Procesy stochastyczne

9. Proces Poissona — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 9.1 (P., Ex. 3.2 p. 33) Klienci pojawiają się w banku zgodnie z rozkładem Poissona z czę-

stotliwością 2 na minutę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym z dwóch rozłącznych
2-minutowych odcinków czasu liczba klientów jest

1. dokładnie równa 3,

2. równa 3 lub mniejsza,

3. równa 3 lub większa?

Zad. 9.2 (P., Ex. 3.3 p. 33) Przy założeniach poprzedniego zadania znajdź:

1. średnią liczbę klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut,

2. wariancję liczby klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut,

3. prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 minut w banku pojawi się co najmniej 1 klient.

Zad. 9.3 (P., Ex. 3.5 p. 33) Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia złożona z 4 sztuk pew-

nego towaru będzie zalegać w magazynie więcej niż 1 dzień, jeśli sprzedaż tego towaru jest
opisywana przez proces Poissona

1. ze średnią 4 sztuk dziennie,

2. ze średnią dzienną sprzedażą będącą zmienną losową przyjmującą wartości 3, 4, 5

z prawdopodobieństwami odpowiednio 0, 25, 0, 5, 0, 25.

Zad. 9.4 (S., Ex. 3.9 p. 34) Rozważamy liczbę samobójstw w mieście, w którym zdarzenia ta-

kie odnotowuje się z częstotliwością 2 na tydzień (zakładamy, że liczba samobójstw jest
opisywana przez proces Poissona).

1. Znajdź prawdopodobieństwo odnotowania w ciągu tygodnia co najmniej 6 samobójstw.

2. Jaka jest oczekiwana liczba tygodni w roku, w których zostanie odnotowanych co naj-

mniej 6 samobójstw?

3. Czy jest zaskakującą informacja, że w ciągu roku były co najmniej 2 tygodnie, w których

odnotowano co najmniej 6 samobójstw?

Zad. 9.5 (P. P., Zad. 2 str. 373) Proces Poissona (N

t

, t ­ 0) i zmienna losowa Y o rozkładzie

P (Y = 0) = P (Y = 1) =

1
2

są niezależne. Zbadaj, czy proces (N

t

+ Y, t ­ 0) jest

1. procesem o przyrostach niezależnych,

2. procesem Markowa.

Zad. 9.6 (P. P. Zad. 3 str. 373) Niech N = (N

t

, t ­ 0) będzie procesem Poissona. Zbadaj, czy

proces Y = (N

3

t

+ 1, t ­ 0) jest procesem Markowa.

Zad. 9.7 (S., Ex. 17b-c p. 368 i Ex. 8.22(2)b-c p. 389) Wykaż, że jeśli N = (N

t

, t ­ 0) jest

procesem Poissona z parametrem λ, to

1. V

t

= (N

t

− λt)

2

− λt,

2. W

t

= exp(−θN

t

+ λt(1 − e

−θ

)),

θ ∈ R

z filtracją F

t

= σ(N

s

, 0 ¬ s ¬ t) są martyngałami. Niech T = min{t; N

t

= a}. Korzystając

z twierdzenia Dooba, wykaż, że

a) Var T =

a

λ

2

,

b) Ee

−θT

=



λ

λ+θ



a

.

Zad. 9.8 (L., Ex. 3.2 p. 69) X

t

i Y

t

są dwoma niezależnymi procesami Poissona z parametrami

odpowiednio λ

1

i λ

2

mierzącymi liczbę klientów przybywających do dwóch sklepów.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient przybędzie do sklepu I zanim ktokolwiek po-

jawi się w sklepie II?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie pierwszej godziny całkowita liczba klientów

obu sklepów będzie równa 4?

3. Wiedząc, że dokładnie 4 klientów pojawiło się w obu sklepach łącznie, oblicz prawdo-

podobieństwo, że wszyscy czterej byli w sklepie I.

4. Niech T oznacza czas przybycia pierwszego klienta do sklepu II, a X

T

liczbę klientów,

jaka znajduje się w tym momencie w sklepie I. Znajdź rozkład zmiennej X

T

.