POCHODNA KIERUNKOWA

Załóżmy, że dimX >1.

Definicja

Niech



 



.

,

,

.

,

Y

X

- przestrzenie unormowane nad ciałem K,

),

i

przestrzen

otwarty w

zbiór

-

(

Top

X

U

X

U



.

,

,

:

0

X

v

U

x

Y

U

f









Dodatkowo zakładamy (por. F. Leja “Rachunek różniczkowy i całkowy”), że



v jest

wektorem jednostkowym, tzn.

.

1

|

|





v

Pochodną kierunkową

funkcji f w punkcie x

0

w kierunku wektora



v nazywamy taki wektor

 

Y

x

f

D

v





0

)

(

, że:

 

 

t

x

f

v

t

x

f

x

f

D

t

v

0

0

0

0

lim

:













 





















lub równoważnie (z wykorzystaniem o(h))

 

   

.

0

0

0

t

o

x

f

D

t

x

f

v

t

x

f

v































 





1

z = f(x,y)

x

y

z

f[l]

l

U

→

→

v

l||v i єl

→

0

P

)

(

0

P

f

0

P

Przykład

Niech

,

:

3

2

R

R



f









.

,

,

,

2

2

y

x

y

x

xy

y

x

f







Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x

0

, y

0

)=(2, 1) w kierunku

wyznaczonym przez wektor

]

2

,

1

[







v

.

Wersor

e

v



równoległy do wektora



v jest postaci



























5

5

2

,

5

5

5

]

2

,

1

[

|

| v

v

v

e

zatem

 

 























































































































































































































0

,

5

5

,

5

5

3

,

5

5

,

5

5

3

5

2

lim

,

5

5

,

5

5

3

5

2

lim

5

,

3

,

2

5

,

3

5

5

,

2

5

5

3

5

2

lim

5

,

3

,

2

5

5

2

1

5

5

2

,

5

5

3

,

5

5

2

1

5

5

2

lim

1

,

2

5

5

2

1

,

5

5

2

lim

1

,

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

f

t

t

f

f

D

t

t

t

t

t

e

v

opracował Jacek Zańko

2