Ć w i c z e n i e 30
BADANIE ZALEŻNOŚCI PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU OD
TEMPERATURY
30.1 Wstęp teoretyczny
30.1.1. Prędkość dźwięku.
Do bardzo rozpowszechnionych procesów makroskopowych należą ruchy określone wspólną nazwą
fal dźwiękowych lub po prostu dźwięków. Dźwięk jest makroskopową falą powstającą w wyniku upo-
rządkowanych małych drgań substancji. Makroskopowość fali oznacza to, że jej długość
λ
przewyższa
znacznie charakterystyczne liniowe rozmiary mikroskopowej struktury ośrodka. A zatem, dla dźwięku
w gazie
s
λ
λ
〉〉 , gdzie
s
λ
oznacza średnią drogę swobodną cząstek gazu. W warunkach normalnych
s
λ
jest rzędu
7
10
−
m, wobec czego
7
10
−
〉〉
λ
m. W przypadku cieczy i ciał stałych musi być
a
〉〉
λ
,
gdzie a oznacza średnią odległość między cząstkami ośrodka. Odległość ta jest rzędu
10
10
−
m, a więc
w przypadku takich ośrodków musi być spełniony warunek
10
10
−
〉〉
λ
m.
Ograniczenia długości fali od strony wartości małych pociągają za sobą ograniczenia częstości od stro-
ny wartości dużych. W gazach, w warunkach normalnych, prędkość dźwięku zmienia się w granicach
od
3
2
10
do
10
m/s (wyjątkiem jest wodór, w którym prędkość dźwięku jest większa:
3
10
v
〉
m/s). W
cieczach i ciałach stałych prędkość dźwięku jest prawie o rząd wielkości większa niż w gazach (patrz
Tabela 30.1). Wychodząc z ogólnej właściwości fal (patrz wzór 6.4 skrypt)
f
=
v
⋅
λ
otrzymujemy
następujący warunek na częstość drgań dźwiękowych w gazach w warunkach normalnych
Hz
10
m
10
m/s
10
2π
ω
f
9
7
2
≈
〈〈
=
−
Regularna struktura (uporządkowanie) fali dźwiękowej wynika z tego, że dźwięk jest wzbudzany drga-
niami mechanicznymi. Np., fala dźwiękowa dochodząca od głośnika jest wytwarzana drganiami jego
membrany. Uporządkowanie cechujące fale dźwiękowe odróżnia je od ruchów bezładnych, takich jak
np. cieplne drgania cząstek kryształu. Ponieważ drgania dźwiękowe są małe, towarzyszące przecho-
dzeniu fali dźwiękowej odchylenia makroskopowych parametrów ośrodka od wartości równowago-
wych są niewielkie. Np., różnice ciśnień w gazie, powodowane przejściem fali dźwiękowej, są mniej-
sze niż ciśnienie w gazie nie zaburzonym przechodzeniem takiej fali.
Dźwiękiem w węższym sensie nazywamy takie drgania ośrodka, których częstość należy do zakresu
odbieranego przez ludzkie ucho, tj. które mieszczą się w zakresie od 16 do
4
10
2
⋅
Hz. Drgania o czę-
stościach mniejszych niż 16 Hz nazywamy infradźwiękami, a o częstości powyżej
4
10
2
⋅
Hz – ultra-
dźwiękami. Dział fizyki poświęcony badaniu zjawisk dźwiękowych nosi nazwę akustyki i w związku z
tym fale dźwiękowe nazywa się także falami akustycznymi.
Dzięki makroskopowemu charakterowi ruchu w polu fali dźwiękowej, można nie uwzględniać mikro-
skopowej budowy ośrodka, lecz zakładać, że ma on budowę ciągłą. W przypadku fali akustycznej roz-
chodzącej się w dowolnym ośrodku wielkością wykonującą ruch drgający jest każda składowa dosta-
tecznie małego przemieszczenia ξ(r,t) nieskończenie małego elementu objętości ∆V ośrodka względem
położenia równowagi.
W fizyce zjawisk dźwiękowych rozważa się następujące pytania:
1. Jaka jest zależność prędkości dźwięku od właściwości ośrodka?
2. Od jakich wielkości fizycznych zależą zjawiska akustyczne?
30.1.2. Teoretyczne wyznaczanie prędkości dźwięku.
Wyznaczymy prędkość dźwięku w ośrodku gazowym. Zauważmy, że w takim ośrodku rozchodzą się
tylko fale podłużne, ponieważ ani gaz, ani ciecz nie stawiają oporu podczas prób zmiany ich kształtu.
Inaczej mówiąc, uporządkowane drgania w takich ośrodkach można wytwarzać tylko przez ściskanie
ich i rozciąganie.
Rozważmy najprostszy przypadek fali dźwiękowej jednowymiarowej. Taką falę można, np., wzbudzić
w długiej rurze wypełnionej gazem lub cieczą, umieszczając w jednym z jej końców drgającą membra-
nę. Proces falowy będzie wówczas polegał na przemieszczaniu się w ośrodku stref zgęszczeń i rozrze-
dzeń wywołanych drganiami membrany. Wielkość ξ będzie w tym przypadku oznaczała przesunięcie
nieskończenie cienkiej (ale o grubości jeszcze makroskopowej!) warstewki substancji wzdłuż osi rury.
Wielkość przemieszczenia zależy od wartości współrzędnej x warstewki w stanie niezaburzonym oraz
od czasu: ξ = ξ(x,t) (rys.30.1). Jest oczywistą rzeczą, że i gęstość, i ciśnienie też będą funkcjami x i t.
P(x,t)
x
x+dx
P(x+dx,t)
x
ξ(x,t)
ξ(x+dx,t)
Rys.30.1. Mechanizm powtawania fali dźwiękowej w długiej rurze. Jest to fala podłużna.
Ciśnienie i koncentrację w punkcie x w chwili t oznaczymy odpowiednio symbolami P(x,t) i n(x,t).
Wartości tych wielkości odpowiadające stanowi równowagi oznaczymy literami P i n (bez argumen-
tów).
Weźmy pod uwagę substancję zawartą w warstwie o małej grubości dx (rys. 30.1). Jej przyspieszenie
jest równe:
2
2
t
/
)
t
x,
(
∂
ξ
∂
=
a
.
Masa tej substancji wynosi:
M = mcdx
⋅
S = ρ dx S
gdzie: m oznacza masę pojedyńczej cząstki, ρ = mc - masę właściwą, c – koncentracja cząsteczek gazu
(tzn ilość cząsteczek w 1 m
3
), S - przekrój poprzeczny rury.
Na rozważaną porcję substancji działają siły ciśnienia przyłożone w punktach o współrzędnych x i
x+dx (rys. 30.1 ). Wypadkowa sił ciśnienia wynosi:
F = - [P(x+dx,t)-P(x,t)]S =
x
)
t
x,
(
P
∂
∂
−
dx S
Na podstawie drugiej zasady Newtona możemy napisać:
M a = F
=
2
2
t
)
t
x,
(
Sdx
∂
ξ
∂
ρ
x
)
t
x,
(
P
∂
∂
−
dxS
a po podzieleniu przez dxS otrzymamy
=
2
2
t
)
t
x,
(
∂
ξ
∂
ρ
x
)
t
x,
(
P
∂
∂
−
(30.1)
Powyższe równanie opisuje ruch uporządkowany ośrodka wypełniającego rurę.
Trzeba zwrócić uwagę na następujące fakty::
a)
rozchodzenie się dźwięku jest procesem adiabatycznym, gdyż sprężanie i rozprężanie gazu
następuje bardzo powoli (nie ma czasu na wymianę ciepła z otoczeniem).
b)
amplituda drgań dźwiękowych jest mała.
Adiabatyczność procesu rozchodzenia się dźwięku wynika z samej istoty fali dźwiękowej. Fale dźwię-
kowe powodują bowiem powstawanie w ośrodku niejednorodności temperatury w skali odległości rzę-
du długości fali λ. Załóżmy, że dźwięk rozchodzi się w ośrodku gazowym. Czas zaniku niejednorodno-
ści temperatury o rozmiarach rzędu λ wynosi
s
T
λ
λ
γ
λ
τ
T
2
2
v
=
=
gdzie: γ - oznacza współczynnik przewodzenia temperatury w gazie,
T
v - termiczną prędkość ruchu
cząstek gazu,
s
λ
- średnią drogę swobodną tych cząstek.
Charakterystycznym czasem procesu falowego jest jego okres
v
λ
=
T
, gdzie v oznacza prędkość
dźwięku. Jak wynika z doświadczenia v i
T
v są wielkościami tego samego rzędu. W przypadku fal
dźwiękowych
s
λ
λ
〉〉 wobec czego, z dokładnością do rzędu wielkości
1
T
T
〈〈
=
λ
λ
τ
s
Jak wynika z powyższej nierówności, fala dźwiękowa przebywa tak szybko odległości porównywalne
z rozmiarami wywołanych przez siebie niejednorodności, że w tym czasie nie dochodzi do wymiany
ciepła między różnymi obszarami ośrodka.
Prędkość dźwięku w ośrodku gazowym lub ciekłym jest określona wyrażeniem
ad
=
ρ
∂
∂
P
u
(30.2)
Wzór ten pokazuje, że prędkość dźwięku w gazie lub w cieczy zależy tylko od właściwości ośrodka w
stanie równowagi cieplnej.
Wyznaczmy teraz prędkość dźwięku w gazie rozrzedzonym. Posłużmy się opisującym przemianę adia-
batyczną równaniem Poissona:
const
PV
=
χ
gdzie
χ
jest współczynnikiem adiabaty
Wstawiając
ρ
M
V
=
otrzymujemy:
const
PM =
χ
χ
ρ
Ponieważ masa gazu jest wielkością stałą, zależność tą możemy zapisać w postaci:
χ
ρ
const
P
=
różniczkując
ρ
χ
ρ
ρ
χ
ρ
χ
ρ
∂
∂
χ
χ
P
const
const
P
1
=
⋅
=
⋅
=
−
ad
Biorąc pod uwagę równanie stanu gazu doskonałego: P = ckT , możemy napisać:
m
kT
ckT
P
χ
ρ
χ
ρ
∂
∂
=
=
ad
a podstawiając uzyskany wynik do wzoru (30.2) otrzymujemy końcowo:
m
kT
u
χ
=
(30.3)
W tabeli 30.1. zestawiliśmy prędkości dźwięku w kilku ośrodkach gazowych w temperaturze 0o C.
Zwraca uwagę anomalnie duża prędkość dźwięku w wodorze. To "odchylenie od normy" wynika ze
stosunkowo małej masy cząsteczkowej wodoru .
Tabela 30.1
__________________________________________________
G a z
u [m/s] C i e c z
u [m/s]
__________________________________________________
Αzot
334 Aceton 1192
Wodór
1284 Benzen
1326
Powietrze
331 Woda 1480
Hel
965 Nafta 2330
Tlen
259 Rtęć 1451
Dwutlenek węgla
268 Spirytus metyl. 1123
___________________________________________________
30.2 Opis układu pomiarowego
Podstawowym elementem układu pomiarowego jest długa (
3 50 0 05
.
.
±
m
) rura (R) umieszczona w ter-
mostacie (T) (patrz rys 30.2). Na jej końcach są zamocowane: z jednej strony głośnik (G), a z drugiej
mikrofon (M). Do głośnika jest doprowadzony sinusoidalny sygnał z generatora sygnałowego (Gs) o
częstotliwości mieszczącej się w zakresie 1000-2000 Hz. Tak powstała fala dźwiękowa po przejściu
przez rurę jest wychwytywana przez mikrofon. Oba sygnały (ten z generatora i ten z mikrofonu) są
porównywane na oscyloskopie dwustrumieniowym (Os). Mikrofon posiada własny zasilacz (ZM) z
wyłącznikiem (Km).
G
G
M
R
Gs
T
ZM
Km
Os
Rys 30.2. Schemat układu pomiarowego
Czas w jakim fala dżwiękowa przechodzi przez całą długość
l
rury wynosi t =
l
/u. Podstawiając
prędkość dźwięku ze wzoru (30.3) i przekształcając otrzymujemy:
k
m
T
t
χ
l
=
(30.4)
Podczas zmiany temperatury zmienia się prędkość dźwięku, a więc i czas t. Jeżeli zmiana temperatury
(
T
∆ ) jest mała, wówczas zmianę czasu przechodzenia fali dźwiękowej przez rurę ( t
∆ ) można wyrazić
wzorem (wynik zróżniczkowania wyrażenia (30.4) po T):
T
T
1
k
m
2
t
3
∆
⋅
=
∆
χ
l
(30.5)
W ćwiczeniu na oscyloskopie odczytujemy zmianę t
∆ , podczas ogrzewania powietrza w rurze o
o
20
≈
C (w granicach od 20o do 40oC).Odpowiada mu przesunięcie sygnału uzyskanego z mikrofonu
względem sygnału z generatora. Dobierając odpowiednio podstawę czasu oscyloskopu pomiar t
∆
można wykonać z dokładnością
s
10
µ
≈
.
30.3 Przebieg pomiarów
1. Włączyć zasilania: oscyloskopu, generatora sygnałowego i mikrofonu.
2. Ustawić temperaturę wody w termostacie poniżej 20oC (
o
T ) .
3. Delikatnie kręcąc pokrętłem na generatorze drgań dobrać taką częstotliwość z przedziału 1000-
2000Hz, aby na oscyloskopie oba przebiegi (z mikrofonu i z generatora) pokryły się fazami. Po
czym wyłączyć generator i zasilanie mikrofonu (klucz Km).
4. Powoli podgrzewać zawartość termostatu, ustawiając jego przełącznik na funkję H1, do temperatu-
ry 40oC (
k
T
). Co 2o C powtarzać następujące operacje:
a) wyłączyć termostat
b) włączyć zasilanie mikrofonu i generatora sygnałowego
c) na oscyloskopie odczytać wielkość przesunięcia sygnału mikrofonowego względem sygnału
z generatora (w
s
µ
).
d)
wyłączyć zasilanie mikrofonu i generatora sygnałowego
e) włączyć termostat
5. Po wykonaniu ostatniego pomiaru ochłodzić termostat do temperatury poniżej 20o C. W tym celu
należy ustawić funkcję termostatu na H0 , otworzyć kran z wodą chłodzącą oraz skręcić termometr
kontaktowy do pozycji 15oC
6. Zanotować dokładność odczytu temperatury
∆ T.
30.4 Opracowanie wyników pomiarów
1. Na podstawie wyników pomiarów wykreślić liniową zależność
)
T
(
t
∆
=
∆
f
, gdzie T
∆ jest zaist-
niałym w ćwiczeniu przyrostem temperatury od temperatury początkowej do aktualnej.
2. Posługując się metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć współczynnik a prostej i średni błąd
kwadratowy
a
σ
.
3. Porównując wielkość
a
z teoretyczną jej wartością (patrz wzór 30.5) wyznaczyć współczynnik
χ
dla powietrza.
Przyjąć: a.
(
)
o
k
sr
T
T
2
1
T
T
−
=
=
b.
m jako średnią masę cząsteczek powietrza (o składzie 4 części azotu i 1 część
tlenu) :
[ ]
g
N
1
29
N
1
5
32
28
4
m
A
A
≅
+
⋅
=
gdzie
N
A
- liczba Avogadro
4. Obliczyć graniczny błąd względny współczynnika
χ
biorąc pod uwagę dokładność termometru
T
∆ , dokładność wyznaczenia długości rury oraz błąd
a
σ
:
a
l
l
a
σ
χ
χ
+
∆
+
∆
=
∆
T
T
5. Obliczyć graniczny błąd bezwzględny.
30.5. Pytania kontrolne
1. Omówić zjawisko fali dźwiękowej.
2. Od czego zależy prędkość dźwięku?.
3. Wyprowadzić równanie stanu gazu doskonałego w postaci:
: P = ckT
4. Omówić praktyczny przebieg ćwiczenia.
L i t e r a t u r a
[1] Astachow:A.W. Kurs fizyki - Mechanika, Teoria kinetyczna. WNT W-wa 1988r.
[2] Crawort F.C.: Fale. PWN W-wa 1973r.