Całkowanie numeryczne Ogólnie numeryczne metody obliczania całki oznaczonej:

polegają na zastąpieniu funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym W (x) np. w postaci: n

tak aby:

- 1 -

Całkowanie numeryczne

Kwadratury interpolacyjne

Niech funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b]. Przedział ten dzieli się na skończoną liczbę n równych podprzedziałów o długości h:

przy czym

, 0,1,2 … , # 1

Z twierdzeń dotyczących całki oznaczonej wynika, że:

)

%+*

%&'(

$

%,*

%&

*

Przyjmując:

%&'(

-

%&

można napisać, że:

)

%+*

$ -

%,*

*

Metody interpolacyjne polegają na przybliżeniu funkcji f(x) w przedziale ., / lub w przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym W(x), więc:

%&'(

-

%&

Można zatem napisać, że:

) %&'(

$

%&

*

- 2 -

Całkowanie numeryczne Do wyprowadzenia poszczególnych wzorów obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej wykorzystany zostanie interpolacyjny wzór Newtona w postaci: 00 1

0∆

2!

∆ , 0

gdzie

∆

- 3 -

Całkowanie numeryczne

Metoda prostokątów

Uwzględniając tylko pierwszy składnik wielomianu Newtona zachodzi:

gdzie

3

przy czym 4 ., /. Oznacza to, że funkcję f(x) w przedziale ., / przybliża się wartością f czyli:

i

%&'(

%&'(

-

%&

%&

Ostatecznie:

) %&'(

$

%&

*

W celu obliczenia całki wprowadzono nową zmienną 0 %)%& 5 . Stąd otrzymuje się:

0

Dolną granicę całkowania wyznacza się przyjmując , zatem q = 0. Natomiast górną przyjmując , otrzymując q = 1.

Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:

%&'(

%&'(

-

0

%&

%&

Ostatecznie:

)

$

*

Ponieważ iloczyn odpowiada polu prostokąta o bokach oraz prezentowana metoda nosi nazwę metody prostokątów.

- 4 -

Całkowanie numeryczne

Metoda trapezów

Uwzględniając dwa składniki wielomianu Newtona mamy:

0∆

co daje:

%&'(

%&'(

0∆

%&

%&

Po wprowadzeniu tak jak uprzednio zmiennej q jest:

%&'(

%&'(

1

- 0∆ 0∆0

%

%

2

&

&

Sumując kolejne pola -, otrzymuje się:

)

6

7

2 $

*

Wzór ten nazywany jest wzorem trapezów ze względu na fakt, że elementami sumowania są pola trapezów.

- 5 -

Całkowanie numeryczne Metoda Simpsona

Jeżeli do wyznaczania całki uwzględni się trzy wyrazy wielomianu Newtona to całkowanie odbywa się z uwzględnieniem trzech punktów:

%&'8

%&'8

00 1

-

9 0∆

%

%

2!

∆: 3 4

&

&

Należy zaznaczyć, że następuje tu interpolacja funkcji parabolą. Do wyznaczenia jej potrzebne są trzy punkty:

4 2 4= 2) 4)

3

Wzór ten nazywa się wzorem Simpsona.

- 6 -

Całkowanie numeryczne Zadania.

1. Oblicz całkę z funkcji f(x) = x2 + 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział

na:

a. 3 części

b. 5 części

c. 10 części.

2. Oblicz całkę z funkcji f(x) = x2 + 3 w przedziale [2,5] metodą prostokątów dzieląc przedział

na 10 części i licząc wartość funkcji w: a. początku przedziału b. środku przedziału

c. końcu przedziału.

3. Oblicz całkę z funkcji f(x) = x2 + 3 w przedziale [2,5] metodą trapezów dzieląc przedział na: a. 3 części

b. 5 części

c. 10 części.

4. Oblicz całkę z funkcji f(x) = x2 + 3 w przedziale [2,5] metodą Simpsona dzieląc przedział na a. 6 części

b. 10 części.

- 7 -