PTS - Lista zadań nr 3

Student:
Tomasz Śniatowski
Nr indeksu 
Grupa wt/n :

Prowadzący:

mgr inż. Grzegorz Filcek

1

Charakterystyki

Charakterystyka impulsowa to odpowiedź układu na wejście u(t) = δ(t), a
charakterystyka skokowa - na wejście u(t) =

1(t). Transformaty tych wejść

przedstawiają się następująco: L {δ(t)} = 1, L {

1(t)} =

1
s

. Charakterystyką

amplitudowo-fazową nazywamy zaś wykres K(jω) na płaszczyźnie zespolonej,

gdzie K to transmitancja układu, K(s) =

Y (s)
U (s)

.

1 a)

Układ inercyjny

Układ inercyjny opisany jest równaniem:

y(t) + T ˙

y(t) = ku(t)

Wyznaczamy transmitancję układu:

Y (s) + T (sY (s) − 0) = kU (s)

Y (s)(1 + T s) = kU (s)

Y (s) = U (s)

k

1 + T s

K(s) =

Y (s)

U (s)

=

k

1 + T s

1.

Charakterystyka impulsowa

u(t) = δ(t),

U (s) = 1

Y (s) =

k

1 + T s

Y (s) =

k

T

1

T

+ s

y(t) =

k

T

e

−

t

T

Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 1

2.

Charakterystyka skokowa

u(t) =

1(t), U(s) =

1

s

Y (s) =

1

s

·

k

1 + T s

=

k

s(1 + T s)

=

k

s

−

kt

st + 1

= k

1

s

− k

1

s +

1

T

y(t) = k − ke

−t

1

T

= k(1 − e

−t

1

T

)

Wykres tej zależności znajduje się na rysunku 2

2

0

k

T

0

y(t)

t

Rysunek 1: Charakterystyka impulsowa układu inercyjnego

0

k

T

y(t)

t

Rysunek 2: Charakterystyka skokowa układu inercyjnego

3.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

k

1 + T s

K(jω) =

k

1 + T jω

=

k · (1 − T jω)

(1 + T jω)(1 − T jω)

=

k − j · (T kω)

1

2

− T

2

j

2

ω

2

K(jω) =

k − jT kω

T

2

ω

2

+ 1

Na płaszczyźnie zespolonej mamy:

x(ω) = ReK(jω) =

k

T

2

ω

2

+ 1

> 0

y(ω) = ImK(jω) = −

T kω

T

2

ω

2

+ 1

< 0

x(ω)

2

+ y(ω

2

) =

k

2

+ T

2

k

2

ω

2

(T

2

ω

2

+ 1)

2

=

k

2

(1 + T

2

ω

2

)

(T

2

ω

2

+ 1)

2

=

k

2

T

2

ω

2

+ 1 = kx(ω)

3

Mamy więc:

x

2

+ y

2

= kx

x

2

− kx +

k

2

2

+ y

2

=

k

2

2



x −

k

2



+ y

2

=

k

2

2

Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w (

k
2

, 0) i promieniu

k
2

, dla

której x > 0 i y < 0. Oprócz tego:

K(0) =

k
2

oraz

lim

ω→∞

K(ωj) = 0

Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(ωj) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(iω) znajduje się na ryzunku 3.

−

k
2

0

0

k
2

k

ImK(iω)

ReK(iω)



cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 3: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu inercyjnego

1 b)

Układ całkujący

y(t) = k

τ

Z

0

u(τ )dτ

Y (s) = k

1

s

U (s)

K(s) =

Y (s)

U (s)

=

k

s

1.

Charakterystyka impulsowa

Y (s) = k

1

s

y(t) = k ·

1(t)

Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 4.

4

0

k

0

y(t)

t

Rysunek 4: Charakterystyka impulsowa układu całkującego

2.

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

1

s

·

k

s

=

k

s

2

y(t) = k ·

1(t) · t

Charakterystykę przedstawia wykres na rysunku 5.

0

0

y(t)

t

Rysunek 5: Charakterystyka skokowa układu całkującego

3.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

k

s

K(jω) =

k

jω

=

kj

j

2

ω

= −j

k

ω

ReK(jω) = 0

,

lim

ω→0

ImK(jω) = −∞

,

lim

ω→∞

ImK(jω) = 0

5

Wykresem tej zależności na płaszczyźnie zespolonej jest więc półprosta - ujemna
półoś urojona (w granicy - wraz z (0, 0)). Dla rosnących ω wartość K(iω) zbliża
się do 0. Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 6.

0

0

ImK(iω)

ReK(iω)

6

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 6: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego

1 c)

Układ całkujący z inercją

y(t) + T ˙

y(t) = k

τ

Z

0

u(τ )dτ

Y (s) + T (sY (s) − 0) = k

1

s

U (s)

Y (s)(1 + T s) = k

1

s

U (s)

Y (s) = k

1

s(1 + T s)

U (s)

Y (s)

U (s)

=

k

s(1 + T s)

1.

Charakterystyka impulsowa

Y (s) = k

1

s(1 + T s)

Y (s) = k

 1

s

− T 1 + sT



y(t) = k(1 − e

−

t

T

)

Charakterystyka impulsowa układu całkującego z inercją jest więc taka sama,
jak charakterystyka skokowa układu inercyjnego - patrz wykres na rysunku 2.

6

2.

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

1

s

· k

1

s(1 + T s)

=

k

s

2

(1 + T s)

Y (s) = k



T

2

sT + 1

+

1

s

2

−

T

s



Y (s) = k



T

1

s +

1

T

+

1

s

2

− T

1

s



y(t) = kT e

−

1

T

+ kt − kT

y(t) = kT (e

−

1

T

− 1) + kt

Wykres y(t) znajduje się na rysunku 7.

0

k

T

y(t)

t

k

T

− k

Rysunek 7: Charakterystyka skokowa układu całkującego z inercją

3.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

k

s(1 + T s)

K(jω) =

k

jω(1 + T jω)

=

k · jω(1 − T jω)

−ω

2

(1 + (T ω)

2

)

K(jω) =

kT ω

w

+ kω

−ω

2

(1 + (T ω)

2

)

= −

kT

1 + (T ω)

2

− j

k

ω(1 + (T ω)

2

)

x(ω) = ReK(jω) = −

kT

1 + (T ω)

2

y(ω) = ImK(jω) = −

k

ω(1 + (T ω)

2

)

< 0

lim

ω→0

ReK(jω) = −kT

,

lim

ω→0

ReK(jω) = −∞

lim

ω→∞

ReK(jω) = 0

,

lim

ω→∞

ImK(jω) = 0

Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 8.

7

0

−kT

0

ImK(iω)

ReK(iω)

:

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 8: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu całkującego z inercją

1 d)

Układ różniczkujący z inercją

y(t) + T ˙

y(t) = k ˙

u(t)

Y (s) + T sY (s) = ksU (s)

Y (s)(1 + T s) = kU (s)

Y (s) = U (s)

k

1 + T s

K(s) =

Y (s)

U (s)

=

ks

1 + T s

1.

Charakterystyka impulsowa

Y (s) =

ks

1 + T s

=

k

T

−

k

T (sT + 1)

=

k

T

·



1 −

1

sT + 1



Y (s) =

k

T



1 −

1

T

·

1

s +

1

T



y(t) =

k

T



δ(t) −

1

T

e

−

t

T



y(t) =

(

∞

dla t = 0,

−

k

T

2

e

−

t

T

dla t 6= 0.

Wykres znajduje się na rysunku 9.

2.

Charakterystyka skokowa

Y (s) =

1

s

·

ks

1 + T s

=

k

1 + T s

Y (s) =

k

T

1

T

+ s

8

0

0

y(t)

t

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 9: Charakterystyka impulsowa układu różniczkującego z inercją

y(t) =

k

T

e

−

t

T

Charakterystyka ta jest taka sama jak charakterystyka impulsowa dla układu
inercyjnego - patrz rysunek 1.

3.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(s) =

ks

1 + T s

K(jω) =

kjω

1 + T jω

=

kjω(1 − T jω)

(1 + T jω)(1 − T jω)

=

kjω − kj

2

T ω)

1

2

− T

2

j

2

ω

2

K(jω) =

kT ω

2

1 + T

2

ω

2

+ j

kω

1 + T

2

ω

2

Na płaszczyźnie zespolonej mamy:

x(ω) = ReK(jω) =

kT ω

2

1 + T

2

ω

2

> 0

y(ω) = ImK(jω) =

kω

1 + T

2

ω

2

> 0

x(ω)

2

+ y(ω

2

) =

k

2

ω

2

1 + T

2

ω

2

=

k

T

x(ω)

x(ω)

2

−

k

T

x(ω) +



k

2T



2

+ y(ω

2

) =



k

2T



2



x(t) −

k

2T



2

+ y(ω

2

) =



k

2T



2

Szukaną krzywa jest więc ta część okręgu o środku w (

k
2

, 0) i promieniu

k
2

, dla

której x > 0 i y > 0. Oprócz tego:

K(0) =

k

T

oraz

lim

ω→∞

K(ωj) = 0

Z powyższego można wyznaczyć kierunek zmian K(ωj) - w kierunku (0, 0).
Wykres K(iω) znajduje się na rysunku 10.

9

0

k
2

0

k
2

k

ImK(iω)

ReK(iω)

y

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Rysunek 10: Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu różniczkującego z in-
ercją

2

Transmitancje

2 a)

Transmitancje poszczególnych bloków

Blok 1 to układ RLC z R = 1, L =

1
2

i C = 2. Transmitancja układu RLC

wyraża się wzorem:

K

1

(s) =

1

R + Ls +

1

Cs

Po podstawieniu:

K

1

(s) =

1

1 +

1
2

s +

1

2s

=

2s

2s + s

2

+ 1

=

2s

(s + 1)

2

Blok 2 to człon całkujący z inercją I rzędu o stałej czasowej T

1

= 3 i wzmocnieniu

k

1

= 1. Wiemy że transmitancja członu całkującego z inercją wyraża się wzorem:

K

2

(s) =

k

1

s(1 + T

1

s)

=

1

s(1 + 3s)

Blok 3 to silnik elektryczny traktowany jako układ inercyjny 1 rzędu o stałej
czasowej T

2

= 3 i wzmocnieniu k

2

= k

R

.

K

3

(s) =

k

2

1 + T

2

s

=

k

R

1 + 3s

Blok 4 to układ proporcjonalny idealny o współczynniku k

R

.

K

4

(s) = k

R

2 b)

Wzory na transmitancje zastępcze

1.

Układy połączone szeregowo

Rozważmy dwa układy połączone szeregowo. Oznaczmy wejście pierwszego ukła-
du jako u

1

(t), wyjście pierwszego y

1

(t) = u

2

(t) (wejście drugiego), y

2

(t) - wyjście

drugiego układu.

10

Y

2

(s) = K

2

(s)U

2

(s) = K

2

(s)Y

1

(s) = K

2

(s)K

1

(s)U

1

(s)

Stąd transmitancja zastępcza wyraża się wzorem

K

Z

(s) = K

1

(s)K

2

(s)

co można łatwo uogólnić na połączenie szeregowe n układów:

K

Z

(s) =

n

Y

i=1

K

i

(s)

2.

Dwa układy połączone równolegle

Jeżeli wejścia n układów są takie same, a ich wyjścia sumują się, to mamy:

u

i

(t) = u(t)

dla i = 1, 2, 3, . . . , n

y(t) =

n

X

i=1

y

i

(t)

Y (s) = L

(

n

X

i=1

y

i

(s)

)

=

n

X

i=1

Y

i

(s)

Y

S

(s) =

n

X

i=1

U

i

(s)K

i

(s) =

n

X

i=1

U (s)K

i

(s) = U (s)

n

X

i=1

K

i

(s) = U (s)K

Z

(s)

Stąd transmitansja zastępcza n układów połączonych szeregowo K

Z

to:

K

Z

(s) =

n

X

i=1

K

i

(s)

3.

Układ ze sprzężeniem zwrotnym ujemnym

Oznaczmy wejście układu jako u(t), a wyjście jako y(t). Wejściem członu o zna-
nej transmitancji K jest różnica u

s

(t) = u(t) − y(t). Transformując uzyskujemy:

Y (s) = U

S

(s)K(s) = (U (s) − Y (s))K(s) = U (s)K(s) − Y (s)K(s)

Y (s)(1 + K(s)) = U (s)K(s)

Y (s) = U (s)

K(s)

1 + K(s)

Stąd:

K

Z

(s) =

K(s)

1 + K(s)

11

2 c)

Transmitancja zastępcza całego układu

K

23

= K

2

+ K

3

(połączenie równoległe)

K

0

4

=

K

4

1 + K

4

(sprz. zwrotne ujemne)

K

Z

= K

1

· K

23

· K

0

4

(połączenie szeregowe)

K

Z

=

K

1

(K

2

+ K

3

)K

4

1 + K

4

=

2s

(s+1)

2



1

s(1+3s)

+

k

R

1+3s



k

R

1 + k

R

K

Z

=

2s

(s+1)

2

1+k

R

s

s(1+3s)

k

R

1 + k

R

K

Z

=

2k

r

(1 + k

R

s)

(s + 1)

2

(1 + 3s)(1 + k

R

)

3

Układy o zadanym opisie

Należy zaprojektować co najmniej dwa różne układy, których opis w postaci
równania różniczkowego przedstawia się następująco:

y

00

+ ay

0

= bu

0

+ cu

przy założeniach: y(0) = 0, y

0

(0) = 0, c > ab. Transformując zadane równanie

wyznaczamy transmitancję:

L {y

00

(t)} + L {ay

0

(t)} = L {bu

0

(t)} + L {cu(t)}

s

2

Y (s) − sy(0) − y

0

(0) + asY (s) − ay(0) = bsU (s) − bu(0) + cU (s)

Y (s)(s

2

+ as) = U (s)(bs + c) − bu(0)

/przyjmuję u(0) = 0

K(s) =

Y (s)

U (s)

=

bs + c

s(s + a)

Wykorzystując wiadomości z zadania 2., możemy łatwo podać kilka przykłado-
wych układów o takiej transmitancji.

3 a)

Układ 1

Można spróbować tak dobrać parametry kilku bloków, aby w wyniku pomnoże-
nia ich transmitacji otrzymać szukaną transmitancję K (połączenie szeregowe).
Np. układ złożony z dwóch bloków połączonych szeregowo:

1. blok złożnony z dwóch podbloków połączonych równolegle:

(a) blok różniczkujący o wzmocnieniu k = b

K

11

(s) = ks = bs

(b) blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = c

K

12

(s) = k = c

12

Transmitancja bloku 1 jest więc sumą:

K

1

(s) = K

11

(s) + K

12

(s) = bs + c

2. całkującego z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T

1

=

1
a

i wzmocnieniu

k =

1
a

.

K

2

(s) =

k

s(1 + T s)

=

1
a

s(1 +

1
a

s)

=

1

s(a + s)

Transmitancja całego układu wynosi:

K(s) = K

1

(s)K

2

(s) = (bs + c)

1

s(a + s)

=

bs + c

s(s + a)

,

co równe jest szukanej transmitancji.

Rysunek 11: Schemat układu 1

3 b)

Układ 2

Możemy do docelowej transmitancji dojśc następująco:

1. blok inercyjny z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T =

1
a

i wzmocnieniu

k =

1
a

K

11

(s) =

k

1 + sT

=

1
a

1 + s

1
a

=

1

a + s

2. blok całkujący z inercją 1. rzędu o stałej czasowej T =

1
a

i wzmocnieniu

k =

c

ab

.

K

12

(s) =

k

s(1 + sT )

=

c

ab

s(1 + s

1
a

)

=

c
b

s(s + a)

3. blok proporcjonalny o wzmocnieniu k = b

K

2

(s) = k = b

Bloki 1 i 2 są połączone równolegle, a blok 3 - szeregowo z nimi. Transmitancja
całego układu to:

K = (K

11

+ K

12

)K

2

=



1

a + s

+

c
b

s(s + a)



b =

bs + c

bs(a + s)

b =

bs + c

s(a + s)

13

Rysunek 12: Schemat układu 2

14