R O Z D Z I A Ł 8

TESTY T-STUDENTA

I. Wprowadzenie

Każde badanie naukowe rozpoczyna się od sformułowania problemu badawczego oraz
najbardziej prawdopodobnego (na gruncie wiedzy badającego) ogólnego rozwiązania, czyli
hipotezy badawczej. Poprawne sformułowanie hipotezy w dużej mierze przesądza
o sukcesie badawczym. Hipoteza powinna być tak sformułowana, by łatwo m o ż n a ją było
przyjąć lub odrzucić. Ogólnie mówiąc, hipotezy m o g ą dotyczyć:
• wartości badanych zmiennych

np. Średni wiek osób chorych na p e w n ą chorobę wynosi 45 lat.

• różnicy między cechami opisującymi badaną grupę (populację)

np. Lek A skuteczniej obniża ciśnienie od leku B.

Istnieje różnica między czterema metodami czasu krzepnięcia osocza.

• zależności między badanymi zmiennymi

np. Istnieje silna korelacja dodatnia między ilością wypalanych papierosów

a prawdopodobieństwem wystąpienia nowotworu płuc.

• „kształtu" zależności badanych zmiennych

np. Istnieje zależność logarytmiczna między wzrostem a wiekiem pacjentów

chorych chronicznie na schorzenie X.

• porównania rozkładów zmiennych

np. Rozkład zmiennej „glukoza" jest rozkładem normalnym.

Weryfikacja hipotez statystycznych to zasadnicza d o m e n a statystyki. W dalszych
rozważaniach przez hipotezę statystyczną rozumieć będziemy każde przypuszczenie
dotyczące zbiorowości generalnej bez przeprowadzenia badania całkowitego. Prawdziwość
hipotezy będziemy weryfikować na podstawie wyników próby losowej.

Tradycyjnie dzielimy hipotezy statystyczne na dwie grupy:

=> parametryczne, gdy dotyczą wartości parametrów statystycznych populacji (np.

średnia, wariancja),

=> nieparametryczne, gdy dotyczą postaci rozkładu cech lub losowości próby.

Proces weryfikacji hipotezy przebiega według p e w n e g o schematu postępowania
nazywanego testem statystycznym. G d y weryfikujemy hipotezę parametryczną, m ó w i m y
o testach parametrycznych. W przeciwnym przypadku o testach nazywanych
nieparametrycznymi. Testy te pozwalają na podstawie wyników z próby losowej podjąć
decyzję o odrzuceniu lub nie postawionej przez nas hipotezy.

145

Przystępny kurs statystyki

Weryfikacja hipotez rozpoczyna się zwykle od postawienia tej hipotezy, która

będzie podlegała sprawdzeniu. Taką hipotezę n a z y w a m y hipotezą zerową i o z n a c z a m y

H

0

.

Następnie formułujemy (konkurencyjną) hipotezę, którą jesteśmy skłonni przyjąć, gdy
odrzucamy hipotezę zerową. Taką hipotezę n a z y w a m y hipotezą alternatywną

i oznaczamy H

1

.

A j a k postępujemy w praktyce? Przykładowo c h c e m y stwierdzić, że paciorkowce

odpowiedzialne są za cięższe przypadki choroby niż gronkowce. C h o ć wyniki z próby
mogą częściowo wskazywać, że tak jest, m u s i m y być ostrożni. M o g ł o to być dziełem
przypadku - np. nietypowego doboru próby. Dlatego j a k o hipotezę zerową przyjmujemy
zazwyczaj brak różnic. Natomiast to, co nas interesuje, to hipoteza alternatywna m ó w i ą c a
o zachodzeniu różnic np. między działaniem różnych bakterii. Odrzucając b o w i e m hipotezę
zerową przyjmujemy alternatywną, a jej nieodrzucenie stawia nas w trudnej sytuacji. N i e
m o ż n a oczywiście przyjąć hipotezy alternatywnej ani zerowej, bo jej nieodrzucenie
wynikać może np. z niewłaściwego doboru grupy próbnej lub jej zbyt małej liczebności.

Oczywiście sposób konkretnego postępowania przy testowaniu zależy od istoty

badanego problemu statystycznego, j e d n a k ż e zawsze weryfikacja p o w i n n a przebiegać tak,
aby zapewnić jak najmniejsze prawdopodobieństwo pomyłki. W trakcie weryfikacji m o g ę
popełnić dwa błędy:

=> błąd pierwszego rodzaju, polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, m i m o że jest ona

prawdziwa. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju n a z y w a m y
poziomem istotności i oznaczamy przez a. Najczęściej przyjmowane są wartości 0,05
oraz 0,01 i 0,001;

=> błąd drugiego rodzaju, polegający na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy ona

w rzeczywistości jest fałszywa. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego
rodzaju oznaczać będziemy przez β.

Zestawienie o m a w i a n y c h

błędów przedstawione jest w poniższej tabeli:

Hipoteza

DECYZJE

zerowa

Przyjąć H

0

Odrzucić H

0

Hipoteza zerowa

decyzja

błąd I rodzaju

prawdziwa

prawidłowa

Hipoteza zerowa

błąd II rodzaju

decyzja

fałszywa

prawidłowa

Wartości α i β są ze sobą powiązane. Zmniejszenie prawdopodobieństwa a powoduje
wzrost prawdopodobieństwa (3 (rysunek 1).

146

Testy t-studenta

Rys. 8.1 Powiązanie błędów I rodzaju i II rodzaju

P e w n y m kompromisem w tej sytuacji są tzw. testy istotności, które dla wybranego przez
nas z góry poziomu istotności α zapewniają możliwie najmniejszą wartość
prawdopodobieństwa β. W tym i pozostałych rozdziałach tej książki będziemy m ó w i ć tylko
o takich testach.

Proces weryfikacji hipotez statystycznych przebiega w następujących czterech

etapach:

1. Formułowanie hipotezy zerowej H

0

oraz odpowiadającej jej hipotezie

alternatywnej H

1

Przypuśćmy, że chcemy zadecydować o wprowadzeniu n o w e g o leku do użycia. Jaką
przyjąć hipotezę zerową ? Opierając się o zasadę Hipokratesa - „Po pierwsze nie s z k o d z i ć "
- przyjmujemy hipotezę zerową i alternatywną w postaci:

H

0

: Lek nie jest efektywny

H

1

: Lek jest efektywny

2. Dobieranie - odpowiednio do postawionej hipotezy zerowej - testu i obliczenie jego

wartości w oparciu o dane pochodzące z próby

Jest to najważniejsza decyzja podejmowana w trakcie weryfikacji hipotez. Wybór b o w i e m
niewłaściwego testu przekreśli wartość całego późniejszego rozumowania. M u s i m y
wiedzieć, jakie jest odpowiednie „narzędzie" dla naszego problemu i naszych badanych
zmiennych. Musimy również zawsze sprawdzić, czy założenia o możliwości zastosowania
wybranego przez nas testu są w pełni spełnione. Pozostałe strony tej książki postarają się
wyjaśnić i przybliżyć odpowiednie reguły postępowania.

147

Przystępny kurs statystyki

3. Przyjmujemy odpowiedni p o z i o m istotności

W naukach biologicznych jest to wartość α = 0,05 lub mniejsza. Jaki jest sens tej liczby?
P o z i o m

istotności wskazuje, na jaki m a ł y błąd „ w y r a ż a m y " zgodę, np. p o z i o m 0,01

świadczy, że jesteśmy skłonni popełnić jeden błąd na 100 badań. Pamiętajmy także, że
wybierając niższy poziom istotności uzyskujemy wyższy p o z i o m wiarygodność hipotezy
alternatywnej (jej przyjęcie jest jakby mocniej uzasadnione), ale będzie n a m trudniej
odrzucić hipotezę zerową. Często m a m y konflikt między chęcią, aby j a k najszybciej
odrzucić hipotezę zerową, a chęcią przyjęcia hipotezy alternatywnej z dużą

wiarygodnością. Każdy kto miał do czynienia z testami wie, że taki „graniczny" poziom
istotności to „ m a g i c z n a " liczba α = 0,05.

4. P r z y u s t a l o n y m p o z i o m i e

istotności znajdujemy obszary krytyczne i w oparciu

o nie podejmujemy decyzję o odrzuceniu lub nie hipotezy zerowej

Jaka jest zasadnicza idea tworzenia obszarów krytycznych? Otóż robiąc bardzo ważne
założenie, że hipoteza H

0

jest prawdziwa, oraz posługując się matematyczną teorią

(opisującą naszą zmienną) tworzy się pewną zmienną losową (statystykę) Z. Następnie
określa się wartości jakie musiałaby przyjąć ta zmienna losowa, aby było to „ m a ł o
prawdopodobne", to znaczy prawdopodobieństwo zaistnienia tych wartości byłoby równe
poziomowi istotności. Te „ m a ł o p r a w d o p o d o b n e " wartości tworzą tzw. obszar krytyczny.

Następnie, jeśli wartość testu obliczona dla grupy próbnej znalazła się w obszarze
krytycznym, to wystąpiło zdarzenie bardzo m a ł o prawdopodobne. Zdarzenie takie
praktycznie nie powinno zaistnieć. Skoro j e d n a k zaszło (a m a m y zaufanie do obliczeń
w grupie próbnej), coś jest nie tak z prawdziwością hipotezy zerowej. N i e jest więc

spełnione założenie o prawdziwości hipotezy zerowej (wykorzystane do tworzenia obszaru
krytycznego). Ostatecznie hipotezę zerową odrzucamy i przyjmujemy hipotezę
alternatywną.

W rozważanym przykładzie nie zaakceptujemy n o w e g o leku tak długo, j a k długo

badania eksperymentalne nie potwierdzą dostatecznie jasno, że lek jest efektywny
i pomocny, czyli ich wyniki znajdą się w obszarze krytycznym odrzucając t y m s a m y m
hipotezę zerową. Jest to droga trudna, ale bezpieczna.

Lokalizacja obszaru krytycznego zależy od postaci hipotezy alternatywnej.

Przypuśćmy, że efektywność leku mierzymy czasem j e g o działania. Hipoteza H

0

teraz

148

brzmi - średni czas działania nowego leku

równy jest pewnej wartości A (czas

działania stosowanych do tej pory specyfików). Formalizując m a m y -
M o ż e m y sformułować trzy hipotezy alternatywne:

W pierwszym przypadku obszar krytyczny obejmowałby wszystkie wartości testu „ d u ż o "
większe od A i „ d u ż o " mniejsze od A. Taki obszar nazywany jest obszarem dwustronnym
(rysunek poniżej).

Testy t-studenta

Rys. 8.2 Obszar krytyczny dwustronny

W drugim przypadku obszar krytyczny obejmowałby wszystkie wartości testu „ d u ż o

v

mniejsze od A. Taki obszar nazywany jest obszarem lewostronnym (rysunek poniżej).

Rys. 8.3 Obszar krytyczny lewostronny

W trzecim przypadku obszar krytyczny obejmowałby wszystkie wartości testu „ d u ż o "
większe od A. Taki obszar nazywany jest obszarem p r a w o s t r o n n y m (rysunek poniżej).

Rys. 4 Obszar krytyczny prawostronny

II. Testy t-Studenta

W medycynie najczęściej prowadzimy badania, aby wykryć różnice między średnimi. I od
testów różnic między średnimi z d w ó c h prób rozpoczniemy podróż w krainę hipotez
i testów statystycznych. Zacznijmy od d w ó c h przykładów.

149

Przystępny kurs statystyki

Szukamy odpowiedź na pytanie, który z tych leków jest skuteczniejszy. Do takich

problemów wykorzystujemy testy dla różnic między średnimi z d w ó c h prób dla zmiennych
nieskorelowanych (powiązanych). Testy t-Studenta dla zmiennych niepowiązanych to
najbardziej powszechne narzędzie oceny różnic między średnimi w d w ó c h grupach. M o ż n a
go też wykorzystać dla oceny różnicy w teście p r z e p r o w a d z o n y m na grupie pacjentów
zażywających jakiś lek w stosunku do grupy otrzymujących placebo. Rozpatrujemy więc
dwie grupy: kontrolną i eksperymentalną.

Przypuśćmy z kolei, że dla pewnej grupy osób b a d a m y ciśnienie tętnicze krwi

przed i po podaniu odpowiedniego leku. Pytamy z kolei, czy lek ten powoduje spadek
ciśnienia u pacjentów. T y m razem m a m y dwie serie w y n i k ó w p o m i a r ó w dotyczących tej

samej próby i chcemy zweryfikować hipotezę o średniej wielkości różnić między tymi
wynikami. Pierwsza seria danych to pomiary badanej cechy w j e d n y m m o m e n c i e czasu,
druga seria - pomiary tej samej cechy, u tych samych jednostek w drugim m o m e n c i e czasu.

Do problemów tego typu stosujemy testy t-Studenta dla zmiennych powiązanych.

Na początku podamy podstawowe założenia t-testów:

I. Przestrzeganie zasad randomizacji

Jeśli chcemy uogólnić wnioski wynikające z tego badania na cały zbiór osób, to
musimy zagwarantować reprezentatywność próby dla populacji (Brzeziński [7]).
Jedynie dobór losowy próby (pierwsza zasada randomizacji) gwarantuje jej
reprezentatywność. Jej nierespektowanie sprawia, że wyciągnięte wnioski są
prawomocne jedynie dla pacjentów z danego szpitala czy osób z pewnej grupy
wiekowej lub danej płci itd.

Przy ocenie skuteczności leku, nowej metody terapeutycznej badania p o w i n n y być

przeprowadzone na co najmniej d w ó c h równoważnych grupach osób badanych - w celu

sprawdzenia nowej metody (nowego leku) w stosunku do tradycyjnej
(dotychczasowego leku). Decyzja o tym, jaka metoda (jaki lek) oddziałuje na daną
osobę, ma być podjęta przez nas w sposób losowy (druga zasada randomizacji).

Nierespektowanie drugiej zasady randomizacji powoduje, że na różnice między

średnimi wartościami zmiennej duży w p ł y w m o ż e mieć czynnik selekcji. Badanie
zakłócone jest czynnikiem związanym z podziałem i m o ż e prowadzić do błędnych

wniosków.

II. Respektowanie rodzaju p o r ó w n a ń

Cały zbiór testów istotności różnic dzielimy na dwa podzbiory:

• testy przeznaczone do testowania różnic między grupami niezależnymi,
• testy dla grup zależnych.

150

Przykład 1
Przypuśćmy, że podajemy dwa leki (A - 10 o s o b o m i B - 12 osobom) obniżające ciśnienie
d w ó m różnym grupom. Poniżej w tabelce m a m y p o d a n e wielkości mówiące o ile obniżyło
się ciśnienie po podaniu specyfiku.

Testy t-studenta

W zależności od rozpatrywanego problemu należy wybrać odpowiedni test.

III. Założenie o normalności rozkładu zmiennej

Istnieją specjalne testy statystyczne pozwalające na ocenę normalności danego rozkładu
empirycznego. Najczęściej stosowane testy Shapiro-Wilka i K o ł m o g o r o w a - S m i r n o w a
znajdziemy w oknie Statystyki opisowe w m o d u l e P o d s t a w o w e statystyki i tabele.

IV. Założenie jednorodności wariancji

Dla sprawdzenia tego założenia służy test F i test Levenea lub test Bartletta.
W przypadku gdy testy nie wykazały jednorodności wariancji, należy posłużyć się
alternatywnym testem Cochrana-Coxa.

Wszystkie rodzaje t-testów zostaną dalej szczegółowo o m ó w i o n e wraz z przykładami.

Test T-Studenta dla zmiennych niepowiązanych

Istnieją różne wersje tego testu zależne od liczebności grupy i wariancji w poszczególnych
grupach. Ich przegląd znajdziemy na poniższym rysunku:

Obserwowane zmienne losowe

mają w dwóch zbiorowościach rozkłady normalne

I

Tak Nie

I

151

Przystępny kurs statystyki

152

Dla przykładu rozwiążemy problem postawiony w przykładzie 1 powyżej.
Po obliczeniach otrzymujemy następujące średnie i odchylenia standardowe:
Lek A - m

t

= 8,2 i

S1

= 3,16

Lek B - m

2

= 5,33 i s

2

= 2,57

Po sprawdzeniu, że zmienna ma rozkład normalny (test Shapiro-Wilka, str. 70) oraz braku
istotnych różnic między wariancjami zastosować m o ż e m y test C (zgodnie z d i a g r a m e m
powyżej). Wartość testu wyliczona w oparciu o dane z grupy próbnej wynosi T= 2,351.
Przyjmijmy poziom istotności 0,05 i hipotezę alternatywnej

(średni p o z i o m

obniżania ciśnienia przez lek A jest większy od średniego p o z i o m u obniżania ciśnienia
przez lek B). Po odczytaniu z tablic (tak, tak!) wartości wyznaczającej obszar krytyczny
otrzymujemy t

0 , 0 5

= 1,7247. Obszar krytyczny tworzą więc liczby większe od odczytanej

z tablic wartości 1,7247. Wyliczona wartość testu T= 2,351 należy do tego obszaru.
Wynika z tego, że średni p o z i o m obniżonego ciśnienia przez lek A jest istotnie

Testy t-studenta

statystycznie wyższy od średniego poziomu obniżonego ciśnienia przez lek B. M o ż e m y
wnioskować, że lek A jest skuteczniejszy od leku B (przy poziomie istotności 0,05).

Gdybyśmy chcieli sprawdzić naszą hipotezę na poziomie istotności a = 0,01

jeszcze raz musielibyśmy odczytywać n o w ą wartość krytyczną. Jak widać,

przeprowadzanie „na p i e c h o t ę " weryfikacji hipotez w y m a g a dużo wprawy, cierpliwości

i znajomości tablic statystycznych. Jak pokazuje poniższe zestawienie, program

STA TISTICA

uwalnia nas od najbardziej pracochłonnego etapu obliczeń. Pozostawia n a m

interpretację otrzymanych wyników (co jest sprawą w a ż n ą i t r u d n ą )

Etapy wnioskowania statystycznego

„na piechotę"

1. wprowadzanie danych

2. formułowanie hipotezy zerowej
3. sprawdzenie założeń wybranego
testu

4. obliczamy wartość testu

sprawdzającego na podstawie
wyników z próby

5. znajdowanie wartości

krytycznej z tablic
statystycznych przy ustalonym
poziomie istotności

6. podjęcie decyzji o odrzuceniu

lub nie hipotezy zerowej na
danym poziomie istotności

7. interpretacja otrzymanych

wyników

z użyciem programu STATISTICA

1. wprowadzenie danych

2. formułowanie hipotezy zerowej
3. sprawdzenie założeń wybranego
testu

4. Umożliwia podjęcie decyzji

przy możliwie „najlepszym"
poziomie wiarygodności
hipotezy alternatywnej

5. interpretacja otrzymanych

wyników

Rys. 8.6 Etapy wnioskowania statystycznego

Test T-Studenta dla zmiennych powiązanych (zależnych)

Test ten stosuje się wówczas, gdy m a m y dwie serie w y n i k ó w dla tych samych elementów
(próby powiązane) w różnym czasie (np. przed i po podaniu leku). Dla każdego elementu
próby losowej m a m y parę liczb x

i

i y

i

oraz ich różnicę d

i

=

X

i

- y

i

. Z a k ł a d a m y , że populacja

różnic ma rozkład normalny.

153

Przystępny kurs statystyki

Przykład 2
Pewnej grupie 10 pacjentów leczonych na nadciśnienie p o d a w a n o odpowiedni lek. Wyniki
pomiarów ciśnienia tętniczego krwi przed leczeniem (A) i po leczeniu (B) m a m y zebrane
w poniższej tabeli:

35,1228. Podstawiając dane do testu „ t " otrzymujemy t= 3,118. Obliczoną wartość testu
porównujemy z w a r t o ś c i ą krytyczną odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta, przy
założonym poziomie istotności 9 (n-1) stopniach swobody. Ponieważ t = 3,118 jest większe
od t

α

= 2,262, a

więc hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej.

Oznacza to, że lek powoduje istotny spadek ciśnienia.

W dalszej części tego rozdziału d o w i e m y się jak takie zagadnienia rozwiązać
i zinterpretować graficznie przy p o m o c y programu STATISTICA

III. A jak to się liczy w programie STATISTICA

W programie STATISTICA do testowania różnic między średnimi służą opcje testy t dla
prób niezależnych i testy t dla prób zależnych w m o d u l e P o d s t a w o w e statystyki
i tabele. Pierwsza opcja stosowana jest dla testowania różnic między średnimi z dwóch
prób nie powiązanych, a druga w przypadku grup powiązanych. O m ó w i m y kolejno każdą
z nich.

Testy t dla prób niezależnych.

Po wybraniu opcji testy t dla prób niezależnych i naciśnięciu OK (lub po d w u k r o t n y m
kliknięciu na nazwie opcji) otwiera się okno Testy dla prób niezależnych przedstawione
poniżej.

154

Średnia i odchylenie standardowe z różnic wynoszą kolejno

oznacza średnią różnicę między pierwszy a drugim wynikiem w całej populacji.

Jak na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że lek ten powoduje istotny
spadek ciśnienia u leczonych pacjentów?

Wystarczy zweryfikować hipotezę

Testy t-studenta

Rys. 8.7 O k n o Testy dla prób niezależnych

Na górze okna m a m y pole Plik wejściowy do ustawienia sposobu organizacji danych.
Okno dopuszcza dwie możliwości:

• Jeden rekord/przypadek (Użyj zmiennej grupującej)

Jest to sposób organizacji danych tu domyślny i dominujący dla większości m o d u ł ó w .
Polega on na wpisywaniu przypadku za przypadkiem. W ó w c z a s każdy wiersz w zbiorze
danych przedstawia jedną obserwację (osobę), a każda k o l u m n a reprezentuje j e d n ą
badaną zmienną. W takiej sytuacji, aby przeprowadzić test-t m u s i m y wyróżnić zmienną
tzw. grupującą (np. rodzaj leku, płeć). Określa ona, do jakiej grupy zaliczyć dany
przypadek.

• Każda zmienna zawiera dane dla jednej grupy

Jest to alternatywny sposób ustawienia danych. T y m razem każda k o l u m n a (zmienna)
reprezentuje j e d n ą grupę danych. Po wyborze tej opcji okno Testy dla prób

niezależnych częściowo zmienia swoją postać.

W przypadku wyboru pierwszej możliwości należy określić kody (wartości zmiennej
grupującej) określające grupy, które chcemy porównać. K o d y wpisujemy w polach „kod
grupy" poniżej. Jeżeli nie pamiętamy k o d ó w grupujących należy dwukrotnie kliknąć te
pola. Otworzy się okno zawierające wszystkie kody liczbowe oraz ich alfanumeryczne
odpowiedniki. Dwukrotne kliknięcie na kodzie przenosi go automatycznie do pola „kod
grupy".

O tym co i w jaki sposób zostanie wyświetlone w arkuszu w y n i k o w y m decydują
ustawienia opcji w polu Opcje widocznym na poniższym rysunku.

155

Przystępny kurs statystyki

156

Rys. 8.8 O k n o Opcje dla testów dla prób niezależnych

Umożliwiają one kolejno:
• U s u w a n i e b r a k ó w danych przypadkami

Jeżeli ta opcja została wybrana STATISTICA eliminuje z analizy wszystkie przypadki,
dla których brakuje danych w jakiejkolwiek zmiennej wybranej do analizy.
W przeciwnym przypadku braki danych eliminowane są z analizy parami (obliczenia

wykonywane są dla przypadków, które posiadają poprawne dane dla d w ó c h aktualnie
analizowanych zmiennych). Z w r a c a m y na tą opcję uwagę, gdy p r z e p r o w a d z a m y t-testy
dla bardzo długich list zmiennych.

• Pokaż długie nazwy zmiennych

Jeżeli ta opcja została wybrana w ó w c z a s w pierwszej kolumnie arkusza w y n i k ó w obok
nazw zmiennych pojawią się (o ile były określone) długie nazwy zmiennych (etykiety).

• Test t z oddzielną oceną wariancji

Jeżeli ta opcja została wybrana, obliczana jest wartość testu-t dla różnych wariancji (test
Cohrana-Coxa) w oparciu o oddzielne oceny wariancji w o b y d w u grupach. W ł ą c z a m y
opcję, jeśli wariancje w grupach znacznie się różnią (test F lub test L e v e n e ' a odrzuca
hipotezę o równości wariancji) oraz jeśli znacznie różnią się także liczebności grup.

• Test wielowymiarowy (T Hotellinga)

Test T

2

Hotelinga jest uogólnieniem zmiennej losowej t-Studenta na większą ilość

zmiennych. Stosujemy go, gdy wybraliśmy więcej niż j e d n a zmienną niezależną.

• Test Levene'a jednorodności wariancji

Założeniem t-testu jest równość (jednorodność wariancji). Test Levena jest drugim
obok testu F m o c n y m testem statystycznym do sprawdzenia takiej hipotezy. Jeżeli test
Levena pokaże statystyczną istotność, to hipotezę o jednorodności wariancji należy
odrzucić.

Wyboru zmiennych do analizy dokonujemy w oknie, które pojawia się po naciśnięciu

przycisku

Sposób wyboru zmiennych został dokładnie opisany w rozdziale

3. Po wyborze zmiennych i ustawieniu odpowiednich opcji obliczanie testów-t

rozpoczynamy albo przez naciśnięcie przycisku

albo przez naciśnięcie

przycisku OK.

Program wyświetli prawie natychmiastowo okno arkusza wyników. Postać tego

okna zależna jest od opcji omawianych powyżej. Poniższy rysunek pokazuje przykładowe
okno wyników wraz z objaśnieniami poszczególnych pól (ze względy na długość okno
przedstawione jest w d w ó c h częściach).

Testy t-studenta

[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [15]

Rys. 8.9 O k n o arkusza wyników testu istotności różnic

Poszczególne pola w arkuszu wyników oznaczają odpowiednio:

[1] - nazwy zmiennych lub długie nazwy (o ile taka opcja została wybrana)
[2] - średnia grupy pierwszej
[3] - średnia grupy drugiej
[4] - wartość testu-t
[5] - ilość stopni swobody testu-t
[6] - komputerowy poziom prawdopodobieństwa z w a n y też prawdopodobieństwem

testowym (significance level)
U W A G A ! Przy weryfikacjach hipotez za p o m o c ą pakietów k o m p u t e r o w y c h ważne

staje się wprowadzenie drugiego (ex post) p o z i o m u istotności, oprócz j u ż
omawianego poziomu istotności α (ex ante). Ten drugi p o z i o m istotności zwany
„ k o m p u t e r o w y m p o z i o m e m istotności" lub „ p o z i o m e m p r a w d o p o d o b i e ń s t w a " jest
w pakiecie STATISTICA oznaczany przez p.
Jeżeli α > p, to na d a n y m poziomie istotności α odrzucamy hipotezę zerową,
natomiast gdy α < p, to na d a n y m poziomie istotności α nie ma podstaw do
odrzucenia h i p o t e z y zerowej.

Porównanie tych dwóch p o z i o m ó w istotności jest

bardzo użyteczną metodą przy podejmowaniu decyzji weryfikacyjnych

[7] - wartość testu-t dla niejednorodnych wariancji (tzw. test Cochrana-Coxa)
[8] - stopnie swobody testu-t dla niejednorodnych wariancji
[9] - komputerowy poziom prawdopodobieństwa testu-t dla niejednorodnych wariancji

U W A G A - pola [7], [8] oraz [9] pojawiają się gdy w polu opcje wybraliśmy test-t
dla niejednorodnych wariancji

[10] - liczebność grupy pierwszej

157

Przystępny kurs statystyki

[ 1 1 ] - liczebność grupy drugiej
[12] - odchylenie standardowe w grupie pierwszej
[13] - odchylenie standardowe w grupie drugiej
[14] - wartość testu F sprawdzającego jednorodność wariancji
[15] - komputerowy poziom prawdopodobieństwa testu F dla jednorodności wariancji
[16] - wartość testu Levenea sprawdzającego jednorodność wariancji
[17] - stopnie swobody testu Levenea sprawdzającego jednorodność wariancji
[18] - komputerowy poziom prawdopodobieństwa testu Levenea dla jednorodności

wariancji

U W A G A - pola [16], [17] oraz [18] pojawiają się gdy w polu opcje wybraliśmy test
Levene'a dla jednorodności wariancji

W arkuszu wyników kolorem czerwonym zaznaczone są wyniki istotnie

statystycznie - te dla których poziom p jest mniejszy od wartości 0,05 (domyślne
ustawienie poziomu istotności). Jeśli potrzeba, wartość tę m o ż e m y zmienić wykorzystując

zostały omówiono szczegółowo wcześniej.

Graficzna interpretacja

Porównania wartości średnich w dwóch grupach m o ż e m y przedstawić graficznie. Opisane
poniżej wykresy ułatwiają szybką ocenę i intuicyjną wizualizację siły relacji między
zmienną grupującą i zmienną zależną. Przyciski - związane z graficzną interpretacją -
umieszczone w prawej dolnej części okna Testy dla prób niezależnych umożliwiają:

158

przycisk

na pasku narzędzi w arkuszu w y n i k ó w i podać kryterium (np. wartość

0,001), według którego wyróżniane są komórki z wynikami. Dokonujemy tego w oknie
(pojawi się ono po wybraniu przycisku Opcje):

Przyciski

otwierają okna do ustawiania wag i selekcji przypadków. O k n a te

- wywołanie okna do rysowania wykresu r a m k o w e g o

(skrzynki z wąsami - box and whisker) dla wybranych zmiennych - j e d e n wykres na j e d n ą
zmienną. Przy ich p o m o c y m o ż e m y otrzymać graficzną ocenę mediany, odchylenia
standardowego, rozstępu oraz skośności (szczegółowy opis znajdziemy w rozdziale 14).

- tworzenie skategoryzowanych histogramów dla

wybranych zmiennych. Wykresy mogą pokazywać histogramy rozbite do dwóch grup

Testy t-studenta

maksymalnie. Po naciśnięciu tego przycisku pojawia się okno, w którym wybieramy
kategoryzujące zmienne.

3.

Elementy i format arkusza w y n i k ó w zależy od ustawień dokonanych w d w u polach -
Opcje i Wyniki znajdujących się na dole okna Testy t dla prób zależnych. Przybliżmy ich
możliwości.

159

- tworzenie skategoryzowanych N o r m a l n y c h wykresów

prawdopodobieństwa dla wybranych zmiennych zależnych. M o ż e m y wybrać do d w ó c h
zmiennych dla określenia kategorii.

- tworzenie skategoryzowanych N o r m a l n y c h wykresów

prawdopodobieństwa z eliminacją trendu dla wybranych zmiennych zależnych. M o ż e m y
wybrać do dwóch zmiennych dla określenia kategorii.

- tworzenie skategoryzowanych wykresów rozrzutu wraz

z linią regresji dla wybranych par zmiennych - j e d e n wykres dla każdej pary. Po
uaktywnieniu tej opcji w pierwszym w y w o ł a n y m oknie podajemy pary zmiennych dla
utworzenia wykresów rozrzutu, a w drugim - zmienne definiujące kategorie. Na wykresach
m a m y też wykreślone linie regresji i ich 95 % przedziały ufności.

Testy t dla prób zależnych

Po wybraniu opcji testy t dla prób zależnych i naciśnięciu OK (lub po d w u k r o t n y m
kliknięciu na nazwie opcji) otwiera się okno Testy dla prób zależnych przedstawione
poniżej.

Wyboru zmiennych do analizy dokonujemy w oknie, które pojawia się po naciśnięciu

przycisku

Sposób wyboru zmiennych został dokładnie opisany w rozdziale

Przystępny kurs statystyki

I tak, pola wyboru w oknie Opcje umożliwiają
• Usuwanie BD przypadkami

Jeżeli ta opcja została wybrana, STATISTICA eliminuje z analizy wszystkie przypadki,
dla których brakuje danych w jakiejkolwiek zmiennej wybranej do analizy.
W przeciwnym przypadku braki danych eliminowane są z analizy parami (obliczenia
wykonywane są dla przypadków, które posiadają p o p r a w n e dane dla d w ó c h aktualnie
analizowanych zmiennych). Z w r a c a m y na tę opcję uwagę, gdy przeprowadzamy t-testy
dla bardzo długich list zmiennych.

• Pokaż długie nazwy zmiennych

Jeżeli ta opcja została wybrana, wówczas w pierwszej kolumnie arkusza w y n i k ó w obok
nazw zmiennych pojawią się (o ile były określone) długie nazwy zmiennych (etykiety).

Z kolei przyciski opcji w oknie Wyniki umożliwiają:
• Macierz testów t (średnie, różnice)

160

Jeżeli ta opcja została wybrana, wówczas naciśnięcie przycisku

tworzy

ciąg (kaskadę) arkuszy wyników. W kolejnych arkuszach w y n i k ó w dla każdej pary
wybranych zmiennych podane są: różnice średnich, wartości testu t dla danej różnicy
oraz poziomy p dla danej wartości t.

• Szczegółowa tabela w y n i k ó w

Opcja wybrana domyślnie. W pojedynczym arkuszu w y n i k ó w pokazana jest
szczegółowa tabela wyników (rysunek 12), poza powyżej w s p o m n i a n y m i wynikami

pojawi się odchylenie standardowe oraz liczebność grup

Po wyborze zmiennych i ustawieniu odpowiednich opcji obliczanie testów-t rozpoczynamy

albo przez naciśnięcie przycisku

albo przez naciśnięcie przycisku OK.

Program wyświetli prawie natychmiast okno arkusza wyników. Postać tego okna

zależna jest od opcji omawianych powyżej. Poniższy rysunek pokazuje przykładowe okno
wyników wraz z objaśnieniami poszczególnych pól.

Poszczególne pola w arkuszu wyników oznaczają odpowiednio:

[1] - nazwy (lub długie nazwy) zmiennych
[2] - średnie arytmetyczne dla obu grup
[3] - odchylenie standardowe dla obu grup
[4] - liczba przypadków
[5] - różnica średnich
[6] - odchylenie standardowe różnic
[7] - wartość testu-t dla zmiennych zależnych
[8] - ilość stopni swobody testu-t
[9] - komputerowy p o z i o m prawdopodobieństwa (zwany też prawdopodobieństwem

testowym) testu-t dla zmiennych zależnych (significance level). O z n a c z m y przez
a przyjęty na początku analizy poziom istotności. Jeżeli α > p, to na d a n y m

Testy t-studenta

poziomie istotności a odrzucamy hipotezę zerową, natomiast gdy α < p, to na
d a n y m p o z i o m i e

istotności a nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

otwierają okna do ustawiania w a g i selekcji przypadków. O k n a te

zostały omówiono szczegółowo wcześniej.

161

W arkuszu wyników kolorem czerwonym zaznaczone są wyniki istotnie statystycznie - te
dla których poziom p jest mniejszy od wartości 0,05 (domyślne ustawienie p o z i o m u
istotności). Jeśli potrzeba wartość tę m o ż e m y zmienić wykorzystując przycisk

n a

pasku narzędzi w arkuszu w y n i k ó w i podać kryterium (np. wartość 0,001), według którego
wyróżniane są komórki z wynikami.

Dokonujemy tego w oknie (pojawi się ono po wybraniu przycisku Opcje):

Przyciski

Przystępny kurs statystyki

Rys. 8.14 O k n o z wynikami obliczeń dla przykładu 1

Z obliczeń testu F (ostatnie dwa pola) wynika, że nie m o ż e m y odrzucić hipotezy
o równości wariancji (p=0,514).

Liczony jest więc t-test dla j e d n o r o d n y c h wariancji, a j e g o wyniki potwierdzają

nasze obliczenia „na piechotę". Wynika z tego, że średni p o z i o m obniżonego ciśnienia
przez lek A jest istotnie statystycznie różny od średniego p o z i o m u obniżonego ciśnienia
przez lek B. M o ż e m y wnioskować, że lek A jest skuteczniejszy od leku B przy poziomie
istotności 0,05, a nawet i mniejszym p = 0,029. Równocześnie nie jest to prawdą dla

jakiegokolwiek niższego poziomu (np. 0,01). Oznacza to, że j u ż od p o z i o m ó w mniejszych

od 0,029 decyzja weryfikacyjna zmienia się na odwrotną.

Graficzna interpretacja otrzymanych rezultatów widoczna jest w poniższy oknie:

162

Graficzna interpretacja

Porównania wartości średnich w d w ó c h grupach m o ż e m y przedstawić graficznie. Przycisk
- związany z graficzną interpretacją - umieszczony jest w dolnej części okna Testy dla
prób zależnych:

- umożliwia wywołanie okna do rysowania skrzynek

z wąsami (box and whisker) dla wybranych zmiennych - j e d e n wykres na j e d n ą zmienną.
Przy ich p o m o c y m o ż e m y otrzymać graficzną ocenę mediany, odchylenia standardowego,
rozstępu oraz skośności (szczegółowy opis znajdziemy w rozdziale 14).

IV. Przykłady

Przykład 1 cd.
Przeanalizujmy przy p o m o c y programu STATISTICA dane z przykładu 1.
Wprowadzamy dane w postaci dwu kolumn. Po wyborze zmiennych do analizy

i naciśnięciu przycisku
wyników:

otrzymujemy następujące okno z arkuszen

Testy t-studenta

Rys. 8.16 Arkusza wyników dla danych z przykładu 2

Wynika z tego, że średni poziom ciśnienia przed p o d a n i e m leku jest istotnie statystycznie
różny od średniego poziomu ciśnienia po podaniu leku (odrzucamy hipotezę zerową przy
poziomie istotności 0,05, a nawet i mniejszym p = 0,0094). M o ż e m y wnioskować, że lek
skutecznie obniża ciśnienie. Równocześnie nie jest to prawdą dla jakiegokolwiek niższego
poziomu (np. 0,001). Oznacza to, że j u ż od p o z i o m ó w mniejszych od 0,0094 decyzja
weryfikacyjna zmienia się na odwrotną. Graficzna interpretacja wyników widoczna jest
w poniższy oknie:

163

Przykład 2 (ciąg dalszy)
Przeprowadzimy analizę statystyczną na danych przedstawionych w przykładzie
pierwszym. Po wprowadzeniu danych (w dwóch kolumnach) wybieramy opcję testy t dla
prób zależnych module Podstawowe statystyki i tabele. Po wyborze zmiennych do

analizy i naciśnięciu przycisku
wyników:

otrzymujemy następujące okno z arkuszem

Przystępny kurs statystyki

Rys. 8.16 Interpretacja graficzna testu t dla danych z przykładu 2

Oczywiście m o ż e m y próbować to zagadnienie analizować testem t dla zmiennych
niezależnych, ale tak nie wolno. Oto jaki błędny wynik dostajemy!:

Według tego arkusza wyników nie m a m podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku
istotnego oddziaływania danego leku

Przykład 3
Przypuśćmy, że chcemy porównać średnie p e w n e g o parametru biochemicznego w d w ó c h
grupach pacjentów. Zebrane dane przedstawiono w poniższej tabeli.

Parametr

1

1

6

7

3

7

7

7

1

7

7

7

biochemiczny
N u m e r grupy

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Parametr

1

2

2

3

3

5

3

4

7

4

2

3

biochemiczny
N u m e r grupy

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Po wykonaniu analizy (testy dla zmiennych niezależnych) w programie STATISTICA
otrzymujemy następujące okno arkusza wyników:

164

Testy t-studenta

Nie m a m y więc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (p = 0,056177). Jest to jakby
w sprzeczności z poniższym rysunkiem sugerującym istotnie statystyczną różnicę średnich.

Rys. 8.20 Interpretacja graficzna danych z przykładu 3

Gdzie tkwi błąd? Otóż nie sprawdziliśmy założeń. B a d a n a zmienna nie ma rozkładu
normalnego. Musimy posłużyć się testami nieparametrycznymi. W poniższych oknach
mamy wyniki analizy statystycznej wykorzystującej test K o ł m o g o r o w a - S m i r n o w a oraz test
Walda-Wolfowitza. Potwierdzają one to, co sugerował powyższy rysunek, że dwie grupy
pacjentów nie pochodzą z tej samej populacji. O d r z u c a m y (na poziomie 0,37) hipotezę
o identyczności rozkładu parametru biochemicznego w obu grupach pacjentów.

165

Przystępny kurs statystyki

Przykład 4
Badano tętno 22 pacjentom przed i po niewielkim wysiłku fizycznym. Zebrane dane
z uwzględnieniem zmiennej płeć (k - kobieta, m- mężczyzna) przedstawia poniższa tabela:

k

21

156

m

20

132

m

38

122

m

20

136

k

33

148

k

25

148

k

37

136

k

22

158

m

32

116

m

22

120

m

22

126

m

19

144

k

21

144

m

26

126

k

32

136

k

24

142

k

28

138

m

34

132

m

35

116

m

21

138

m

21

142

m

30

132

Porównajmy pary zmiennych (tętno przed i po wysiłku) pomiędzy grupą kobiet i grupą
mężczyzn. Po wprowadzeniu konkretnych wartości do arkusza danych przystępujemy do
analizy statystycznej. W module Podstawowe statystyki i tabele wybieram porównanie
średnich zależnych. Ponieważ rozważamy więcej niż j e d n ą zmienną, należy włączyć
w polu Opcje Test wielowymiarowy (T" Hotelinga).

Wartość testu T

2

Hotelinga oraz jego p o z i o m istotności znajdujemy na górze okna

wyników. Odrzucamy więc hipotezę zerową, że grupa kobiet i grupa mężczyzn mają

166

Po wyborze zmiennych do analizy i naciśnięciu przycisku

otrzymujemy następujące okno z arkuszem wyników:

Testy t-studenta

jednakowe średnie wektory tętna przed i po wysiłku. Podobne wnioski wynikną, gdy

będziemy rozpatrywać tętno przed i po wysiłku osobno.

Dla prezentowanych danych m o ż e m y też przeprowadzić porównanie wartości

tętna przed i po wysiłku testem dla zmiennych zależnych. O t r z y m a m y następujące okno
arkusza wyników:

Wynika z tego, że wielkości tętna przed i po wysiłku różnią się istotnie statystycznie przy
dowolnie m a ł y m poziomie istotności. O b y wszystkie wyniki analiz były takie. Na
poniższym rysunku m a m y graficzną interpretację otrzymanych wyników:

Na zakończenie dla ułatwienia znalezienia właściwego testu podajemy algorytm doboru
testu istotności różnic.

U W A G A !
Test z, test t występują w programie STA TISTICA p o d wspólną nazwą testy-t. Program sam
dobiera odpowiedni dla danej liczebności test. Test Cochrana-Coxa to w programie
STATISTICA

test t z oddzielną oceną wariancji.

167

Testy t-studenta

V. Interpretacja wyników

Interpretacja wyników otrzymanych po weryfikacji hipotez jest j e d n y m z najtrudniejszych
i najważniejszych kroków w przeprowadzanej analizie statystycznej. Poprawna
interpretacja analizy statystycznej nie m o ż e być niezależna od wiedzy na temat charakteru
i sposobu otrzymywania danych. Suche liczby to za m a ł o . Najlepiej, gdy interpretacji

wyników dokonuje lekarz łącznie ze statystykiem. Pamiętajmy też, że test statystyczny nie

jest dowodem prawdziwości czy fałszywości hipotezy. Wynik testu statystycznego m ó w i
jedynie o prawdopodobieństwie prawdziwości hipotezy i to tylko w powiązaniu

z odpowiednio sformułowaną hipotezą alternatywną. Za p o m o c ą testu m o ż n a albo odrzucić
hipotezę zerową, albo też orzec, że wyniki doświadczenia nie przeczą tej hipotezie.
Mówiąc nieprecyzyjnie decydujemy, czy jeden zbiór wyników „ n a p r a w d ę " różni się od
drugiego. Jeżeli tak, to wyciągamy wniosek, że dwa zbiory wyników pochodzą z różnych
populacji. Na przykład: jeżeli dwa zbiory wyników to p e w n e dane przed i po podaniu
testowanego leku, m o ż e m y powiedzieć, że lek istotnie wpływa na mierzone zjawisko.
Ocena testu statystycznego ma na ogół postać zdania:

„Na ustalonym poziomie istotności α = .... hipotezę zerową H

0

odrzucamy lub

nie m a m y podstaw do jej odrzucenia".

Nieodrzucenie hipotezy zerowej nie jest równoważne z jej przyjęciem. Natomiast przyjęcie
hipotezy alternatywnej ma charakter wniosku pozytywnego. O r z e k a m y b o w i e m
zachodzenie pewnych różnic, a nie tylko brak podstaw do założenia różnicy lub

identyczności populacji. Z kolei wynik „nieistotny" nie oznacza nieważny lub nie
istniejący. Wyniki te niosą też pewną informację o efektach mających znaczenie kliniczne.
Najlepiej traktować te wyniki j a k o „nie u d o w o d n i o n e " . Być m o ż e np. zwiększenie
liczebności grupy próbnej zmieni tę sytuację. Podając więc wynik „ n e g a t y w n y "
powinniśmy podawać wartość przedziału ufności dla obserwowanego zjawiska czy też
efektu. Niestety przedziały ufności nie cieszą się popularnością wśród lekarzy.

Ostrożnie należy też traktować wyniki z p o z i o m e m istotności bliskim 0,05,

zwłaszcza jeżeli m o ż e m y podejrzewać, że testowanie istotności jest niewłaściwie
powtarzalne.

W przypadku bardzo ważnych decyzji klinicznych, np. wdrożenia nowej terapii

lub metody leczenia, należy oprócz tradycyjnej analizy weryfikującej hipotezy skorzystać
z meta-analizy, czyli zwrócić uwagę na takie fakty jak:

• dowody epidemiologiczne
• zależność reakcji od dawki
• ile doświadczeń klinicznych potwierdza te fakty
• w jakich podgrupach występuje efekt leczenia
• czy wynik leczenia wynika z rozsądnego wyboru
• czy nowa metoda leczenia związana jest ze skutecznością w innych p o d o b n y c h

przypadłościach

• liczbę zbadanych podgrup itd.

Interpretacja wyników rozbudowanych testów jest rzeczą trudną, starajmy się więc
wówczas zasięgnąć opinii statystyka.

1 6 9