6. W jakich przypadkach stosuje się jednoczynnikową analizę wariancji? Jakie założenia należy
sprawdzić przed użyciem tej techniki statystycznej? Podaj przykład zastosowania jednoczynnikowej
analizy wariancji.

Jednoczynnikowa analiza wariancji jest testem statystycznym służącym do porównywania średnich
w wielu populacjach. Stosujemy ją gdy chcemy ocenić czy występujące różnice są istotne
statystycznie gdy mamy jeden czynnik eksperymentalny.

Założenia:



Każda populacja musi mieć rozkład normalny



Pobrane do analizy próby są niezależne



Próby pobrane z każdej populacji muszą być losowymi próbami prostymi



Wariancje w populacjach są równe

W przypadku, gdy założenia analizy wariancji nie są spełnione należy posługiwać się testem Kruskala-
Wallisa.

Przykład z zajęć:
Zbadać czy rodzaj paszy podawany kurczakom wpływa na przyrost ich wagi.
Mamy trzy rodzaje paszy: A, B oraz C.

Plan doświadczenia: układ całkowicie losowy ( kompletnie zrandomizowany) zrównoważony, czyli
jednakowa liczba kurczaków przypisana do trzech pasz.
Czynnik doświadczalny (inaczej eksperymentalny): rodzaj paszy (A, B, C); każda pasza jest obiektem
doświadczalnym, natomiast jednostki eksperymentalne to kurczaki.

µA- średni przyrost dla paszy A

µB- średni przyrost dla paszy B
µC- średni przyrost dla paszy C

H

0

: wszystkie średnie grupowe są identyczne; µA= µB= µC

vs. H

1

: istnieje różnica w przyrostach wagi dla przynajmniej dwóch pasz

Przed zastosowaniem testu dla równości średnich w analizie wariancji konieczne jest sprawdzenie
hipotezy o równości wariancji zmiennej odpowiedzi w poszczególnych grupach. Stosujemy różne
testy do badania równości wariancji, jednak najlepszy jest test Levene'a.
Jego założenia:

δ

2

A- wariancja śr odpowiedzi dla paszy A

δ

2

B- wariancja śr odpowiedzi dla paszy B

δ

2

C- wariancja śr odpowiedzi dla paszy C

H

0

: wszystkie wariancje są identyczne

vs. H

1

: przynajmniej jedna wariancja różni się od pozostałych

Gdy p-wartość > α=0,05 to przyjmujemy hipotezę zerową, że wszystkie wariancje są równe (są
homogeniczne), czyli można stosować analizę wariancji.

Co więcej, warto również zastosować inny test dla zbadania wartości wariancji np. test Bartlett'a.
Musimy wcześniej sprawdzić normalność składnika losowego ε za pomocą testu Shapiro-Wilka.
Gdy p-wartość > α=0,05 to składniki losowe modelu są normalne (możemy zastosować test
Bartlett'a).

Gdy po zastosowaniu testu Bartlett’a (bartlett.test(przyrost~pasza) p-wartość > α=0,05 oznacza to,
że test ten także potwierdził jednorodność wariancji.

Następnie po wprowadzeniu formuły: summary (model) otrzymujemy podsumowanie naszego
modelu, które możemy przedstawić w formie tabeli analizy wariancji:

Źródło zmienności

Liczba stopni

swobody

Suma

kwadratów

Średni

kwadrat

Statystyka

testowa F

p-

wartość

Czynniki

eksperymentalne

(rodzaj paszy)

Czynnik losowy

(naturalna zmienność

wewnątrz grup)

Gdy p-wartość jest < α = 0,05 to należy odrzucić hipotezę zerową (H

0

) o tym, że µA= µB= µC, czyli że

średnie przyrosty dla każdej z pasz są takie same. Oznacza to, że pasze różnicują wartości przyrostu.

Ponieważ odrzucamy H

0

o równości średnich to można przeprowadzić test post-hoc. Stosujemy

metodę HSD Tukey'a dla układu zrównoważonego tzw. test Turkey o formule:
TukeyHSD(aov(przyrost~pasza)).

Gdy p adj, czyli wartości prawdopodobieństwa testowego są > α = 0,05 określa to, że wszystkie pary
rodzajów paszy różnią się statystycznie istotnie w zakresie średnich przyrostów wagi, gdy tylko jedna
p adj > α = 0,05 (np. dla pary C-B) to tylko dla pasz B i C można odrzucić hipotezę o równości średnich.
Możemy

zilustrować

przedziały

ufności

na

wykresie

korzystając

z

formuły:

plot

(TukeyHSD(aov(przyrost~pasza))).