Instytut Matematyki PK
2. CIGI LICZBOWE - zadania domowe Zadanie 1. Sprawdzi¢ ograniczono±¢ i monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym 3n
an =
.
n + 2
Zadanie 2. Sprawdzi¢ ograniczono±¢ i monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym 1
an =
.
(3n + 2)!
Zadanie 3. Dla jakich warto±ci x istnieje suma niesko«czonego ci¡gu geometrycznego 2
4
8
1,
,
,
, . . . ?
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3
Dla takich x wyznaczy¢ sum¦ wszystkich wyrazów tego ci¡gu.
Zadanie 4. Rozwi¡za¢ równanie
√
1
2
4
x
√ +
√
+
√
, . . . =
.
1 +
x
(1 +
x)2
(1 +
x)3
x − 2
Zadanie 5. Obliczy¢ sum¦ wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych.
Zadanie 6. Wydedukowa¢ jaka b¦dzie granica ilorazu dwóch ci¡gów b¦d¡cych wielomia-nami o stopniach p i k (p, k ∈ N): a
lim
pnp + ap−1np−1 + ap−2np−2 + · · · + a1n + a0 .
n→∞ bknk + bk−1nk−1 + bk−2nk−2 + · · · + b1n + b0
Zadanie 7. Obliczy¢ granice ci¡gów:
n3 + n2 − 1 n2+1
√
1) lim
,
2) lim
3 n3 + 4n2 + 3n + 2 − n2 ,
n→∞
n3 − 3n
n→∞
√
√
√
3) lim
n + 1 −
n ,
4) lim n 3n + 1,
n→∞
n→∞
s
√
n
2n
1
3
5) lim
n − 3 n3 + 3n + 1 ,
6) lim n
+
,
n→∞
n→∞
2
4
√
√
7) lim n 1 + 2n + 6−n,
8) lim
3 8n3 + 4n2 − 2n + 1 − 2n ,
n→∞
n→∞
6n
√
√
n − 1
9) lim
9n + 3n −
9n + 1 ,
10) lim
,
n→∞
n→∞
n + 6
q√
√
√
11) lim
n2 + n −
n2 − 1,
12) lim n 3n2 − 2,
n→∞
n→∞
n − 1 n+2
√
√
13) lim
,
14) lim
n3 + 5n + 1 −
n3 + 5n ,
n→∞
2n + 4
n→∞
√n5 + 1
√
15) lim √
,
16) lim n 2n + 3n,
n→∞
n5 + 1 + 1
n→∞
√
√
√
17) lim n ·
2n2 + 1 −
2n2 − 1 ,
18) lim n 4n − 3n,
n→∞
n→∞
√
√
19) lim n 2n + 3n + 4n + 1,
20) lim n 4n3 + 2n − n2 + 1,
n→∞
n→∞
√
√
21) lim n 2n2 − n + 5,
22) lim n 72n + 5n + 1,
n→∞
n→∞
√
2n
√
n + 1
23) lim
n4 + n2 −
n4 − n2 ,
24) lim
,
n→∞
n→∞
n + 5
1
r
3n2 − 2n + 1 n+3
√
√
1
25) lim
,
26) lim ( n + 1 −
n)
n +
,
n→∞
3n2 + n + 1
n→∞
n
n2 + 1 n+3
2n
n
27) lim
,
28) lim
,
n→∞
n2 − 6
n→∞
2n + 1
1
2
n − 1
2 2−3n
29) lim
+
+ · · · +
,
30) lim
1 −
,
n→∞
n2
n2
n2
n→∞
n2
n3 + 1
n2+3
1 + 1 + 1 + · · · +
1
31) lim
,
32) lim
3
9
3n+1 ,
n→∞
n3 − 6n + 2
n→∞ 1 + 1 + 1 + · · · +
1
5
25
5n−1
r 2n + 5n
33) lim (5 + (−1)n)n,
34) lim n
,
n→∞
n→∞
3n + 4n
√
n2 −
n2 + 3n4 + 2
n2 + 1 3n−1
35) lim √
,
36) lim
,
n→∞ 3 8n6 + 2n − 3n3 + 1
n→∞
2n2 − 6
√
3 n2 sin n!
37) lim
,
38) lim
3
pn(n + 3)2 − 3pn(n − 3)2 ,
n→∞
n + 3
n→∞
n + 1 n2
√
39) lim
,
40) lim n( 3 n3 + 2n − n),
n→∞
n − 2
n→∞
!
1
4
(n − 1)2
41) lim
+
+ · · · +
,
42) lim (n4 + 5n − n2),
n→∞
n3
n3
n3
n→∞
√
3 n5 − n3 + 1
√
√
43) lim
√
,
44) lim
sin
n + 1 − sin
n ,
n→∞
4 n6 − 1
n→∞
3
√
45) lim n cos √
− 1 ,
46) lim n 22n + 3n,
n→∞
n
n→∞ √
n
p
47) lim
2 · 5n + 3nsin2n,
48) lim n 2−n + 3−n + 6−n,
n→∞
n→∞
1 + 2n
4n + 6n − 5
49) lim
,
50) lim
,
n→∞ 2n+1 + 4
n→∞ 5n + 22n + 6n−2
n + 4n
1 + n + 3n−1 + 5n
51) lim
,
52) lim
,
n→∞ 2n + 22n+2 + 4n+1
n→∞
7n − 5n
√
2n2 − 3n
53) lim n 5n + 7n + cos2n,
54) lim
cos n3,
n→∞
n→∞ n3 − 10n + 2
3 2n
1 n
1 n
1 n
55) lim
1 + sin
,
56) lim
+
+
,
n→∞
n
n→∞
n 1
n2
2
n3
3
q
n2 n+3
57) lim n (−1)n + 3n,
58) lim
,
n→∞
n→∞
n + 1
1 − 2 + 3 − 4 + · · · − 2n
(n + 2)! + (n + 1)!
59) lim
√
,
60) lim
,
n→∞
2n2 + 3
n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!
1 + 2 + · · · + n
n3 − 2n + 76
61) lim
sin(2n + n!),
62) lim
,
n→∞
n4
n→∞ 100n2 + 2n3
√ + 5
5n2 − 2n4 + 13
3n3 +
n
63) lim
,
64) lim
,
n→∞
2n
√ + n2 − 1
n→∞ n4 + 8n − 3n2
4 3 3n3 + n2 + 1 + n2
65) lim
,
66) lim (3 − 2n3 + 7n2),
n→∞
2n + 3n2 + 6
n→∞
√
√
√
67) lim ( n + 1 −
n + 3),
68) lim (n2 −
n4 + 6n2),
n→∞
n→∞
√
√
√
69) lim
n3 + n −
n3 + n2 + 1 ,
70) lim (n − 3 n3 + 2n + 6),
n→∞
n→∞
√
√
√
71) lim ( 3 8n3 + 2n2 − 1 − 3 8n3 + 2n), 72) lim n 2n4 + 5n3 − 2010,
n→∞
n→∞
√
73) lim n 8 · 6n + 7n + 2010 · 2n, 74) lim n
p(−1)n + 2n,
n→∞
n→∞
s
√
1 n
3 −2n
75) lim n sin n + 4n + 2009,
76) lim n 2n + 5 ·
+
,
n→∞
n→∞
2
5
√
√
77) lim n 5n+10 + 32n−1 + 2009 · 7n+2010, 78) lim n 6n − 5n + 10n2010,
n→∞
n→∞
√
√
79) lim n 2n3 + 1
80) lim n 3 · 6n + 2010 · 4n + 2n, n→∞
n→∞
2
√
81) lim
,
82) lim n sin n + 4n + 2009,
n→∞ 2n2 + 3
n→∞
(−1)n · (n2 + 8)
n
n
n
83) lim
,
84) lim
+
+ · · · +
,
n→∞
4n − n3
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
n + 1 n
1 n2+1
85) lim
,
86) lim
1 −
,
n→∞
n + 3
n→∞
n2
3n2 + 1 n+1
2n3 + n − 1 2n2+3
87) lim
,
88) lim
,
n→∞
n2 + 5
n→∞
2n3 + 2n
3
89) lim n [ln(n + 1) − ln n] ,
90) lim n sin
,
n→∞
n→∞
n
sin 3
91) lim
n ,
92) lim ntg 2 ,
n→∞ sin 5
n→∞
n2
n
tg(− 1 )
sin 3n
93) lim
2n
,
94 lim
,
n→∞
tg 7
n→∞
3n
3n
3n
nn
95) lim
,
96) lim
.
n→∞ n!
n→∞ (2n)!
3