Matematyka Dyskretna
Andrzej Szepietowski
25 czerwca 2002 roku
Rozdział 1
Oznaczenia
W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia.
oznacza kwantyfikator ogólny "dla ka˙zdego".
oznacza kwantyfikator szczegółowy
"istnieje".
1.1
Sumy
Maj¸ac dany sko ´nczony ci¸ag
,
,...
, sum¸e jego elementów zapisujemy jako
Niezbyt formalnie mo˙zemy to zapisa´c
Jako przykład zastosujmy symbol sumy do zapisu wzoru na sum˛e ci¸agu arytmetycznego).
!
"
#
(1.1)
oraz wzoru na sum˛e ci¸agu geometrycznego).
%$'&
(
&
&
)*
&
&
,+ .-
&
-
0/
(1.2)
(wzór (1.2) jest słuszny dla ka˙zdego
&21
3
)
B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu typu
54
476
98:9;.9<:=6
3
4
Rozdział 1. Oznaczenia
W tym przypadku zbiór indeksów okre´slony jest za pomoc¸a warunku pod znakiem sumy.
Warunek okre´slaj¸acy indeksy, po których nale˙zy sumowa´c mo˙ze by´c bardziej skompliko-
wany, na przykład
=
;
6
Stosowa´c b¸edziemy tak˙ze zapis
oznaczaj¸acy sum¸e tych elementów
, których indeksy nale˙z¸a do sko ´nczonego zbioru
indeksów
. Na przykład, je˙zeli
///
, to
8:<
Mo˙zemy te˙z sumowa´c ci ˛
agi, których elementy zale˙z ˛
a od dwóch indeksów,
!"#
$ &%#
'
8
8
8
8
8
Za pomoc ˛
a podwójnej sumy mo˙zemy na przykład przedstawi ´c uogólnione prawo roz-
dzielno´sci mno˙zenia wzgl˛edem dodawania:
()
54
4+*
-,.
()
54
'
40/21
'
,.
3
&%4
1
'
(1.3)
a tak˙ze wzór na podnoszenie sumy do kwadratu:
()
4
40*
,.
4
40*
4
-5
'
4+*
'
(1.4)
1.2
Iloczyny
Aby zapisa´c iloczyn elementów ci¸agu
,
,...
, stosujemy zapis
6
Znów niezbyt formalnie mo˙zemy to zapisa´c jako
6
1.3. Zbiory
5
1.3
Zbiory
oznacza zbiór pusty, który nie zawiera ˙zadnych elementów.
oznacza zbiór liczb naturalnych
/
/
/
/
.
oznacza zbiór liczb całkowitych.
oznacza zbiór liczb wymiernych.
oznacza zbiór liczb rzeczywistych.
oznacza, ˙ze elment
nale˙zy do zbioru
,
, ˙ze elment
nie nale˙zy do
zbioru
. Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów
w nawiasach klamrowych. Na przykład zbiór
/
/
zawiera elementy 1,2,3. Inny spo-
sób definiowania zbioru polega na podaniu własno´sci, któr¸a spełniaj¸a elementy zbioru.
Na przykład
&
&
/
&
oznacza zbiór liczb naturalnych wi¸ekszych od 3 i
mniejszych od 7.
oznacza moc zbioru
, czyli liczb¸e jego elementów.
//
/
oznacza sum¸e zbiorów, czyli zbiór, który zawiera elementy, które nale˙z ˛
a do
lub
do
:
&
&
lub
&
A zatem suma
zawiera wszystkie elementy zbioru
i wszystkie elementy zbioru
.
oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy,
które nale˙z¸a do obu zbiorów naraz.
&
&
i
&
-
oznacza ró˙znic¸e zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które nale˙z¸a
do
i nie nale˙z¸a do
.
-
&
&
i
&
Przykład 1.1 Dla
/
/
i
/
/
mamy:
/
/
/
/
/
9/
-
!
oznacza, ˙ze zbior
zawiera si¸e w zbiorze
, to znaczy wszystkie elementy zbioru
nale˙z¸a do zbioru
.
/
/
/
Dwa zbiory s¸a równe je˙zeli zawieraj¸a te same elementy, lub inaczej
wtedy i tylko
wtedy gdy
!
i
"
.
/
/
/
/
/
/
Jak wida´c kolejno´s´c elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przykład
/
/
. Taki zbiór dwuelementowy nazywamy czasami par¸a nieuporz¸adkowan¸a.
W poni˙zszym lemacie zebrano podstawowe własno´sci operacji sumy i iloczynu zbio-
rów.
6
Rozdział 1. Oznaczenia
Lemat 1.2
(przemienno´s´c sumy).
(przemienno´s´c iloczynu).
#
#
(ł¸aczno´s´c sumy).
#
#
(ł¸aczno´s´c iloczynu).
#
(rozdzielno´s´c sumy wzgl¸edem iloczynu).
#
#
#
(rozdzielno´s´c iloczynu wzgl¸edem sumy).
,
,
,
,
1.4
Ró˙znica symetryczna zbiorów
oznacza ró˙znic¸e symetryczn¸a zbiorów, która zawiera elementy nale˙z¸ace tylko do
jednego z dwóch zbiorów:
-
#
-
#
Przykład 1.3
/
/
/
/
/
W poni˙zszym lemacie zebrano podstawowe własno´sci ró˙znicy symetrycznej zbiorów.
Lemat 1.4
(przemienno´s´c).
#
#
(ł¸aczno´s´c).
#
(rozdzielno´s´c wzgl¸edem iloczynu).
,
.
Je˙zeli
, to
.
Dowód:
Udowodnimy, tylko dwie to˙zsamo´sci, dowód pozostałych pozostawiamy czytelnikowi
jako ´cwiczenie.
Aby pokaza´c, ˙ze ró˙znica symetryczna jest ł ˛
aczna wystarczy zauwa˙zy ´c, ˙ze zbiór
#
lub
#
zawiera te elementy, które nale˙z¸a do nieparzystej liczby zbiorów,
czyli te, które nale˙z¸a tylko do
, plus te, które nale˙z¸a tylko do
, plus te, które nale˙z¸a
tylko do
, plus te, które nale˙z¸a do przekroju
.
Udowodnimy teraz ostatni ˛
a implikacj˛e. Je˙zeli
, to
#:
#
1.5. Iloczyn kartezja ´nski
7
Twierdzenie 1.5 Ró˙znica symetryczna
zbiorów:
/
zawiera elementy, które nale˙z¸a do nieparzystej liczby spo´sród zbiorów
,
/
/
/
.
Dowód przez indukcj¸e ze wzgl¸edu na
. Twierdzenie jest oczywiste dla
lub
. Załó˙zmy teraz, ˙ze jest ono prawdziwe dla
i rozpatrzmy:
/
/
+
/
#
/
+
Zbiór ten zawiera te elementy, które nale˙z¸a do
/
#
i nie nale˙z¸a do
/
+
,
oraz te, które nie nale˙z¸a do
"
/
#
i nale˙z¸a do
/
+
. W pierwszym przypad-
ku s¸a to elementy, które nie nale˙z¸a do
/
+
i na mocy zało˙zenia indukcyjnego nale˙z¸a
do jakiej´s nieparzystej liczby zbiorów spo´sród
/
/
/
. W drugim przypadku s¸a to
elementy, które nale˙z¸a do
/
+
, a tak˙ze do pewnej parzystej liczby zbiorów spo´sród
/
/
/
. Razem mamy wszystkie elementy nale˙z¸ace do nieparzystej liczby zbiorów
spo´sród
/
/
/
+
.
1.5
Iloczyn kartezja ´nski
Para uporz¸adkowana jest to dwuelementowy ci ˛
ag
&
/
#
. Mamy
&
/
#
/
#
wtedy i
tylko wtedy gdy
&
oraz
. Dopuszczalne jest tak˙ze
&
.
oznacza iloczyn kartezja´nski zbiorów
i
. Jest to zbiór wszystkich uporz¸adkowanych
par
/
1
#
, w których
i
1
. Inaczej
/
1
#
/
1
Przykład 1.6 Dla
//
i
/
mamy
/
#
/
/
#
/
/
#
/
/
#
/
/
#
/
/
#
Mo˙zna łatwo wykaza´c, ˙ze
1.6
Rodzina zbiorów
Czasami b˛edziemy mieli do czynienia ze zbiorem, którego elementami s ˛
a zbiory. Przez
#
lub
b˛edziemy oznacza´c zbiór wszystkich podzbiorów zbioru
.
Przykład 1.7 Dla
/
1
#
/
/
1
/
/
1
8
Rozdział 1. Oznaczenia
Zbiór zbiorów nazywamy czasami rodzin¸a zbiorów. Na przykład
/
/
8
/
;
jest rodzin¸a zawieraj¸ac¸a cztery zbiory
"
,
,
8
i
;
, s¸a to elementy zbioru
. Mo˙zemy
te˙z zapisa´c
.
Mo˙zemy sumowa´c zbiory z rodziny. Suma
zawiera te elementy, które nale˙z¸a do którego´s ze zbiorów
,
, ... ,
, czyli
&
4
47
&
Inaczej mo˙zemy to zapisa´c:
'
B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu
na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów
, których indeksy nale˙z¸a do zbioru
. Zacho-
dzi wtedy
&
&
Zbiór indeksów sumowania mo˙ze by´c okre´slony za pomoc¸a warunku.
5
-5
6
8
;
<
Mo˙zemy te˙z bra´c przekroje zbiorów z rodziny. Przekrój
zawiera te elementy, które nale˙z¸a do wszystkich zbiorów
,
, ... ,
, czyli
&
4
47
&
Inaczej mo˙zemy to zapisa´c:
'
1.7. Słowa
9
B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu
na oznaczenie przekroju wszystich zbiorów
, których indeksy nale˙z¸a do zbioru
. Za-
chodzi wtedy
&
&
Zbiór indeksów przekroju mo˙ze by´c okre´slony za pomoc¸a warunku.
57 "5
6
8
;
<
Przykład 1.8 We´zmy rodzin¸e zło˙zon¸a z trzech zbiorów
/
/
,
//
,
8
///
.
8
'
//
//
9/
8
Przykład 1.9 Niech
/
//
//
////
b¸edzie zbiorem indeksów. Dla ka˙z-
dego
okre´slamy zbór
'
&
&
. Mamy:
/
//
//
////
/
9/
5
-5
/
/
/
//
/
5
-5
/
1.7
Słowa
Słowa s ˛
a to ci ˛
agi liter lub symboli z jakiego´s sko´nczonego zbioru
. Zbiór
nazywamy
wtedy alfabetem. Zbiór wszystkich słów nad alfabetem
oznaczamy przez
W´sród słów wyró˙zniamy słowo puste
, które nie zawiera ˙zadnych liter.
Przykład 1.10 Na przykład, je˙zeli
/
1
, to
zawiera słowo puste
, dwa słowa
jednoliterowe
i
1
, cztery słowa dwuliterowe
,
1
,
1
i
1
1
, osiem słów trzyliterowych
,
9
1
,
1
i
1
1
,
1
9
,
1
1
,
1
1
i
1
1
1
, i tak dalej.
Długo´s´c słowa
jest to liczba jego liter, b˛edziemy j ˛
a oznacza´c przez
. Dłu-
go´s´c słowa pustego
. Zbiór wszystkich słów długo´sci
nad alfabetem
oznacza-
my przez
/
Dla słów mo˙zemy okre´sli´c operacj˛e konkatenacji, lub składania słów. Konkatenacja lub
zło˙zenie dwóch słów
,
, oznaczana przez
, jest to sklejenie słów
i
. Do słowa
dopisujemy na ko ´ncu słowo
. Dla dowolnego słowa
zachodzi
.
10
Rozdział 1. Oznaczenia
Przykład 1.11 Konkatenacja słów
1
i
1
1
to sówo
1
1
1
.
Słowo
jest prefiksem lub przedrostkiem słowa
, je˙zeli istnieje takie słowo
, ˙ze
. Podobnie, słowo
jest sufiksem lub przyrostkiem słowa
, je˙zeli istnieje takie
słowo
, ˙ze
.
Przykład 1.12 Na przykład
1
jest prefiksem słowa
1
9
1
, a słowo
1
jest sufiksem
słowa
1
1
. Słowo puste jest prefixem i sufiksem dowolnego słowa
. Ka˙zde słowo
jest swoim własnym prefiksem i sufiksem.
Zwykle alfabet jest zbiorem uporz ˛
adkowanym, lub mówi ˛
ac inaczej mamy pewn ˛
a ko-
lejno´s´c liter w alfabecie. Na przykład w zbiorze
/
1
litera
stoi przed
1
. Mo˙zemy
te˙z wtedy uporz ˛
adkowa´c zbiór słów nad alfabetem
.
Jeden porz ˛
adek nazywa si˛e porz ˛
adkiem leksykograficznym. Jest to porz ˛
adek słów w
słownikach. Aby porówna´c dwa słowa
,
, szukamy pierwszej pozycji, na której te
dwa słowa si˛e ró˙zni ˛
a. Słowo, które ma na tej pozycji wcze´sniejsz ˛
a liter˛e, jest wcze´sniejsze
w porz ˛
adku leksykograficznym. Je˙zeli takiej pozycji nie ma, to albo
, albo jedno
ze słów jest prefiksem drugiego, wtedy wcze´sniejszy w porz ˛
adku leksykograficznym jest
prefiks.
Przykład 1.13 W porz ˛
adku leksykograficznym słowo
1
jest wcze´sniejsze od słowa
1
1
,
a to jest wcze´sniejsze od
1
1
.
Porz ˛
adek leksykograficzny jest wygodny, je˙zeli zbiór słów jest sko ´nczony. Zauwa˙zmy, ˙ze
w zbiorze wszystkich słów
/
1
niesko´nczenie wiele słów (wszystkie słowa zło˙zone
tylko z litery
) poprzedza słowo
1
. Dlatego czasami stosuje si˛e inny porz ˛
adek, tak zwany
porz ˛
adek kanoniczny.
Słowo
poprzedza słowo
w porz ˛
adku kanonicznym, je˙zeli:
albo
,
albo
i
poprzedza
w porz ˛
adku leksykograficznym.
Przykład 1.14 Pocz ˛
atkowe słowa zbioru
/
1
uporz ˛
adkowane według porz ˛
adku kano-
nicznego to:
/
/
1
/
/
1
/
1
/
1
1
/
/
1
/
1
/
1
1
/
1
/
1
1
/
1
1
/
1
1
1
/
/
1.8
Zaokr¸aglenia
Wprowad´zmy dwa oznaczenia na zaokr¸aglenie liczby rzeczywistej. Dla dowolnej liczby
rzeczywistej
&
&
oznacza zaokr¸aglenie
&
w gór¸e do najbli˙zszej liczby całkowitej.
&
oznacza zaokr¸aglenie
&
w dół do najbli˙zszej liczby całkowitej.
Zaokr ˛
aglenie
&
nazywamy sufitem z
&
, a zaokr ˛
aglenie
&
nazywamy podłog ˛
a z
&
.
1.9. Przedrostki
11
Przykład 1.15
/
/
-
-
/
-
-
/
/
-
-
/
-
-
1.9
Przedrostki
W przypadku bardzo du˙zych lub bardzo małych warto´sci u˙zywa si¸e czasami jednostek
miar b¸ed¸acych wielokrotno´sciami lub podwielokrotno´sciami podstawowych jednostek.
Takie jednostki wyra˙za si¸e przez dodanie do nazwy jednostki odpowiedniego przedrostka,
a do oznaczenia tej jednostki dodaje si¸e oznaczenie przedrostka. W nast¸epuj¸acej tabeli
zebrano te przedrostki.
Przedrostek
Oznaczenie
Wielokrotno´s´c
exa
E
peta
P
<
tera
T
giga
G
mega
M
6
kilo
k
8
hekto
h
deka
da
Przedrostek
Oznaczenie
Podwielokrotno´s´c
decy
d
centy
c
mili
m
8
mikro
6
nano
n
piko
p
femto
f
<
atto
a
Przykładami tak utworzonych jednostek s¸a: centymetr (cm), milimetr (mm), hehtopa-
skal, hektolitr, kilogram (kg), kilowat (kW). Do mierzenia pr¸edko´sci (zegara) procesora
u˙zywa si¸e megahertzów. Jeden megahertz (MHz) to jednostka cz¸esto´sci równa miliono-
wi impulsów na sekund¸e. Kilobajtów, megabajtów i gigabajtów u˙zywa si¸e do mierzenia
liczby komórek pami¸eci. Cz¸esto przyjmuje si¸e, ˙ze kilobajt ma
bajtów, megabajt
bajtów, a gigabajt
bajtów.
1.10
Notacja asymptotyczna
W analizie jakiego´s algorytmu (programu) wa˙zne jest oszacowanie jego czasu działania.
Jako przykład we´zmy algorytm sortowania b ˛
abelkowego, który ustawia elementy ci ˛
agu
wej´sciowego w porz ˛
adku niemalej ˛
acym.
12
Rozdział 1. Oznaczenia
Algorytm sortowania b ˛
abelkowego.
Aby posortowa´c ci ˛
ag długo´sci :
(1) wykonujemy co nast˛epuje
-
razy:
(1a) wskazujemy na pierwszy element,
(1b) wykonujemy co nast˛epuje
-
razy:
porównujemy wskazany element z elementem nast˛epnym,
je˙zeli porównane elementy s ˛
a w niewła´sciwej kolejno´sci, to zamieniamy je
miejscami,
wskazujemy na nast˛epny element.
W poni˙zszej tabeli zilustrowano zastosowanie algorytmu dla ci ˛
agu
/
/
/
#
.
4
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
4
1
2
4
1
2
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
Kolejne wiersze przedstawiaj ˛
a ci ˛
ag po kolejnych porównaniach. Element aktualnie wska-
zany jest zaznaczony daszkiem.
Poprawno´s´c powy˙zszego algorytmu wynika z faktu, ˙ze po pierwszym wykonaniu ze-
wn˛etrznej p˛etli (1) najwi˛ekszy element ci ˛
agu znajdzie si˛e na ko ´ncu, po drugim wykonaniu
p˛etli drugi najwi˛ekszy element ci ˛
agu znajdzie si˛e na przedostatniej pozycji, i tak dalej. Po
ka˙zdym kolejnym wykonaniu p˛etli (1) kolejny najwi˛ekszy element znajdzie swoj ˛
a wła-
´sciw ˛
a pozycj˛e.
Czas działania algorytmu zale˙zy od
— liczby elementów w ci ˛
agu. P˛etla zewn˛etrzna
(1) jest wykowywana
-
razy. W ka˙zdej iteracji p˛etli zewn˛etrznej p˛etla wewn˛etrzna (1b)
równie˙z jest wykonywana
-
razy. W ka˙zdym kolejnym wykonaniu p˛etli wewn˛etrznej
algorytm wykonuje kilka kroków. Tak wi˛ec, aby posortowa ´c ci ˛
ag długo´sci
algorytm w
sumie wykonuje
-
#
kroków, gdzie
jest pewn ˛
a stał ˛
a.
Czas pracy powy˙zszego algorytmu został oszacowany z dokładno´sci ˛
a do stałej. Jest
to powszechna praktyka i b˛edziemy tak post˛epowa´c w tej ksi ˛
a˙zce.
Do szacowania czasu pracy algorytmu (jego zło˙zono´sci czasowej) i do porównywania
algorytmów pod wzgl˛edem czasu działania b˛edziemy u˙zywa ´c notacji asymptotycznej.
Niech
i
b˛ed ˛
a dwiema funkcjami okre´slonymi na zbiorze liczb naturalnych o war-
to´sciach w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych
/
&
&
/
&
Wtedy:
1.10. Notacja asymptotyczna
13
#
#
#
, je˙zeli istnieje dodatnia stała
taka, ˙ze
#
#
dla prawie wszystkich
, to znaczy istnieje
$
, takie, ˙ze
#
#
dla
ka˙zdego
$
. W takim przypadku mówimy, ˙ze funkcja
jest O du˙ze od
.
#.
#
#
, je˙zeli
/
/
/
. W takim przypadku mówimy, ˙ze funk-
cja
jest o małe od
.
#
#
#
, je˙zeli istnieje dodatnia stała
taka, ˙ze
#
#
dla
prawie wszystkich
. W takim przypadku mówimy, ˙ze funkcja
jest Omega
du˙ze od
.
#
#
#
, je˙zeli istniej ˛
a dwie dodatnie stałe
/
takie, ˙ze
#
#
#
dla prawie wszystkich
. W takim przypadku mówimy, ˙ze
funkcja
jest Theta du˙ze od
.
Je˙zeli
#
#
#
, to mówimy, ˙ze funkcja
ogranicza z góry funkcj˛e
#
(z
dokładno´sci ˛
a do stałej), albo, ˙ze rz ˛
ad funkcji
jest nie wi˛ekszy od rz˛edu funkcji
.
Przykład 1.16
Czas działania algorytmu sortowania b ˛
abelkowego jest
#
.
-
#
.
-
#
.
8
-
8
#
.
8
/
#
.
8
#
.
B˛edziemy dopuszcza´c notacj˛e asymptotyczn ˛
a tak˙ze wobec funkcji, które s ˛
a dodatnie
dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Na przykład
-
#
.
Je˙zeli
#
#
#
, to mówimy, ˙ze
jest ni˙zszego rz˛edu ni˙z
.
Przykład 1.17
8
#
.
#
.
8
/
#
.
Je˙zeli
#
#
#
, to
i
s ˛
a tego samego rz˛edu, czyli
#"
#
#
oraz
#
#
#
.
Przykład 1.18
#
.
14
Rozdział 1. Oznaczenia
#
.
Nast˛epuj ˛
acy lemat jest bardzo u˙zyteczny przy szacowaniu asymptotycznym. Jego do-
wód zostawiamy jako ´cwiczenie.
Lemat 1.19 Je˙zeli granica
/
/
istnieje i jest wła´sciwa (nie jest równa
), to
#
#
#
.
Wniosek 1.20 Je˙zeli
#
#
#
, to
#
#
#
.
Nast˛epuj ˛
acy przykład pokazuje, ˙ze oszacowanie asymptotyczne mo˙ze by ´c zawodne.
Przykład 1.21 We´zmy dwie funkcje
#
oraz
#
. Mamy
#
#
#
, ale
#
#
dla wszystkich
8
$
$
, czyli dla wszystkich liczb mniejszych
od liczby atomów w naszej galaktyce (porównaj podrozdział du˙ze liczby w rozdziale o
arytmetyce).
Z drugiej jednak strony oszacowanie asymptotyczne wystarczy do naszych celów i
jest łatwiejsze do uzyskania.
Przykład 1.22 Rozwa˙zmy trzy algorytmy: pierwszy działaj ˛
acy w czasie
#
,
drugi w czasie
#
8
i trzeci w czasie
8
#
8
/
. Funkcje te okre´slaj ˛
a czas
działania na pewnym konkretnym komputerze. Niech
,
i
8
oznazczaj ˛
a długo´sci
wej´s´c, dla których algorytmy daj ˛
a odpowied´z w ci ˛
agu jednej sekundy, to znaczy
#
#
8
8
#:(
Przypu´s´cmy teraz, ˙ze mamy 1000 razy szybszy komputer i pytamy jakie wej´scia teraz
mog ˛
a by´c policzone przez te algorytmy w ci ˛
agu jednej sekundy.
Dla pierwszego algorytmu działaj ˛
acego w czasie liniowym mo˙zemy teraz oblicza´c
1000 razy dłu˙zsze dane wej´sciowe, poniewa˙z
#
#
. Dla drugie-
go algorytmu działaj ˛
acego w czasie sze´sciennym mo˙zemy teraz oblicza´c 10 razy dłu˙zsze
dane wej´sciowe, poniewa˙z
#
#
. Dla trzeciego algorytmu działaj ˛
a-
cego w czasie wykładniczym mo˙zemy teraz oblicza´c tylko dane wej´sciowe o 10 dłu˙zsze,
poniewa˙z
8
8
#(
8
8
#
.
1.11
Zadania
1. Oblicz
/
dla
/
/
//
.
2. Oblicz
<
#
.
3. Oblicz
;
#
.
4. Niech
/
//
/
,
/
//
i
//
//
. Oblicz
,
,
-
,
-
#
,
,
.
5. Niech
/
/
/
/
b¸edzie zbiorem indeksów. Dla ka˙zdego
okre´slamy
zbór
&
&
. Oblicz
,
,
8
<
oraz
8
;
<
.
1.11. Zadania
15
6. Niech
/
//
,
/
/
. Wypisz elementy
,
oraz
/
1
#
1
7. Niech
/
//
/
b¸edzie zbiorem indeksów. Dla ka˙zdego
okre´slamy
zbór
&
&
oraz
dzieli
&
. Oblicz
oraz
.
8. Uporz ˛
adkuj nast˛epuj ˛
acy zbiór słów [Fragment wiersza Ptasie radio Juliana Tu-
wima] według porz ˛
adku leksykograficznego i kanonicznego: słowik, wróbel, kos,
jaskółka, kogut, dzi˛ecioł, gil, kukułka, szczygieł, sowa, kruk, czubatka, drozd, siko-
ra i dzierlatka, kaczka, g ˛
aska, jemiołuszka, dudek, trznadel, po´smieciuszka, wilga,
zi˛eba, bocian, szpak.
9. Udowodnij wzór (1.1) na sum˛e ci ˛
agu arytmetycznego.
10. Udowodnij wzór (1.2) na sum˛e ci ˛
agu geometrycznego.
11. Udowodnij wzór (1.3).
12. Udowodnij wzór (1.4).
13. Udowodnij lemat 1.19,
14. Udowodnij zale˙zno´sci z przykładów 1.16, 1.17, 1.18,