1

Rynek kapitałowy doskonale konkurencyjny

1.

Dwuokresowy model podejmowania decyzji

2.

Krzywa podaży oszczędności

3.

Zdyskontowana wartość bieżąca

4.

Wyznaczanie stopy procentowej w

równowadze

5.

Kapitał ludzki i popyt na wykształcenie

6.

Eksploatacja nieodnawialnych zasobów

naturalnych

7.

Odnawialne zasoby naturalne – drzewa

8.

Optymalne zarządzanie rybołówstwem

2

Dwuokresowy model podejmowania decyzji

Wykorzystujemy model z dwoma dobrami równowagi
konsumenta, który ma preferencje dotyczące rozłożenia
konsumpcji w czasie: C

1

– bieżącej i C

2

– przyszłej, zapisane

w postaci funkcji użyteczności: U(C

1

, C

2

) (rys. 18.1). MRS to

krańcowa stopa preferencji czasowych:

2

1

1

2

/

/

C

U

C

U

dC

dC

MRTP

∂

∂

∂

∂

=

−

=

mierzona wzdłuż krzywych obojętności.

Międzyokresowe ograniczenie budżetowe
W każdym okresie konsument dostaje dochód: M

1

w okresie

bieżącym i M

2

w okresie przyszłym. Konsumpcję w każdym

okresie można zmieniać. Dzięki zaciąganiu pożyczek zgodnie
z rynkową stopą procentową konsument może zwiększyć
konsumpcję bieżącą, a dzięki oszczędzaniu przy tej stopie
może zwiększyć konsumpcję okresu przyszłego. Każda
pożyczka zaciągnięta w okresie bieżącym musi być zwrócona
z dochodu okresu przyszłego oraz wszystkie oszczędności
bieżące zwiększają przyszły dochód.
Oszczędności: część dochodu okresu bieżącego pozostała po
opłaceniu bieżącej konsumpcji: S = M

1

– p

1

C

1

, gdzie p

1

to

indeks cenowy konsumpcji bieżącej. Oszczędności mogą być

3

ujemne jeśli konsument zaciąga pożyczki na sfinansowanie
konsumpcji bieżącej.
Kwota dostępna na konsumpcję w okresie przyszłym to
dochód w tym okresie powiększony o oszczędności i odsetki
od nich. Jeżeli oszczędności są ujemne, to w okresie
przyszłym konsument musi spłacić zaciągniętą pożyczkę i
zapłacić odsetki od niej w okresie przyszłym. Oczywiście
zmniejsza to wielkość konsumpcji w okresie przyszłym.

Konsumpcja w okresie przyszłym:
p

2

C

2

= M

2

+ S + iS = M

2

+ (1 + i)S, gdzie i to rynkowa stopa

procentowa. Po wstawieniu wzoru na oszczędności do
równania konsumpcji w okresie następnym otrzymujemy:
p

2

C

2

= M

2

+ (1 + i)(M

1

– p

1

C

1

) = M

2

+ (1 + i)M

1

– p

1

(1 + i)C

1

.

Po przekształceniu:
p

2

C

2

+ p

1

(1 + i)C

1

= M

2

+ (1 + i)M

1

.

Jest to równanie ograniczenia budżetowego w modelu
dwuokresowym, w którym wydatki znajdujące się po lewej
stronie równają się całkowitemu dochodowi w obu okresach
po prawej stronie równania.
Stopa inflacji: d jest to procentowa zmiana cen następująca
między okresem bieżącym i przyszłym: d = (p

2

– p

1

)/p

1

.

Przekształcając: p

2

= (1 + d)p

1

.

Po wstawieniu wzoru na poziom cen w okresie przyszłym,
p

2

= (1 + d)p

1

, do równania ograniczenia budżetowego:

p

1

(1 + d)C

2

+ p

1

(1 + i)C

1

= M

2

+ (1 + i)M

1

.

Z tego równania wynika, że linia dwuokresowego ograniczenia
budżetowego ma dwa punkty przecięcia z osiami:

( )

(

)

1

1

2

2

1

1

p

d

M

i

M

C

+

+

+

=

jeżeli C

1

= 0

( )

( )

1

1

2

1

1

1

p

i

M

i

M

C

+

+

+

=

jeżeli C

2

= 0.

4

Przy konstruowaniu równania ograniczenia budżetowego
przyjęliśmy, że konsument nie musi oszczędzać ani zaciągać
pożyczek wydając w każdym okresie dochód, czyli: p

1

C

1

= M

1

i

p

2

C

2

= M

2

(1 + d)p

1

C

2

, co po przekształceniu daje:

C

1

= M

1

/p

1

i C

2

= M

2

/(1 + d)p

1

.

Każde odejście od tego punktu oznacza, że konsument jest
pożyczkobiorcą netto lub oszczędzającym netto. Jeżeli C

1

>

M

1

/p

1

, to konsument wydaje na konsumpcję w okresie

bieżącym więcej niż zarabia, czyli jest pożyczkobiorcą
netto. Jeżeli C

2

> M

2

/[(1 +d)p

1

], to konsument wydaje na

konsumpcję w okresie przyszłym więcej niż zarabia, jest
więc oszczędzającym netto.

Rys. 18.2: linia międzyokresowego ograniczenia budżetowego.
Z punktów przecięcia można obliczyć jej nachylenie:

( )

(

)

( )

( )

d

i

p

i

M

i

M

p

d

M

i

M

dC

dC

+

+

−

=

+

+

+

+

+

+

−

=

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

.

Można je interpretować na kilka sposobów:

1)jest to rzeczywisty koszt dodatkowej jednostki

konsumpcji dzisiaj w przeliczeniu na konsumpcję jutro –

5

międzyokresowy stosunek cen: Jeżeli kupujemy coś dzisiaj,
to tracimy odsetki, które zarobilibyśmy, ale te odsetki
muszą być zdyskontowane stopą zgodnie z którą ceny
zmieniają się między okresem bieżącym i przyszłym.

2) jest to realna stopa określająca zwiększanie się siły

nabywczej oszczędności: jeżeli stopa inflacji = stopie
procentowej, to stopa ta = 1, z czego wynika, że siła
nabywcza oszczędności nie zmienia się pomimo dodatniej
stopy procentowej; jeżeli i > d, to stopa > 1, czyli siła
nabywcza rośnie; przy stopie < 1 siła nabywcza oszczędności
maleje.

Międzyokresowa maksymalizacja użyteczności
Po połączeniu rys. 18.1 i 18.2 widzimy, że konsument wybiera
kombinację konsumpcji przyszłej i bieżącej aby
maksymalizować użyteczność przy międzyokresowym
ograniczeniu budżetowym. A więc musi być spełniony warunek
równych nachyleń: MRS (wewnętrzny stosunek cen) równa
się zewnętrznemu stosunkowi cen, czyli MRTP równa się
międzyokresowemu stosunkowi cen:

d

i

MRTP

+

+

=

1

1

.

6

Rys. 18.3: lewa część - pożyczkobiorca netto maxU na prawo
od punktu S = 0; prawa – oszczędzający netto maxU na lewo
od tego punktu.

Wzrost stopy procentowej
Zał.: i

2

> i

1

. Punkt, w którym S = 0 nie reaguje na zmiany i.

Dlatego nowa linia ograniczenia budżetowego musi
przechodzić przez ten punkt, czyli:
C

1

= M

1

/p

1

i C

2

= M

2

/(1 + d)p

1

.

Linia ograniczenia budżetowego obraca się w tym punkcie, a
więc punkt przecięcia z osią pionową zwiększa się:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

p

d

M

i

M

p

d

M

i

M

+

+

+

>

+

+

+

,

punkt przecięcia z osią poziomą maleje:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

1

1

p

i

M

i

M

p

i

M

i

M

+

+

+

<

+

+

+

.

Rys. 18.4: obrót linii ograniczenia budżetowego w punkcie
S = 0.

Statyka porównawcza wzrostu stopy procentowej
Ponieważ linia ograniczenia budżetowego obraca się w
punkcie S = 0 przy i↑ to inaczej oddziałuje na

7

pożyczkodawcę netto i pożyczkobiorcę netto. Efekt
substytucyjny działa tak samo na obydwu, gdyż linia
przyjmuje ostrzejsze nachylenie. Oznacza to, że realna cena
konsumpcji bieżącej rośnie:

d

i

d

i

+

+

>

+

+

1

1

1

1

1

2

. Działanie efektu

substytucyjnego zarówno dla pożyczkobiorcy, jak i dla
pożyczkodawcy polega na ograniczaniu konsumpcji bieżącej.
Oddziaływanie efektu dochodowego wzrostu stopy
procentowej na konsumpcję bieżącą zależy od tego czy
konsument jest pożyczkodawcą, czy też pożyczkobiorcą.
Pożyczkodawca potencjalnie może zarobić większy dochód -
zwiększają się odsetki od oszczędności. Pożyczkobiorca
będzie miał mniejszy dochód ze względu na wzrost odsetek,
jakie musi zapłacić za pożyczkę służącą zwiększeniu
konsumpcji bieżącej. Jeżeli konsumpcja bieżąca jest dobrem
normalnym, to pożyczkobiorca netto zawsze zmniejszy
konsumpcje.

b

Dzieje się tak, gdyż ED (jak ES) działa w kierunku
ograniczania konsumpcji przy obrocie linii ograniczenia

8

budżetowego „do początku układu współrzędnych” – rys. 18.5.
Dla pożyczkodawców ED działa w kierunku zwiększania
konsumpcji bieżącej przy obrocie linii ograniczenia
budżetowego „od początku układu współrzędnych”.
Pożyczkodawca może konsumować mniej w okresie bieżącym,
gdy ES jest silniejszy od ED lub więcej przy dominacji ED
nad ES – rys. 18.6.

Krzywa podaży oszczędności

Z rys. 18.5 i 18.6 można wyprowadzić krzywą popytu na
konsumpcję w okresie bieżącym. Konsumpcja bieżąca jest
funkcją: stopy procentowej, przy stałych wartościach:
dochodu bieżącego i przyszłego, indeksu cen konsumpcji
bieżącej i stopy inflacji, czyli:

(

)

d

p

M

M

i

C

C

1

2

1

1

1

,

,

;

=

. Po wstawieniu

wzoru na funkcję konsumpcji do definicji oszczędności,
S = M

1

–p

1

C

1

, możemy skonstruować funkcję oszczędności

jako funkcję od stopy procentowej przy pozostałych
wielkościach stałych:

(

)

(

)

d

p

M

M

i

C

p

M

d

p

M

M

i

S

S

1

2

1

1

1

1

1

2

1

,

,

;

,

,

;

−

=

=

.

9

Rys. 18.7: wyprowadzenie funkcji dla pożyczkobiorcy dla
konsumpcji jako dobra normalnego. Ponieważ ES i ED działają
w tym samym kierunku, to krzywa popytu na konsumpcję
bieżącą ma nachylenie ujemne. Po odjęciu ceny pomnożonej
przez krzywą popytu na konsumpcję bieżącą od M

1

otrzymujemy funkcję podaży oszczędności o wartościach
ujemnych i dodatnim nachyleniu. Pożyczkobiorca pożycza
mniej przy i↑. Analogiczną dodatnią funkcją byłaby
opadająca funkcja popytu na kredyty: L

d

= p

1

C

1

– M

1

.

Rys. 18.8: funkcja popytu na konsumpcję bieżącą i funkcja
podaży oszczędności pożyczkodawcy przy konsumpcji
bieżącej będącej dobrem normalnym. Przy pewnej

10

nieujemnej stopie procentowej konsument staje się
pożyczkodawcą z pożyczkobiorcy. Na początku S↑ przy i↑.
ES dominuje nad ED. Przy odpowiednio wysokiej i ED zaczyna
dominować nad ES i S↓ przy i↑, czyli konsument kupuje
więcej w okresie bieżącym pomimo i↑.

Po połączeniu analizy pożyczkobiorcy i pożyczkodawcy: rys.
18.9:

11

Zdyskontowana wartość bieżąca

Po wyprowadzeniu funkcji oszczędności przechodzimy do
inwestycji w nowy kapitał. Ponieważ urządzenia, budynki i
inne formy kapitału fizycznego zatrudniane są przez firmy w
ciągu wielu okresów, to wymuszają podejmowanie decyzji
międzyokresowych. Nowy kapitał świadczy więc strumień
usług w czasie. Ponieważ wielkości płatności są różnie
rozłożone w czasie przy zakupie i przy leasingu, to firma
potrzebuje pewnych standardowych wzorców do porównań
dotyczących nabywania dóbr kapitałowych.

Wyprowadzenie wzoru na zdyskontowaną wartość bieżącą
(DPV)
Aby wyprowadzić właściwą podstawę do porównań bieżącej
płatności i strumienia płatności zaczynamy od wyprowadzenia
bieżącego kosztu strumienia płatności.
Odsetki składane (kapitalizacja złożona):
i – rynkowa stopa procentowa (stała dla T lat)
D

T

– depozyt początkowy (na T lat )

12

V

T

– skapitalizowana wartość D

T

po T latach

Obliczamy wartość D

T

:

V

1

= D

T

(1 + i)

V

2

= V

1

(1 + i) = D

T

(1 + i) (1 + i) = D

T

(1 + i)

2

V

T

= D

T

(1 + i)

T

Rozwiązujemy dla: D

T

:

( )

T

T

T

i

V

D

+

=

1

. Wyrażenie 1/(1 + i)

T

określane jest mianem czynnika dyskontującego, a D

T

to

(zdyskontowana) wartość bieżąca V

T

.

Przyjmijmy, że przychód, r

t

, jest podejmowany w każdym

roku t z depozytu bankowego. Aby podjąć r

1

w roku 1 trzeba

złożyć w banku depozyt równy wartości bieżącej
skapitalizowanej wartości r

1

zwany D

1

:

i

r

D

+

=

1

1

1

. Aby podjąć r

2

w roku 2 trzeba złożyć w banku depozyt równy wartości
bieżącej skapitalizowanej wartości r

2

zwany D

2

:

2

2

2

)

1

(

i

r

D

+

=

.

Całkowita kwota, jaką należy wpłacić do banku aby co roku
podejmować r

t

przez T lat jest sumą wszystkich

odpowiednich depozytów początkowych (lub wartości
bieżacej) nazywaną zdyskontowaną wartością bieżącą
strumienia przychodów: DPV

T

= D

1

+ D

2

+ ... +D

T

, czyli:

T

T

T

i

r

i

r

i

r

DPV

)

1

(

...

)

1

(

1

2

2

+

+

+

+

+

+

=

. Dla stałego r:

( )

∑

=

+

=

T

t

t

T

i

r

DPV

1

1

.

Wartość bieżąca strumienia rent wieczystych (równych
płatności przy nieskończonym horyzoncie czasowym): co
stanie się z

( )

∑

=

+

=

T

t

t

T

i

r

DPV

1

1

przy czasie dążącym do

nieskończoności:

( )

( ) ( )

( )

( )

∑

∑

=

+

+

=

+

=

+

+

+

+

+

+

=

















+

+

=

+

T

t

t

T

T

t

t

T

i

r

i

i

i

i

r

i

DPV

i

1

1

1

3

2

1

1

1

1

...

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.

Przekształcamy:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

3

3

2

2

1

1

1

1

...

...

1

1

1

1

1

1

1

1

1

+

=

+

=

+

−

−

+

+

−

+

+

+

−

+

+

+

=

+

−

+

=

+

−

∑

∑

T

T

t

t

T

t

t

T

T

i

r

i

r

i

r

i

r

i

r

i

r

i

r

i

r

DPV

i

DPV

.

13

Po uporządkowaniu:

( )

( )













+

−

+

=

+

−

+

=













+

−

+

T

T

T

i

r

i

r

i

r

i

r

i

DPV

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.

Rozwiązanie dla DPV

T

:

( )













+

−

=

T

T

i

i

r

DPV

1

1

1

.

Jeżeli T dąży do nieskończoności:

( )

0

1

1

1

lim

=

+

∞

→

T

T

.

Po podstawieniu:

i

r

DPV

T

T

=

∞

→

lim

w granicy przy T dążącym do nieskończoności wartość
bieżąca strumienia przychodów r rocznie równa się r
podzielonemu przez stopę procentową, i.
Analogicznie:
r = i • DPV

T

.

Wyznaczanie stopy procentowej w równowadze

Inwestycje jako funkcja stopy procentowej
Ponieważ DPV przy czasie nieograniczonym jest równa r/i, to
firmie doskonale konkurencyjnej (w nieograniczonym czasie)
będzie obojętne czy kupić kapitał, czy go wynająć przy
stawce r za jednostkę rocznie. Cena doskonale
konkurencyjna za jednostkę kapitału powinna równać się DPV
na jednostkę:
DPV = r/i = p

K

.

Jeżeli p

K

> DPV, to firma wynajmowałaby cały swój kapitał.

Jeżeli p

K

< DPV, to firma kupowałaby cały swój kapitał. Przy

p

K

= DPV, firmie jest obojętne, czy kupuje, czy też

wynajmuje.
Jeżeli nowy kapitał jest produkowany i sprzedawany na rynku
doskonale konkurencyjnym, to możemy zapisać funkcję
rynkowej podaży kapitału w postaci:
K

S

= K

S

(p

K

),

gdzie: K

S

to całkowita wielkość kapitału, jaką wszystkie firmy

chcą sprzedać na rynku przy każdej DPV. Co więcej, w

14

modelu równowagi ogólnej z tworzeniem nowego kapitału
związane jest produkowanie mniejszej ilości dóbr
konsumpcyjnych dzisiaj. Jeżeli wykresem funkcji możliwości
produkcyjnych jest krzywa, to krzywa podaży kapitału w LR
ma nachylenie dodatnie.
Całkowite wydatki na nowy kapitał są równe cenie pomnożonej
przez funkcję podaży:
E

K

= p

K

K(p

K

).

Aby określić zależność między wartością nowego kapitału i
stopą procentową, spostrzegamy, że jeżeli K

S

ma nachylenie

dodatnie, to również E

K

musi mieć nachylenie dodatnie.

Jeżeli cena równowagi kapitału rośnie, to rośnie podaż
kapitału i p

K

K

S

musi rosnąć.

Rys. 18.10: przekłada dodatnio nachyloną krzywą podaży
kapitału na funkcję pokazującą zależność między stopą
procentową i wydatkami na nowy kapitał. Górny lewy wykres:
odwrotność wielkości podaży kapitału jako dodatnio

15

nachyloną funkcję ceny kapitału. Górny, lewy wykres:
przekłada tę cenę na, dla danego r, na stopę procentową w
postaci wykresu – hiperboli równoosiowej: p

K

= r/i. Dolny

wykres: cena kapitału razy wielkość kapitału, E

K

=p

K

K, z

górnego lewego rogu na stopę procentową z prawego górnego
rogu. Na przykład porównujemy p

K

2

> p

K

1

wzdłuż krzywej

podaży. Ponieważ ma ona nachylenie dodatnie, K

2

jest

większe od K

1

oraz p

K

2

K

2

jest większe od p

K

1

K

1

. Jednakże

wzdłuż hiperboli równoosiowej i

2

jest mniejsze od i

1

jeżeli

p

K

2

> p

K

1

. Tak więc E

K

2

musi być większe od E

K

1

jeżeli i

2

jest

mniejsze od i

1

i jeżeli krzywa wydatków ma nachylenie

ujemne.

Równowaga ogólna na rynku kapitałowym
Funkcja E

K

(i) nie jest funkcją popytu w zwykłym znaczeniu.

Oczywiście można argumentować, że jeżeli stopa procentowa
obniża się, to pewne przedsięwzięcia inwestycyjne, które
były nieopłacalne, stają się opłacalne i firmy zgłoszą większe
zapotrzebowanie na fundusze inwestycyjne. Problem polega
na tym, że równanie: r = i • DPV

T

pokazuje jasno, że stopy

procentowej nie można określić niezależnie od ceny kapitału
w równowadze w LR. Lepsze podejście polega na
spostrzeżeniu, że w równowadze w LR na rynku doskonale
konkurencyjnym, cena kapitału = LRMC jego wyprodukowania.
Ilość wytworzonego kapitału reprezentuje równowagę na
obydwu rynkach: produkcyjnym (gdzie wielkość podaży
kapitału = wielkości popytu przy LRMC: p

K

e

wyprodukowania

tej ilości) i na rynku funduszy pożyczkowych. (Wydatki na
inwestycje, E

K

(i

e

) równają się wielkości oszczędności

konsumentów, S(i

e

) przy stopie procentowej w równowadze,

i

e

). W LR stawka wynajmu kapitału w równowadze wyznaczana

16

jest więc przez cenę kapitału w równowadze w LR oraz przez
stopę procentową w równowadze. Jest to rozwiązanie dla r
równania:
DPV = r/i = p

K

, czyli:

r

e

= i

e

p

K

e

.

Kapitał ludzki i popyt na wykształcenie

Przedstawiony model rynku kapitałowego można wykorzystać
do wyjaśnienia, w jaki sposób decyzje inwestycyjne są
podejmowane. Zawsze, gdy trzeba dokonać płatności dzisiaj
aby otrzymać strumień korzyści w przyszłym okresie mamy
do czynienia z dobrem o cechach charakterystycznych
podobnych do dobra kapitałowego. Przykładem takiego dobra
jest wykształcenie umożliwiające jednostce akumulację
kapitału ludzkiego. Zdobywanie wykształcenia wymaga
ponoszenia dwóch rodzajów wydatków. Po pierwsze,
oczywiste koszty nabycia książek i zapłacenia czesnego. Po
drugie, zdobywanie wykształcenia właściwie zawsze wymaga
pewnego ograniczenia czasu poświęconego na pracę.
Niektórzy studenci rezygnują z pracy w ogóle w czasie
studiów. A więc pojawia się pośredni koszt w postaci nie
zarobionych pieniędzy. Są to tzw. koszty alternatywne
wykształcenia.

Zdyskontowana wartość bieżąca wykształcenia
Jako korzyść z ponoszonych wydatków absolwenci oczekują,
że zarobią wyższy dochód w ciągu swego życia. Ale te
korzyści w postaci większych dochodów pojawią się w
przyszłości, a koszty na kształcenie trzeba ponieść dzisiaj.
Aby dodatkowe dochody co najmniej pokryły koszty

17

edukacji, DPV dodatkowych dochodów musi być większa (lub
równa) całkowitym kosztom kształcenia:
c

d

– koszty bezpośrednie (odpowiednio obliczone)

c

o

– koszty alternatywne (odpowiednio obliczone)

M

2

– roczny dochód z wykształceniem

M

1

roczny dochód bez wykształcenia.

Możemy teraz przedstawić DPV czteroletnich studiów jako
różnicę między DPV rocznych dochodów z wykształceniem i
bez niego. Dodatkowo DPV dochodu z wykształceniem musi
być zdyskontowana z przesunięciem o 5 lat:

( )

i

M

i

i

M

DPV

1

5

2

1

1

−













+

=

.

W równowadze w LR na rynku kapitałowym doskonale
konkurencyjnym, gdy wszystkie jednostki mogą zaciągnąć
pożyczki w wysokości pełnego kosztu edukacji, DPV edukacji
musi równać się kosztowi:
DPV = c

d

+ c

o

.

Rozszerzenie podstawowego modelu
W bardziej realistycznej wersji tego modelu możemy
przyjąć, że dochody mogą zmieniać się z roku na rok w obu
sytuacjach (z wykształceniem i bez niego) i stopa zmian
może być różna. Np. bez wykształcenia dochody mogą rosnąć
szybko osiągając swój szczyt szybko na względnie niskim
poziomie. W takim przypadku obliczanie DPV musi być
robione dla każdego roku osobno. Niech więc r

t

będzie

dodatkowym dochodem uzyskanym dzięki zdobyciu
wykształcenia w roku t. DPV obliczana jest zgodnie z
formułą:

( )

∑

=

+

=

T

t

t

t

i

r

DPV

1

1

,

18

gdzie T oznacza przejście na emeryturę. Dodatkowo należy
uwzględnić, że bezpośrednie koszty wykształcenia ponoszone
są przez kilka lat i dlatego również powinny być
zdyskontowane.

Eksploatacja nieodnawialnych zasobów naturalnych

Model rynku kapitałowego może być również wykorzystywany
do analizy optymalnego sposobu eksploatacji nieodnawialnych
zasobów naturalnych, jak np. ropa naftowa. Nieodtwarzalne
zasoby znajdujące się w ziemi mają ekonomiczną
charakterystykę podobną do kapitału lub pieniędzy w banku.
Wydobycie zasobów dzisiaj oznacza, ze nie będzie ich można
wydobyć jutro. Pozostawienie ich w ziemi jest analogią do
posiadania pieniędzy w banku. Dzisiaj mamy wybór. Jeżeli
wszystkie wydobędziemy dzisiaj, to możemy „zdeponować je
w banku po rynkowej stopie procentowej”. W równowadze
jeżeli wszystkie nieodnawialne zasoby są własnością
prywatną i zostają sprzedane na rynku doskonale
konkurencyjnym, to kwota, jaką można zarobić pozostawiając
zasoby w ziemi musi równać się przychodom, jakie można
zarobić ze sprzedaży zasobów i złożenia pieniędzy w banku.
Oznacza to, że przychody z wydobycia wszystkiego dzisiaj
muszą równać się DPV przychodów z wydobycia jutro.
Jeżeli:
p

0

– cena rynkowa zasobów dzisiaj,

p

1

– cena rynkowa zasobów jutro

LRMC – LRMC wydobycia,
to zależność między wydobyciem dzisiaj i wydobyciem jutro
można zapisać w postaci:

( )

i

LRMC

p

LRMC

p

−

−

=

−

1

1

0

.

19

Renta z zasobów
Różnica między ceną dzisiaj i kosztem krańcowym wydobycia
określana jest mianem kosztów alternatywnych wydobycia
dzisiaj zamiast pozostawienia ich w ziemi. Można ją również
interpretować jako rentę ekonomiczną zasobu
pozostawionego w ziemi (wartość samego zasobu). W
przeciwieństwie do wyprodukowanych dóbr (gdy cena równa
się MC w równowadze w LR) w odniesieniu do obecnie
eksploatowanego zasobu, cena przewyższa LRMC
eksploatacji o wartość jednostkową zasobu pozostającego w
ziemi.
Analogicznie do przychodów w następnym okresie, które
muszą być dyskontowane aby sprowadzić ich wartość do
okresu bieżącego, przychody okresu 2 (i każdego
następnego) muszą być odpowiednio zdyskontowane:

( )

2

2

0

1 i

LRMC

p

LRMC

p

−

−

=

−

( )

t

t

i

LRMC

p

LRMC

p

−

−

=

−

1

0

.

Po przekształceniu wyrażeń otrzymujemy:

( ) (

)

LRMC

p

i

LRMC

p

t

t

−

+

+

=

0

1

.

Z powyższego równania wynika, że w każdym momencie
(oczekiwana ) cena musi równać się LRMC powiększonym o
koszty alternatywne. Inaczej mówiąc, jednostkowa renta
ekonomiczna rośnie zgodnie ze stopą procentową w miarę
eksploatacji zasobu.

Substytucja zasobów
Jeżeli popyt na zasób ma nachylenie ujemne, to przy
wzroście ceny wraz z upływem czasu wielkość popytu maleje.
Jeżeli krzywa popytu ma punkt przecięcia „cenowy”, to
wielkość popytu spada do zera. To mogłoby się zdarzyć,

20

gdyby istniały bliskie substytuty zasobu i mogłyby być
wykorzystane, gdy jego cena byłaby zbyt wysoka.

Rys. 18.11: lewa część pokazuje wielkość popytu w różnych
momentach czasu przy wzroście ceny. Cena i wielkość (p

1

, q

1

)

w czasie 1, (p

2

, q

2

) w czasie 2, (p

3

, q

3

) w czasie 3. Prawy

wykres porównuje wielkości popytu wzięte z lewego wykresu
q

1

w czasie 1, q

2

w czasie 2, q

3

w czasie 3. Wielkości

wydobycia maleją wraz z upływem czasu w końcu osiągając 0,
pomimo że w dalszym ciągu mogą istnieć złoża dostępne do
eksploatacji. Jeżeli powstaną nowe źródła podaży, to krzywa
pokazująca wielkości wydobycia ulegnie przesunięciu od
początku układu współrzędnych.
Ważnym zastosowaniem tego modelu jest uświadomienie, że
ludzkość nie wyeksploatuje wszystkich złóż. Jeżeli nowe
zasoby nie zostaną odkryte, cena wzrośnie aż nowe
substytuty stają się względnie niedrogie i zastępują
pierwotny surowiec. Na przykład przed XVI wiekiem węgla
prawie nie wykorzystywano. Uważano go za gorszy surowiec
w porównaniu do węgla drzewnego. W XVI w. cena węgla
drzewnego wzrosła w Anglii znacząco gdyż wyeksploatowano
lasy i nie zadbano o nasadzenie nowych.

21

Odnawialne zasoby naturalne – drzewa

W przypadku nieodnawialnych zasobów istnieje pewna stała
podaż, którą ewentualnie mogą zwiększyć odkrycia w
przyszłości. Odnawialne zasoby zwiększają się w tempie
określonym przez procesy biologiczne i mogą być
eksploatowane w sposób dyskretny lub ciągły. W przypadku
lasów mówimy o drzewach, które osiągają wiek do ścięcia,
natomiast w przypadku rybołówstwa mówimy o zasobie, który
ciągle rodzi się i umiera. Połowy dokonywane są w
określonych wielkościach umożliwiając odnawianie się
biologiczne ryb.

Stopa wzrostu drzew

Mamy funkcję x(t) opisującą zasób drewna osiągalny w
każdej chwili. Typowy biologiczny wzrost przedstawia
krzywa S (rys. 18.12). Początkowo wzrost jest gwałtowny, a
potem maleje aż las „napełni się”. Górną granicą ilości drewna
w lesie jest

x

. Pochodną względem czasu funkcji x(t) można

zapisać w postaci:

( )

( )

( )

t

x

dt

d

t

x

f

=

,

22

która jest dodatnia i wklęsła. Z rysunku wynika, że stopa
wzrostu początkowo rośnie, potem maleje aż w końcu osiąga
zero w

x

(rys. 18.13)

Optymalny czas zbiorów
Aby określić optymalny czas dokonania wyrębu lasu należy
problem rynku kapitałowego przekształcić w problem
uwzględniający ciągły upływ czasu aby obliczyć pochodną
względem t i wyznaczyć t*. W podejściu dyskretnym, dla
danej nominalnej stopy procentowej, czynnikiem
dyskontującym jest: 1/(1 + i)

t

. Dla tej samej stopy

procentowej czynnikiem dyskontującym w podejściu ciągłym
jest: e

-it

. Jeżeli więc pomijamy MC uprawy i cena sprzedaży

wynosi p, to możemy wyrazić DPV zasobu drewna w czasie t
jako cenę pomnożoną przez ilość dostępnego drewna
odpowiednio zdyskontowaną:
V(t) = px(t)e

-it

.

Aby określić optymalny czas wyrębu maksymalizujemy V(t)
wybierając t:

( )

0

*

*

*

=

−

=

−

−

it

it

e

t

ipx

e

dt

dx

p

dt

dV

.

Po wstawieniu

( )

( )

( )

t

x

dt

d

t

x

f

=

do powyższego równania:

( )

(

) ( )

[

]

0

*

*

*

=

− t

ix

t

x

f

pe

it

.

Rozwiązanie dla f(x(t*)): f(x(t*)) = ix(t*).

23

Tę optymalną decyzję przedstawia rys. 18.14. Przy x na osi
poziomej, ix jest funkcją liniową o nachyleniu i. Dzięki
optymalnej decyzji drzewa rosną tak długo, aż stopa wzrostu
jest większa od iloczynu zasobu drewna i stopy procentowej.
Drzewa są wycinane, gdy zasób drewna wynosi x(t*) rosnąc w
tempie f(x(t*)).

Statyka porównawcza wzrostu stopy procentowej
Wzrost stopy procentowej oznacza wzrost kosztu czekania
na wyrąb i powinien prowadzić do szybszego wyrębu
mniejszego zasobu drewna.

Rys. 18.15: i

1

↑ i

2

⇒ rośnie nachylenie funkcji ix, co prowadzi

do wzrostu punktu przecięcia f(x) przy mniejszym zasobie
drewna, x

2

< x

1

.

24

Optymalne zarządzanie rybołówstwem

Zakładamy, ze zasoby ryb są własnością prywatną i ryby są
sprzedawane na rynku doskonale konkurencyjnym.
Zaczynamy od krzywej biologicznego wzrostu przyjmując, że
zasoby same odtwarzają się. Porównujemy ilość ryb
dostępnych do połowu z ilością zwiększającą zasób w każdym
roku. Daje nam to ilość do połowu przy utrzymaniu zasobu na
zadanym poziomie. Jest to funkcja odnawialnej wydajności
(sustainable-yield function) – rys. 18.16.

Jeżeli zasób ryb, F, jest bardzo mały, to wydajność, Y,
również jest mała. Przy pewnej wielkości zasobu największa
ilość ryb jest do niego dodawana i jednocześnie odławiana.
Jest to tzw. maksymalna odnawialna wydajność, MSY
(maximum sustainable yield). Jeżeli zasób zwiększa się
wydajność maleje ze względu na zatłoczenie. Przy
odpowiedniej wielkości zasobu ilość nowych ryb równa się
wielkości odłowu.

Przychody odnawialne (sustainable revenues) – rys. 18.17
Przyjmijmy, że ilość ryb do odłowienia jest proporcjonalna do
zasobu ryb (czyli im więcej ryb tam jest, tym więcej można
odłowić) i wysiłku. Ryby sprzedawane są na rynku doskonale

25

konkurencyjnym, czyli po stałej cenie niezależnej od
wielkości połowów.

Przy produkcie proporcjonalnym do zasobu i stałej cenie,
funkcja odnawialnej wydajności określa kształt funkcji
określającej odnawialne przychody, które można uzyskać
dzięki odpowiedniemu zarządzaniu rybołówstwem. Przy
zwiększaniu połowów z roku na rok, początkowo odnawialna
wydajność rośnie prowadząc do wzrostu odnawialnych
przychodów. Po przekroczeniu maksimum przez odnawialną
wydajność, odnawialne przychody zaczynają maleć.

Efektywna stopa połowów
Przy efektywnej stopie połowów maksymalizujemy
zdyskontowane zyski. Należy więc znaleźć maksimum
odnawialnych zysków. Zaczynamy od określenia odpowiedniej,
zdyskontowanej funkcji kosztów.

26

Rys. 18.18: wyznaczenie efektywnego poziomu połowów dla
odpowiedniej LRTC liniowej: C*, gdy nachylenie LRTC =
nachyleniu funkcji odnawialnych całkowitych przychodów,
STR. Maksimum odnawialnych zysków wynosi więc:
Sπ* = STR(C*) – LRTC • C*,
Z rysunku wynika, że efektywna wielkość połowów zawsze
jest mniejsza od maksymalnej odnawialnej wydajności w
każdym roku dla dodatnich LRMC. Jest to najważniejszy
wniosek ekonomiczny. Jest on podobny do spostrzeżenia, że
monopolista zawsze znajduje się na elastycznej części
krzywej popytu. Wniosek w obu przypadkach: przy dodatnich
MC maksymalizacja zysku nie pokrywa się z maksymalizacją
przychodów.

Statyka porównawcza wzrostu stopy procentowej
Po wyznaczeniu optymalnej wielkości połowów, warto zbadać
wpływ na nią wzrostu stopy procentowej. Wzrost ten ma
wpływ na DLRTC sprzeczny z intuicją. Jednym ze składników
jest koszt alternatywny zwiększenia połowów dzisiaj. Jest to
analogia do zwiększenia wydobycia nieodnawialnych zasobów
dzisiaj. Jeżeli stopa procentowa rośnie, to koszty
alternatywne szybszej eksploatacji zasobów maleją. Dzieje
się tak, gdyż zyski zarobione dzisiaj i zdeponowane w banku
zgodnie z rynkową stopą procentową mogą zarobić więcej
przy wzroście stopy procentowej. Zmniejszenie się kosztów
alternatywnych zwiększenia połowów dzisiaj implikuje
zmniejszenie DLRMC przy niezmienionym rzeczywistym
koszcie połowów.
Rys. 18.19: skutek zmniejszenia DLRTC: krzywa kosztów
całkowitych przesuwa się do dołu i wielkość połowów dzisiaj

27

rośnie. TC

1

↓ TC

2

⇒ C

1

* ↑ C

2

*: spadek stopy procentowej =

wzrost efektywnej stopy połowów.

Ekonomiczna interpretacja liczby e
Startując od kapitału $1 deponujemy go w banku ze stopą
procentową = 100% rocznie.
V(1) = kapitał początkowy (1 + stopa procentowa)
= 1(1 + 100%) = (1 + 1/1)

1

= 2

Funkcja:

m

m

m

V











 +

=

1

1

)

(

, jeżeli m (częstotliwość kapitalizacji)

dąży do nieskończoności, to V(m) dąży do 2,71828... = e,
czyli:

∞

→

∞

→











 +

=

=

m

m

m

m

m

V

e

1

1

lim

)

(

lim

.

Liczba e może być interpretowana jako wartość, do jakiej
wzrośnie po roku kapitał początkowy o wartości $1, gdy
odsetki przy stopie procentowej równej 100% rocznie będą
kapitalizowane w sposób ciągły.

28

Ciągły proces kapitalizacji odsetek można uogólnić w trzech
kierunkach:

1) więcej lat kapitalizacji;
2) kapitał początkowy inny niż $1;
3) nominalna stopa procentowa inna niż 100%.

Ciągła kapitalizacja odsetek
Kapitał w $ Nominalna

stopa
procentowa

Lata ciągłej
kapitalizacji

Wartość depozytu
na końcu procesu
kapitałowego w $

1 100%

=

1

1 e

1 100%

t e

t

A 100%

t Ae

t

A r t Ae

rt

Problem przechowywania wina
Pewien kupiec ma beczkę wina, którą może sprzedać teraz
(t = 0) za sumę $K albo przechowywać przez pewien okres, a
potem sprzedać po wyższej cenie. Wiadomo, ze rosnąca
wartość wina (V) jest następującą funkcją czasu:

t

Ke

V

=

. Jeśli

t = 0, to V = K. Kiedy kupiec powinien sprzedać wino aby
maxπ przy założeniu, że koszty magazynowania = 0 ?
Maxπ = maksymalizacja przychodów ze sprzedaży, czyli V.
Zał.: r to stopa procentowa przy ciągłej kapitalizacji:
wartość bieżąca V:
A(t) = Ve

-rt

=

rt

t

rt

t

Ke

e

Ke

−

−

=

,

gdzie A oznaczające wartość bieżącą V samo jest funkcją t.
Musimy więc znaleźć wartość maksymalizującą A.
Warunek pierwszego rzędu: dA/dt = 0, czyli:















−

=

−

r

t

A

dt

dA

2

1

2

1

.

29

Ponieważ A ≠ 0, warunek dA/dt = 0 może być spełniony
wtedy i tylko wtedy, gdy:
½ t

-1/2

= r, czyli 1/2t

1/2

= r, czyli 1/2r =t

1/2

.

Optymalny czas przechowywania:

2

2

4

1

2

1

r

r

t

=













=

;

jeśli np. r = 0,1, to kupiec powinien przechowywać beczkę z
winem przez 25 lat.
Warunek pierwszego rzędu, 1/2t

1/2

= r, ma łatwą

interpretację ekonomiczną. Wyrażenie po lewej stronie
reprezentuje stopę wzrostu wartości wina, V:

t

t

V

dt

dV

r

2

1

2

1

/

2

/

1

=

=

≡

−

.

Wyrażenie po prawej stronie jest stopą procentową lub
stopą wzrostu przy ciągłej kapitalizacji takiej sumy
pieniędzy, jaką można by otrzymać, gdyby udało się sprzedać
wino natychmiast. Dla zagadnienia przechowywania wina jest
to koszt alternatywny.
Zatem przyrównanie tych dwóch stóp oznacza próbę
magazynowania wina dopóty, dopóki zyski z przechowywania
wina nie zniknął zupełnie, tzn. czekania do momentu. Gdy
malejąca stopa wzrostu wina nie zrówna się ze stałą stopą
procentową uzyskaną ze sprzedaży.
Następnym krokiem jest sprawdzenie, czy wartość

t

spełnia

warunki drugiego rzędu dla maksymalizacji A. Druga
pochodna jest równa:

dt

dA

r

t

r

t

dt

d

A

r

t

A

dt

d

dt

A

d













−

+













−

=













−

=

−

−

−

2

/

1

2

/

1

2

/

1

2

2

2

1

2

1

2

1

.

Ponieważ ostatni składnik znika, gdy obliczamy wartość
drugiej pochodnej w punkcie równowagi, gdzie dA/dt = 0,
więc pozostaje nam:

3

2

/

3

2

/

1

2

2

4

4

1

2

1

t

A

t

A

r

t

A

dt

d

dt

A

d

−

=











−

=













−

=

−

−

.

30

Ponieważ A > 0, to wartość drugiej pochodnej obliczona w
punkcie

t

> 0 jest ujemna, co upewnia nas, że rozwiązanie

t

jest rzeczywiście wartością maksymalizującą zysk.

Zagadnienie wyrębu lasu
Zał.: wartość lasu jest następującą funkcją czasu:

t

V

2

=

(w tysiącach dolarów).

Należy wyznaczyć optymalny termin wyrębu lasu przy
założeniach, że stopa dyskontowa jest równa r (ciągła) i
podczas wzrostu lasu nie są ponoszone żadne koszty.
Najpierw V sprowadzamy do jej wartości bieżącej:

rt

t

rt

t

e

Ve

t

A

rt

t

rt

−

=

−

=

=

=

=

−

−

2

ln

2

ln

ln

2

)

(

2

/

1

.

Aby zmaksymalizować A musimy ustalić dA/dt = 0. Pierwszą
pochodną otrzymujemy różniczkując lnA względem t i
następnie mnożąc przez A:

r

t

dt

dA

A

−

=

−

2

ln

2

1

1

2

/

1

zatem:













−

=

r

t

A

dt

dA

2

2

ln

.

Ponieważ A ≠ 0 warunek dA/dt = 0 może być spełniony wtedy
i tylko wtedy, gdy:

r

t

=

2

2

ln

czyli:

r

t

2

2

ln

=

.

W konsekwencji optymalna liczba lat wzrostu lasu jest
równa:

2

2

2

ln













=

r

t

.

Z rozwiązania wynika, że im wyższa jest stopa dyskontowa,
tym wcześniej należy dokonać wyrębu lasu.
Aby upewnić się, że

t

jest rozwiązaniem maksymalizującym

(a nie minimalizującym) trzeba sprawdzić warunek drugiego
rzędu.
W tym przykładzie abstrahowaliśmy od kosztów sadzenia
lasu i wykluczyliśmy koszty „utopione”. Jeśli decyzja dotyczy

31

problemu, czy w ogóle sadzić las, to koszty sadzenia
(poniesione obecnie) muszą być porównane z obecną
wartością produkcji drewna, obliczoną dla t ustalonego na
poziomie optymalnym

t

. Np. jeśli r = 0,05, to mamy:

t

=(0,6931/0,1)

2

= 48 lat

oraz:

A

= 2

6,931

e

-0,05 • 48

= 11,0674 tys. dolarów;

zatem jedynie koszty sadzenia mniejsze niż

A

- przy

założeniu, że koszty uprawy = 0 – uczynią przedsięwzięcie
wartym zachodu.