1
1
Elektrostatyka
2
PODSTAWOWE PRAWA I WIELKO
Ś
CI
• Za oddziaływania elektryczne i magnetyczne odpowiedzialne s
ą
ładunki elektryczne.
• W przyrodzie mamy do czynienia z dwoma rodzajami ładunków: „+” (proton),
„−” (elektron).
• Ładunek elektryczny, wyst
ę
puje w postaci okre
ś
lonych "porcji" - jest skwantowany
tzn. wszystkie realnie istniej
ą
ce ładunki s
ą
wielokrotno
ś
ci
ą
ładunku elementarnego e.
• Wypadkowy ładunek elektryczny w układzie zamkni
ę
tym jest stały (prawo
zachowania ładunku).
Oddziaływanie elektromagnetyczne ma fundamentalne znaczenie bo pozwala wyja
ś
ni
ć
siły zespalaj
ą
ce materi
ę
na poziomie atomów, cz
ą
steczek.
Ładunek elektryczny
W układzie SI jednostk
ą
ładunku jest
kulomb (C).
Jest to ładunek przenoszony
przez pr
ą
d o nat
ęŜ
eniu 1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A·s.
Ładunek elementarny jest równy:
e = 1.6·10
-19
C
2
3
2
2
1
r
q
q
k
F
=
0
4
1
πε
=
k
ε
0
= 8.854·10
-12
C
2
/(Nm
2
)
- przenikalno
ść
elektryczna pró
Ŝ
ni
Ładunki jednoimienne odpychaj
ą
si
ę
, a ró
Ŝ
noimienne przyci
ą
gaj
ą
si
ę
Oddziaływanie ładunków zale
Ŝ
y od
o
ś
rodka w jakim znajduj
ą
si
ę
ładunki. Fakt ten uwzgl
ę
dniamy
wprowadzaj
ą
c stał
ą
materiałow
ą
ε
r
,
zwan
ą
wzgl
ę
dn
ą
przenikalno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
o
ś
rodka
2
2
1
0
4
1
r
q
q
F
r
ε
πε
=
1
1.0006
2
10
81
pró
Ŝ
nia
powietrze
parafina
szkło
woda
ε
r
o
ś
rodek
Prawo Coulomba
Ka
Ŝ
de dwa ładunki punktowe q
1
i q
2
oddziaływaj
ą
wzajemnie sił
ą
wprost
proporcjonaln
ą
do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonaln
ą
do kwadratu
odległo
ś
ci mi
ę
dzy nimi.
4
Nat
ęŜ
enie pola elektrycznego
q
F
E
=
∧
=
=
=
=
r
r
r
F
E
2
2
2
1
1
r
Q
k
r
r
Q
k
r
r
Qq
k
q
q
Przyj
ę
to konwencj
ę
,
Ŝ
e ładunek
próbny jest dodatni wi
ę
c
kierunek wektora
E
jest taki sam
jak kierunek siły działaj
ą
cej na
ładunek dodatni.
Nat
ęŜ
enie pola elektrycznego definiujemy jako sił
ę
działaj
ą
c
ą
na ładunek próbny q
(umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzielon
ą
przez ten ładunek.
W fizyce pole to przestrzenny rozkład pewnej wielko
ś
ci. Inaczej mówi
ą
c – w przestrzeni
okre
ś
lone jest pewne pole, je
Ŝ
eli ka
Ŝ
demu punktowi przestrzeni przypisano pewn
ą
wielko
ść
.
3
5
dla N ładunków punktowych
i
i
i
i
i
r
r
Q
k
r
E
2
=
∑
=
=
N
i
i
1
E
E
r
l
E
E
=
1
3
3
2
1
r
p
k
r
Ql
k
r
Q
k
r
l
E
r
l
E
=
=
=
=
p = Q l
jest momentem dipolowym
Zasada superpozycji
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat
ęŜ
enie
pola (sił
ę
wypadkow
ą
), obliczamy dodaj
ą
c wektorowo nat
ęŜ
enia pól od
pojedynczych ładunków.
Przykład:
dipol elektryczny
6
Zasada superpozycji dla ci
ą
głego rozkładu ładunków
(naładowane ciało):
dV
r
r
k
r
r
dQ
k
V
i
i
i
i
∫
∑
=
=
r
r
E
2
2
ρ
dV
dQ
ρ
=
g
ę
sto
ść
obj
ę
to
ś
ciowa, powierzchniowa, liniowa
dS
dQ
σ
=
dl
dQ
λ
=
Przykład: naładowany pier
ś
cie
ń
α
dE
dE
x
cos
=
r
x
=
α
cos
r
Q
π
λ
2
=
2
r
dl
λ
k
dE
=
r
x
r
dl
λ
k
dE
x
2
=
2
3
2
2
3
3
2
)
R
(x
kxQ
πR)
(
r
x
kλ
dl
r
x
kλ
dE
E
E
x
x
+
=
=
=
=
=
∫
∫
4
7
Kierunek pola
E
w
przestrzeni mo
Ŝ
na
przedstawi
ć
graficznie za
pomoc
ą
linii sił (linii
pola)
Linie pola (linie sił) s
ą
to linie, do których wektor
E
jest styczny w ka
Ŝ
dym punkcie.
Linie sił zaczynaj
ą
si
ę
zawsze na ładunkach dodatnich, a ko
ń
cz
ą
na ładunkach
ujemnych.
Linie sił rysuje si
ę
tak,
Ŝ
e liczba linii przez jednostkow
ą
powierzchni
ę
jest
proporcjonalna do warto
ś
ci
E
; gdy linie s
ą
blisko siebie to
E
jest du
Ŝ
e, a gdy s
ą
odległe od siebie to
E
jest małe.
Linie pola
8
α
cos
S
E
=
⋅
=
Φ
S
E
α
cos
S
E
∆
∆
=
∆
⋅
=
Φ
S
E
α
dS
E
d
d
cos
=
⋅
=
Φ
S
E
∫
∫
=
Φ
=
Φ
S
S
d
d
S
E
Strumie
ń
pola elektrycznego
Strumie
ń
Φ
pola elektrycznego przez
powierzchni
ę
S
definiujemy jako iloczyn skalarny
wektora powierzchni
S
i nat
ęŜ
enia pola
elektrycznego
E
.
5
9
Przykład:
strumie
ń
pola
E
od ładunku punktowego Q w odległo
ś
ci r od niego
Rysujemy sfer
ę
o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumie
ń
przechodz
ą
cych
przez t
ę
powierzchni
ę
.
Q
Pole E ma jednakow
ą
warto
ść
w ka
Ŝ
dym punkcie
sfery i jest prostopadłe do powierzchni (
α
= 0)
0
2
2
2
4
)
4
(
)
4
(
ε
π
π
π
Q
kQ
r
r
Q
k
r
E
=
=
=
=
⋅
=
Φ
S
E
Otrzymany strumie
ń
nie zale
Ŝ
y od r, a zatem strumie
ń
jest
jednakowy dla wszystkich r
10
Rozpatrzmy zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
obejmuj
ą
c
ą
dwa ładunki
Q
1
i
Q
2
. Całkowity
strumie
ń
(liczba linii sił) przechodz
ą
cy przez powierzchni
ę
otaczaj
ą
c
ą
ładunki
Q
1
i
Q
2
jest równy:
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
=
Φ
S
E
S
E
S
E
E
S
E
d
d
d
d
c
2
1
2
1
)
(
0
2
1
0
2
0
1
ε
ε
ε
Q
Q
Q
Q
c
+
=
+
=
Φ
Całkowity strumie
ń
pola elektrycznego przez zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
jest równy
całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez t
ę
powierzchni
ę
podzielonemu przez
ε
0
.
0
.
0
d
ε
ε
wewn
i
i
Q
Q
=
=
∑
∫
S
E
Prawo Gaussa
6
11
Całkowity strumie
ń
przez:
powierzchni
ę
„1” jest dodatni,
powierzchni
ę
„2” jest ujemny,
powierzchni
ę
„3” jest równy zeru.
12
Izolowany przewodnik
W izolatorze nadmiarowy ładunek mo
Ŝ
e by
ć
rozmieszczony w całej jego obj
ę
to
ś
ci.
Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj
ą
ce
swobodne elektrony na powierzchni
ę
przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole
wewn
ą
trz przewodnika.
Wtedy na ładunki nie działa ju
Ŝ
siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.
0
d
=
∫
S
E
Wewn
ą
trz przewodnika
E
= 0
0
0
ε
.
wewn
Q
=
0
.
=
wewn
Q
Cały ładunek gromadzi si
ę
na powierzchni przewodnika
Prawo Gaussa - przykłady
7
13
Procedura obliczania pola
E
od symetrycznych rozkładów ładunków:
1. Trzeba okre
ś
li
ć
symetri
ę
pola
2. Wybra
ć
odpowiedni
ą
powierzchni
ę
Gaussa
3. Obliczy
ć
strumie
ń
przez t
ę
powierzchni
ę
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera
∫
=
)
πr
E(
EdS
2
4
0
2
)
4
(
ε
π
Q
r
E
=
2
2
0
4
1
r
Q
k
r
Q
E
=
=
πε
Na zewn
ą
trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w
ś
rodku sfery. Natomiast wewn
ą
trz sfery (r < R) Q
wewn.
= 0 wi
ę
c E
wewn.
= 0.
14
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula
2
.
r
Q
k
E
wewn
=
3
3
3
.
3
4
3
4
=
=
R
r
Q
R
r
Q
Q
wewn
π
π
2
3
0
4
1
r
R
r
Q
E
=
πε
r
R
Q
k
r
R
Q
E
3
3
0
4
1
=
=
πε
8
15
Liniowy rozkład ładunków
∫
=
0
ε
λ
h
dS
E
0
2
ε
λ
π
h
rh
E
=
r
E
0
2
πε
λ
=
Płaskie rozkłady ładunków
0
2
ε
σ
S
S
E
=
0
2
ε
σ
=
E
16
W praktyce stosuje si
ę
układ dwóch płaskich
równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko
ś
ci ale o przeciwnych znakach (kondensator
płaski ).
0
0
0
2
2
ε
σ
ε
σ
ε
σ
=
+
=
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
E
po lewej stronie
po prawej stronie
pomi
ę
dzy płytami
Na zewn
ą
trz układu pole jest równe zeru a pomi
ę
dzy
płytami ma w ka
Ŝ
dym punkcie stał
ą
warto
ść
σ
/
ε
0
.
Takie pole nazywamy polem jednorodnym.
9
17
Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi
ę
c warto
ść
pracy
nie zale
Ŝ
y od wyboru drogi pomi
ę
dzy punktami A i B.
∫
−
=
−
=
−
B
A
AB
pA
pB
d
W
E
E
r
F
F
)
(
∫
∫
−
=
−
=
B
A
pA
B
A
pA
pB
d
q
E
d
E
E
r
E
r
F
Potencjał elektryczny
Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli
V = E
p
/q
:
∫
−
=
B
A
A
B
d
V
V
r
E
Jednostk
ą
potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.
18
W fizyce posługujemy si
ę
cz
ę
sto poj
ę
ciem ró
Ŝ
nicy potencjałów czyli napi
ę
ciem
U
.
Znak minus odzwierciedla fakt,
Ŝ
e
potencjał maleje w kierunku
wektora
E
.
∫
−
=
−
B
A
A
B
d
V
V
r
E
Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego
q
umieszczonego w polu
ładunku
Q
wynosi:
r
qQ
k
(r)
E
p
=
r
Q
k
r
kQ
dr
r
Q
k
V
V(r)
r
r
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∫
1
'
'
)
(
2
1) Potencjał pola ładunku punktowego
Q
:
przyjmujemu,
Ŝ
e:
0
)
(
=
∞
V
Przykłady:
10
19
2) Jednorodnie naładowana sfera
R
Q
k
r
kQ
dr
r
Q
k
V
V(r)
R
R
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∫
1
'
'
)
(
2
R
r
≥
r
Q
k
V(r)
=
20
V(x,y)
Potencjał elektryczny mo
Ŝ
na przedstawi
ć
graficznie rysuj
ą
c
powierzchnie
lub
linie ekwipotencjalne
.
V(x,y)
-Q
+Q
X
Y
r
Q
k
r
V
=
)
(
Powierzchnia ka
Ŝ
dego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchni
ą
stałego
potencjału (powierzchni
ą
ekwipotencjaln
ą
).
Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi si
ę
na jego powierzchni
pole
E
wzdłu
Ŝ
powierzchni przewodnika równa si
ę
zeru
∆V = 0
11
21
∫
−
=
B
A
A
B
d
V
V
r
E
∫
−
=
−
=
∆
B
A
A
B
d
V
V
V
r
E
dx
dx
dV
dV
dx
E
x
=
=
−
Zwi
ą
zki pomi
ę
dzy
V
i
E
∫
−
=
−
=
∆
B
A
x
A
B
dx
E
V
V
V
Dla pola jednorodnego:
z
V
E
y
V
E
x
V
E
z
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
,
,
Gdy znamy rozkład potencjału elektrycznego
wytworzonego w kaŜdym punkcie przestrzeni przez dany
układ ładunków to na podstawie wielkości zmiany
potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym
kierunku moŜemy określić natęŜenie pola elektrycznego
E
w tym kierunku.
Ogólnie dla pola elektrostatycznego wektor
E dany jest wzorami
:
22
dla N ładunków punktowych
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
i
i
i
N
i
i
r
r
Q
k
1
2
1
r
E
E
Zasada superpozycji – potencjał i nat
ęŜ
enie
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi
ę
potencjaln
ą
), obliczamy dodaj
ą
c skalarnie potencjały pól od
pojedynczych ładunków.
i
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
r
Q
k
V
V
1
1
3
r
p
k
E
=
Przykład 1:
dipol elektryczny
0
=
−
=
r
q
k
r
q
k
V
oraz
Przykład 2:
naładowany pier
ś
cie
ń
2
1
2
2
2
)
R
(x
kQ
πR)
(
r
kλ
r
dl
λ
k
dV
V
+
=
=
=
=
∫
∫
2
3
2
2
)
R
(x
kxQ
E
+
=
12
23
Pojemno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
nazywamy stosunek ładunku kondensatora
do ró
Ŝ
nicy potencjałów (napi
ę
cia) mi
ę
dzy okładkami.
Układ przewodników, który mo
Ŝ
e gromadzi
ć
ładunek elektryczny, przy przyło
Ŝ
onej ró
Ŝ
nicy
potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora.
Jednostk
ą
pojemno
ś
ci jest farad (F); 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje si
ę
jednak mniejsze
jednostki:
µ
F, nF, pF.
U
Q
V
Q
C
=
∆
=
Pojemno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na
przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez
ten ładunek.
Definicj
ę
pojemno
ś
ci mo
Ŝ
na rozszerzy
ć
na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika
Przewodnik uwa
Ŝ
amy za jedn
ą
z okładek kondensatora, a druga okładka kondensatora
znajduje si
ę
w niesko
ń
czono
ś
ci i ma potencjał równy zeru.
Kondensatory i dielektryki
Pojemno
ść
elektryczna
24
pojemno
ść
kuli o promieniu R
V
Q
C
=
R
Q
k
V
=
R
k
R
C
0
4
πε
=
=
Przykłady:
kondensator płaski
0
ε
σ
=
E
l
El
d
U
B
A
0
ε
σ
=
=
−
=
∫
r
E
l
S
l
S
U
Q
C
0
0
ε
ε
σ
σ
=
=
=
Pojemno
ść
zale
Ŝ
y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło
Ŝ
enia
A
B
r
13
25
1. Istniej
ą
cz
ą
steczki, w których
ś
rodek ładunku dodatniego jest trwale przesuni
ę
ty wzgl
ę
dem
ś
rodka ładunku ujemnego. Takie cz
ą
steczki maj
ą
trwały elektryczny moment dipolowy p.
w cz
ą
steczce wody ładunek ujemny jest przesuni
ę
ty w
stron
ę
atomu tlenu, a
ś
rodek ładunku dodatniego jest
bli
Ŝ
ej atomów wodoru
l
p
q
=
Polaryzacja dielektryków
2. Moment dipolowy mo
Ŝ
e by
ć
wyindukowany przez umieszczenie atomów w zewn
ę
trznym
polu elektrycznym. Je
Ŝ
eli umie
ś
cimy atom w zewn
ę
trznym polu E, to na atom działa siła,
która przesuwa chmur
ę
elektronow
ą
wzgl
ę
dem j
ą
dra atomowego. Wówczas atom ma
indukowany moment dipolowy
p
- W zerowym polu trwałe momenty
dipolowe s
ą
zorientowane przypadkowo
- Po umieszczeniu w polu elektrycznym
trwałe elektryczne momenty dipolowe d
ąŜą
do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola,
czyli materiał w polu
E
zostaje
spolaryzowany.
26
Prawo Gaussa do powierzchni
zaznaczonej lini
ą
przerywan
ą
:
0
ε
'
d
q
q
−
=
∫
S
E
pole
E
jest jednorodne
S
q
q
E
0
ε
'
−
=
0
0
'
'
C
q
q
q
d
q
q
q
S
d
E
q
V
q
C
−
=
−
=
=
=
ε
∆
'
0
q
q
q
C
C
r
−
=
=
ε
Wprowadzenie dielektryka zwi
ę
ksza pojemno
ść
ε
r
razy poniewa
Ŝ
dielektryk zmniejsza pole
elektryczne
ε
r
razy.
Prawo Gaussa (dla kondensatora z dielektrykiem):
0
ε
ε
q
r
=
∫
S
Ed
Gdy dielektryk umie
ś
cimy w polu elektrycznym to
pojawiaj
ą
si
ę
indukowane ładunki powierzchniowe
q’ (wewn
ą
trz dielektryka ładunki kompensuj
ą
),
które wytwarzaj
ą
pole elektryczne
E '
przeciwne do
pola zewn
ę
trznego
E
pochodz
ą
cego od
swobodnych ładunków na okładkach
kondensatora.
Wypadkowe pole w dielektryku
E
wyp.
(suma wektorowa pól
E
' i
E
) ma ten sam kierunek co
pole
E
ale mniejsz
ą
warto
ść
.
Kondensator z dielektrykiem
14
27
Umieszczenie dielektryka (izolatora) pomi
ę
dzy okładkami
kondensatora zwi
ę
ksza jego pojemno
ść
ε
r
razy:
r
C
C
ε
=
'
ε
r
nazywamy wzgl
ę
dn
ą
przenikalno
ś
ci
ą
elektryczna lub stał
ą
dielektryczn
ą
Materiał
Stała dielektryczna
pró
Ŝ
nia
powietrze
teflon
polietylen
papier
szkło (pyrex)
porcelana
woda
TiO
2
1.0000
1.0005
2.1
2.3
3.5
4.5
6.5
78
100
Kondensator z dielektrykiem
28
Praca zu
Ŝ
yta na przeniesienie porcji ładunku
dq
pomi
ę
dzy okładkami
przy panuj
ą
cej w danej chwili ró
Ŝ
nicy potencjałów
U=∆V.
Ładowanie kondensatora pró
Ŝ
niowego.
Udq
dW
=
C
U
C
Q
q
C
q
q
U
W
Q
Q
2
2
0
0
2
1
2
1
d
d
=
=
=
=
∫
∫
S
Q
E
r
0
ε
ε
=
SE
Q
r
0
ε
ε
=
(
)
C
ES
W
r
2
2
0
ε
ε
=
dla kondensatora płaskiego
Sd
E
W
r
2
2
0
ε
ε
=
d
S
C
r
ε
ε
0
=
Energia pola elektrycznego
2
0
2
1
E
Sd
W
w
r
ε
ε
=
=
G
ę
sto
ść
energii pola elektrycznego (energia
zawarta w jednostce obj
ę
to
ś
ci) wynosi:
Je
Ŝ
eli w jakim
ś
punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o nat
ęŜ
eniu
E
to mo
Ŝ
emy uwa
Ŝ
a
ć
,
Ŝ
e w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilo
ś
ci ½
ε
0
ε
r
E
2
na jednostk
ę
obj
ę
to
ś
ci.
Prawo Gaussa dla o
ś
rodka o stałej dielektrycznej
ε
r
:
0
d
ε
ε
Q
r
=
∫
S
E
15
29
Dla poł
ą
czenia równoległego ró
Ŝ
nica potencjałów mi
ę
dzy
okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(poł
ą
czone okładki stanowi
ą
jeden przewodnik).
3
3
2
2
1
1
C
q
C
q
C
q
V
=
=
=
∆
(
)
3
2
1
3
2
1
3
2
1
C
C
C
V
V
C
C
C
V
q
q
q
V
Q
C
+
+
=
∆
∆
+
+
=
∆
+
+
=
∆
=
Przy poł
ą
czeniu szeregowym ładunek wprowadzony na
okładki zewn
ę
trzne wywołuje równomierny rozkład
(rozdzielenie) ładunku pomi
ę
dzy okładkami wewn
ę
trznymi.
3
3
2
2
1
1
C
V
C
V
C
V
q
∆
=
∆
=
∆
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
C
C
C
q
C
q
C
q
C
q
q
V
V
V
q
V
C
+
+
=
+
+
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
=
Baterie kondensatorów
30
Generator elektrostatyczny Van de
Graaffa.
S
2
E
W
2
O
T
S
1
W
1