POCHODNA KIERUNKOWA
Załóżmy, że dimX >1.
Definicja
Niech
.
,
,
.
,
Y
X
- przestrzenie unormowane nad ciałem K,
),
i
przestrzen
otwarty w
zbiór
-
(
Top
X
U
X
U
.
,
,
:
0
X
v
U
x
Y
U
f
Dodatkowo zakładamy (por. F. Leja “Rachunek różniczkowy i całkowy”), że
v jest
wektorem jednostkowym, tzn.
.
1
|
|
v
Pochodną kierunkową
funkcji f w punkcie x
0
w kierunku wektora
v nazywamy taki wektor
Y
x
f
D
v
0
)
(
, że:
t
x
f
v
t
x
f
x
f
D
t
v
0
0
0
0
lim
:
lub równoważnie (z wykorzystaniem o(h))
.
0
0
0
t
o
x
f
D
t
x
f
v
t
x
f
v
1
z = f(x,y)
x
y
z
f[l]
l
U
→
→
v
l||v i єl
→
0
P
)
(
0
P
f
0
P
Przykład
Niech
,
:
3
2
R
R
f
.
,
,
,
2
2
y
x
y
x
xy
y
x
f
Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
)=(2, 1) w kierunku
wyznaczonym przez wektor
]
2
,
1
[
v
.
Wersor
e
v
równoległy do wektora
v jest postaci
5
5
2
,
5
5
5
]
2
,
1
[
|
| v
v
v
e
zatem
0
,
5
5
,
5
5
3
,
5
5
,
5
5
3
5
2
lim
,
5
5
,
5
5
3
5
2
lim
5
,
3
,
2
5
,
3
5
5
,
2
5
5
3
5
2
lim
5
,
3
,
2
5
5
2
1
5
5
2
,
5
5
3
,
5
5
2
1
5
5
2
lim
1
,
2
5
5
2
1
,
5
5
2
lim
1
,
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
t
t
f
f
D
t
t
t
t
t
e
v
opracował Jacek Zańko
2