1

Wykład II Mechanika

Zasady dynamiki Newtona

1

I zasada dynamiki: Jeśli na ciało nie działa żadna siła bądź działające siły
równoważą się, ciało to porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
(

const

v =

r

) lub spoczywa.

Pęd:

v

m

p

r

r

=

II zasada dynamiki: Zmiana pędu ciała w (nieskończenie) krótkim czasie jest
równa sile działającej na to ciało pomnożonej przez ten czas

Masa grawitacyjna (m

*

) i bezwładna (m):

*

*

*

~ m

m

g

m

m

a

a

m

g

m

F

g

⇒

=

⇒

=

=

r

r

r

r

r

,

przyjmuje się m

*

= m

Układ inercjalny: układ w którym zachodzi I zasada dynamiki

Transformacja Galileusza

2

Jeśli dany układ jest inercjalny, to układy poruszające się względem niego ze
stałą prędkością też są inercjalne

Zasada superpozycji sił: jeśli na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa
jest sumą wektorową sił składowych

1

Isaac Newton 1643-1727

2

Galileo Galilei 1564-1642









=

′

−

=

′

t

t

t

u

r

r

r

r

r

















=

′

−

=

′

−

=

′

−

=

′

t

t

t

u

z

z

t

u

y

y

t

u

x

x

z

y

x

2

2

2

2

dt

r

d

dt

r

d

u

dt

r

d

dt

r

d

r

r

r

r

r

=

′

−

=

′

F

dt

p

d

r

r

=

F

a

m

dt

v

d

m

dt

v

m

d

r

r

r

r

=

=

=

)

(

2

Wykład II cd. Mechanika

II zasada dynamiki dla układu N punktów materialnych:

III zasada dynamiki: siła reakcji jest równa i przeciwnie skierowana do akcji

Suma sił wzajemnego oddziaływania punktów znika

Prawa zachowania

Zachowanie pędu

Ś

rodek masy:

dt

R

d

M

P

m

M

r

m

M

R

i

i

i

i

i

r

r

r

r

=

=

=

∑

∑

,

,

1

Ruch środka masy określają wyłącznie siły zewnętrzne

Zachowanie momentu pędu

N

j

i

F

F

dt

p

d

N

i

j

j

ij

i

i

K

r

r

r

,

2

,

1

,

1

=

+

=

∑

≠

=

i

F

r

- siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt,

ij

F

r

- siła działająca na i-ty punkt pochodząca

od punkty j-tego

ji

ij

F

F

r

r

−

=

(

)

∑

∑

≠

=

≠

=

=

+

=

N

j

i

j

i

ji

ij

N

j

i

j

i

ij

F

F

F

1

,

1

,

0

2

1

r

r

r

F

F

F

dt

P

d

N

j

i

j

i

ij

N

i

i

r

r

r

r

=

+

=

∑

∑

≠

=

=

1

,

1

N

i

F

F

p

P

N

j

i

N

j

i

K

r

r

r

r

,

2

,

1

1

1

=















=

=

∑

∑

=

=

- całkowity pęd układu punktów

- całkowita siła zewnętrzna

0

=

dt

P

d

r

Jeśli siła zewnętrzna znika, całkowity pęd układu jest zachowany:











=

=

×

=

∑

=

N

j

i

i

i

i

N

i

J

J

p

r

J

1

,

2

,

1

,

K

r

r

r

r

s

- moment pędu i-tego punktu materialnego

- całkowity moment pędu układu punktów

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

≠

≠

≠

≠

×

−

+

×

=

×

+

×

+

×

=

×

+

×

=















+

×

=













×

+

×

=

i

j

j

i

ij

j

i

i

i

i

i

j

j

i

ji

j

ij

i

i

i

i

i

j

j

i

ij

i

i

i

i

i

i

j

j

ij

i

i

i

i

i

i

i

F

r

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

r

F

F

r

dt

p

d

r

p

v

dt

J

d

,

,

,

,

,

,

,

)

(

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

0

=

×

i

i

p

v

r

r

3

Wykład II cd. Mechanika

Jeśli układ jest izolowany

(

)

0

=

i

F

r

, a siły wzajemnego oddziaływania centralne

(

)

ij

j

i

F

r

r

r

r

r

||

)

( −

Wielkość momentu pędu zależy od

wyboru układu współrzędnych.

Układ środka masy

promienie wodzące w CM

0

:

*

*

=

∑

i

i

i

i

r

m

r

r

r

Moment pędu:

∑

∑

×

≡

≡

+

×

=

i

i

i

i

i

i

p

r

J

p

m

P

J

P

R

J

r

r

r

r

r

r

r

r

r

*

*

*

,

,

Zachowanie energii

pojedyncza cząstka

m

p

T

2

2

r

≡

- energia kinetyczna

F

dt

r

d

F

m

p

dt

p

d

m

p

dt

dT

r

r

r

r

r

r

=

=

=

siła potencjalna:













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

−∇

=

z

r

V

y

r

V

x

r

V

r

V

F

)

(

,

)

(

,

)

(

)

(

r

r

r

r

r

V –

energia potencjalna

t

V

∂

∂

– układ konserwatywny

dt

r

dV

z

V

dt

dz

y

V

dt

dy

x

V

dt

dx

r

V

dt

r

d

)

(

)

(

r

r

r

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

układ cząstek

∑

∑

∑

∑

∑

∑

≠

≠

−

−

+

=















−

+

=

=

≡

i

i

j

i

j

i

j

i

ij

j

i

i

i

i

i

j

j

j

i

ij

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

r

r

F

dt

r

r

d

r

F

dt

r

d

r

r

F

r

F

dt

r

d

dt

p

d

m

p

dt

dT

m

p

T

,

,

,

2

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

2

,

2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

)

(

),

(

r

V

F

r

V

F

ij

ij

i

i

r

r

r

r

−∇

=

−∇

=

siły potencjalne

∑

∑

≠

+

≡

j

i

j

i

ij

i

i

V

V

U

,

,

2

1

energia potencjalna układu

U

T +

energia całkowita układu

0

=

dt

J

d

r















−

≡

≡

∑

∑

i

i

i

i

i

i

i

r

R

r

m

r

m

R

r

r

r

r

r

*

(

)

0

=

+ V

T

dt

d

T+V –

całkowita energia

0

2

1

,

,

=















+

+

∑

∑

≠ j

i

j

i

ij

i

i

V

V

T

dt

d