Maria Kotełko

Mechanika

i Wytrzymało

ść

Materiałów

————————————————————————————————————————

Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka

do prowadzenia studiów niestacjonarnych

2

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Cz

ęść

II – Wytrzymało

ść

Materiałów

Wykład 5.

1. Zało

ż

enia podstawowe przyj

ę

te do oblicze

ń

wałów skr

ę

canych

2. K

ą

t skr

ę

cenia wału

3. Napr

ęż

enia w wale skr

ę

canym

4. Moc transmitowana przez wał

3

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Przekazywanie nap

ę

du przez silniki spalinowe, elektryczne na urz

ą

dzenia i maszyny realizowane jest za pomoc

ą

ró

ż

nych przekładni.

Podstawowymi elementami tych urz

ą

dze

ń

s

ą

wały nap

ę

dowe przekazuj

ą

ce momenty skr

ę

caj

ą

ce.

2P

S

l

P

S

2S

R

2P

2R

P

2S

d

Obliczanie napr

ęż

e

ń

oraz odkształce

ń

wałów o przekroju kołowym pełnym lub dr

ąż

onym poddanych skr

ę

caniu

przeprowadzamy w oparciu o zało

ż

enia teorii skr

ę

cania swobodnego.

1. pod wpływem momentu skr

ę

caj

ą

cego przekroje poprzeczne pr

ę

ta doznaj

ą

wzajemnego obrotu w płaszczyznach

prostopadłych do osi pr

ę

ta

2. napr

ęż

enia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi wału s

ą

prostopadłe do promienia

3. tworz

ą

ce na powierzchni pr

ę

ta po odkształceniu maj

ą

kształt linii

ś

rubowej

4. przekroje ko

ń

cowe elementu pozostaj

ą

płaskie.

4

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Skr

ę

canie wału kołowego

Twor z

ą

ca K’L’obraca si

ę

o k

ą

t

γ

(tworzy si

ę

linia

ś

ru-

bowa
Okr

ę

gi pozostaj

ą

okr

ę

gami

Promie

ń

OL obraca si

ę

o k

ą

t d

ϕ

pozostaj

ą

c lini

ą

prost

ą

Przekroje ko

ń

cowe wału pozostaj

ą

płaskie (nie ma

deplanacji

przekroju)

Napr

ęż

enia normalne s

ą

równe zeru

W przekroju poprzeczny m wału działaj

ą

napr

ęż

enia

styczne (skr

ę

caj

ą

ce)

τ

Zało

ż

enia podstawowe:

d s = r d

ϕ

d s =

γ

d x

r

dx

d

ϕϕϕϕ

γγγγ

M

s

ρρρρ

ττττ

ρρρρ

d F

d M

s

=

ττττ

ρρρρ

⋅⋅⋅⋅ρρρρ

d F

Κ

L

L’

dx

d

dx

LL

ϕ

ρ

γ

γ

ρ

ρ

=

⇒

=

1

ρ

ρ

γ

τ

⋅

=

G

)

1

(

2

ν

+

=

E

G

Warunek równowagi

∫

∑

=

⇒

τ

ρ

ρ

τ

F

s

x

dF

M

M

)

(

0

0

2

GJ

M

dx

d

dx

d

GJ

dF

dx

d

G

M

s

F

s

=

⇒

=

=

∫

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

5

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Skr

ę

canie wału kołowego-k

ą

t skr

ę

cenia

ds = r d

ϕ

ds =

γ

dx

r

dx

d

ϕϕϕϕ

γγγγ

M

s

ρρρρ

ττττ

ρρρρ

dF

dM

s

=

ττττ

ρρρρ

⋅⋅⋅⋅ρρρρ

dF

0

0

2

GJ

M

dx

d

dx

d

GJ

dF

dx

d

G

M

s

F

s

=

⇒

=

=

∫

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

∫

=

F

dF

J

2

0

ρ

Biegunowy moment bezw ładno

ś

ci przekroju

dx

GJ

M

L

s

∫

=

0

ϕ

Dla Ms /GJ

0

= const:

0

GJ

L

M

s

=

ϕ

6

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Skr

ę

canie wału kołowego-napr

ęż

enia tn

ą

ce

ds = r d

ϕ

ds =

γ

dx

r

dx

d

ϕϕϕϕ

γγγγ

M

s

ρρρρ

ττττ

ρρρρ

dF

dM

s

=

ττττ

ρρρρ

⋅⋅⋅⋅ρρρρ

dF

dx

d

G

G

ϕ

ρ

γ

τ

ρ

ρ

=

=

0

J

M

s

ρ

τ

ρ

=

ρ

0

J

M

s

ρ

τ

ρ

=

max

0

max

ρ

τ

⋅

=

J

M

s

0

max

W

M

s

=

τ

gdzie

max

0

0

ρ

J

W

=

7

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Warunek wytrzymało

ś

ciowy

s

s

k

W

M

≤

=

0

max

max

τ

s

t

s

n

R

k

=

8

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci wału

pełnego

dF

=2⋅πρ δρ

r

( )

2

2

4

3

2

0

r

d

dF

J

r

F

OR

⋅

=

=

=

∫

∫

π

ρ

πρ

ρ

32

4

0

d

J

π

=

16

3

0

d

W

π

=

9

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Biegunowy moment bezwładno

ś

ci wału

dr

ąż

onego

z

y

dF=2

⋅πρ

d

ρ

d

ρ

r

z

D

z

= 2r

z

r

w

(

)

2

2

4

4

3

2

w

z

r

r

F

OR

r

r

d

dF

J

z

w

−

⋅

=

=

=

∫

∫

π

ρ

πρ

ρ

32

)

(

4

4

0

w

z

d

d

J

−

=

π

z

w

z

d

d

d

W

16

)

(

4

4

0

−

=

π

Wska

ź

niki

wytrzymało

ś

ciowe

nie s

ą

addytywne!

10

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Moc przenoszona (transmitowana)

przez wał

z

y

M

s

=P

⋅

R

S

R

P

P

dL=PRd

φ

ϕ

ϕ

d

M

d

dL

s

=

=

Pr

dt

d

M

N

s

ϕ

=

ϖ

⋅

=

s

M

N

gdzie

ω

jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

wału (

ω

ω

ω

ω

= 2

ππππ

n) .

11

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Moc transmitowana przez wał

Zamiana jednostek

min]

/

[

]

[

9550

min]

/

[

]

[

3

,

9549

min]

/

[

2

60

1000

]

[

obr

n

kW

N

obr

n

kW

N

obr

n

W

Nm

M

s

≅

=

⋅

=

π

min]

/

[

]

[

620

71

min]

/

[

2

60

100

]

/

[

75

]

[

obr

n

KM

N

obr

n

cm

KM

s

kGm

kGcm

M

s

=

⋅

=

=

π

12

Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów

Przykład obliczeniowy

l

P

M

s

=2P

⋅

R

R

P

φ

2d

R

φ

d

M

S

Obliczy

ć

ś

rednic

ę

d i k

ą

t skr

ę

cenia wału przedstawionego na rysunku:

Dane: P =5 kN, l = 40.0 mm R = l/4, ks = 80 MPa, G = 8· 10 4 MPa.