Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie
V.1 Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu:
a) a
n
= 2n
− 1
b) a
n
=
n + 3
n!
c) a
n
=
n!
n(n + 1)
V.2 Oblicz (lub zapisz) c
1
, c
3
, c
2k
, c
n
−k
dla:
a) c
n
= 3
·2
n
b) c
n
=
3n
− 2
3
− 4n
c) c
n
=
1
− (−1)
n
n
d) c
n
=
(n
− 1)!(n + 1)!
(n!)
2
V.3 Napisz 3 i 5 wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:
a) a
1
= 2,
a
n+1
= 3a
n
b) a
1
= 1,
a
n+1
=
1
3
(2a
n
+ 1)
c) a
1
= 4,
a
n+1
=
√
a
n
d) a
n
=
1
3
,
a
n+1
= 3
n
a
n
2
e) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ (
−1)
n
f) a
1
= 1,
a
n+1
=
2
n
n + 1
a
n
.
V.4* Znajdź wzór na a
n
dla ciągu określonego rekurencyjnie:
a) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ 1
b) a
1
= 2,
a
n+1
= a
n
c) a
1
= 1,
a
n+1
= a
n
+ 8n
d) a
1
= 2,
a
n+1
= 3a
n
+ 2n
− 1
e) a
1
=
−2, a
n+1
=
−a
n
.
V.5* Ciąg (a
n
) określony jest następująco:
a) a
1
=
1
2
,
a
n+1
=
a
n
2(n + 1)a
n
+ 1
. Wyznacz a
1
+ . . . + a
n
.
b) a
1
= 1,
a
1
+ 2a
2
+ . . . + na
n
= n(n + 1)a
n
, dla n
2. Wyznacz a
n
.
V.6 Wyznacz n-ty wyraz ciagu wiedząc, że suma S
n
wynosi:
a) S
n
=
3
2
n
2
−
1
2
n
b) S
n
= n
2
c) S
n
=
n
n + 1
V.7 Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 99.
V.8 Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Jeśli tak to wyznacz jego różnicę:
a) a
n
= 6n + 1,
b) b
n
=
n
− 1
n + 1
c) c
n
= n
√
2 + 2
d) d
n
= n
2
+ n + 1
V.9 Znajdź wzór na ogólny wyraz ciagu arytmetyczngo a
n
wiedząc, że:
a) a
1
= 5,
r = 7;
b) a
1
=
−2, r = 5;
c) a
2
=
1
2
,
a
3
=
1
4
;
d) a
3
=
−2,
a
3
+ a
5
=
−4.
V.10 Oblicz sumę S
n
ciągu arytmetycznego (a
n
):
1
a) a
1
= 1,
r = 3,
n = 12
b) a
1
= 100,
r =
−2, n = 50
c) a
1
=
−10, r = 5, n = 25
V.11 Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym:
a) S
4
= 12,
S
6
= 42
b) S
4
= a,
S
6
= b.
V.12 Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 37, zaś jedenasty wynosi 52. Oblicz wyraz dwudziesty oraz
sumę wyrazów od 5 do 15.
V.13 Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Przeciwprostokątna wynosi 30 cm.
Oblicz długości przyprostokątnych.
V.14 W pewnym ciągu arytmetycznym a
1
= 8, a
n
= 83, S
n
= 728. Oblicz n i różnicę r tego ciągu.
V.15* Udowodnić, że jeśli liczby dodatnie a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby
1
√
b +
√
c
,
1
√
c +
√
a
,
1
√
a +
√
b
także tworzą ciąg arytmetyczny.
V.16* Oblicz jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli suma jego n początkowych wyrazów wyraża się
wzorem S
n
= 3n
2
+ 4n.
V.17* Utworzyć ciąg arytmetyczny o następujących własnościach: 1) pierwszy wyraz ciągu jest równy 1, a
ostatni 31, 2) suma wszystkich wyrazów od drugiego do przedostatniego włącznie jest 4 razy większa od sumy
dwóch największych z nich.
V.18 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 21. Liczby te powiększone odpowiednio o 2, 3
i 9 utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
V.19 Jeśli podany ciąg jest geometryczny, to wyznacz jego iloraz:
a) 1, 3, 9, 27, . . .
b) 5, 5, 5, . . .
c)
−2, 4, −6, 8, −12, . . .
d)
√
3
2
,
1
2
,
√
3
6
, . . .,
e)
√
2,
−2, 2
√
2, . . ..
V.20 Wypisz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego, w którym
a) a
1
=
−2, q =
1
2
b) a
1
=
√
2,
q =
1
√
2
c) a
1
=
−4, q = −
1
2
d) a
1
=
1
√
2
,
q =
√
2.
V.21 Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym
a) a
1
= 12,
a
2
= 9
b) a
5
= 81,
a
7
= 729
c) a
3
=
−
√
2,
a
4
=
√
6
d) a
3
=
−
1
2
,
a
6
=
1
16
.
V.22 Wyznacz ciąg geometryczny (a
n
), w którym:
a)
{
a
4
− a
2
=
24
a
2
+ a
3
=
6
b)
{
a
6
=
4a
4
a
2
+ a
5
=
216
V.23 Oblicz sumę S
n
ciągu geometrycznego (a
n
), w którym:
2
a)
a
1
=
1
2
,
q =
√
2,
n = 8
b)
a
1
=
−1, q = −2, n = 6
c)
a
1
= 5,
q =
3
2
,
n = 5.
V.24 Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 2, a iloraz jest równy 3. Oblicz piąty i siódmy wyraz tego
ciągu.
V.25 Dane są a
3
=
20
9
i a
5
=
80
81
dla pewnego ciągu geometrycznego. Obliczyć pierwszy wyraz oraz iloraz
tego ciągu.
V.26 W ciągu geometrycznym a
1
= 2 i q = 2. Obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
V.27* Udowodnić, że suma odwrotności wszystkich wyrazów skończonego ciągu geometrycznego równa jest
sumie jego wszystkich wyrazów podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu:
S =
S
n
a
1
a
n
,
S =
n
∑
i=1
1
a
i
.
V.28* Między liczby 32 i 500 wstawić liczby x i y tak, aby ciąg (32, x, y, 500) był ciągiem geometrycznym.
V.29 Dany jest ciąg geometryczny, w którym a
1
+ a
3
+ a
5
= 21, a
3
− a
1
= 3. Znaleźć ten ciąg.
V.30 Znaleźć ciąg geometryczny o pięciu wyrazach, w którym suma trzech początkowych wyrazów wynosi
7, zaś suma trzech końcowych wyrazów jest 28.
V.31 Oblicz sumy:
a)
x + x
2
+ x
3
+ . . . + x
n
b)
1 + x
2
+ x
4
+ . . . + x
2n
c*)
x + 2x
2
+ 3x
3
+ . . . + nx
n
.
V.32 Znaleźć cztery liczby, z których pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, natomiast ostatnie trzy —
ciąg arytemtyczny. Suma liczb skrajnych wynosi 14, suma dwóch pozostałych wynosi 12.
V.33 Dane są dwa ciągi: arytemetyczny i geometryczny. Dwa pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego są
odpowiednio równe dwóm pierwszym wyrazom ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego
jest o 12 większy od trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest o 12
większy od pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego. Znaleźć te ciągi.
V.34 Liczby x, y, z, u tworzą ciąg geometryczny. Wykazać, że: (x
2
+ y
2
+ z
2
)(y
2
+ z
2
+ u
2
) = (xy + yz + zu)
2
.
V.35* Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (a
n
) określony nastęująco: a
1
= a
2
= 1, a
n+2
= a
n+1
+ a
n
.
Udowodnić, że
a
n
=
1
√
5
[(
1 +
√
5
2
)
n
−
(
1
−
√
5
2
)
n
]
dla każdej liczby naturalnej n.
V.36* Wykazać, że jeśli ciąg a
n
= n
2
−5n+2, to wtedy ciąg b
n
= a
n+1
−a
n
+ 9 jest ciągiem arytmetycznym.
V.37 Wiedząc, że liczby x + y, x + 2y + 1, x
2
+ 4y + 3x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego,
zbadaj dla jakich x
∈ R ciąg ten jest ciągiem rosnącym?
V.38 Dla jakich liczb rzeczywistych x ciąg (
√
13 + 2, x,
√
13
− 2) jest ciągiem geometrycznym?
V.39 Udowodnij, że jeśli drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią geometryczną wyrazu pierwszego i
czwartego, to wyraz szósty jest średnią geometryczną wyrazu czwartego i dziewiątego.
V.40 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a
n
oraz dwie liczby g i ϵ. Które wyrazy danego ciągu spełniają
nierówność:
|a
n
− g| < ϵ, gdy:
3
a) a
n
=
n
− 1
n
,
g = 1,
ϵ = 10
−3
b) a
n
=
2n
n
2
+ 1
,
g = 0,
ϵ = 2
·10
−3
c) a
n
= (
−1)
n
1
n
,
q = 0,
ϵ = 3
·10
−2
d) a
n
=
1
2
n
,
g = 0,
ϵ =
1
2
10
.
V.41* Wykaż, że liczba 0 jest granicą ciągu (a
n
):
a) a
n
=
−
2
n
b) a
n
=
(
−1)
n
n
c) a
n
=
3
n + 1
d) a
n
=
2n + 1
n
2
V.42* Udowodnij, że liczba g jest granicą ciągu (a
n
), jeśli:
a) a
n
=
2n
n + 1
,
g = 2
b) a
n
=
n
− 1
3(n + 1)
,
g =
1
3
c) a
n
=
n
2
+ n
− 1
n
2
− n + 1
,
g = 1.
V.43* Pokazać, że ciąg: a
n
= 1 + (
−1)
n
nie ma granicy.
V.44 Udowodnij twierdzenie o trzech ciągach:
Jeżeli lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
c
n
= g oraz istnieje liczba δ, taka, że dla każdego n > δ
a
n
¬ b
n
¬ c
n
, to lim
n
→∞
b
n
= g.
V.45 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) lim
n
→∞
n
n + 1
b) lim
n
→∞
5n
− 3
7
− 5n
c) lim
n
→∞
n
2
− 1
3
− n
3
d) lim
n
→∞
(
6n
− 2
4n
− 7
)
3
e) lim
n
→∞
√
n + 2
−
√
n
f) lim
n
→∞
√
4n
2
+ 1
− 2n
g) lim
n
→∞
3
√
n
3
+ 4n
2
− n
h) lim
n
→∞
1 + 2 +
· · · + n
n
2
i) lim
n
→∞
1
2
+ 2
2
+
· · · + n
2
n
3
j) lim
n
→∞
3
· 2
2n+2
− 10
5
· 4
n
−1
+ 3
k) lim
n
→∞
1 + 3 + 6 +
· · · +
n(n+1)
2
n
3
l) lim
n
→∞
1
1
· 2
+
1
2
· 3
+
· · · +
1
n(n
− 1)
m*)
lim
n
→∞
1 +
2
2
+
3
2
2
+
4
2
3
+
· · · +
n
2
n
−1
V.46 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) lim
n
→∞
1 + 5 + 5
2
+
· · · + 5
n
n
5
b) lim
n
→∞
n
√
10
n
+ 9
n
+ 8
n
c) lim
n
→∞
√
3n
2
+ 2n
− 5 − n
√
3
n
√
5
n
+ 7
n
+ 9
n
d) lim
n
→∞
(
1 +
1
n
)
n
e) lim
n
→∞
(
n + 3
n
)
3
f) lim
n
→∞
(
n + 12
6n
)
n
g) lim
n
→∞
(
1 +
13
n
)
2n
h) lim
n
→∞
(
n
2
+ 6
n
2
)
n
2
i) lim
n
→∞
(
1 +
1
n
2
)
n
j*)
lim
n
→∞
n(ln(n + 1)
− ln n)
k*)
lim
n
→∞
√
n +
√
n
−
√
n
−
√
n
l) lim
n
→∞
log
2
n
5
log
8
n
4
V.47 Zbadaj, czy podany szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli tak, to znajdź jego granicę:
a) 1
−
1
2
+
1
4
−
1
8
+ . . .
b) 3
− 9 + 27 − 81 + . . .
c)
1
√
2
+
1
√
3
+
√
2
3
+
2
3
√
3
+ . . .
d) 0.2 + 0.02 + 0.002 + . . .,
e)
4
3
+ 1 +
3
4
+ . . .
f)
√
3 + 1 +
1
√
3
+
1
3
+ . . ..
V.48 Dla jakich wartości x podany szereg geometryczny jest zbieżny:
a) x
− 3x
2
+ 9x
3
+ . . .
b) 1
−
1
x
+
1
x
2
−
1
x
3
+ . . .
c) 1 +
1
1 + x
+
1
(1 + x)
2
+ . . .
d) tg x + tg
2
x + tg
3
x + . . ..
V.49 Oblicz granicę:
a) lim
n
→∞
(
5
6
+
13
36
+ . . . +
2
n
+ 3
n
6
n
)
b) lim
n
→∞
(
7
12
+
25
144
+ . . . +
3
n
+ 4
n
12
n
)
.
V.50 Oblicz:
a) 1 +
√
2
2
+
1
2
+ . . .
b) 12 + 6 + 3 + . . .
c) 1
−
3
5
+
9
25
−
27
125
+ . . .
d)
√
2 + 2 + 2
√
2 + . . ..
V.51 Podany ułamek okresowy zamień na zwykły:
a) 0.(2)
b) 2.3(21)
c) 0.0(80)
d) 1.8(81).
V.52* W trójkąt równoboczny o boku a wpisanao koło, w to koło wpisano zanowu trójkąt równoboczny, a
w ten trójkąt znów wpisano koło itd. Oblicz sumę długości promieni i sumę pól otrzymanego nieskończonego
ciągu kół.
V.53* Dany jest kwadrat o boku a. Kwadrat ten rozcięto na dwa prostokąty o równych polach. Jeden z tych
prostokątów rozcięto następnie na 2 kwadraty, z których jeden rozcięto znowu na 2 prostokąty o równych
polach itd. Znajdź sumę tych wszystkich pól, korzystając z własności szeregu geometrycznego. (Pokazanie –
na przykładzie – słuszności wzoru na sumę ciągu geometrycznego).
V.54 Znajdź granicę funkcji (na podstawie definicji Heinego):
a) f (x) = 3x
2
− 5x
3
− 7 w punkcie 12.
b) f (x) =
x
2
− 4
x
− 2
w punkcie 2
c) f (x) =
x
3
− 27
x
− 3
w punkcie 3
d) f (x) =
x
− 3
x
− 7
w punkcie 4
V.55* Znaleźć granicę funkcji f (x) = sin x/x przy x dążącym do zera. Wynik przedstawić w sposób graficzny.
Jaki rodzaj nieciąglości posiada ta funkcja w punkcie x = 0? W jaki sposób można zbudować z tej funkcji
funkcję ciągłą?
V.56 Znajdź granicę funkcji w punkcie
a) lim
x
→1
(2x
− 1)
b) lim
x
→−1
(
−3x
2
+ 4x + 7)
c) lim
x
→1
x
3
+ 1
(x
− 20)
10
d) lim
x
→5
x
2
− 11x + 30
x
− 5
e) lim
x
→−3
x
2
− 9
x + 3
f) lim
x
→−2
x
2
+ 4x + 4
x + 2
5
g) lim
x
→0
sin(5x)
x
h) lim
x
→0
sin αx
sin βx
i) lim
x
→0
1
− cos x
x
2
j) lim
x
→0
sin
2
2x
sin
2
3x
k) lim
x
→0
6x
2
− 2x − 1
2x
3
− x
2
− 1
l) lim
x
→0
√
x + 1
− 1
x
m) lim
x
→2
x
− 2
√
x
−
√
2
n) lim
x
→0
√
x
2
+ 16
− 4
√
x
2
+ 25
− 5
o) lim
x
→0
tg x
x
p*)
lim
x
→1
1
− x
ctg(πx/2)
V.57 Znajdź granicę funkcji w nieskończoności
a) lim
x
→∞
√
x
2
− 3 − x
b) lim
x
→∞
√
x
2
− 6x + 9 − x + 3
c) lim
x
→∞
x
2
+ 1
2x
2
+ x + 1
d) lim
x
→∞
x
2
+ 4x
− 7
3x
2
− 2x + 3
e) lim
x
→∞
(
1 +
1
2x
)
3x
f) lim
x
→∞
(
x
2
− 2
x
2
)
5x
g) lim
x
→∞
(x
3
− 7x + π)
h)
lim
x
→−∞
(x
3
+ 2x
2
− 6x + 1)
i) lim
x
→∞
x
3
− 5x
2
+ 7x
− 8
3x
4
− 6x
2
− 10
j)
lim
x
→−∞
3x
3
− 10x
2
− 7x + 11
2x
2
− 12x
3
− 13x − 5
V.58 Zbadać granice jednostronne funkcji w punktach nie należących do dziedziny:
a) f (x) =
1
x
b) f (x) =
x
x
− 4
c) f (x) =
2
x + 2
d) f (x) =
1
x
− 1
e) f (x) =
12
− x
x
− 5
f) f (x) =
x
2
+ 2x
− 15
x + 5
g) f (x) =
2
x
2
− 1
h) f (x) =
−
1
(x + 1)
2
i) f (x) = e
1/x
V.59 Zbadać ciągłość funkcji na zbiorze
R
a) f (x) =
|x + 2|
x + 2
,
x
̸= −2
1,
x =
−2
b) f (x) =
x
2
+ x
x
2
− x
,
x
̸= 0, 1
−1,
x = 0
1,
x = 1
c) f (x) =
x
3
+ 2x
2
+ x + 2
x + 2
,
x
̸= −2
−5,
x =
−2
d) f (x) =
x(x + cos x)
x + sin x
,
x
̸= 0
0,
x = 0
V.60 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = x + 3
b) f (x) = x + 5
c) f (x) = x
− π
d) f (x) = x + 7
e) f (x) = 5
f) f (x) = e
g) f (x) = 2x
h) f (x) =
−5x
i) f (x) =
√
2x
j) f (x) = x
2
k) f (x) = x
3
l) f (x) = x
1
2
m) f (x) = x
3
2
n) f (x) = x
−2
o) f (x) = x
−5
p) f (x) = 2x
3
q) f (x) = 3x
2
r) f (x) = 5x
7
s) f (x) =
−10x
−2
t) f (x) = 9x
2
− 12x + 4
6
u) f (x) = x
3
− 9x
2
+ 27x + 27
v) f (x) = 49x
2
− 70x + 25
w) f (x) = (5
− 7x)
2
x) f (x) = (x
− 3)
3
y) f (x) = 8x
3
− 8x
2
+ 2x + 3
z) f (x) = (x + 2)
4
V.61 Oblicz pochodną funkcji
a) f (x) = tg x
b) f (x) = ctg x
c) f (x) = 2 sin x
d) f (x) = 3 cos x + π
e) f (x) = 5 tg x
− 7
f) f (x) =
−3 ctg x + 3
V.62 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = (x
− 1)(x
2
+ x + 1)
b) f (x) = x(x
− 2)(x − 3)
c) f (x) = x e
x
d) f (x) = x
2
2
x
e) f (x) = x
3
log(x) + 2x
2
log
2
(x)
f) f (x) = x cos x
g) f (x) = x
2
sin x + x tg x
h) f (x) = (x
2
− x + 1)(sin x + 3 cos x)
V.63 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) =
x
− 1
x
b) f (x) =
x
x
− 1
c) f (x) =
x
2
x
− 1
d) f (x) =
x
x
2
− 1
e) f (x) =
x
3
x
− 2
f) f (x) =
x
− 3
x
− 2
g) f (x) =
5x
− 8
6x + 1
h) f (x) =
x log x
x
2
+ 1
i) f (x) =
x
2
(sin x + cos x)
x cos x
j) f (x) =
x
n
e
x
ln(x)
V.64 Oblicz pochodną funkcji złożonej:
a) f (x) = (x
2
+ 1)
10
b) f (x) = (x
3
+ x
2
− x − 2)
5
c) f (x) = sin(2x)
d) f (x) = cos(3x)
e) f (x) = tg(4x)
f) f (x) =
√
x
2
+ 1
g) f (x) = ln(x +
√
x
2
+ 1)
h) f (x) =
(
5x
− 8
6x + 1
)
3
i) f (x) =
(
16x
2
− 5x − 9
12x
− 7
)
4
j) f (x) = (3x
5
− 17x + 3)
3
− 7
k) f (x) = (3x
5
− 17x + 3)
13
− 7
l) f (x) =
4
√
4x
3
+ 2x
2
− π + x
2
−
√
9
m) f (x) =
x
2
√
x
2
− 1
(x
2
+ 1)
2
V.65 Oblicz pochodną funkcji złożonej
a) f (x) = tg 8x
b) f (x) = ctg 7x
c) f (x) = (sin x)
2
d) f (x) = (cos x)
3
e) f (x) = (tg x)
5
f) f (x) = 3(sin x)
4
g) f (x) =
1
7
(tg x)
2
h) f (x) = sin(x + 3)
i) f (x) = cos(x
2
− 3)
j) f (x) = tg(x
3
+ 7)
k) f (x) = ctg(3x
2
− 8x + 5)
7
V.66 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = 3x
2
sin
(
x + 3
x
− 1
+ 1
)
b) f (x) = [5x cos(x
2
− 1)]
2
c) f (x) =
√
7x tg
(
x
− 1
x + 2
)
d) f (x) =
1
x
2
ctg
x
2
e) f (x) = sin x cos x
f) f (x) = (sin x + cos x)
2
g) f (x) = sin x cos(x
− 3)
h) f (x) = sin(x
− 3) cos(x + 3)
i) f (x) = (ctg(x
2
− 7))
3
tg
3
(x
2
− 7)
j) f (x) = 2 ln x
2
k) f (x) = ln
x
x
− 1
l) f (x) = ln
2
x
m) f (x) =
√
ln(tg(sin(x
2
+ 1)))
V.67 Oblicz pochodną funkcji:
a) f (x) = a
2x
b) f (x) =
−5a
3x
c) f (x) =
√
8a
√
8x
d) f (x) =
√
3a
3x
e) f (x) = 3e
−3x
f) f (x) = 13e
3x
6
g) f (x) = x
x
h) f (x) = 2x
x
2
i) f (x) = x
tg x
j) f (x) = (sin x)
sin x
k) f (x) = tg x
x
V.68* Znajdź równania stycznych do okręgu o środku w punkcie (3, 2) i promieniu równym 4 dla punktów
okręgu o odciętej x = 4.
V.69* Znajdź kąt pomiędzy stycznymi do okręgu o środku w punkcie (4, 7) i promieniu równym 9 w punkcie
x = 6.
V.70 Znajdź styczną do wykresu funkcji:
a) f (x) = 2x
2
− 3x + 5 w punkcie x = 2
b) f (x) = e
x
−3
w punkcie x = 3
c) f (x) = 2 sin 2x w punkcie x = π
V.71 Znajdź ekstrema funkcji:
a) f (x) = 3x
2
− 5x + 7
b) f (x) =
−5x
2
+ 17x + 1
c) f (x) = 3x
4
− 5x − 7
d) f (x) = 5x
3
−12x
2
+5x+12
V.72 Znajdź punkt, w którym prosta styczna w tym punkcie do paraboli y =
1
2
x
2
jest równoległa do 2x
−
y + 3 = 0.
V.73 Określ przedziały monotoniczności funkcji
a) y = x
3
− 4x
2
+ 4x + 2
b) y =
x
2
x + 1
c) y =
x
4
x
3
− 1
d) y = x
2
e
−x
2
e) y = x
3
√
x + 2
x
− 1
V.74* Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej r połączono przewodnikiem o
oporności R. Zbadać dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa.
V.75* Na danym kole opisać trapez równoramienny o najmniejszym polu.
V.76 Oblicz:
8
a)
∫
dx
b)
∫
xdx
c)
∫
(x + 1)dx
d)
∫
(x
2
− 3x + 5)dx
e)
∫
(2x
3
− 5x
2
+ 4x
− 1)dx
f)
∫
(x
4
−x
3
+
1
2
x
2
−5x−5)dx
g)
∫
(sin x + 2 cos x)dx
h)
∫
(cos x
− 3 sin x + x)dx
i)
∫
tg xdx
j)
∫
ctg xdx
k)
∫ (
5
x
+
2
x
2
)
dx
l)
∫
4
x
2
dx
m)
∫
−3
x
3
dx
n)
∫
(e
x
+ 2 tg x)dx
o)
∫
x
√
xdx
p)
∫
3
√
x
2
+ 2
4
√
x
√
x
dx
V.77 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez części:
a)
∫
x sin xdx
b)
∫
x cos xdx
c)
∫
xe
x
dx
d)
∫
x
2
e
x
dx
e)
∫
x
3
e
x
dx
f)
∫
x ln xdx
g)
∫
x
5
ln xdx
h)
∫
e
x
sin xdx
i)
∫
e
x
cos xdx
V.78 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:
a)
∫
8e
4x
dx
b)
∫
(17e
5x
− 7x
2
+ 1)dx
c)
∫
sin 2xdx
d)
∫
cos 5xdx
e)
∫
sin
(
1
2
x
)
dx
f)
∫
6 sin 7xdx
g)
∫
e
−x
dx
h)
∫
5 ln(3x)
3
dx
i)
∫
1
x
2
+ 9
dx
j)
∫
2x
x
2
+ 1
dx
k)
∫
1
x
− 1
dx
l)
∫
3x
x
2
− 3
dx
m)
∫
7
8x
− 12
dx
V.79* Oblicz:
a)
∫
sin
2
xdx
b)
∫
cos
2
xdx
c)
∫
3 sin 2x cos 2xdx
d)
∫
13dx
3x
2
− 15x − 42
e)
∫
(3x +
21
4
)
2x
2
+ 7x + 1
dx
f)
∫
1
− x
2
√
1
− x
2
dx
g)
∫
1
cos x
dx
h)
∫
sin
3
x + cos
3
x
sin
2
x
− sin x cos x + cos
2
x
dx
i)
∫
1
x
2
− 4
dx
j)
∫
1
x
2
+ 1
dx
k)
∫
1
x
2
− 16
dx
l)
∫
3x
4
− 5x − 7
12x
3
− 5
dx
9
m)
∫
7x
3
3x
2
− 5
dx
10
Odpowiedzi
V.1. a) a
1
= 1, a
2
= 3, a
3
= 5, a
4
= 7
b) a
1
= 4
, a
2
=
5
2
, a
3
= 1
, a
4
=
7
24
c) a
1
=
1
2
, a
2
=
1
3
, a
3
=
1
2
, a
4
=
6
5
V.2. a) c
1
= 6
, c
3
= 24
, c
2k
= 3 · 4
k
, c
n−k
= 3 · 2
n−k
b) c
1
= −1
, c
3
= −
7
9
, c
2k
=
6k−2
3−8k
, c
n−k
=
3(n−k)−2
3−4(n−k)
c) c
1
= 2
, c
3
=
2
3
, c
2k
= 0
, c
n−k
=
1−(−1)
n−k
n−k
d) c
1
= 2
, c
3
=
4
3
, c
2k
=
2k+1
2k
, c
n−k
=
n−k+1
n−k
V.3. a) a
3
= 18
, a
5
= 162
,
b) a
3
= 1
, a
5
= 1
c) a
3
=
√
2
, a
5
=
8
√
2
,
d) a
3
= 3
2
, a
5
= 3
4
e) a
3
= 1
, a
5
= 1
,
f) a
3
=
4
3
, a
5
=
128
15
V.4. * a)a
n
= n
b) a
n
= 2
c) a
n
= (2n − 1)
2
d) a
n
= 3
n
− n
e) a
n
= 2(−1)
n
V.5. * a) S
n
= 1 −
1
n+1
b) a
n
=
1
2n
a
n
V.6. a) a
n
= 3n − 2
b) a
n
= 2n − 1
c) a
n
=
1
n(n+1)
.
V.7. 2500
V.8. a) Tak, r=6,
b) nie,
c) tak, r =
√
2
,
d) nie
V.9. a) a
n
= −2 + 7n
, b) a
n
= −7 + 5n
, c) a
n
= 1 −
1
4
n
, d) a
n
= −2
V.10. a) S
n
= 210
b) S
n
= 2250
, c) S
n
= 1250
V.11. a) a
1
= −3
, r = 4
b) a
1
=
5
8
a −
b
4
, r =
b
6
−
a
4
V.12. a
20
=97, S
5−15
= 517
V.13. 18, 24, 30
V.14. n = 16 r = 5
V.15. * -
V.16. S
11
= 67
V.17. * a
1
= 1, r = 2
V.18. 18, 7, −4 lub 3, 7, 11
V.19. a) q = 3, b) q = 1, c) - , d) q =
√
3
3
, e) q = −
√
2
V.20. a) a
1
= −2,a
2
= −1, a
3
= −
1
2
,a
4
= −
1
4
, b) a
1
=
√
2,a
2
= 1, a
3
=
√
2
2
,a
4
=
1
2
,
c) a
1
= −4,a
2
= 2, a
3
= −1,a
4
=
1
2
, d) a
1
=
√
2
2
,a
2
= 1, a
3
=
√
2,a
4
= 2
V.21. a) q =
3
4
, b) q
1
= 3
, q
2
= −3
, c) q = −
√
3
, d) q = −
1
2
V.22. a) a
1
=
1
5
, q
1
= 5
b) a
1
= 12
, q
1
= 2
lub a
1
=
108
7
, q
2
= −2
V.23. a) S
8
=
−15
2
(
1−
√
2
) ,
b) S
6
= 21
, c) S
5
=
210
32
V.24. a
5
= 162 a
7
= 1458
V.25. a
1
= 5 q = −
2
3
lub
a
1
= 5 q =
2
3
V.26. S
10
= 2046
V.27. * S =
1
a
+
1
aq
+
1
aq
2
+ · · · +
1
aq
n−1
, sprowadzamy do wspólnego mianownika
V.28. * x = 80 y = 200
V.29. a
1
= 3, q =
√
2
lub
a
1
= 3, q = −
√
2
lub
a
1
= 1, q = 2
lub
a
1
= 1, q = −2
V.30. (1, 2, 4, 8, 16)
V.31. a) S
n
= x
1−x
n
1−x
b) S
n
=
1−x
2n+2
1−x
2
c) S
n
=
x−(n+1)x
n+1
+nx
n+2
(1−x)
2
V.32. (2, 4, 8, 12) lub (12.5, 7.5, 4.5, 1.5)
V.33. (3, 9, 15, ...) lub (3, 9, 27, ...)
V.34. x, y = xq, z = xq
2
, u = xq
3
, podstawiamy do równania, wymna»amy lew¡ stron¦, do prawej stosujemy
wzór na kwadrat sumy trzech skªadników, st¡d L=P
V.35. *-
V.36. * b
n+1
− b
n
= 2
V.37. r = a
2
− a
1
> 0
, r = a
3
− a
2
> 0
. . .
V.38. x = 3 lub x = −3
V.39. a
1
+ r = a
2
=
√
a
1
a
4
⇒ r = 0 ∨ r = a
1
a
1
+ 5r = a
6
=
√
a
4
a
9
V.40. a) n > 1000, c) n >
100
3
, d) n > 0
V.41. a) ∀ε > 0 ∃n
0
∀n ≥ n
0
|a
n
− 0| < ε ⇔
−
2
n
< ε ⇔ n >
2
ε
, np. n
0
=
h
2
ε
+ 1
i
V.42. -
V.43. a
2k
= 1 + (−1)
2k
→ 2
, a
2k−1
= 1 + (−1)
2k−1
→ 0
, st¡d ci¡g rozbie»ny
V.44. -
V.45. a) 1,
b) −1,
c) 0,
d)
27
8
,
e) 0,
f) 0 ,
g)
4
3
,
h)
1
2
,
i)
1
3
,
j)
48
5
,
k)
1
2
,
l) 1,
m) 4
V.46. a) ∞,
b) 10,
c)
1
9
√
3
,
d) e,
e) 1,
f) 0,
g) e
26
,
h) e
6
,
i) 1,
j) 1,
k) 1,
l) 15
V.47. a)
2
3
,
b) nie,
c)
3
2
√
2 +
√
3
,
d)
2
9
,
e)
16
3
,
f)
3
√
3+3
2
V.48. a) (−
1
3
,
1
3
) − {0}
,
b) (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
c) (−∞, −2) ∪ (0, ∞),
d) (−
π
4
,
π
4
) − {0} + kπ
,
V.49. a)
25
17
, b)
49
59
V.50. a) 2 +
√
2
,
b) 24,
c)
5
8
,
d) ∞
V.51. a)
2
9
,
b) 2
53
165
=
383
165
,
c)
8
99
,
d) 1
97
110
=
207
110
V.52. S
r
=
√
3
3
a
, S
p
=
π
9
a
2
V.53. -
V.54. a) −8215, b) 4, c) 27, d) −
1
3
V.55. lim
x→0
sinx
x
= 1
, usuwalny
V.56. a) 1,
b) 0,
c)
2
(−19)
10
,
d) −1,
e) −6,
f) 0,
g) 5,
h)
α
β
,
i)
1
2
, j)
4
9
,
k) 1,
l)
1
2
,
m) 2
√
2
,
n)
5
4
,
o) 1,
p)
2
π
V.57. a) 0,
b) 0,
c)
1
2
,
d)
1
3
,
e) e
3
2
,
f) e
−10
x
= 1
,
g) ∞,
h) −∞,
i) 0,
j) −
1
4
V.58. a) lim
x→0
+
f (x) = ∞
, lim
x→0
−
f (x) = −∞
,
b) lim
x→4
+
f (x) = ∞
, lim
x→4
−
f (x) = −∞
,
c) lim
x→−2
+
f (x) = ∞
, lim
x→−2
−
f (x) = −∞
,
d) lim
x→1
+
f (x) = ∞
, lim
x→1
−
f (x) = −∞
,
e) lim
x→5
+
f (x) = ∞
, lim
x→5
−
f (x) = −∞
,
f) lim
x→−5
+
f (x) = −8
, lim
x→−5
−
f (x) = −8
,
g) lim
x→1
+
f (x) = ∞
, lim
x→1
−
f (x) = −∞
,
lim
x→−1
+
f (x) = −∞
, lim
x→−1
−
f (x) = ∞
,
h) lim
x→−1
+
f (x) = −∞
, lim
x→−1
−
f (x) = −∞
,
i) lim
x→0
+
f (x) = ∞
, lim
x→0
−
f (x) = 0
V.59. a) brak ci¡gªo±ci, b) x = 0 - funkcja ci¡gªa, x = 1 - brak ci¡gªo±ci,
c) brak ci¡gªo±ci,
d) brak ci¡gªo±ci
V.60. a) 1,
b) 1,
c) 1,
d) 1,
e) 0,
f) 0,
g) 2,
h) -5,
i)
√
2
,
j) 2x,
k) 3x
2
,
l)
1
2
√
x
,
m)
3
2
x
1
2
,
n) −2x
−3
,
o) −5x
−6
,
p) 6x
2
,
q) 6x,
r) 35x
6
,
s)
20
x
−3
,
t)18x-12,
u) 3x
2
− 18x + 27
,
v) 98x-70,
w) -14(5-7x),
x) 3 (x − 3)
2
,
y) 24x
2
− 16x + 2
,
z) 4 (x + 2)
3
V.61. a)
1
cos
2
x
,
b) -
1
sin
2
x
,
c) 2cos x,
d) -3sin x,
e)
5
cos
2
x
,
f)
3
sin
2
x
V.62. a) f
0
(x) = 3x
2
b) f
0
(x) = 3x
2
− 10x + 6
c) f
0
(x) = (x + 1)e
x
d) f
0
(x) = 2
x
(2x + x
2
ln 2)
e) f
0
(x) = 3x
2
log(x) + x
2
1
ln 10
+ 4x
2
log
2
(x) + 2x
1
ln 2
f) f
0
(x) = cos x − x sin x
g) f
0
(x) = 2x sin x + x
2
cos x + tg x +
x
cos
2
x
h) f
0
(x) = (2x − 1)(sin x + 3 cos x) + (x
2
− x + 1)(cos x − 3 sin x)
V.63. a) f
0
(x) =
1
x
2
b) f
0
(x) = −
1
(x−1)
2
c) f
0
(x) =
x
2
−2x
(x−1)
2
d) f
0
(x) = −
x
2
+1
(x
2
−1)
2
e) f
0
(x) =
2x
2
(x−3)
(x−2)
2
f) f
0
(x) =
1
(x−2)
2
g) f
0
(x) =
53
(6x+1)
2
h) f
0
(x) =
(log(ex))(x
2
+1)−2x
2
log x
(x
2
+1)
2
i) f
0
(x) = tg x +
x
cos
2
x
+ 1
j) f
0
(x) =
e
x
x
n−1
[(n+x) ln x−1]
ln
2
x
V.64. a) f
0
(x) = 20x(x
2
+ 1)
9
b) f
0
(x) = 5(x
3
+ x
2
− x + 2)
4
(3x
2
+ 2x − 1)
c) f
0
(x) = 2 cos(2x)
d) f
0
(x) = −3sin(3x)
e) f
0
(x) =
4
cos
2
(4x)
f) f
0
(x) =
x
√
x
2
+1
g) f
0
(x) =
1+
x
√
x2+1
x+
√
x
2
+1
h) f
0
(x) =
15(5x−8)
2
(6x+1)
3
−
18(5x−8)
(6x+1)
4
i) f
0
(x) =
4(32x−5)(16x
2
−5x−9)
3
(12x−7)
4
−
48(16x
2
−5x−9)
4
(12x−7)
5
j) f
0
(x) = 3(3x
5
− 17x + 3)
2
(15x
4
− 17)
k) f
0
(x) = 13(3x
5
− 17x + 3)
12
(15x
4
− 17)
l) f
0
(x) =
1
4
(4x
3
+ 2x
2
− π)
−
3
4
(12x
2
+ 4x) + 2x
m) f
0
(x) =
2x
√
x
2
−1
(x
2
+1)
2
+
x
3
(x
2
+1)
2
√
x
2
−1
−
4x
3
√
x
2
−1
(x
2
+1)
3
V.65. a) f
0
(x) =
8
cos
2
8x
b) f
0
(x) = −
7
sin
2
7x
c) f
0
(x) = 2 sin x cos x = sin 2x
d) f
0
(x) = −3 cos
2
x sin x
e) f
0
(x) = 5 tg
4
x
1
cos
2
f) f
0
(x) = 12 sin
3
x cos x
g) f
0
(x) =
2
7
tg x
1
cos
2
x
h) f
0
(x) = cos(x + 3)
i) f
0
(x) = −2x sin(x
2
− 3)
j) f
0
(x) =
3x
2
cos
2
(x
3
+7)
k) f
0
(x) = −
6x−8
sin
2
(3x
2
−8x+5)
V.66. a) 6x sin
x+3
x−1
+ 1
−
12x
2
(x−1)
2
cos
x+3
x−1
+ 1
,
b) 10x cos(x
2
− 1) (5 cos (x
2
− 1) − 10 sin (x
2
− 1))
,
c)
1
2
q
7xtg
(
x−1
x+2
)
7tg
x−1
x+2
+
7x
(x+2)
2
cos
2
(
x−1
x+2
)
d) −
2
x
3
ctg
x
2
−
1
2x
2
sin
2 x
2
e) cos
2
x − sin
2
x
f) 2
cos
2
x − sin
2
x
g) cos x cos (x − 3) − sin x sin (x − 3),
h) cos (x − 3) cos (x + 3) − sin (x − 3) sin (x + 3),
i) 6x
h
ctg(x
2
−7)
cos
2
(x
2
−7)
−
tg(x
2
−7)
sin
2
(x
2
−7)
i
,
j)
4
x
,
k)
−1
x(x−1)
,
l)
2
x
ln x
,
m)
1
2
√
ln(tg(sin(x
2
+1)))
·
2x cos(x
2
+1)
tg(sin(x
2
+1))·cos
2
(sin(x
2
+1))
V.67. a) 2a ln (2x),
b) −15a ln (3x),
c) 8a ln
√
8x
, d)
9a ln(3x)
2
√
3a
3x
,
e)−9e
−3x
,
f) 234x
5
e
3x
6
,
g) x
x
(ln x + 1)
h) 2x
x
2
(2x ln x + x)
,
i) x
tgx
1
cos
2
x
ln x +
1
x
tgx
,
j) (sin x)
sin x
cos x (ln (sin x) + 1)
,
k) (tgx)
x
ln tgx + x
1
sin x cos x
V.68. y
1
=
√
15
15
x + 2 −
√
15 −
4
√
15
15
,
y
2
= −
√
15
15
x + 2 +
√
15 +
4
√
15
15
V.69. Schemat rozwi¡zania: równania stycznych:y
1
= tgα
1
x + b
1
, y
2
= tgα
2
x + b
2
, α = α
2
− α
1
V.70. a) y = 5x − 3, b) y = x − 2, c) y = 4x − 4π
V.71. a) x =
5
6
- minimum
b) x =
17
10
- maksimum
c) x =
3
√
90
6
- minimum
d) x =
4
5
−
√
69
15
- maksimum, x =
4
5
+
√
69
15
- minimum
V.72. P = (2, 2)
V.73. a) rosn¡ca (−∞,
2
3
) ∪ (2, ∞)
, malej¡ca (
2
3
, 3)
,
b) rosn¡ca (−∞, −2) ∪ (0, ∞), malej¡ca (−2, −1) ∪ (−1, 0),
c) rosn¡ca (−∞, 0) ∪ (
3
√
4, ∞)
, malej¡ca (0, 1) ∪ (1,
3
√
4)
,
d) rosn¡ca (−∞, −1) ∪ (0, 1), malej¡ca (−1, 0) ∪ (1, ∞),
e) rosn¡ca (−∞, −2) ∪ (−
√
2, 1) ∪ (
√
2, ∞)
, malej¡ca (−2, −
√
2) ∪ (−1,
√
2)
V.74. R = r
V.75. a + b = c + d, kwadrat o boku 2r
V.76. a) F (x) = x + C,
b) F (x) =
1
2
x
2
+ C
,
c) F (x) =
1
2
x
2
+ x + C
,
d) F (x) =
1
3
x
3
−
3
2
x
2
+ 5x + C
,
e) F (x) =
1
2
x
4
−
5
3
x
3
+ 2x
2
− x + C
,
f) F (x) =
1
5
x
5
−
1
4
x
4
+
1
6
x
3
−
5
2
x
2
− 5x + C
,
g) F (x) = 2sin(x) − cos(x) + C,
h) F (x) = sin(x) + 3cos(x) +
1
2
x
2
+ C
,
i) F (x) = −ln|cos(x)| + C,
j) F (x) = ln|sin(x)| + C
k) F (x) = 5ln|x| −
2
x
+ C
l) F (x) = −
4
x
+ C
,
m) F (x) =
3
2
x
−2
+ C
,
n) F (x) = e
x
− 2ln|cos(x)| + C
,
o) F (x) =
2
5
x
5
2
+ C
,
p) F (x) =
6
7
x
7
6
+
8
3
x
3
4
V.77. a) F (x) = sin(x) − xcos(x) + C b) F (x) = cos(x) + xsin(x) + C
c) F (x) = e
x
(x − 1) + C
d) F (x) = e
x
(x
2
− 2x + 2) + C
e) F (x) = e
x
(x
3
− 3x
2
+ 6x − 6) + C
f) F (x) =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+ C
g) F (x) =
x
6
6
ln x −
x
6
36
+ C
h) F (x) =
1
2
e
x
[sin(x) − cos(x)] + C
i) F (x) =
1
2
e
x
[sin(x) + cos(x)] + C
V.78. a) F (x) = 2e
4x
+ C
b) F (x) =
17
5
e
5x
−
7
3
x
3
+ x + C
c) F (x) = −
1
2
cos 2x + C
d) F (x) =
1
5
sin 5x + C
e) F (x) = −2 cos
x
2
+ C
f) F (x) = −
6
7
cos 7x + C
g) F (x) = −e
−x
+ C
h) F (x) = 5(x ln(3x)
3
− 3x) + C
i) F (x) =
1
3
arc tg
x
3
+ C
j) F (x) = ln(x
2
+ 1) + C
k) F (x) = ln |x − 1| + C
l) F (x) =
3
2
ln |x
2
− 3| + C
m) F (x) =
7
8
ln |8x − 12| + C
V.79. a) F (x) =
x
2
−
sin 2x
4
b) F (x) =
x
2
+
sin 2x
4
c) F (x) = −
3
8
cos 4x
d) F (x) =
13
27
ln
x−7
x+2
e) F (x) =
3
4
ln(2x
2
+ 7x + 1)
f) F (x) =
arc sin x
2
+
x
√
1−x
2
2
g) F (x) = ln(tg(
x
2
+
π
4
))
h) F (x) = cos x − sin x
i) F (x) =
1
4
ln
x−2
x+2
j) F (x) = arc tg x
k) F (x) =
1
8
ln(
x−4
x+4
)
l) F (x) =
m) F (x) =
35
18
ln(3x
2
− 5) +
7x
2
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
05 Majid 5744 Nieznany (2)
cw PAiTS 05 id 122324 Nieznany
2015 04 09 08 25 05 01id 28644 Nieznany (2)
NAI2006 05 id 313056 Nieznany
05 Spoinyid 5835 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
cwiczenie 05 id 125057 Nieznany
05 Wykonywanie, odczytywanie i Nieznany
05 Occhid 5768 Nieznany (2)
714[01] Z1 05 Malowanie farba e Nieznany
05 TSid 5852 Nieznany (2)
05 Wodaid 5865 Nieznany (2)
pp test odp zima 05 air boratyn Nieznany
lab pwsp 05 id 258618 Nieznany
Zestaw 05 id 587909 Nieznany
05 5id 5463 Nieznany (2)
2009 10 05 praid 26669 Nieznany
26429 05 id 31506 Nieznany
więcej podobnych podstron