Procesy stochastyczne

9. Proces Poissona

Ćw. 9.1 (P., Ex. 3.1 p. 33) Klienci pojawiają się w banku zgodnie z rozkładem Poissona z czę-

stotliwością 2 na minutę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba klientów, którzy pojawią
się w ciągu 2 minut jest

1. dokładnie równa 3,

2. równa 3 lub mniejsza,

3. równa 3 lub większa?

Ćw. 9.2 (P., Ex. 3.4 p. 33) Pewne części maszyny, istotne dla jej działania, psują się zgodnie z

rozkładem Poissona z częstotliwością 1 na 5 tygodni. W magazynie zostały tylko 2 części
zapasowe, a następna dostawa będzie za 9 tygodni. jakie jest prawdopodobieństwo, że w
ciągu najbliższych 9 tygodni z powodu braku części zapasowych produkcja stanie na co
najmniej tydzień?

Ćw. 9.3 (S., Ex. 8.17(4) p. 383) Twój telefon dzwoni zgodnie z rozkładem Poissona z parame-

trem λ. Każdego dnia w momencie X bierzesz prysznic długości Y , gdzie X i Y są zmiennymi
losowymi o łącznym rozkładzie określonym w godzinach (niekoniecznie niezależnymi). Po-
każ, że liczba sytuacji, w których telefon dzwoni, gdy jesteś pod prysznicem, ma rozkład
Poissona z parametrem λEY (zakładamy, że 0 ¬ X ¬ X + Y ¬ 24).

Ćw. 9.4 (L., Ex. 3.1 p. 69) Przypuśćmy, że liczba rozmów łączonych w ciągu godziny w pewnym

centrum telefonicznej obsługi klienta jest opisywana przez proces Poissona z intensywnością
λ = 4.

1. Osoba odbierająca telefony chce odebrać jeszcze 15 rozmów zanim pójdzie na lunch.

Jaka jest oczekiwana długość czasu, który spędzi w pracy zanim wyjdzie na lunch?

2. Przypuśćmy, że dokładnie 8 rozmów połączono w czasie pierwszych 2 godzin. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z nich odbyło się w czasie pierwszej godziny?

Ćw. 9.5 (P. P., Zad. 6 str. 356 i Zad. 10 str. 356) Niech (N

t

, t ­ 0) będzie procesem Poissona.

Czy zmienne losowe N

t

1

i N

t

2

, t

1

6= t

2

, są niezależne? Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

do chwili t trajektoria procesu Poissona jest funkcją ciągłą. Znajdź granicę tego prawdopo-
dobieństwa przy t → ∞.

Ćw. 9.6 (P. P., Zad. 7 str. 373) Niech N = (N

t

, t ­ 0) będzie procesem Poissona. Znajdź wartość

średnią i kowariancję procesu Y = (Y

t

, t ­ 0), gdzie Y

t

= tN

t

. Zbadaj, czy Y jest

1. procesem o przyrostach niezależnych,

2. procesem Markowa.

Ćw. 9.7 (S., Ex. 17a p. 368 i Ex. 8.22(2)a p. 389) Wykaż, że jeśli N = (N

t

, t ­ 0) jest procesem

Poissona z parametrem λ, to U

t

= N

t

−λt z filtracją F

t

= σ(N

s

, 0 ¬ s ¬ t) jest martyngałem.

Niech T = min{t; N

t

= a}, gdzie a ∈ N. Korzystając z twierdzenia Dooba, wykaż, że

ET =

a
λ

.

Ćw. 9.8 (S., Ex. 8.17 p. 382) (Paradoks inspekcji) Niech N

t

będzie procesem Poissona zliczającym

wystąpienia pewnego zdarzenia w czasie. Dla każdego t > 0 definiujemy C

t

— czas jaki

upłynął od ostatniego zdarzenia, B

t

— czas jaki pozostał do następnego zdarzenia. Pokaż,

że B

t

i C

t

są niezależne i znajdź rozkład C

t

. Ile wynosi E(B

t

+ C

t

)?