Całkowanie numeryczne

- 1 -

Ogólnie numeryczne metody obliczania całki oznaczonej:

  

polegają na zastąpieniu funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym W

n

(x) np. w postaci:





 







   







tak aby:

  





Całkowanie numeryczne

- 2 -

Kwadratury interpolacyjne

Niech funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b]. Przedział ten dzieli się

na skończoną liczbę n równych podprzedziałów o długości h:

  



 



 



   



 

przy czym





 



 ,    0,1,2 … , #  1

Z twierdzeń dotyczących całki oznaczonej wynika, że:



  $ 



%

&'(

%

&

)

*

%

+

*

%

,

*

Przyjmując:

-



 



%

&'(

%

&

można napisać, że:



  $ -



)

*

%

+

*

%

,

*

Metody interpolacyjne polegają na przybliżeniu funkcji f(x) w przedziale

.



, 



/ lub w

przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym W(x), więc:

-



 



%

&'(

%

&

Można zatem napisać, że:

 $ 



%

&'(

%

&

)

*

Całkowanie numeryczne

- 3 -

Do wyprowadzenia poszczególnych wzorów obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej

wykorzystany zostanie interpolacyjny wzór Newtona w postaci:

  



 0∆





00  1

2!

∆







  , 0 

  





gdzie

∆



 



 



Całkowanie numeryczne

- 4 -

Metoda prostokątów

Uwzględniając tylko pierwszy składnik wielomianu Newtona zachodzi:

  



gdzie





 



  3



przy czym

 4 .



, 



/. Oznacza to, że funkcję f(x) w przedziale .



, 



/ przybliża się

wartością f

i

czyli:

-



 

  







%

&'(

%

&

%

&'(

%

&

Ostatecznie:

 

 $  





%

&'(

%

&

)

*

W celu obliczenia całki wprowadzono nową zmienną

0 

%)%

&

5

. Stąd otrzymuje się:

0 





Dolną granicę całkowania wyznacza się przyjmując

  



, zatem q = 0. Natomiast górną

przyjmując

  



, otrzymując q = 1.

Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:

-



 

 

%

&'(

%

&







    



0  







%

&'(

%

&

Ostatecznie:

 

  $ 



)

*

Ponieważ iloczyn





odpowiada polu prostokąta o bokach

 oraz 



prezentowana metoda nosi

nazwę metody prostokątów.

Całkowanie numeryczne

- 5 -

Metoda trapezów

Uwzględniając dwa składniki wielomianu Newtona mamy:

  



 0∆



co daje:



 

%

&'(

%

&







 0∆





%

&'(

%

&

Po wprowadzeniu tak jak uprzednio zmiennej q jest:

-



 

 

%

&'(

%

&







 0∆



    



 0∆



0







1

2 



 





%

&'(

%

&

Sumując kolejne pola

-



, otrzymuje się:

 

  6





 



2  $ 



)

*

7

Wzór ten nazywany jest wzorem trapezów ze względu na fakt, że elementami sumowania są pola

trapezów.

Całkowanie numeryczne

- 6 -

Metoda Simpsona

Jeżeli do wyznaczania całki uwzględni się trzy wyrazy wielomianu Newtona to całkowanie

odbywa się z uwzględnieniem trzech punktów:

-



   

%

&'8

%

&



9



 0∆





00  1

2!

∆







:    



3 



 4



 





%

&'8

%

&

Należy zaznaczyć, że następuje tu interpolacja funkcji parabolą. Do wyznaczenia jej potrzebne są

trzy punkty:

  



3





 4



 2



 4

=

   2

)

 4

)

 





Wzór ten nazywa się wzorem Simpsona.

Całkowanie numeryczne

- 7 -

Zadania.

1.

Oblicz całkę z funkcji

f(x) = x

2

+ 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział

na:

a.

3 części

b.

5 części

c.

10 części.

2.

Oblicz całkę z funkcji

f(x) = x

2

+ 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział

na 10 części i licząc wartość funkcji w:

a.

początku przedziału

b.

środku przedziału

c.

końcu przedziału.

3.

Oblicz całkę z funkcji

f(x) = x

2

+ 3 w przedziale [2,5] metodą trapezów dzieląc przedział na:

a.

3 części

b.

5 części

c.

10 części.

4.

Oblicz całkę z funkcji

f(x) = x

2

+ 3 w przedziale [2,5] metodą Simpsona dzieląc przedział na

a.

6 części

b.

10 części.