Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

Ci¡gi liczbowe - zadania

Zadanie 1. Sprawdzi¢ ograniczono±¢ i monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym

a

n

=

3

n

n + 2

.

Zadanie 2. Sprawdzi¢ ograniczono±¢ i monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym

a

n

=

1

(3n + 2)!

.

Zadanie 3. Dla jakich warto±ci x istnieje suma niesko«czonego ci¡gu geometrycznego

1,

2

x − 1

,

4

(x − 1)

2

,

8

(x − 1)

3

, . . .

?

Dla takich x wyznaczy¢ sum¦ wszystkich wyrazów tego ci¡gu.

Zadanie 4. Rozwi¡za¢ równanie

1

1 +

√

x

+

2

(1 +

√

x)

2

+

4

(1 +

√

x)

3

, . . . =

√

x

x − 2

.

Zadanie 5. Obliczy¢ sum¦ wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych.

Zadanie 6. Wydedukowa¢ jaka b¦dzie granica ilorazu dwóch ci¡gów liczbowych b¦d¡cych

wielomianami o stopniach p i k (p, k ∈ N):

lim

n→∞

a

p

n

p

+ a

p−1

n

p−1

+ a

p−2

n

p−2

+ · · · + a

1

n + a

0

b

k

n

k

+ b

k−1

n

k−1

+ b

k−2

n

k−2

+ · · · + b

1

n + b

0

.

Zadanie 7. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1) lim

n→∞

 n

3

+ n

2

− 1

n

3

− 3n



n

2

+1

,

2) lim

n→∞



3

√

n

3

+ 4n

2

+ 3n + 2 − n

2



,

3) lim

n→∞



√

n + 1 −

√

n



,

4) lim

n→∞

n

√

3

n

+ 1,

5) lim

n→∞



n −

3

√

n

3

+ 3n + 1



,

6) lim

n→∞

n

s

 1

2



n

+

 3

4



2n

,

7) lim

n→∞

n

√

1 + 2

n

+ 6

−n

,

8) lim

n→∞



3

√

8n

3

+ 4n

2

− 2n + 1 − 2n



,

9) lim

n→∞



√

9

n

+ 3

n

−

√

9

n

+ 1



,

10) lim

n→∞

 n − 1

n + 6



6n

,

11) lim

n→∞

q

√

n

2

+ n −

√

n

2

− 1,

12) lim

n→∞

n

√

3n

2

− 2,

13) lim

n→∞

 n − 1

2n + 4



n+2

,

14) lim

n→∞



√

n

3

+ 5n + 1 −

√

n

3

+ 5n



,

15) lim

n→∞

√

n

5

+ 1

√

n

5

+ 1 + 1

,

16) lim

n→∞

n

√

2

n

+ 3

n

,

17) lim

n→∞

n ·



√

2n

2

+ 1 −

√

2n

2

− 1



,

18) lim

n→∞

n

√

4

n

− 3

n

,

19) lim

n→∞

n

√

2

n

+ 3

n

+ 4

n

+ 1,

20) lim

n→∞

n

√

4n

3

+ 2n − n

2

+ 1,

21) lim

n→∞

n

√

2n

2

− n + 5,

22) lim

n→∞

n

√

7

2n

+ 5n + 1,

23) lim

n→∞



√

n

4

+ n

2

−

√

n

4

− n

2



,

24) lim

n→∞

 n + 1

n + 5



2n

,

1

25) lim

n→∞

 3n

2

− 2n + 1

3n

2

+ n + 1



n+3

,

26) lim

n→∞

(

√

n + 1 −

√

n)

r

n +

1

n

,

27) lim

n→∞

 n

2

+ 1

n

2

− 6



n+3

,

28) lim

n→∞



2n

2n + 1



n

,

29) lim

n→∞

 1

n

2

+

2

n

2

+ · · · +

n − 1

n

2



,

30) lim

n→∞



1 −

2

n

2



2−3n

,

31) lim

n→∞



n

3

+ 1

n

3

− 6n + 2



n

2

+3

,

32) lim

n→∞

1 +

1
3

+

1
9

+ · · · +

1

3

n+1

1 +

1
5

+

1

25

+ · · · +

1

5

n−1

,

33) lim

n→∞

(5 + (−1)

n

)

n

,

34) lim

n→∞

n

r 2

n

+ 5

n

3

n

+ 4

n

,

35) lim

n→∞

n

2

−

√

n

2

+ 3n

4

+ 2

3

√

8n

6

+ 2n − 3n

3

+ 1

,

36) lim

n→∞

 n

2

+ 1

2n

2

− 6



3n−1

,

37) lim

n→∞

3

√

n

2

sin n!

n + 3

,

38) lim

n→∞



3

p

n(n + 3)

2

−

3

p

n(n − 3)

2



,

39) lim

n→∞

 n + 1

n − 2



n

2

,

40) lim

n→∞

n(

3

√

n

3

+ 2n − n),

41) lim

n→∞

1

n

3

+

4

n

3

+ · · · +

(n − 1)

2

n

3

!

,

42) lim

n→∞

(n

4

+ 5n − n

2

),

43) lim

n→∞

3

√

n

5

− n

3

+ 1

4

√

n

6

− 1

,

44) lim

n→∞



sin

√

n + 1 − sin

√

n



,

45) lim

n→∞

n



cos

3

√

n

− 1



,

46) lim

n→∞

n

√

2

2n

+ 3

n

,

47) lim

n→∞

n

p

2 · 5

n

+ 3

n

sin

2

n,

48) lim

n→∞

n

√

2

−n

+ 3

−n

+ 6

−n

,

49) lim

n→∞

1 + 2

n

2

n+1

+ 4

,

50) lim

n→∞

4

n

+ 6

n

− 5

5

n

+ 2

2n

+ 6

n−2

,

51) lim

n→∞

n + 4

n

2

n

+ 2

2n+2

+ 4

n+1

,

52) lim

n→∞

1 + n + 3

n−1

+ 5

n

7

n

− 5

n

,

53) lim

n→∞

n

√

5

n

+ 7

n

+ cos

2

n,

54) lim

n→∞

2n

2

− 3n

n

3

− 10n + 2

cos n

3

,

55) lim

n→∞



1 + sin

3

n



2n

,

56) lim

n→∞

 1

n

n

1



+

1

n

2

n

2



+

1

n

3

n

3



,

57) lim

n→∞

n

q

(−1)

n

+ 3n,

58) lim

n→∞



n

2

n + 1



n+3

,

59) lim

n→∞

1 − 2 + 3 − 4 + · · · − 2n

√

2n

2

+ 3

,

60) lim

n→∞

(n + 2)! + (n + 1)!

(n + 2)! − (n + 1)!

,

61) lim

n→∞

1 + 2 + · · · + n

n

4

sin(2

n

+ n!),

62) lim

n→∞

n

3

− 2n + 76

100n

2

+ 2n

3

+ 5

,

63) lim

n→∞

5n

2

− 2n

4

+ 13

2n + n

2

− 1

,

64) lim

n→∞

3n

3

+

√

n

n

4

+ 8n − 3n

2

,

65) lim

n→∞

4

3

√

3n

3

+ n

2

+ 1 + n

2

2n + 3n

2

+ 6

,

66) lim

n→∞

(3 − 2n

3

+ 7n

2

),

67) lim

n→∞

(

√

n + 1 −

√

n + 3),

68) lim

n→∞

(n

2

−

√

n

4

+ 6n

2

),

69) lim

n→∞

√

n

3

+ n −

√

n

3

+ n

2

+ 1

,

70) lim

n→∞

(n −

3

√

n

3

+ 2n + 6),

71) lim

n→∞

(

3

√

8n

3

+ 2n

2

− 1 −

3

√

8n

3

+ 2n),

72) lim

n→∞

n

√

2n

4

+ 5n

3

− 2010,

73) lim

n→∞

n

√

8 · 6

n

+ 7

n

+ 2010 · 2

n

,

74) lim

n→∞

n

p(−1)

n

+ 2n,

75) lim

n→∞

n

√

sin n + 4

n

+ 2009,

76) lim

n→∞

n

s

2

n

+ 5 ·

 1

2



n

+

 3

5



−2n

,

77) lim

n→∞

n

√

5

n+10

+ 3

2n−1

+ 2009 · 7

n+2010

,

78) lim

n→∞

n

√

6

n

− 5

n

+ 10n

2010

,

79) lim

n→∞

n

√

2n

3

+ 1

80) lim

n→∞

n

√

3 · 6

n

+ 2010 · 4

n

+ 2

n

,

2

81) lim

n→∞

n cos n!

2n

2

+ 3

,

82) lim

n→∞

n

√

sin n + 4

n

+ 2009,

83) lim

n→∞

(−1)

n

· (n

2

+ 8)

4n − n

3

,

84) lim

n→∞



n

n

2

+ 1

+

n

n

2

+ 2

+ · · · +

n

n

2

+ n



,

85) lim

n→∞

 n + 1

n + 3



n

,

86) lim

n→∞



1 −

1

n

2



n

2

+1

,

87) lim

n→∞

 3n

2

+ 1

n

2

+ 5



n+1

,

88) lim

n→∞

 2n

3

+ n − 1

2n

3

+ 2n



2n

2

+3

,

89) lim

n→∞

n [ln(n + 1) − ln n] ,

90) lim

n→∞

n sin

3

n

,

91) lim

n→∞

sin

3

n

sin

5

n

,

92) lim

n→∞

n

tg

2

n

2

,

93) lim

n→∞

tg(−

1

2

n

)

tg

7

3

n

,

94 lim

n→∞

sin 3

n

3

n

,

95) lim

n→∞

3

n

n!

,

96) lim

n→∞

n

n

(2n)!

.

3