3. Elementy ściskane

3.1. Przykłady obliczeo

Zadanie 1

Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo pręta wykonanego z kształtownika rurowego
walcowanego na gorąco RO 76,1x6 ze stali S355, obciążonego wg poniższego schematu.

]

[

6

]

[

6

]

[

1

,

76

m

L

mm

t

mm

D







Rozwiązanie

nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1

]

[

335 MPa

f

y



wyznaczenie parametru ε zależnego od granicy plastyczności

]

[

81

,

0

355

235

235









y

f



określenie klasy przekroju

]

[

1

,

33

81

,

0

50

50

]

[

68

,

12

6

1

,

76

2

2





















t

D

przekrój w klasie pierwszej

pole przekroju kształtownika









]

[

214

,

13

6

,

0

61

,

7

6

,

0

2

cm

t

D

t

A























moment bezwładności przekroju kształtownika

]

[

76

,

81

2

6

,

0

2

61

,

7

2

61

,

7

4

2

2

2

4

4

4

4

4

4

cm

t

D

D

I











































































 























promieo bezwładności przekroju

]

[

487

,

2

214

,

13

76

,

81

cm

A

I

i







długośd wyboczeniowa

]

[

0

,

6

0

,

6

0

,

1

m

L

L

cr













smukłośd porównawcza

]

[

4

,

76

81

,

0

9

,

93

9

,

93

1

















smukłośd względna

]

[

2

,

0

]

[

157

,

3

76

,

81

1

487

,

2

600

1

1





















i

L

cr

parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1

]

[

21

,

0







parametr krzywej niestateczności

















]

[

795

,

5

157

,

3

2

,

0

157

,

3

21

,

0

1

5

,

0

2

,

0

1

5

,

0

2

2





























współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49

]

[

0

,

1

]

[

0939

,

0

157

,

3

795

,

5

795

,

5

1

1

2

2

2

2





























nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47

]

[

03

,

44

0

,

1

5

,

35

214

,

13

0939

,

0

1

,

kN

f

A

N

M

y

Rd

b



















Zadanie 2

Sprawdzid warunek nośności ściskanego osiowo słupa wykonanego z walcowanego na gorąco
kształtownika RP 180×120×10 ze stali S235. Słup jest utwierdzony w podstawie; dodatkowo
został stężony w płaszczyźnie XY. Schemat statyczny i schemat obciążeo należy przyjąd wg
poniższego rysunku.

]

[

66

,

4

]

[

39

,

6

]

[

57

,

52

]

[

25

]

[

10

]

[

120

]

[

180

]

[

3

]

[

750

2

cm

i

cm

i

cm

A

mm

R

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

kN

P

z

y



















Rozwiązanie

nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1

]

[

235 MPa

f

y



wyznaczenie parametru ε zależnego od granicy plastyczności

]

[

0

,

1

235

235

235









y

f



określenie klasy przekroju wg Tablicy 5.2 (Arkusz 3 z 3)

]

[

33

33

]

[

11

10

)

10

25

(

2

180

)

(

2



























t

t

R

h

t

c

przekrój w klasie pierwszej

smukłośd porównawcza

]

[

9

,

93

0

,

1

9

,

93

9

,

93

1

















wyboczenie w płaszczyźnie XZ

długośd wyboczeniowa

]

[

0

,

6

0

,

3

0

,

2

,

m

L

L

y

cr













smukłośd względna

]

[

2

,

0

]

[

0

,

1

9

,

93

1

39

,

6

600

1

1

,





















y

y

cr

y

i

L

parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1

]

[

21

,

0





y



parametr krzywej niestateczności

















]

[

084

,

1

0

,

1

2

,

0

0

,

1

21

,

0

1

5

,

0

2

,

0

1

5

,

0

2

2





















y

y

y

y









współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49

 

]

0

,

1

]

[

666

,

0

1

084

,

1

084

,

1

1

1

2

2

2

2





















y

y

y

y









nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47

]

[

313

,

822

0

,

1

5

,

23

57

,

52

666

,

0

1

,

,

kN

f

A

N

M

y

y

y

Rd

b



















wyboczenie w płaszczyźnie XY

długośd wyboczeniowa

]

[

121

,

2

0

,

3

707

,

0

,

m

L

L

z

cr













smukłośd względna

]

[

2

,

0

]

[

485

,

0

9

,

93

1

66

,

4

1

,

212

1

1

,





















z

z

cr

z

i

L

parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1

]

[

21

,

0





z



parametr krzywej niestateczności

















]

[

647

,

0

485

,

0

2

,

0

485

,

0

21

,

0

1

5

,

0

2

,

0

1

5

,

0

2

2





















z

z

z

z









współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49

 

]

0

,

1

]

[

93

,

0

485

,

0

647

,

0

647

,

0

1

1

2

2

2

2





















y

y

y

y









nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47

]

[

593

,

1147

0

,

1

5

,

23

57

,

52

93

,

0

1

,

,

kN

f

A

N

M

y

z

z

Rd

b



















nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego









]

[

313

,

822

593

,

1147

;

313

,

822

min

;

min

,

,

,

,

,

kN

N

N

N

z

Rd

b

y

Rd

b

Rd

b







sprawdzenie warunku nośności wg wzoru 6.46

]

[

0

,

1

]

[

912

,

0

313

,

822

750

,











Rd

b

Ed

N

N

Zadanie 3

Sprawdzid czy wykonany z kształtownika walcowanego na gorąco HEB 300 ze stali S275 słup
o wysokości 5 m, obciążony osiowo jak na poniższym schemacie jest w stanie przenieśd siłę
4000 kN.

]

[

8560

]

[

25172

]

[

149

]

[

27

]

[

19

]

[

11

]

[

300

]

[

300

]

[

5

]

[

4000

4

4

2

cm

I

cm

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

kN

P

z

y

f

w

f





















Rozwiązanie

nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1

]

[

275 MPa

f

y



wyznaczenie parametru ε zależnego od granicy plastyczności

]

[

92

,

0

275

235

235









y

f



określenie klasy przekroju

środnik - częśd przęsłowa wg Tablicy 5.2 (Arkusz 1 z 3)

]

[

506

,

30

92

,

0

33

33

]

[

91

,

18

11

)

19

27

(

2

300

)

(

2































t

t

R

h

t

c

f

półka - częśd wspornikowa wg Tablicy 5.2 (Arkusz 2 z 3)

]

[

32

,

8

92

,

0

9

9

]

[

184

,

6

19

27

2

11

300

2































f

w

f

t

R

t

b

t

c

przekrój w klasie pierwszej

smukłośd porównawcza

]

[

8

,

86

92

,

0

9

,

93

9

,

93

1

















wyboczenie w płaszczyźnie XZ

długośd wyboczeniowa

]

[

0

,

5

0

,

5

0

,

1

,

m

L

L

y

cr













promieo bezwładności

]

[

0

,

13

25172

149

cm

A

I

i

y

y







smukłośd względna

]

[

2

,

0

]

[

443

,

0

8

,

86

1

0

,

13

500

1

1

,





















y

y

cr

y

i

L

parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1

]

[

34

,

0





y



parametr krzywej niestateczności

















]

[

64

,

0

443

,

0

2

,

0

443

,

0

34

,

0

1

5

,

0

2

,

0

1

5

,

0

2

2





















y

y

y

y









współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49

 

]

0

,

1

]

[

9086

,

0

443

,

0

64

,

0

64

,

0

1

1

2

2

2

2





















y

y

y

y









nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47

]

[

848

,

3722

0

,

1

5

,

27

149

9086

,

0

1

,

,

kN

f

A

N

M

y

y

y

Rd

b



















wyboczenie w płaszczyźnie XY

długośd wyboczeniowa

]

[

5

5

,

2

0

,

1

2

,

m

L

L

z

cr













promieo bezwładności

]

[

58

,

7

8560

149

cm

A

I

i

y

y







smukłośd względna

]

[

2

,

0

]

[

38

,

0

8

,

86

1

58

,

7

250

1

1

,





















z

z

cr

z

i

L

parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1

]

[

49

,

0





z



parametr krzywej niestateczności

















]

[

616

,

0

38

,

0

2

,

0

38

,

0

49

,

0

1

5

,

0

2

,

0

1

5

,

0

2

2





















z

z

z

z









współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49

 

]

0

,

1

]

[

9078

,

0

38

,

0

616

,

0

616

,

0

1

1

2

2

2

2





















y

y

y

y









nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47

]

[

94

,

3719

0

,

1

5

,

27

149

9078

,

0

1

,

,

kN

f

A

N

M

y

z

z

Rd

b



















nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego









]

[

943

,

3719

943

,

3719

;

848

,

3722

min

;

min

,

,

,

,

,

kN

N

N

N

z

Rd

b

y

Rd

b

Rd

b







sprawdzenie warunku nośności wg wzoru 6.46

]

[

0

,

1

]

[

075

,

1

943

,

3719

4000

,











Rd

b

Ed

N

N

3.2. Przykłady do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo pręta, wykonanego z dwuteownika walcowanego na
gorąco IPE 300 ze stali S235; przyjąd schemat obciążeo i schemat statyczny wg poniższego
rysunku.

]

[

604

]

[

8360

]

[

8

,

53

]

[

15

]

[

7

,

10

]

[

1

,

7

]

[

150

]

[

300

]

[

5

4

4

2

cm

I

cm

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

z

y

f

w

f



















Odpowiedź: N

b,Rd

=658,536 [kN]

Zadanie 2

Sprawdzid warunek nośności ściskanego osiowo słupa o przekroju rurowym - RP 120×50×4,
wykonanego ze stali S275. Słup podparty jest przegubowo we wszystkich kierunkach
i dodatkowo stężony w płaszczyźnie XY, w połowie wysokości. W miejscu połączenia słupa ze
stężeniem zablokowane są przemieszczenia w kierunku prostopadłym do osi podłużnej
elementu.

]

[

43

,

53

]

[

82

,

213

]

[

55

,

12

]

[

8

]

[

4

]

[

50

]

[

120

]

[

4

]

[

200

4

4

2

cm

I

cm

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

kN

P

z

y

f



















Odpowiedź: N

Ed

/N

b,Rd

=0,991 [-]

Zadanie 3

Wyznaczyd nośnośd obciążonego osiowo słupa, utwierdzonego w podstawie. Słup wykonano
z kształtownika walcowanego na gorąco L 100×100×10 ze stali S275. Pręt obciążony jest siłą
skupioną na kierunku równoległym do swej osi, przyłożoną na swobodnym koocu słupa.

]

[

671

,

103

]

[

676

,

176

]

[

2

,

19

]

[

12

]

[

10

]

[

100

]

[

2

4

4

2

cm

I

cm

I

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

a

m

L

yz

z

y

















Odpowiedź: N

b,Rd

=81,796 [kN]

Zadanie 4

Sprawdzid normowy warunek nośności na wyboczenie dla obustronnie utwierdzonego
elementu prętowego o długości 5 m wykonanego z kształtownika rurowego RO 219,1x12,5 ze
stali S450, wykooczonego na gorąco. Element został poddany równomiernemu ogrzaniu na
całej swojej długości o 25

o

C względem temperatury montażu.

]

[

210

]

[

10

12

]

[

25

]

[

25

]

[

5

]

[

5

,

12

]

[

1

,

219

1

6

0

GPa

E

K

K

C

t

m

L

mm

t

mm

D

























Odpowiedź: N

Ed

/N

b,Rd

=0,155 [-]

Zadanie 5

Sprawdzid warunek nośności słupa o wysokości 9 m, ściskanego siłą 1000 kN, przyłożoną w
środku ciężkości przekroju. Element wykonano z dwuteownika szerokostopowego HEB 160,
walcowanego na gorąco, ze stali S275. Schemat podparcia słupa przedstawiono na poniższym
rysunku.

]

[

05

,

4

]

[

78

,

6

]

[

3

,

54

]

[

15

]

[

13

]

[

8

]

[

160

]

[

160

]

[

9

]

[

1000

4

2

cm

i

cm

i

cm

A

mm

R

mm

t

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

kN

P

z

y

f

w

f





















Odpowiedź: N

Ed

/N

b,Rd

=1,065 [-]

Zadanie 6

Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo słupa o przekroju ceowym - wykonanego z kształtownika
UPE 300, walcowanego na gorąco, ze stali S355. Schemat obciążeo i schemat statyczny wg
poniższego rysunku.

]

[

538

]

[

7820

]

[

6

,

56

]

[

15

]

[

15

]

[

5

,

9

]

[

100

]

[

300

]

[

6

4

4

2

cm

I

cm

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

t

mm

b

mm

h

m

L

z

y

f

w

f



















Odpowiedź: N

b,Rd

=803,974 [kN]

Zadanie 7

Sprawdzid nośnośd na wyboczenie w płaszczyźnie układu najbardziej wytężonego krzyżulca.
Układ przedstawiono na poniższym rysunku. Wszystkie pręty ukośne wykonano z kształtownika
RK 150×10 walcowanego na gorąco, ze stali S235. Długośd wyboczeniową przyjąd zgodnie z
Załącznikiem BB do Eurokodu 3.

]

[

53

,

1652

]

[

57

,

52

]

[

25

]

[

10

]

[

150

]

[

450

]

[

4

4

2

cm

I

I

cm

A

mm

R

mm

t

mm

b

h

kN

P

m

L

z

y



















Odpowiedź: N

Ed

/N

b,Rd

=1,122 [-]

Zadanie 8

Sprawdzid warunek nośności na wyboczenie pręta S1, wg schematu przedstawionego na
poniższym rysunku. Element wykonany jest z rury RO 101,6×2, walcowanej na gorąco, ze stali
S275. Długośd wyboczeniową przyjąd równą długości teoretycznej pręta.

]

[

522

,

3

]

[

26

,

6

]

[

400

]

[

5

]

[

2

]

[

6

,

101

]

[

10

2

cm

i

cm

A

kNm

M

kN

P

mm

t

mm

D

m

L















Odpowiedź: N

Ed

/N

b,Rd

=0,589 [-]