1

1

Elektrostatyka

2

PODSTAWOWE PRAWA I WIELKO

Ś

CI

• Za oddziaływania elektryczne i magnetyczne odpowiedzialne s

ą

ładunki elektryczne.

• W przyrodzie mamy do czynienia z dwoma rodzajami ładunków: „+” (proton),

„−” (elektron).

• Ładunek elektryczny, wyst

ę

puje w postaci okre

ś

lonych "porcji" - jest skwantowany

tzn. wszystkie realnie istniej

ą

ce ładunki s

ą

wielokrotno

ś

ci

ą

ładunku elementarnego e.

• Wypadkowy ładunek elektryczny w układzie zamkni

ę

tym jest stały (prawo

zachowania ładunku).

Oddziaływanie elektromagnetyczne ma fundamentalne znaczenie bo pozwala wyja

ś

ni

ć

siły zespalaj

ą

ce materi

ę

na poziomie atomów, cz

ą

steczek.

Ładunek elektryczny

W układzie SI jednostk

ą

ładunku jest

kulomb (C).

Jest to ładunek przenoszony

przez pr

ą

d o nat

ęż

eniu 1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A·s.

Ładunek elementarny jest równy:

e = 1.6·10

-19

C

2

3

2

2

1

r

q

q

k

F

=

0

4

1

πε

=

k

ε

0

= 8.854·10

-12

C

2

/(Nm

2

)

- przenikalno

ść

elektryczna pró

ż

ni

Ładunki jednoimienne odpychaj

ą

si

ę

, a ró

ż

noimienne przyci

ą

gaj

ą

si

ę

Oddziaływanie ładunków zale

ż

y od

o

ś

rodka w jakim znajduj

ą

si

ę

ładunki. Fakt ten uwzgl

ę

dniamy

wprowadzaj

ą

c stał

ą

materiałow

ą

ε

r

,

zwan

ą

wzgl

ę

dn

ą

przenikalno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

o

ś

rodka

2

2

1

0

4

1

r

q

q

F

r

ε

πε

=

1

1.0006

2

10
81

pró

ż

nia

powietrze

parafina

szkło

woda

ε

r

o

ś

rodek

Prawo Coulomba

Ka

ż

de dwa ładunki punktowe q

1

i q

2

oddziaływaj

ą

wzajemnie sił

ą

wprost

proporcjonaln

ą

do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonaln

ą

do kwadratu

odległo

ś

ci mi

ę

dzy nimi.

4

Nat

ęż

enie pola elektrycznego

q

F

E

=

∧

=

=













=

=

r

r

r

F

E

2

2

2

1

1

r

Q

k

r

r

Q

k

r

r

Qq

k

q

q

Przyj

ę

to konwencj

ę

,

ż

e ładunek

próbny jest dodatni wi

ę

c

kierunek wektora

E

jest taki sam

jak kierunek siły działaj

ą

cej na

ładunek dodatni.

Nat

ęż

enie pola elektrycznego definiujemy jako sił

ę

działaj

ą

c

ą

na ładunek próbny q

(umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzielon

ą

przez ten ładunek.

W fizyce pole to przestrzenny rozkład pewnej wielko

ś

ci. Inaczej mówi

ą

c – w przestrzeni

okre

ś

lone jest pewne pole, je

ż

eli ka

ż

demu punktowi przestrzeni przypisano pewn

ą

wielko

ść

.

3

5

dla N ładunków punktowych

i

i

i

i

i

r

r

Q

k

r

E

2

=

∑

=

=

N

i

i

1

E

E

r

l

E

E

=

1

3

3

2

1

r

p

k

r

Ql

k

r

Q

k

r

l

E

r

l

E

=

=













=

=

p = Q l

jest momentem dipolowym

Zasada superpozycji

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat

ęż

enie

pola (sił

ę

wypadkow

ą

), obliczamy dodaj

ą

c wektorowo nat

ęż

enia pól od

pojedynczych ładunków.

Przykład:

dipol elektryczny

6

Zasada superpozycji dla ci

ą

głego rozkładu ładunków

(naładowane ciało):

dV

r

r

k

r

r

dQ

k

V

i

i

i

i

∫

∑

=

=

r

r

E

2

2

ρ

dV

dQ

ρ

=

g

ę

sto

ść

obj

ę

to

ś

ciowa, powierzchniowa, liniowa

dS

dQ

σ

=

dl

dQ

λ

=

Przykład: naładowany pier

ś

cie

ń

α

dE

dE

x

cos

=

r

x

=

α

cos

r

Q

π

λ

2

=

2

r

dl

λ

k

dE

=

r

x

r

dl

λ

k

dE

x

2

=

2

3

2

2

3

3

2

)

R

(x

kxQ

πR)

(

r

x

kλ

dl

r

x

kλ

dE

E

E

x

x

+

=

=

=

=

=

∫

∫

4

7

Kierunek pola

E

w

przestrzeni mo

ż

na

przedstawi

ć

graficznie za
pomoc

ą

linii sił (linii

pola)

Linie pola (linie sił) s

ą

to linie, do których wektor

E

jest styczny w ka

ż

dym punkcie.

Linie sił zaczynaj

ą

si

ę

zawsze na ładunkach dodatnich, a ko

ń

cz

ą

na ładunkach

ujemnych.

Linie sił rysuje si

ę

tak,

ż

e liczba linii przez jednostkow

ą

powierzchni

ę

jest

proporcjonalna do warto

ś

ci

E

; gdy linie s

ą

blisko siebie to

E

jest du

ż

e, a gdy s

ą

odległe od siebie to

E

jest małe.

Linie pola

8

α

cos

S

E

=

⋅

=

Φ

S

E

α

cos

S

E

∆

∆

=

∆

⋅

=

Φ

S

E

α

dS

E

d

d

cos

=

⋅

=

Φ

S

E

∫

∫

=

Φ

=

Φ

S

S

d

d

S

E

Strumie

ń

pola elektrycznego

Strumie

ń

Φ

pola elektrycznego przez

powierzchni

ę

S

definiujemy jako iloczyn skalarny

wektora powierzchni

S

i nat

ęż

enia pola

elektrycznego

E

.

5

9

Przykład:

strumie

ń

pola

E

od ładunku punktowego Q w odległo

ś

ci r od niego

Rysujemy sfer

ę

o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumie

ń

przechodz

ą

cych

przez t

ę

powierzchni

ę

.

Q

Pole E ma jednakow

ą

warto

ść

w ka

ż

dym punkcie

sfery i jest prostopadłe do powierzchni (

α

= 0)

0

2

2

2

4

)

4

(

)

4

(

ε

π

π

π

Q

kQ

r

r

Q

k

r

E

=

=













=

=

⋅

=

Φ

S

E

Otrzymany strumie

ń

nie zale

ż

y od r, a zatem strumie

ń

jest

jednakowy dla wszystkich r

10

Rozpatrzmy zamkni

ę

t

ą

powierzchni

ę

obejmuj

ą

c

ą

dwa ładunki

Q

1

i

Q

2

. Całkowity

strumie

ń

(liczba linii sił) przechodz

ą

cy przez powierzchni

ę

otaczaj

ą

c

ą

ładunki

Q

1

i

Q

2

jest równy:

∫

∫

∫

∫

+

=

+

=

=

Φ

S

E

S

E

S

E

E

S

E

d

d

d

d

c

2

1

2

1

)

(

0

2

1

0

2

0

1

ε

ε

ε

Q

Q

Q

Q

c

+

=

+

=

Φ

Całkowity strumie

ń

pola elektrycznego przez zamkni

ę

t

ą

powierzchni

ę

jest równy

całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez t

ę

powierzchni

ę

podzielonemu przez

ε

0

.

0

.

0

d

ε

ε

wewn

i

i

Q

Q

=

=

∑

∫

S

E

Prawo Gaussa

6

11

Całkowity strumie

ń

przez:

powierzchni

ę

„1” jest dodatni,

powierzchni

ę

„2” jest ujemny,

powierzchni

ę

„3” jest równy zeru.

12

Izolowany przewodnik

W izolatorze nadmiarowy ładunek mo

ż

e by

ć

rozmieszczony w całej jego obj

ę

to

ś

ci.

Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj

ą

ce

swobodne elektrony na powierzchni

ę

przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole

wewn

ą

trz przewodnika.

Wtedy na ładunki nie działa ju

ż

siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.

0

d

=

∫

S

E

Wewn

ą

trz przewodnika

E

= 0

0

0

ε

.

wewn

Q

=

0

.

=

wewn

Q

Cały ładunek gromadzi si

ę

na powierzchni przewodnika

Prawo Gaussa - przykłady

7

13

Procedura obliczania pola

E

od symetrycznych rozkładów ładunków:

1. Trzeba okre

ś

li

ć

symetri

ę

pola

2. Wybra

ć

odpowiedni

ą

powierzchni

ę

Gaussa

3. Obliczy

ć

strumie

ń

przez t

ę

powierzchni

ę

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera

∫

=

)

πr

E(

EdS

2

4

0

2

)

4

(

ε

π

Q

r

E

=

2

2

0

4

1

r

Q

k

r

Q

E

=

=

πε

Na zewn

ą

trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w

ś

rodku sfery. Natomiast wewn

ą

trz sfery (r < R) Q

wewn.

= 0 wi

ę

c E

wewn.

= 0.

14

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula

2

.

r

Q

k

E

wewn

=

3

3

3

.

3

4

3

4













=

=

R

r

Q

R

r

Q

Q

wewn

π

π

2

3

0

4

1

r

R

r

Q

E













=

πε

r

R

Q

k

r

R

Q

E

3

3

0

4

1

=

=

πε

8

15

Liniowy rozkład ładunków

∫

=

0

ε

λ

h

dS

E

0

2

ε

λ

π

h

rh

E

=

r

E

0

2

πε

λ

=

Płaskie rozkłady ładunków

0

2

ε

σ

S

S

E

=

0

2

ε

σ

=

E

16

W praktyce stosuje si

ę

układ dwóch płaskich

równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko

ś

ci ale o przeciwnych znakach (kondensator

płaski ).

0

0

0

2

2

ε

σ

ε

σ

ε

σ

=

+

=

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

po lewej stronie

po prawej stronie

pomi

ę

dzy płytami

Na zewn

ą

trz układu pole jest równe zeru a pomi

ę

dzy

płytami ma w ka

ż

dym punkcie stał

ą

warto

ść

σ

/

ε

0

.

Takie pole nazywamy polem jednorodnym.

9

17

Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego

Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi

ę

c warto

ść

pracy

nie zale

ż

y od wyboru drogi pomi

ę

dzy punktami A i B.

∫

−

=

−

=

−

B

A

AB

pA

pB

d

W

E

E

r

F

F

)

(

∫

∫

−

=

−

=

B

A

pA

B

A

pA

pB

d

q

E

d

E

E

r

E

r

F

Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli

V = E

p

/q

:

∫

−

=

B

A

A

B

d

V

V

r

E

Jednostk

ą

potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.

18

W fizyce posługujemy si

ę

cz

ę

sto poj

ę

ciem ró

ż

nicy potencjałów czyli napi

ę

ciem

U

.

Znak minus odzwierciedla fakt,

ż

e

potencjał maleje w kierunku
wektora

E

.

∫

−

=

−

B

A

A

B

d

V

V

r

E

Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego

q

umieszczonego w polu

ładunku

Q

wynosi:

r

qQ

k

(r)

E

p

=

r

Q

k

r

kQ

dr

r

Q

k

V

V(r)

r

r

=









−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∫

1

'

'

)

(

2

1) Potencjał pola ładunku punktowego

Q

:

przyjmujemu,

ż

e:

0

)

(

=

∞

V

Przykłady:

10

19

2) Jednorodnie naładowana sfera

R

Q

k

r

kQ

dr

r

Q

k

V

V(r)

R

R

=









−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∫

1

'

'

)

(

2

R

r

≥

r

Q

k

V(r)

=

20

V(x,y)

Potencjał elektryczny mo

ż

na przedstawi

ć

graficznie rysuj

ą

c

powierzchnie

lub

linie ekwipotencjalne

.

V(x,y)

-Q
+Q

X

Y

r

Q

k

r

V

=

)

(

Powierzchnia ka

ż

dego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchni

ą

stałego

potencjału (powierzchni

ą

ekwipotencjaln

ą

).

Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi si

ę

na jego powierzchni

pole

E

wzdłu

ż

powierzchni przewodnika równa si

ę

zeru

∆V = 0

11

21

∫

−

=

B

A

A

B

d

V

V

r

E

∫

−

=

−

=

∆

B

A

A

B

d

V

V

V

r

E

dx

dx

dV

dV

dx

E

x

=

=

−

Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy

V

i

E

∫

−

=

−

=

∆

B

A

x

A

B

dx

E

V

V

V

Dla pola jednorodnego:

z

V

E

y

V

E

x

V

E

z

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

,

,

Gdy znamy rozkład potencjału elektrycznego
wytworzonego w każdym punkcie przestrzeni przez dany
układ ładunków to na podstawie wielkości zmiany
potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym
kierunku możemy określić natężenie pola elektrycznego

E

w tym kierunku.

Ogólnie dla pola elektrostatycznego wektor

E dany jest wzorami

:

22

dla N ładunków punktowych

∑

∑

=

=

=

=

N

i

i

i

i

i

N

i

i

r

r

Q

k

1

2

1

r

E

E

Zasada superpozycji – potencjał i nat

ęż

enie

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi

ę

potencjaln

ą

), obliczamy dodaj

ą

c skalarnie potencjały pól od

pojedynczych ładunków.

i

∑

∑

=

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

r

Q

k

V

V

1

1

3

r

p

k

E

=

Przykład 1:

dipol elektryczny

0

=

−

=

r

q

k

r

q

k

V

oraz

Przykład 2:

naładowany pier

ś

cie

ń

2

1

2

2

2

)

R

(x

kQ

πR)

(

r

kλ

r

dl

λ

k

dV

V

+

=

=

=

=

∫

∫

2

3

2

2

)

R

(x

kxQ

E

+

=

12

23

Pojemno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

nazywamy stosunek ładunku kondensatora

do ró

ż

nicy potencjałów (napi

ę

cia) mi

ę

dzy okładkami.

Układ przewodników, który mo

ż

e gromadzi

ć

ładunek elektryczny, przy przyło

ż

onej ró

ż

nicy

potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora.

Jednostk

ą

pojemno

ś

ci jest farad (F); 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje si

ę

jednak mniejsze

jednostki:

µ

F, nF, pF.

U

Q

V

Q

C

=

∆

=

Pojemno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na

przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez
ten ładunek.

Definicj

ę

pojemno

ś

ci mo

ż

na rozszerzy

ć

na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika

Przewodnik uwa

ż

amy za jedn

ą

z okładek kondensatora, a druga okładka kondensatora

znajduje si

ę

w niesko

ń

czono

ś

ci i ma potencjał równy zeru.

Kondensatory i dielektryki

Pojemno

ść

elektryczna

24

pojemno

ść

kuli o promieniu R

V

Q

C

=

R

Q

k

V

=

R

k

R

C

0

4

πε

=

=

Przykłady:

kondensator płaski

0

ε

σ

=

E

l

El

d

U

B

A

0

ε

σ

=

=

−

=

∫

r

E

l

S

l

S

U

Q

C

0

0

ε

ε

σ

σ

=

=

=

Pojemno

ść

zale

ż

y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło

ż

enia

A

B

r

13

25

1. Istniej

ą

cz

ą

steczki, w których

ś

rodek ładunku dodatniego jest trwale przesuni

ę

ty wzgl

ę

dem

ś

rodka ładunku ujemnego. Takie cz

ą

steczki maj

ą

trwały elektryczny moment dipolowy p.

w cz

ą

steczce wody ładunek ujemny jest przesuni

ę

ty w

stron

ę

atomu tlenu, a

ś

rodek ładunku dodatniego jest

bli

ż

ej atomów wodoru

l

p

q

=

Polaryzacja dielektryków

2. Moment dipolowy mo

ż

e by

ć

wyindukowany przez umieszczenie atomów w zewn

ę

trznym

polu elektrycznym. Je

ż

eli umie

ś

cimy atom w zewn

ę

trznym polu E, to na atom działa siła,

która przesuwa chmur

ę

elektronow

ą

wzgl

ę

dem j

ą

dra atomowego. Wówczas atom ma

indukowany moment dipolowy

p

- W zerowym polu trwałe momenty
dipolowe s

ą

zorientowane przypadkowo

- Po umieszczeniu w polu elektrycznym
trwałe elektryczne momenty dipolowe d

ążą

do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola,
czyli materiał w polu

E

zostaje

spolaryzowany.

26

Prawo Gaussa do powierzchni
zaznaczonej lini

ą

przerywan

ą

:

0

ε

'

d

q

q

−

=

∫

S

E

pole

E

jest jednorodne

S

q

q

E

0

ε

'

−

=

0

0

'

'

C

q

q

q

d

q

q

q

S

d

E

q

V

q

C

−

=

−

=

=

=

ε

∆

'

0

q

q

q

C

C

r

−

=

=

ε

Wprowadzenie dielektryka zwi

ę

ksza pojemno

ść

ε

r

razy poniewa

ż

dielektryk zmniejsza pole

elektryczne

ε

r

razy.

Prawo Gaussa (dla kondensatora z dielektrykiem):

0

ε

ε

q

r

=

∫

S

Ed

Gdy dielektryk umie

ś

cimy w polu elektrycznym to

pojawiaj

ą

si

ę

indukowane ładunki powierzchniowe

q’ (wewn

ą

trz dielektryka ładunki kompensuj

ą

),

które wytwarzaj

ą

pole elektryczne

E '

przeciwne do

pola zewn

ę

trznego

E

pochodz

ą

cego od

swobodnych ładunków na okładkach
kondensatora.

Wypadkowe pole w dielektryku

E

wyp.

(suma wektorowa pól

E

' i

E

) ma ten sam kierunek co

pole

E

ale mniejsz

ą

warto

ść

.

Kondensator z dielektrykiem

14

27

Umieszczenie dielektryka (izolatora) pomi

ę

dzy okładkami

kondensatora zwi

ę

ksza jego pojemno

ść

ε

r

razy:

r

C

C

ε

=

'

ε

r

nazywamy wzgl

ę

dn

ą

przenikalno

ś

ci

ą

elektryczna lub stał

ą

dielektryczn

ą

Materiał

Stała dielektryczna

pró

ż

nia

powietrze

teflon

polietylen

papier

szkło (pyrex)

porcelana

woda

TiO

2

1.0000
1.0005

2.1
2.3
3.5
4.5
6.5

78

100

Kondensator z dielektrykiem

28

Praca zu

ż

yta na przeniesienie porcji ładunku

dq

pomi

ę

dzy okładkami

przy panuj

ą

cej w danej chwili ró

ż

nicy potencjałów

U=∆V.

Ładowanie kondensatora pró

ż

niowego.

Udq

dW

=

C

U

C

Q

q

C

q

q

U

W

Q

Q

2

2

0

0

2

1

2

1

d

d

=

=













=

=

∫

∫

S

Q

E

r

0

ε

ε

=

SE

Q

r

0

ε

ε

=

(

)

C

ES

W

r

2

2

0

ε

ε

=

dla kondensatora płaskiego

Sd

E

W

r

2

2

0

ε

ε

=

d

S

C

r

ε

ε

0

=

Energia pola elektrycznego

2

0

2

1

E

Sd

W

w

r

ε

ε

=

=

G

ę

sto

ść

energii pola elektrycznego (energia

zawarta w jednostce obj

ę

to

ś

ci) wynosi:

Je

ż

eli w jakim

ś

punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o nat

ęż

eniu

E

to mo

ż

emy uwa

ż

a

ć

,

ż

e w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilo

ś

ci ½

ε

0

ε

r

E

2

na jednostk

ę

obj

ę

to

ś

ci.

Prawo Gaussa dla o

ś

rodka o stałej dielektrycznej

ε

r

:

0

d

ε

ε

Q

r

=

∫

S

E

15

29

Dla poł

ą

czenia równoległego ró

ż

nica potencjałów mi

ę

dzy

okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(poł

ą

czone okładki stanowi

ą

jeden przewodnik).

3

3

2

2

1

1

C

q

C

q

C

q

V

=

=

=

∆

(

)

3

2

1

3

2

1

3

2

1

C

C

C

V

V

C

C

C

V

q

q

q

V

Q

C

+

+

=

∆

∆

+

+

=

∆

+

+

=

∆

=

Przy poł

ą

czeniu szeregowym ładunek wprowadzony na

okładki zewn

ę

trzne wywołuje równomierny rozkład

(rozdzielenie) ładunku pomi

ę

dzy okładkami wewn

ę

trznymi.

3

3

2

2

1

1

C

V

C

V

C

V

q

∆

=

∆

=

∆

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1

1

1

1

C

C

C

q

C

q

C

q

C

q

q

V

V

V

q

V

C

+

+

=

+

+

=

∆

+

∆

+

∆

=

∆

=

Baterie kondensatorów

30

Generator elektrostatyczny Van de
Graaffa.

S

2

E

W

2

O

T
S

1

W

1