Podstawy automatyki i regulacji automatycznej
Dynamika układów liniowych
Trzy rodzaje elementów podstawowych
- elementy rozpraszaj ce energi
- elementy magazynuj ce energi w postaci kinetyczne
- elementy magazynuj ce energi w postaci potencjalnej
Własno ci dynamiczne układów najogólniej ujmuje równanie Lagrange’a:
n
n
s
n
p
n
k
n
k
f
x
P
x
E
x
E
x
E
dt
d
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
•
•
2
1
x
n
– współrz dna uogólniona
f
n
– pobudzenie zwi zane ze współrz dn uogólnion x
n
E
k
– energia kinetyczna
E
p
– energia potencjalna
P
s
– moc strat
Wyra enia opisuj ce moc strat, energi kinetyczn i potencjaln dla układów o
ró nej naturze fizycznej
Układy
Układy mech.
Układy mech.
Układy
elektryczne
o ruchu post.
o ruchu obr.
pn. i hyd.
Moc
P
s
= i
2
R
P
s
= v
2
R
m
P
s
=
2
R
r
P
s
= i
p
2
R
p
strat
Energia
kinet.
Energia
potenc.
C
q
E
p
2
2
=
m
p
C
x
E
2
2
=
r
p
C
E
2
2
α
=
p
p
C
V
E
2
2
=
2
2
Li
E
k
=
2
2
mv
E
k
=
2
2
ϖ
r
k
M
E
=
2
2
p
p
k
i
m
E
=
2
2
Cu
E
p
=
2
2
f
C
E
m
p
=
2
2
r
r
p
f
C
E
=
2
2
p
C
E
p
p
=
Opis układu dynamicznego za pomoc transmitancji
operatorowej
Dany jest
jednowymiarowy układ o schemacie blokowym:
Dla obiektu liniowego, stacjonarnego, który mo na opisa równaniem
ró niczkowym postaci:
)
(
...
)
(
)
(
...
)
(
0
0
t
u
b
dt
t
u
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
m
m
m
n
n
n
+
+
=
+
+
i przy zało eniu zerowych wszystkich warunków pocz tkowych, mo na napisa
transformat Laplace’a postaci:
a
n
s
n
Y(s)+...+a
o
Y(s) = b
n
s
n
U(s)+...+b
o
U(s)
gdzie:
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
y
s
Y
st
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
u
s
U
st
Transmitancja operatorowa:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
s
M
s
L
s
a
s
b
S
U
s
Y
s
G
n
i
i
i
m
j
j
j
=
=
=
=
=
Pierwiastki równania L(s) = 0 –
zera transmitancji operatorowej
Pierwiastki równania M(s) = 0 –
bieguny transmitancji operatorowej
Charakterystyki czasowe
Charakterystyja skokowa i impulsowa elementu ró niczkuj cego
rzeczywistego.
Transmitancja widmowa.
Dany jest
jednowymiarowy układ liniowy o schemacie blokowym:
Wymuszeniem jest sygnał sinusoidalny u(t) = Usin( t)
Odpowiedzi (ustalon ) jest równie sygnał sinusoidalny y(t) = Ysin( t+ )
Transmitancja widmowa G(j ):
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
j
U
j
Y
j
G
=
G(j ) = P( ) + jQ( )
P( ) = Re[G(j )]
Q( ) = Im[G(j )]
)
(
)
(
ctg(
)
(
)
(
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
P
Q
ar
e
j
G
j
G
j
=
=
Charakterystyki cz stotliwo ciowe
Charakterystyka amplitudowo-fazowa.
Charakterystyki amplitudowa i fazowa
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa.
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowo-fazowa.
Podstawowe człony dynamiczne – charakterystyki
Proporcjonalny, bezinercyjny
y(t) = ku(t)
G(s) = k
Inercyjny pierwszego rz du
ku
y
dt
dy
T
=
+
1
)
(
+
=
sT
k
s
G
Inercyjny drugiego rz du, Oscylacyjny
ku
y
dt
dy
T
dt
y
d
T
=
+
+
ξ
2
2
2
2
1
2
)
(
2
2
+
+
=
Ts
s
T
k
s
G
ξ
Ró niczkuj cy idealny i rzeczywisty
dt
du
T
y
dt
dy
k
T
d
d
d
=
+
1
)
(
+
=
s
k
T
s
T
s
G
d
d
d
T
d
- czas ró niczkowania
k
d
- wzmocnienie dla du ych
cz stotliwo ci
Całkuj cy
ku
dt
dy =
s
k
s
G
v
=
)
(
Opó niaj cy
)
(
)
(
0
T
t
ku
t
y
−
=
0
)
(
sT
ke
s
G
−
=
Układy regulacji automatycznej
Schemat blokowy układu regulacji automatycznej
Gr(s)
Go(s)
u(t)
y(t)
x(t)
e(t)
z
1
(t)
z
r
(t)
z
2
(t)
-
Przykład - schemat ideowy URA poziomu cieczy w zbiorniku.
G
r
(s)
G
ob
(s)
Schemat obliczeniowy z zakłóceniami na wej ciu obiektu
Równanie operatorowe układu
=
=
Z(S)
s
X
s
S
Z
s
X
s
G
s
G
s
G
s
G
s
Y
s
E
yz
ez
e
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
G
+
−
+
+
+
=
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
)
(
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
o
ob
o
o
o
ob
o
G
Schemat obliczeniowy z zakłóceniami na wyj ciu obiektu
+
−
+
+
+
=
)
(
1
1
)
(
1
)
(
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
o
o
o
o
o
G
-
Gr(s)
Go(s)
u(t)
y(t)
x(t)
e(t)
z(t)
-
-
Gr(s)
Go(s)
u(t)
y(t)
x(t)
e(t)
-
z(t)
Schemat rzeczywistego układu regulacji automatycznej
Przebiegi przej ciowe uchybu w czasie wywołane wymuszeniem
skokowym
Zwi zek rozmieszczenia biegunów zespolonych z chrakt. skokow
Kształt odpowiedzi układu g(t) na wymuszenie impulsowe przy
ró nych poło eniach biegunów.
Regulatory
Regulator proporcjonalny - P
u(t) = k
p
*e(t)
G(s) = k
p
u(t) = k
p
1(t)
Regulator całkuj cy - I
=
t
i
d
e
T
t
u
0
)
(
1
)
(
τ
τ
i
sT
1
G(s)
=
)
(
1
1
)
(
t
t
T
t
u
i
=
Regulator proporcjonalno-całkuj cy - PI
+
=
t
i
p
d
e
T
t
e
k
t
u
0
)
(
1
)
(
)
(
τ
τ
+
=
i
sT
1
1
G(s)
p
k
)
(
1
1
1
)
(
t
t
T
k
t
u
i
p
+
=
Regulator ró niczkuj cy idealny - D
)
(
)
(
t
e
dt
d
T
t
u
d
=
d
sT
s
G
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
t
t
T
t
u
d
δ
=
Regulator ró niczkuj cy rzeczywisty - D
)
(
)
(
)
(
t
e
dt
d
T
t
u
t
u
dt
d
T
d
=
+
1
)
(
+
=
sT
sT
s
G
d
t
T
d
e
T
T
t
u
1
)
(
−
=
Regulator proporcjonalno-ró niczkuj cy - PD
+
=
)
(
)
(
)
(
t
e
dt
d
T
t
e
k
t
u
d
p
(
)
d
p
sT
k
s
G
+
=
1
)
(
(
)
)
(
1
)
(
1
)
(
t
t
T
k
t
u
d
p
δ
+
=
Regulator proporcjonalno-ró niczkuj co-całkuj cy - PID
+
+
=
t
d
p
d
e
t
e
dt
d
T
t
e
k
t
u
0
)
(
)
(
)
(
)
(
τ
τ
+
+
=
i
d
p
sT
sT
k
s
G
1
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
t
t
T
T
t
k
t
u
d
i
p
+
+
=
δ
Rodzaje korekcji
Realizacje regulatorów bezpo redniego działania
Statyczny regulator ci nienia
1 trzpie
2 spr yna
3 membrana
4 grzybek zaworu
Astatyczny regulator ci nienia
Regulator temperatury
