znalezienia macierzy odwrotnej
macierzy
0
1
2
3
1
1 −1
1
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
,
co teraz jest naszym najbli˙zszym celem. Be
,
dziemy przeprowadza´c te same operacje
co poprzednio, na macierzy
0
1
2
3 1 0 0 0
1
1 −1
1 0 1 0 0
2 −1
1
1 0 0 1 0
3
1 −1 −1 0 0 0 1
.
Przypomnijmy, ˙ze ka˙zda
,
z trzech operacji przeprowadzanych na wierszach mo˙zemy
traktowa´c jako wynik mno˙zenia odpowiednio dobranej macierzy przez dana
,
macierzy.
Macierz M , kt´ora
,
zamierzamy przeksztaÃlca´c, to dwie macierze napisane obok siebie:
macierz A , a tu˙z za nia
,
macierz I , mo˙zna ja
,
oznaczy´c przez (A I) — to nie iloczyn!
Dodaja
,
c np. wiersz drugi do wiersza trzeciego mno˙zymy macierz M przez macierz
B =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
,
ale to oznacza, ˙ze obliczmy dwa iloczyny: B · A i B · I . Naste
,
pne operacje mo˙zna
interpretowa´c w taki sam spos´ob. Oznacza, ˙ze je´sli po pewnej liczbie tych ope-
racji dojdziemy do macierzy postaci (I C) (to nie iloczyn!), to macierz C be
,
dzie
macierza
,
odwrotna
,
do A jako iloczyn macierzy, kt´ory pomno˙zony przez A daje I .
Przyste
,
pujemy do przeksztaÃlcania:
0
1
2
3
1
0
0
0
1
1 −1
1
0
1
0
0
2 −1
1
1
0
0
1
0
3
1 −1 −1
0
0
0
1
24
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
1
1 −1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
2 −1
1
1
0
0
1
0
3
1 −1 −1
0
0
0
1
— przestawili´smy wiersze,
1
1 −1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
0 −3
3 −1
0 −2
1
0
0 −2
2 −4
0 −3
0
1
— odje
,
li´smy pierwszy wiersz
pomno˙zony przez 2 od trze-
ciego i pomno˙zony przez 3 od
czwartego;
1
1 −1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
0
0
9
8
3 −2
1
0
0
0
6
2
2 −3
0
1
— dodali´smy drugi wiersz
pomno˙zony przez 3 do trze-
ciego i pomno˙zony przez 2 od
czwartego;
1
1 −1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
0
0
9
8
3
−2
1
0
0
0
0 −
10
3
0 −
5
3
−
2
3
1
— odje
,
li´smy trzeci wiersz
pomno˙zony przez
2
3
od
czwartego.
Do tej pory stosowali´smy jedynie takie operacje na wierszach, kt´ore zachowywaÃly
warto´sci bezwzgle
,
dna
,
wyznacznika lewej macierzy kwadratowej, znak zmieniÃl sie
,
raz,
gdy przestawili´smy wiersze. Teraz be
,
dzie inaczej.
1
1 −1
1
0
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
0
0
1
8
9
1
3
−
2
9
1
9
0
0
0
0
1
0
1
2
1
5
−
3
10
— pomno˙zyli´smy trzeci
wiersz przez
1
9
, czwarty
przez −
3
10
;
1
1 −1 0
0
1
2
−
1
5
3
10
0
1
2 0
1
−
3
2
−
3
5
9
10
0
0
1 0
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
0
0 1
0
1
2
1
5
−
3
10
— odje
,
li´smy czwarty wiersz
od pierwsze go, pomno˙zony
przez 3 od drugiego,
pomno˙zony przez
8
9
od trze-
ciego;
1
1 0 0
1
3
−
1
6
−
4
15
17
30
0
1 0 0
1
3
−
1
6
−
7
15
11
30
0
0 1 0
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
0 0 1
0
1
2
1
5
−
3
10
— dodali´smy trzeci wiersz
do pierwszego, odje
,
li´smy
trzeci pomno˙zony przez 2 od
drugiego;
1
1 0 0
0
0
1
5
1
5
0
1 0 0
1
3
−
1
6
−
7
15
11
30
0
0 1 0
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
0 0 1
0
1
2
1
5
−
3
10
— dodali´smy trzeci wiersz
do pierwszego, odje
,
li´smy
trzeci pomno˙zony przez 2 od
drugiego.
Po tych przeksztaÃlceniach mo˙zemy napisa´c:
25
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
0
1
2
3
1
1 −1
1
2 −1
1
1
3
1 −1 −1
−1
=
0
0
1
5
1
5
1
3
−
1
6
−
7
15
11
30
1
3
−
2
3
−
1
15
4
15
0
1
2
1
5
−
3
10
=
=
1
30
0
0
6
6
10
−5
−14
11
10 −20
−2
8
0
15
6
−9
.
Jak wida´c odwracanie macierzy wymaga troche
,
pracy, ale ˙zadnych trudno´sci tu
nie ma. Je´sli macierz odwrotnej nie ma, to oczywi´scie w trakcie operacji na wierszach
w pewnym momencie natkniemy sie
,
na zbyt du˙zy ,,uskok”, co oznacza, ˙ze na gÃl´ownej
przeka
,
tnej ,,lewej” macierzy pojawia
,
sie
,
zera i ju˙z na niej pozostana
,
, co uniemo˙zliwi
kontynuacje
,
konstrukcji macierzy odwrotnej. W terminach wyznacznik´ow: w tym
momencie stwierdzimy, ˙ze wyznacznik ,,lewej” macierzy jest r´owny 0 .
Twierdzenie 8.8 (Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego wymiaru A i B jest
r´owny iloczynowi ich wyznacznik´ow:
det(A · B) = det(A) · det(B) .
Dow´
od. Przypomnijmy, ˙ze
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
α
1,1
α
1,2
α
1,3
. . . α
1,n
0
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . α
n,n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= α
1,1
· α
2,2
· α
3,3
· . . . · α
n,n
.
Bez trudu mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze w iloczynie
α
1,1
α
1,2
α
1,3
. . . α
1,n
0
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . α
n,n
·
β
1,1
β
1,2
β
1,3
. . . β
1,n
0
β
2,2
β
2,3
. . . β
2,n
0
0
β
3,3
. . . β
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . β
n,n
pod gÃl´owna
,
przeka
,
tna
,
sa
,
same zera a na gÃl´ownej przeka
,
tnej pojawiaja
,
sie
,
kolejno
liczby
α
1,1
β
1,1
, α
2,2
β
2,2
, . . . , α
n,n
β
n,n
.
Sta
,
d i z r´owno´sci
26
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
(α
1,1
β
1,1
) · (α
2,2
β
2,2
) · . . . · (α
n,n
β
n,n
) = (α
1,1
· α
2,2
· . . . · α
n,n
) · (β
1,1
· β
2,2
· . . . · β
n,n
) ,
wynika, ˙ze twierdzenie jest prawdziwe, gdy obie macierze sa
,
tr´ojka
,
tne, tzn. sa
,
postaci
α
1,1
α
1,2
α
1,3
. . . α
1,n
0
α
2,2
α
2,3
. . . α
2,n
0
0
α
3,3
. . . α
3,n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . . α
n,n
.
Z tego, co udowodnili´smy do tej pory wynika, ˙ze je´sli w macierzy kwadratowej B
zasta
,
pimy i –ty wiersz przez sume
,
tego wiersza i wiersza j –tego pomno˙zonego przez
liczbe
,
c , to wyznacznik nie ulegnie zmianie. Ta operacja mo˙ze by´c opisana jako
mno˙zenie C
i,j
(c) · B , gdzie C
i,j
(c) oznacza macierz, na kt´orej gÃl´ownej przeka
,
tnej
sa
,
jedynki, poza ta
,
przeka
,
tna
,
zera z wyja
,
tkiem przecie
,
cia i -tego wiersza z j –ta
,
kolumna
,
, gdzie znajduje sie
,
liczba c . Poni˙zej przykÃlad dla n = 4
C
2,4
(5) =
1 0 0 0
0 1 0 5
0 0 1 0
0 0 0 1
.
Bez trudu mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze
C
2,4
(5)
−1
=
1 0 0
0
0 1 0 −5
0 0 1
0
0 0 0
1
= C
2,4
(−5) .
ÃLatwo mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze iloczyn A · C
i,j
(−c) jest macierza
,
, kt´orej wszystkie
kolumny z wyja
,
tkiem j –tej sa
,
takie same jak kolumny macierzy A , j –ta kolumna
iloczynu A · C
i,j
(−c) jest suma
,
j –tej kolumny macierzy A oraz i –tej pomno˙zonej
przez −c . Wobec tego det
¡
A · C
i,j
(−c)
¢
= det(A) . Poniewa˙z mno˙zenie macierzy
jest Ãla
,
czne, wie
,
c AB = (A · C
i,j
(−c)) · (C
i,j
(c) · B) i wobec tego
det(A · B) = det
¡
(A · C
i,j
(−c)) · (C
i,j
(c) · B)
¢
.
Aby udowodni´c, ˙ze det(AB) = det(A) · det(B) , wystarczy wie
,
c dowie´s´c, ˙ze
det
¡
(A · C
i,j
(−c)) · (C
i,j
(c) · B)
¢
= det
¡
A · C
i,j
(−c)
¢
· det
¡
C
i,j
(c) · B
¢
,
czyli udowodni´c twierdzenie dla macierzy A · C
i,j
(−c) i C
i,j
(c) · B — wcze´sniej
wykazali´smy, ˙ze det(C
i,j
(c) · B) = det(B) i det(A · C
i,j
(−c)) = det(A) .
Zamiana i –tego wiersza z j –tym to mno˙zenie przez macierz P
i,j
, kt´orej wszyst-
kie wiersze z wyja
,
tkiem i –tego i j –tego sa
,
takie same, jak w macierzy jednostkowej,
27
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
za´s w i –tym wierszu jedynka jest na miejscu j –tym, a w wierszu j –tym — na
miejscu i –tym. Np. dla n = 4 mamy
P
1,3
=
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
,
P
3,4
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
.
Z Ãlatwo´scia
,
przekonujemy sie
,
, ˙ze P
−1
i,j
= P i, j (dwukrotna zamiana i -tego i j –tego
wiersza niczego nie zmienia). Mamy det(P
i,j
·B) = − det(B) , det(A·P
i,j
) = − det(A)
— ostatnia r´owno´s´c wynika z tego, ˙ze macierz A · P
i,j
r´o˙zni sie
,
od macierzy A tylko
tym, ˙ze zamienione zostaÃly kolumny o numerach i, j , co jak wiemy powoduje jedynie
zmiane
,
znaku wyznacznika. Wobec tego zamiast dowodzi´c twierdzenie dla macierzy
A, B mo˙zna je udowodni´c dla macierzy A · P
i,j
, P
i,j
B .
Stosuja
,
c opisane operacje wielokrotnie sprowadzamy dow´od twierdzenia do przy-
padku ˜
A · ˜
B , gdzie macierz ˜
B jest tr´ojka
,
tna (czyli ma pod przeka
,
tna
,
same zera).
Naste
,
pnie mno˙zymy macierz ˜
A z lewej strony przez macierze typu C
i,j
(c) oraz
macierze typu P
i,j
. Zachodzi r´owno´s´c det
¡
C
i,j
(c) · ( ˜
A · ˜
B)
¢
= det( ˜
A · ˜
B) — ope-
racja na wierszach macierzy ˜
A · ˜
B , wie
,
c dzie
,
ki Ãla
,
czno´sci mno˙zenia macierzy:
det( ˜
A · ˜
B) = det
¡
C
i,j
(c) · ( ˜
A · ˜
B)
¢
= det
¡
(C
i,j
(c) · ˜
A) · ˜
B)
¢
.
Mamy te˙z det(C
i,j
(c)· ˜
A) = det( ˜
A) , wie
,
c mo˙zemy zasta
,
pi´c pare
,
macierzy ˜
A, ˜
B para
,
C
i,j
(c) · ˜
A , ˜
B .
Podobnie jest z mno˙zeniem przez P
i,j
, kt´ore powoduje zmiane
,
znak´ow obu wyz-
nacznik´ow: det( ˜
A) i det( ˜
A · ˜
B) . Mo˙zemy wie
,
c po pewnym czasie doprowadzi´c
r´ownie˙z macierz ˜
A do postaci tr´ojka
,
tnej. Dow´od zostaÃl zako´
nczony.
Wniosek 8.9 (o wyznaczniku macierzy odwrotnej)
Je´sli macierz A ma odwrotna
,
(czyli, gdy det(A) 6= 0 ), to det(A
−1
) =
1
det(A)
.
Twierdzenie 8.10 (Obje
,
to´s´
c r´
ownolegÃlo´scianu rozpie
,
tego przez wektory
~u, ~v, ~
w ∈ R
3
)
Niech ~u = (u
1
, u
2
, u
3
) , ~v = (v
1
, v
2
, v
3
) , ~
w = (w
1
, w
2
, w
3
) . Wtedy obje
,
to´s´c r´owno-
legÃlo´scianu rozpie
,
tego przez wektory ~u, ~v, ~
w (zaczepione w punkcie 0 ) r´owna jest
|(~u × ~v) · ~
w| = |
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
| ,
28
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
a jej kwadrat r´owny jest
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Dow´
od. Obje
,
to´s´c r´ownolegÃlo´scianu r´owna jest iloczynowi pola podstawy przez jego
wysoko´s´c. Niech podstawa
,
be
,
dzie r´ownolegÃlobok rozpie
,
ty przez wektory ~u i ~v . Pole
tego r´ownolegÃloboku to k~u × ~vk . Trzeba wie
,
c znale´z´c wysoko´s´c. Wektor ~u × ~v jest
prostopadÃly do ka˙zdego z wektor´ow ~u, ~v , wie
,
c wysoko´s´c jest odcinkien r´ownolegÃlym
do wektora ~u × ~v . Innymi sÃlowy nale˙zy zrzutowa´c prostopadle wektor ~
w na prosta
,
wyznaczona
,
przez wektor ~u × ~v . Ten rzut to wektor
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
2
~u × ~v . Jego dÃlugo´s´c,
czyli wysoko´s´c r´ownolegÃlo´scianu, to
¯
¯
¯
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
¯
¯
¯ . Wobec tego obje
,
to´s´c r´owna jest
k~u × ~vk ·
¯
¯
¯
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
¯
¯
¯ =
¯
¯~w · (~u × ~v)
¯
¯ ,
co mieli´smy udowodni´c. R´owno´s´c (~u × ~v) · ~
w =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
wykazujemy bez
trudu rozwijaja
,
c wyznacznik wzgle
,
dem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie
definicji iloczynu wektorowego). Wreszcie
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
·
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
v
1
w
1
u
2
v
2
w
2
u
3
v
3
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Wniosek 8.11 Trzy wektory ~u, ~v, ~
w ∈ R
3
, zaczepione w punkcie ~0 = (0, 0, 0) le˙za
,
w jednej pÃlaszczy´znie wtedy i tylko wtedy, gdy
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 ⇐⇒
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 .
Definicja 8.12 (tr´
ojki wektor´
ow dodatnio zorientowanej)
Trzy wektory ~u, ~v ~
w ∈ R
3
niele˙za
,
ce w jednej pÃlaszczy´znie tworza
,
ukÃlad dodatnio
zorientowany w przestrzeni tr´ojwymiarowej wtedy i tylko wtedy, gdy
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
> 0 .
Z definicji wynika natychmiast, ˙ze je´sli tr´ojka (~u, ~v, ~
w) jest ukÃladem dodatnio
zorientowanym, to tr´ojka (~v, ~u, ~
w) ukÃladem dodatnio zorientowanym nie jest —
29
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
zmiana kolejno´sci wierszy powoduje zmiane
,
znaku wyznacznika.
Mo˙zna i nale˙zy sobie wyobra˙za´c, ˙ze ukÃlad trzech wzajemnie prostopadÃlych wek-
tor´ow jest dodatnio zorientowany, gdy mo˙zna ten ukÃlad obr´oci´c (kilka razy) wok´oÃl
prostych przechodza
,
cych przez ~0 tak, by po obrotach wektor ~u
0
byÃl zgodnie r´ow-
nolegÃly (czyli r´ownolegÃly i skierowany w te
,
sama
,
strone
,
) do wektora ~i = (1, 0, 0) ,
wektor ~v
0
— do wektora ~j = (0, 1, 0) i wektor ~
w
0
— do wektora ~k = (0, 0, 1) .
Temu stwierdzeniu mo˙zna nada´c bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy je udowodni´c.
Mo˙zna zreszta
,
to stwierdzenie uog´olni´c na tr´ojki wektor´ow niekoniecznie wzajem-
nie prostopadÃlych. Warto w tym miejscu doda´c, ˙ze iloczyn wektorowy wektor´ow
~u, ~v ∈ R
3
mo˙ze by´c zdefiniowany geometrycznie jako wektor, kt´ory
jest prostopadÃly do obu wektor´ow ~u, ~v ,
ma dÃlugo´s´c r´owna
,
polu r´ownolegÃloboku rozpie
,
tego przez te wektory,
i taki, ˙ze tr´ojka ~u, ~v, ~u × ~v jest dodatnio zorientowana.
W matematyce od wielu lat jednym z kluczowych poje
,
´c jest poje
,
cie funkcji.
ZaÃl´o˙zmy, ˙ze dana jest funkcja przeksztaÃlcaja
,
ca pÃlaszczyzne
,
R
2
lub przestrze´
n R
3
w
siebie i to taka, ˙ze odlegÃlo´s´c kx
0
− y
0
k obraz´ow x
0
, y
0
punkt´ow x, y jest r´owna
odlego´sci kx − yk punkt´ow x, y . ZaÃl´o˙zmy dodatkowo, ˙ze punkt 0 jest przek-
sztaÃlcany na siebie (nie rusza sie
,
, czyli 0
0
= 0 ). Wyka˙zemy, ˙ze w tej sytuacji istnieje
taka macierz kwadratowa A , ˙ze dla ka˙zdego x ∈ R
n
, n = 2, 3
♠
zachodzi r´owno´s´c
x
0
= A · x (tu wektory sa
,
traktowane jako macierze o jednej kolumnie i n wier-
szach). Wyka˙zemy, ˙ze wtedy A jest taka
,
macierza
,
, ˙ze A · A
T
= I i odwrotnie: je´sli
A · A
T
= I , to kAx − Ayk = kx − yk dla dowolnych x, y ∈ R
n
.* Przejdziemy do
dowodu.
Mamy kx
0
k
2
= kx
0
−0k
2
= kx
0
−0
0
k
2
= kx−0k
2
= kxk
2
dla dowolnego x ∈ R
n
,
w tym ky
0
k
2
= kyk
2
. Mamy te˙z kx − yk
2
= (x − y) · (x − y) = x · x − 2x · y + y · y =
=kxk
2
− 2x · y + kyk
2
i analogicznie kx
0
− y
0
k
2
= kx
0
k
2
− 2x
0
· y
0
+ ky
0
k
2
, a poniewa˙z
kx
0
− y
0
k = kx − yk , wie
,
c dla dowolnych x, y zachodzi r´owno´s´c x · y = x
0
· y
0
.
Mamy wie
,
c
k(x + y)
0
− (x
0
+ y
0
)k
2
= k(x + y)
0
k
2
− 2(x + y)
0
· (x
0
+ y
0
) + (x
0
+ y
0
) · (x
0
+ y
0
) =
= k(x + y)k
2
− 2(x + y)
0
· x
0
− 2(x + y)
0
· y
0
+ x
0
· x
0
+ 2x
0
· y
0
+ y
0
· y
0
=
= k(x + y)k
2
− 2(x + y) · x − 2(x + y) · y + x · x + 2x · y + y · y =
= k(x + y)k
2
− 2(x + y) · (x + y) + (x + y) · (x + y) =
=
¡
(x + y) − (x + y)
¢
·
¡
(x + y) − (x + y)
¢
= 0 .
♠
n mo˙ze by´
c dowolne; m´
owimy o 2 i 3, by w razie potrzeby Ãlatwiej mo˙zna byÃlo sobie co´s narysowa´
c.
*
Tzn. ˙ze przyporza,dkowanie punktowi x punktu x
0
=Ax jest izometria,.
30
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Sta
,
d wynika, ˙ze (x + y)
0
= x
0
+ y
0
dla dowolnych x, y . Analogicznie dowodzimy, ˙ze
(tx)
0
= tx
0
dla dowolnej liczby t i dowolnego punktu x . Niech ~e
j
oznacza wektor,
kt´orego wszystkie wsp´oÃlrze
,
dne sa
,
r´owne 0 z wyja
,
tkiem j –tej, kt´ora jest r´owna 1 .
Niech a
i,j
oznacza i –ta
,
wsp´oÃlrze
,
dna
,
wektora ~e
0
j
. W kolumnach macierzy (a
i,j
)
znajduja
,
sie
,
wektory ~e
0
1
, ~e
0
2
, . . . Mamy ~x = x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
+ · · · + x
n
~e
n
. Wobec tego
~x
0
=
¡
x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
+ · · · + x
n
~e
n
¢
0
= x
1
~e
0
1
+ x
2
~e
0
2
+ · · · + x
n
~e
0
n
= A~x .
Mamy r´ownie˙z ~e
0
j
· ~e
0
j
= ~e
j
· ~e
j
= 1 oraz ~e
0
i
· ~e
0
j
= ~e
i
· ~e
j
= 0 dla i 6= j . Te r´owno´sci
oznaczaja
,
, ˙ze A · A
T
= I . Udowodnili´smy wie
,
c obiecane twierdzenie.
Dla przykÃladu opiszemy macierz obrotu o ka
,
t α wok´oÃl punktu 0 = (0, 0) .
Z definicji funkcji sinus i kosinus wynika, ˙ze w wyniku obrotu punkt (1, 0) przechodzi
na punkt (cos α, sin α) , a punkt (0, 1) przechodzi na punkt
¡
cos(α+
π
2
), sin(α+
π
2
)
¢
=
=
¡
−sin α, cos α
¢
. Wynika sta
,
d, ˙ze w obrocie o ka
,
t α wok´oÃl punktu 0 = (0, 0) punkt
¡
x
y
¢
przechodzi na punkt
µ
x
0
y
0
¶
=
µ
cos α
− sin α
sin α
cos α
¶µ
x
y
¶
=
µ
x cos α − y sin α
x sin α + y cos α
¶
.
Teraz znajdziemy analityczny opis symetrii wzgle
,
dem prostej y = 2x . Niech
(u, v) oznacza punkt symetryczny do punktu (1, 0) wzgle
,
dem prostej y = 2x . ´
Srodek
odcinka o ko´
ncach (1, 0) i (u, v) , czyli punkt
¡
u+1
2
,
v+0
2
¢
le˙zy na prostej y = 2x ,
zatem
v+0
2
= 2 ·
u+1
2
, czyli v = 2u + 2 . Wektor (u − 1, v − 0) jest prostopadÃly do
wektora (1 − 0, 2 − 0) , zatem 0 = (u − 1, v) · (1, 2) = u − 1 + 2v . Musza
,
wie
,
c by´c
speÃlnione r´ownania:
n
2u − v = −2,
u + 2v = 1.
Sta
,
d u = −
3
5
= −0,6 i v =
4
5
= 0,8 . Analogicznie, je´sli obrazem punktu (0, 1) w tej
symetrii jest punkt (r, s) , to 2 ·
r+0
2
=
s+1
2
oraz 0 = (r − 0, s − 1) · (1, 2) , zatem
n
2r − s = 1,
r + 2s = 2.
Wynika sta
,
d, ˙ze r =
4
5
= 0, 8 i s =
3
5
= 0,6 . Sta
,
d wnioskujemy, ˙ze obrazem punktu
¡
x
y
¢
w symetrii wzgle
,
dem prostej y = 2x jest punkt
µ
x
0
y
0
¶
=
µ
−0,6
0,8
0,8 0, 6
¶µ
x
y
¶
=
µ
−0,6x + 0,8y
0,8x + 0,6y
¶
.
31
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Wida´c, ˙ze stosunkowo tanim kosztem uzyskujemy wzory na obrazy punktu w przek-
sztaÃlceniach izometrycznych.
Oczywi´scie nie dla ka˙zdej macierzy przeksztaÃlcenie, kt´ore punktowi x przypisuje
punkt x
0
= Ax jest izometria
,
, na og´oÃl nie jest. Tym nie mniej takie przeksztaÃlcenia
z wielu przyczyn sa
,
bardzo interesuja
,
ce. Nazywane sa
,
liniowymi.* Om´owimy jeszcze
jeden przykÃlad. Zanim jednak to nasta
,
pi wprowadzimy definicje
,
bardzo wa˙znego
poje
,
cia.
Definicja 8.13 (warto´sci wÃlasnej i wektora wÃlasnego macierzy)
Liczbe
,
λ nazywamy warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy kwadratowej A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje wektor ~v 6= ~0 taki, ˙ze A~v = λ~v . W takiej sytuacji m´owimy, ˙ze ~v jest
wektorem wÃlasnym macierzy A .
Wektor zerowy te˙z czasem be
,
dziemy nazywa´c wektorem wÃlasnym odpowiadaja
,
-
cym warto´sci wÃlasnej. To uÃlatwia w niekt´orych momentach wypowiadanie twierdze´
n,
cho´c w innych mo˙ze prowadzi´c do nieporozumie´
n.
Poniewa˙z I~v = ~v dla ka˙zdego wektora ~v , wie
,
c liczba 1 jest warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy I . Innych warto´sci wÃlasnych ta macierz nie ma.
Jedyna
,
warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy zerowej O (wszystkie jej wyrazy sa
,
r´owne 0 )
jest liczba 0 , bo O~v = ~0 = 0 · ~v dla ka˙zdego wektora ~v .
Niech A =
1 0
0
0 2
0
0 0
√
5
. Warto´sciami wÃlasnymi macierzy A sa
,
liczby 1, 2,
√
5 ,
bowiem
1 0
0
0 2
0
0 0
√
5
·
1
0
0
=
1
0
0
,
1 0
0
0 2
0
0 0
√
5
·
0
1
0
=
0
2
0
= 2 ·
0
1
0
i
1 0
0
0 2
0
0 0
√
5
·
0
0
1
=
0
0
√
5
=
√
5 ·
0
0
1
.
Innych warto´sci wÃlasnych ta macierz nie ma, bo je´sli
1 0
0
0 2
0
0 0
√
5
·
x
y
z
= λ
x
y
z
,
to zachodza
,
r´owno´sci x = λx , 2y = λy i z
√
5 = λz . Szukamy niezerowego wektora
o wsp´oÃlrze
,
dnych x, y, z . Je´sli x 6= 0 , to λ = 1 i y = z = 0 . Je´sli y 6= 0 , to λ = 2
i wtedy x = z = 0 . Wreszcie je´sli z 6= 0 , to λ =
√
5 i x = y = 0 .
*
O przeksztaÃlceniach linowych jeszcze co´s opowiemy. Te, o kt´
orych teraz m´
owimy to tylko przykÃlad,
poje,cie jest istotnie szersze!
32
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Niech A =
2 1 0
0 2 1
0 0 2
. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze A~v = λ~v dla pewnej liczby λ i pewnego
wektora ~v 6= ~0 . Niech ~v =
x
y
z
. Mamy A~v =
2 1 0
0 2 1
0 0 2
x
y
z
=
2x + y
2y + z
2z
.
Musi wie
,
c by´c speÃlniony ukÃlad r´owna´
n
(
λx = 2x + y
λy = 2y + z
λz = 2z
,
zatem y = (λ − 2)x , z = (λ − 2)y i z(λ − 2) = 0 . Je´sli λ − 2 6= 0 , to z = 0
(z ostatniego r´ownania), zatem y = 0 (z drugiego r´ownania) i wobec tego x = 0
(z pierwszego r´ownania). Wobec tego jedynym kandydatem na warto´s´c wÃlasna
,
jest 2 .
Wtedy musi by´c z = 0 = y , natomiast x mo˙ze by´c dowolna
,
liczba
,
rzeczywista
,
.
Wobec tego jedyna
,
warto´scia
,
wÃlasna
,
tej macierzy jest liczba 2 , wektory wÃlasne jej
odpowiadaja
,
ce to wektory postaci
x
0
0
.
Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli λ jest warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy A wymiaru n , to jed-
norodny* ukÃlad r´owna´
n liniowych, kt´orego macierza
,
jest A − λI ma opr´ocz zerowego
rozwia
,
zanie niezerowe (wektor wÃlasny). Skoro tak, to musi by´c det(A − λI) = 0 .
Niech p(λ) = det(A−λI) . Z definicji wyznacznika dosy´c Ãlatwo mo˙zna wywnioskowa´c,
˙ze p jest wielomianem n –tego stopnia zmiennej λ . Wynika sta
,
d, ˙ze liczba warto´sci
wÃlasnych macierzy A wymiaru n nie przekracza liczby n . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze
je´sli liczba λ
0
jest pierwiastkiem wielomianu p , to jest warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy
A , bo wtedy ukÃlad r´owna´
n
(a
1,1
− λ)x
1
+ a
1,2
x
2
+ a
1,3
x
3
+ · · · + a
1,n
x
n
= 0
a
2,1
x
1
+ (a
2,2
− λ)x
2
+ a
2,3
x
3
+ · · · + a
2,n
x
n
= 0
a
3,1
x
1
+ a
3,2
x
2
+ (a
3,3
− λ)x
3
+ · · · + a
3,n
x
n
= 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n,1
x
1
+ a
n,2
x
2
+ a
n,3
x
3
+ · · · + (a
n,n
− λ)x
n
= 0
ma niezerowe rozwia
,
zanie, ma ich zreszta
,
niesko´
nczenie wiele.
*
prawe strony wszystkich r´
owna´
n sa, r´owne 0 .
33
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Definicja 8.14 (wielomianu charakterystycznego macierzy)
Wielomian det(A−λI) zmiennej λ nazywany jest wielomianem charakterystycznym
macierzy A .
Z rozwa˙za´
n poprzedzaja
,
cych definicje
,
wielomianu charakterystycznego wynika,
˙ze prawdziwe jest
Twierdzenie 8.15 (o warto´sciach wÃlasnych i wielomianie
charakterystycznym)
λ jest warto´scia
,
wÃlasna
,
macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy p(λ) = 0 , gdzie p
jest wielomianem charakterystycznym macierzy A (warto´sci wÃlasne to pierwiastki
wielomianu charakterystycznego).
A teraz pora na obiecany przykÃlad. Om´owimy teraz pewien problem pochodza
,
cy
z trzynastego wieku. W re
,
kopisie z 1202 r Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim,
znajduje sie
,
naste
,
puja
,
ce zadanie: Ile par kr´olik´ow mo˙ze by´c spÃlodzonych przez pare
,
pÃlodnych kr´olik´ow i jej potomstwo w cia
,
gu roku, je´sli ka˙zda para daje w cia
,
gu
miesia
,
ca ˙zywot jednej parze, para staje sie
,
pÃlodna po miesia
,
cu, kr´oliki nie zdychaja
,
w cia
,
gu tego roku. Jasne jest, ˙ze po miesia
,
cu mamy ju˙z dwie pary przy czym jedna
z nich jest pÃlodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dw´och miesia
,
cach ˙zyja
,
ju˙z trzy
pary kr´olik´ow: dwie pÃlodne, jedna jeszcze nie. Po trzech miesia
,
cach ˙zyje ju˙z pie
,
´c par
kr´olik´ow: trzy pÃlodne, dwie jeszcze nie. Po czterech miesia
,
cach jest ju˙z 8 = 5+3 par
kr´olik´ow. Kontynuuja
,
c to poste
,
powanie stwierdzamy po niezbyt dÃlugim czasie, ˙ze po
roku ˙zyje ju˙z 377 = 233 + 144 par kr´olik´ow. Naturalnym problemem jest: znale´z´c
wz´or na liczbe
,
a
n
, je´sli a
0
= 1 , a
1
= 2 i a
n
= a
n−1
+ a
n−2
dla n = 2, 3, 4, . . . .
Na problem mo˙zna spojrze´c tak: maja
,
c dane liczby a
1
, a
2
znajdujemy naste
,
pna
,
pare
,
a
2
, a
3
. M´owimy o parach, bo jedna liczba nie wystarcza do znalezienia naste
,
p-
nej, trzeba zna´c dwie kolejne liczby. Pare
,
liczb mo˙zemy potraktowa´c jako punkt
pÃlaszczyzny. Maja
,
c wie
,
c punkt (a
1
, a
2
) znajdujemy punkt (a
2
, a
3
) = (a
2
, a
1
+ a
2
) ,
potem znajdujemy punkt (a
3
, a
4
) = (a
3
, a
2
+ a
3
) itd. Mamy wie
,
c przeksztaÃlcenie na
pÃlaszczy´znie, kt´ore punktowi
¡
x
y
¢
przypisuje punkt
µ
y
x + y
¶
=
µ
0 1
1 1
¶µ
x
y
¶
.
Chodzi o znalezienie wzoru na a
n
, czyli o znalezienie
µ
a
n
a
n+1
¶
=
µ
0 1
1 1
¶
·
µ
0 1
1 1
¶
· . . . ·
µ
0 1
1 1
¶
·
µ
1
1
¶
,
34
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
przy czym w powy˙zszym iloczynie macierz kwadratowa wyste
,
puje n − 1 razy. For-
malnie rzecz biora
,
c mo˙zna odpowiedzie´c
µ
a
n
a
n+1
¶
=
µ
0 1
1 1
¶
n−1
·
µ
1
1
¶
,
tylko ˙ze tego rodzaju odpowied´z mo˙ze by´c Ãlatwo uznana za wymijaja
,
ca
,
. Przecie˙z
nie chodzi o przeformuÃlowanie problemu, lecz o jego rozwia
,
zanie. Oznacza to, ˙ze we
wzorze powinny wysta
,
pi´c znane funkcje, a nie nowe oznaczenia.
Zaczniemy od znalezienia warto´sci i wektor´ow wÃlasnych macierzy
µ
0 1
1 1
¶
. Trze-
ba rozwia
,
za´c r´ownanie kwadratowe
0 =
¯
¯
¯
¯
0 − λ
1
1
1 − λ
¯
¯
¯
¯ = −λ(1 − λ) − 1 = λ
2
− λ − 1 =
³
λ −
1
2
´
2
−
³
√
5
2
´
2
.
R´ownanie to ma dwa pierwiastki: λ
1
=
1+
√
5
2
oraz λ
2
=
1−
√
5
2
. Odpowiadaja
,
im
wektory wÃlasne, np. ~v
1
= (1, λ
1
) i ~v
2
= (1, λ
2
) , mo˙zna ka˙zdy z nich pomno˙zy´c
przez dowolna
,
liczbe
,
r´o˙zna
,
od 0 . Zauwa˙zmy, ˙ze
µ
0 1
1 1
¶
· ~v
1
= λ
1
~v
1
, zatem
µ
0 1
1 1
¶
2
~v
1
=
µ
0 1
1 1
¶ · µ
0 1
1 1
¶
~v
1
¸
=
µ
0 1
1 1
¶
(λ
1
~v
1
) = λ
1
µ
0 1
1 1
¶
~v
1
= λ
2
1
~v
1
.
Sta
,
d, powtarzaja
,
c ten rachunek wielokrotnie otrzymujemy
µ
0 1
1 1
¶
n−1
~v
1
= λ
n−1
1
~v
1
i analogicznie
µ
0 1
1 1
¶
n−1
~v
2
= λ
n−1
2
~v
2
.
Mo˙zna zapyta´c, co z tego wynika, znale´zli´smy jakie´s wzory, ale nie te, o kt´ore chodzi.
Poprawimy sie
,
nieco. Znajdziemy liczby b, c takie, ˙ze (1, 1) = b~v
1
+ c~v
2
.* Ma wie
,
c
by´c speÃlniona r´owno´s´c:
µ
1
1
¶
=
µ
1
1
λ
1
λ
2
¶ µ
b
c
¶
,
czyli
¡
b
c
¢
=
µ
1
1
λ
1
λ
2
¶
−1
¡
1
1
¢
=
1
λ
2
− λ
1
µ
λ
2
−1
−λ
1
1
¶ µ
1
1
¶
=
1
λ
2
− λ
1
µ
λ
2
− 1
1 − λ
1
¶
=
=
1
λ
2
− λ
1
µ
−λ
1
λ
2
¶
— skorzystali´smy z tego, ˙ze λ
1
+ λ
2
= 1 (wz´or Vi`ete’a). Mamy wobec tego
*
M´
owia,c uczenie: znajdziemy wsp´oÃlrze,dne wektora (1,1) w ukÃladzie wsp´oÃlrze,dnych, w kt´orym role,
wektor´
ow jednostkowych osi peÃlnia, wektory ~v
1
i ~
v
2
35
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
µ
a
n
a
n+1
¶
=
µ
0 1
1 1
¶
n−1
µ
1
1
¶
=
µ
0 1
1 1
¶
n−1
µ
−λ
1
λ
2
− λ
1
~v
1
+
λ
2
λ
2
− λ
1
~v
2
¶
=
=
−λ
1
λ
2
− λ
1
µ
0 1
1 1
¶
n−1
·~v
1
+
λ
2
λ
2
− λ
1
µ
0 1
1 1
¶
n−1
·~v
2
=
−λ
n
1
λ
2
− λ
1
·~v
1
+
λ
n
2
λ
2
− λ
1
·~v
2
.
Mamy oczywi´scie λ
2
− λ
1
= −
√
5 . Wobec tego
a
n
=
1
√
5
µµ
1 +
√
5
2
¶
n
−
µ
1 −
√
5
2
¶
n
¶
.
Uzyskany wz´or nazywany jest wzorem Bineta (1786–1856). Autor tego tekstu nie
wierzy jednak, ˙ze np. Leonhard Euler (1707 – 1783) nie znaÃl tego wzoru, bo z pew-
no´scia
,
umiaÃl go wyprowadzi´c. To jednak nie jest istotne. Wa˙zne jest to, ˙ze musiaÃlo
upÃlyna
,
´c musiaÃlo kilkaset lat zanim znaleziono wz´or. Jasne jest, ˙ze w zasadzie nie jest
mo˙zliwe odgadnie
,
cie takiego wzoru bez jakiego´s pomysÃlu np. ,,szukamy w postaci
sumy cia
,
g´ow geometrycznych”. Pamie
,
ta´c te˙z nale˙zy, ˙ze pierwszy czÃlowiek, kt´ory go
znalazÃl nie wiedziaÃl przecie˙z, co znajdzie! Dodajmy jeszcze, ˙ze cia
,
g Fibonacciego
pojawia sie
,
w wielu miejscach w matematyce z zadziwiaja
,
ca
,
konsekwencja
,
, ale nie
ma tu miejsca, by o tym m´owi´c.
36
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Zadania
8. 01 Wykaza´c, ˙ze przez ka˙zde trzy punkty pÃlaszczyzny, z kt´orych ˙zadne dwa nie
le˙za
,
na jednej prostej pionowej przechodzi wykres dokÃladnie jednego wielomianu
stopnia 2 lub mniejszego.
8. 02 Wykaza´c, ˙ze przez ka˙zde cztery punkty pÃlaszczyzny, z kt´orych ˙zadne dwa nie
le˙za
,
na jednej prostej pionowej przechodzi wykres dokÃladnie jednego wielomianu
stopnia nie wie
,
kszego ni˙z 3. Uog´olni´c to twierdzenie i spr´obowa´c je udowodni´c.
8. 03 Obliczy´c wyznaczniki naste
,
puja
,
cych macierzy:
µ
1 2
0 3
¶
,
µ
1 −2
2
1
¶
,
µ
13 8
8
5
¶
,
µ
0 2
1 3
¶
.
8. 04 Obliczy´c wyznaczniki naste
,
puja
,
cych macierzy:
1 2 3
0 2 3
0 0 3
,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,
1
1 1
−1
0 1
−1 −1 0
,
1 0 −2
0 1
0
2 0
1
,
e
t
te
t
t
2
e
t
e
t
(1 + t)e
t
(2t + t
2
)e
t
e
t
(2 + t)e
t
(2 + 4t + t
2
)e
t
,
cos ϕ cos θ
−r cos ϕ sin θ
−r sin ϕ cos θ
cos ϕ sin θ
r cos ϕ cos θ
−r sin ϕ sin θ
sin ϕ
0
r cos ϕ
.
8. 05 Znale´z´c iloczyn AB macierzy, je´sli
1
◦
A =
µ
2 1
0 2
¶
,
B =
µ
2 0
1 2
¶
2
◦
A =
µ
0 2
0 0
¶
,
B =
µ
0 5
0 0
¶
3
◦
A =
µ
2 0
1 2
¶
,
B =
µ
2 1
0 2
¶
4
◦
A =
µ
0 2
0 0
¶
,
B =
µ
0 0
5 0
¶
5
◦
A =
µ
3 1
0 3
¶
,
B =
µ
3 1
0 3
¶
6
◦
A =
µ
9 6
0 9
¶
,
B =
µ
3 1
0 3
¶
7
◦
A =
µ
27 27
0
27
¶
, B =
µ
3 1
0 3
¶
8
◦
A =
µ
27 108
0
27
¶
, B =
µ
3 1
0 3
¶
8. 06 Znale´z´c iloczyn AB macierzy, je´sli
1
◦
A =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
,
B =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
;
2
◦
A =
9 6 1
0 9 6
0 0 9
,
B =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
;
3
◦
A =
27 27
9
0
27 27
0
0
27
,
B =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
;
4
◦
A =
81 108
54
0
81
108
0
0
81
, B =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
;
37
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
5
◦
A =
µ
1
t
0 1
¶
, B =
µ
1 s
0 1
¶
;
6
◦
A =
µ
1 0
t
1
¶
, B =
µ
1 0
s 1
¶
;
7
◦
A =
µ
cos α
− sin α
sin α
cos α
¶
,
B =
µ
cos β
− sin β
sin β
cos β
¶
;
8
◦
A =
µ
e
t
cos α
−e
t
sin α
e
t
sin α
e
t
cos α
¶
,
B =
µ
e
2t
cos β
−e
2t
sin β
e
2t
sin β
e
2t
cos β
¶
.
8. 07 Znale´z´c macierz odwrotna
,
M
−1
do macierzy M , je´sli M =
1
◦
µ
cos α
− sin α
sin α
cos α
¶
,
2
◦
µ
1
t
0 1
¶
,
3
◦
µ
1
t
s 1
¶
,
4
◦
µ
4
t
s 3
¶
.
8. 08 Znale´z´c macierz odwrotna
,
M
−1
do macierzy M , je´sli M =
1
◦
1
1 1
1 −1 1
1
2 4
, 2
◦
1
2 3
−1 −1 1
5 −4 1
, 3
◦
-1
1
0
0
-1
1
0
0
-1
, 4
◦
4 0 -3
0 2
0
3 0
4
.
8. 09 Rozwia
,
za´c ukÃlady r´owna´
n:
( 2x − y − z = 4
3x + 4y − 2z = 11
3x − 2y + 4z = 11
,
( x + y + 2z = −1
2x − y + 2z = −4
4x + y + 4z = −2
,
( 3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 11
,
( x + 2y + 4z = 31
5x + y + 2z = 29
3x − y + z = 10
,
w + x + 2y + 3z =
1
3w − x − y − 2z = −4
2w + 3x − y − z = −6
w + 2x + 3y − z = −4
,
w + 2x + 3y − 2z =
6
2w − x − 2y − 3z =
8
3w + 2x − y + 2z =
4
2w − 3x + 2y + z = −8
,
w + 2x + 3y + 4z =
5
2w + x + 2y + 3z =
1
3w + 2x + y + 2z =
1
4w + 3x + 2y + z = −5
.
Nale˙zy popracowa´c z macierza
,
ukÃladu i sprowadzi´c ja
,
za pomoca
,
operacji elemen-
tarnych na wierszach do prostszej postaci. Warto te˙z zastosowa´c druga
,
metode
,
:
napisa´c ukÃlad w postaci macierzowej Ax = b , znale´z´c macierz odwrotna
,
A
−1
i obliczy´c x = A
−1
b , je´sli macierz A jest odwracalna.
8. 10 Niech A =
µ
3
5
−
4
5
4
5
3
5
¶
. Niech ~x
0
= A~x dla dowolnego wektora ~x ∈ R
2
,
~x =
¡
x
1
x
2
¢
teraz zapisujemy wektory jako macierze, kt´ore maja
,
jedna
,
kolumne
,
.
Udowodni´c, ˙ze je´sli ~x, ~y ∈ R
2
, to k~x
0
− ~y
0
k = k~x − ~yk .
8. 11 Niech A =
µ
12 −5
5
12
¶
. Niech ~x
0
= A~x dla dowolnego wektora ~x ∈ R
2
.
38
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej pary wektor´ow ~x, ~y ∈ R
2
speÃlniona jest naste
,
puja
,
ca
r´owno´s´c k~x
0
− ~y
0
k = 13k~x − ~yk .
8. 12 Niech f (x) =
ax+b
cx+d
, g(x) =
αx+β
γx+δ
i niech M
1
=
µ
a b
c d
¶
, M
2
=
µ
α β
γ
δ
¶
,
M = M
1
· M
2
. Wykaza´c, ˙ze je´sli M =
µ
p q
r s
¶
, to f (g(x)) =
px+q
rx+s
.
8. 13 Udowodni´c, ˙ze je´sli izometria przestrzeni R
3
zachowuje 0 , tzn. 0
0
= 0 , to
istnieje wektor ~x taki, ˙ze ~x
0
= ~x lub ~x
0
= −~x . Oznacza to, ˙ze istnieje prosta
przechodza
,
ca przez punkt 0 , kt´ora
,
izometria przeksztaÃlca na siebie: albo punkty
tej prostej nie zmieniaja
,
swego poÃlo˙zenia, albo przechodza
,
na symetryczne wz-
gle
,
dem punktu 0 . Czy twierdzenie jest prawdziwe dla izometrii IR
2
?
8. 14 Znale´z´c warto´sci i wektory wÃlasne macierzy A , je´sli A =
1
◦
µ
0 1
1 2
¶
;
3
◦
µ
21 13
13
8
¶
;
5
◦
µ
1 −2
5
3
¶
;
7
◦
5 0 3
0 1 0
3 0 2
;
9
◦
−7
−6
−2
30
24
8
−45 −33 −10
;
11
◦
−8
−3
−6
−3
2
−2
15
5
11
;
2
◦
µ
0 2
1 1
¶
;
4
◦
µ
−1
1
−1 −3
¶
;
6
◦
µ
2 −1
4 −2
¶
;
8
◦
1 0 0
0 3 2
0 2 1
;
10
◦
2
6
4
−3 −20 −14
6
35
24
;
12
◦
−27 −2 45
−36 −6 60
−21 −2 35
.
8. 15 Niech ϕ ∈ R , ~
w ∈ R
3
. Definiujemy
F (~x) = cos ϕ
¡
~x −
~
w·~
x
~
w· ~
w
~
w
¢
+
sin ϕ
k~
wk
¡
~
w × ~x
¢
+ +
~
w·~
x
~
w· ~
w
~
w
dla dowolnego ~x ∈ R
3
.
Wykaza´c, ˙ze F jest izometria
,
, tzn. ˙ze kF (~x
1
) − F (~x
2
)k = k~x
1
− ~x
2
k dla
dowolnych ~x
1
, ~x
2
∈ R
3
. Znale´z´c F (~
w) .
Znale´z´c macierz tej izometrii dla ~
w = (0, 0, 1) , dla ~
w = (1, 0, 0) oraz dla ~
w =
=(1, 1, 1) i obliczy´c warto´sci wÃlasne znalezionych macierzy.
8. 16 Narysowa´c obraz kwadratu o wierzchoÃlkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) w prze-
ksztaÃlceniu liniowym zdefiniowanym za pomoca
,
macierzy A , je´sli A =
39
Macierze i wyznaczniki
MichaÃl Krych
µ
1 1
0 1
¶
,
µ
1 0
1 1
¶
,
µ
1 2
0 1
¶
,
µ
1 −1
0
1
¶
,
µ
1
2
0
0
2
¶
,
µ
2 0
0 3
¶
,
µ
1 −1
1
1
¶
.
8. 17 Wykaza´c, ˙ze macierze A i C
−1
· A · C maja
,
ten sam wielomian charakterysty-
czny, zakÃladamy oczywi´scie, ˙ze det(C) 6= 0 .
8. 18 Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej macierzy A wymiaru m × n i dowolnego wektora (pi-
onowego) ~x ∈ R
n
i dowolnego wektora (pionowego) ~y ∈ R
m
zachodzi r´owno´s´c
¡
A~x
¢
· ~y = ~x ·
¡
A
T
~y
¢
8. 19 Wykaza´c, ˙ze je´sli macierz rzeczywista A jest symetryczna, czyli A = A
T
, to jej
warto´sci wÃlasne sa
,
liczbami rzeczywistymi.
8. 20 Wykaza´c, ˙ze je´sli macierz rzeczywista A jest symetryczna, czyli A = A
T
, to
wektory wÃlasne odpowiadaja
,
ce r´o˙znym warto´sciom wÃlasnym sa
,
prostopadÃle.
40
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
ch11 12 wiele zm
ch11 12 pochodne
ch11 12 rr zm rozdz
ch11 12 zesp
ch11 12 geoman2
ch11 12 szeregi pot
ch11 12 rr uzm sta I rz
ch11 12 calki II
ch11 12 rr uklady
Ch11 1 12 Hydro ElectricPowerPlants
W 12 macierz odwrotna , Matematyka
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
ch11 12 wiele zm
więcej podobnych podstron