6.  W  jakich  przypadkach  stosuje  się  jednoczynnikową  analizę  wariancji?  Jakie  założenia  należy 
sprawdzić przed użyciem tej techniki statystycznej? Podaj przykład zastosowania jednoczynnikowej 
analizy wariancji.  
 
Jednoczynnikowa analiza wariancji jest testem statystycznym służącym do porównywania średnich 
w  wielu  populacjach.  Stosujemy  ją  gdy  chcemy  ocenić  czy  występujące  różnice  są  istotne 
statystycznie gdy mamy jeden czynnik eksperymentalny. 
 
Założenia: 



 

Każda populacja musi mieć rozkład normalny 



 

Pobrane do analizy próby są niezależne 



 

Próby pobrane z każdej populacji muszą być losowymi próbami prostymi 



 

Wariancje w populacjach są równe 

W przypadku, gdy założenia analizy wariancji nie są spełnione należy posługiwać się testem Kruskala-
Wallisa. 

Przykład z zajęć: 
Zbadać czy rodzaj paszy podawany kurczakom wpływa na przyrost ich wagi. 
Mamy trzy rodzaje paszy: A, B oraz C. 
 
Plan  doświadczenia:  układ  całkowicie  losowy  (  kompletnie  zrandomizowany)  zrównoważony,  czyli 
jednakowa liczba kurczaków przypisana do trzech pasz. 
Czynnik doświadczalny (inaczej eksperymentalny): rodzaj paszy (A, B, C); każda pasza jest obiektem 
doświadczalnym, natomiast jednostki eksperymentalne to kurczaki. 
 

µA- średni przyrost dla paszy A 

µB- średni przyrost dla paszy B 
µC- średni przyrost dla paszy C 

H

0

: wszystkie średnie grupowe są identyczne; µA= µB= µC 

vs.  H

1

: istnieje różnica w przyrostach wagi dla przynajmniej dwóch pasz 

 
Przed  zastosowaniem  testu  dla  równości  średnich  w  analizie  wariancji  konieczne  jest  sprawdzenie 
hipotezy  o  równości  wariancji  zmiennej  odpowiedzi  w  poszczególnych  grupach.  Stosujemy  różne 
testy do badania równości wariancji, jednak najlepszy jest test Levene'a. 
 Jego założenia: 

δ

2

 A- wariancja śr odpowiedzi dla paszy A 

δ

2

B- wariancja śr odpowiedzi dla paszy B 

δ

2

C- wariancja śr odpowiedzi dla paszy C 

H

0

: wszystkie wariancje są identyczne 

vs. H

1

: przynajmniej jedna wariancja różni się od pozostałych 

 

Gdy  p-wartość  >  α=0,05  to  przyjmujemy  hipotezę  zerową,  że  wszystkie  wariancje  są  równe  (są 
homogeniczne), czyli można stosować analizę wariancji. 
 
Co  więcej,  warto  również  zastosować  inny  test  dla  zbadania  wartości  wariancji  np.  test  Bartlett'a. 
Musimy wcześniej sprawdzić normalność składnika losowego ε za pomocą testu Shapiro-Wilka. 
Gdy  p-wartość    >  α=0,05  to  składniki  losowe  modelu  są  normalne  (możemy  zastosować  test  
Bartlett'a). 
 
Gdy po zastosowaniu testu Bartlett’a (bartlett.test(przyrost~pasza) p-wartość  > α=0,05  oznacza to, 
że test ten także potwierdził jednorodność wariancji. 

Następnie  po    wprowadzeniu  formuły:  summary  (model)  otrzymujemy  podsumowanie  naszego 
modelu, które możemy przedstawić w formie tabeli analizy wariancji: 

Źródło zmienności 

Liczba stopni 

swobody 

Suma 

kwadratów 

Średni 

kwadrat 

Statystyka 

testowa F 

p-

wartość 

Czynniki 

eksperymentalne  

(rodzaj paszy) 

 

 

 

 
 
 
 

 
 
 
 

Czynnik losowy 

(naturalna zmienność 

wewnątrz grup) 

 

 

 

 
Gdy p-wartość jest < α = 0,05 to należy odrzucić hipotezę zerową (H

0

) o tym, że  µA= µB= µC, czyli że 

średnie przyrosty dla każdej z pasz są takie same. Oznacza to, że pasze różnicują wartości przyrostu. 
 
Ponieważ  odrzucamy  H

0

  o  równości  średnich  to  można  przeprowadzić  test  post-hoc.  Stosujemy 

metodę  HSD  Tukey'a  dla  układu  zrównoważonego  tzw.  test  Turkey  o  formule: 
TukeyHSD(aov(przyrost~pasza)). 
 
Gdy p adj, czyli wartości prawdopodobieństwa testowego są  > α = 0,05 określa to, że wszystkie pary 
rodzajów paszy różnią się statystycznie istotnie w zakresie średnich przyrostów wagi, gdy tylko jedna 
p adj > α = 0,05 (np. dla pary C-B) to tylko dla pasz B i C można odrzucić hipotezę o równości średnich. 
Możemy 

zilustrować 

przedziały 

ufności 

na 

wykresie 

korzystając 

z 

formuły: 

plot 

(TukeyHSD(aov(przyrost~pasza))).