Laboratorium

Metod Obliczeniowych

Lab 6 – całkowanie numeryczne

dr inż. Andrzej Kułakowski Kielce 2012

Katedra Zastosowań Informatyki Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Literatura:

instrukcja powstała na podstawie:

- slajdów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki Śląskiej

- informacji ze strony I LO w Tarnowie

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Metoda prostokątów

Wzór prostokatów z niedomiarem:

Wzór prostokatów z nadmiarem:

∫

a

b

f (x )dx≈h⋅

∑

i =0

i=n−1

y

i

∫

a

b

f (x )dx≈h⋅

∑

i=1

i =n

y

i

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Metoda prostokątów

Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokatów:

∫

1

5

(

x

2

+

2)dx=49

1
3

∫

a

b

f (x )dx

f (x )=( x

2

+

2)

a=1

b=5

Ilość podprzedziałów: n=4

Krok całkowania:

h=

b−a

n

=

5−1

4

=

1

a= x

0

=

1

x

1

=

x

0

+

h=1+1=2

x

2

=

x

0

+

2⋅h=1+2⋅1=3

x

3

=

x

0

+

3⋅h=1+3⋅1=4

x

4

=

x

0

+

4⋅h=1+4⋅1=5=b

y

0

=

f (x

0

)=

1

2

+

2=3

y

1

=

f (x

1

)=

2

2

+

2=6

y

2

=

f ( x

2

)=

3

2

+

2=11

y

3

=

f (x

3

)=

4

2

+

2=18

y

4

=

f ( x

4

)=

5

2

+

2=27

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Metoda prostokątów

Wzór prostokątów z niedomiarem:

Wzór prostokątów z nadmiarem:

h⋅

∑

i=0

n−1

y

i

=

h⋅

∑

i=0

3

y

i

=

h⋅( y

0

+

y

1

+

y

2

+

y

3

)=

1⋅(3+6+11+18)=38

h⋅

∑

i=1

n

y

i

=

h⋅

∑

i=1

4

y

i

=

h⋅( y

1

+

y

2

+

y

3

+

y

4

)=

1⋅(6+11+18+27)=62

Laboratorium Metod Obliczeniowych

∫

a

b

f (x )dx≈h

[

y

0

+

y

n

2

+

∑

i=1

i =n−1

y

i

]

Metoda trapezów

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Metoda trapezów

Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając ze
wzoru trapezów:

Przedział całkowania jak w poprzednim przykładzie podzielony
jest na 4 części.

Punkty (x

i

, y

i

) są takie same jak w poprzednim przykładzie

∫

1

5

(

x

2

+

2)dx=49

1
3

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Metoda trapezów

h

[

y

0

+

y

n

2

+

∑

i =1

n−1

y

i

]

=

h

[

y

0

+

y

4

2

+

∑

i =1

3

y

i

]

h

[

y

0

+

y

4

2

+

y

1

+

y

2

+

y

3

]

=

1

[

3+27

2

+

6+11+18

]

=

50

=

=

Laboratorium Metod Obliczeniowych

∫

a

b

f (x )dx≈

h
3

(

y

0

+

4⋅y

1

+

2⋅y

2

+

4⋅y

3

+…+

2⋅y

n −2

+

4⋅y

n −1

+

y

n

)

Wzór Simpsona

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Wzór Simpsona

Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając ze
wzoru Simpsona:

∫

1

5

(

x

2

+

2)dx=49

1
3

∫

a

b

f (x )dx≈

h
3

(

y

0

+

4⋅y

1

+

2⋅y

2

+

4⋅y

3

+…+

2⋅y

n −2

+

4⋅y

n −1

+

y

n

)

h
3

(

y

0

+

4⋅y

1

+

2⋅y

2

+

4⋅y

3

+

y

4

)

1

3

(

3+4⋅6+2⋅11+4⋅18+27

)

=

49

1

3

=

= =

=

Laboratorium Metod Obliczeniowych

Sprawozdanie

1) teoria całkowania numerycznego (kwadratury)
2) program obliczający całkę wybraną metodą
3) screen z działania programu dla podanej funkcji
4) wykres (może być w Excelu)