186

Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powiela-
nie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przy-
padku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
praw autorskich.

Copyright © Wydawnictwo Maurycy

MATEMATYKA

WYDZIAŁ MATEMATYKI – TEST 2

Poniższy test składa się z 50 pytań wielokrotnego wyboru (każde z nich może mieć jed-
no, dwa, trzy lub brak prawidłowego rozwiązania). Czas na rozwiązanie 120 minut.

1. Suma cyfr liczby całkowitej N jest równa 87654321. Wynika z tego, że liczba N jest po-

dzielna przez:

a) 3;
b) 6;
c) 9.

2. Liczba płaszczyzn symetrii czworościanu foremnego jest równa:

a) 3;
b) 6;
c) 9.

3. W kąt o wierzchołku A wpisano okrąg o środku O styczny do ramion kąta w punktach K i

L. Wynika z tego, że:

a) w czworokąt OKAL można wpisać okrąg;
b) na czworokącie OKAL można opisać okrąg;
c) czworokąt OKAL ma dwie osie symetrii.

4. Ciąg nieskończony (a

n

), gdzie

2

2

2

1

n

a

n

a

n

−

+

+

=

, jest:

a) rosnący;
b) ograniczony;
c) zbieżny.

5 Funkcja f dana jest wzorem f (x) = x + x

3

+ x

5

+ ... + x

50

. Wtedy:

a)

;

1

2

1

≥









f

b)

3

2

2

1

≤









f

;

c)

.

3

1

2

1

≥









f

6. Wielościan W ma osiem ścian i wszystkie krawędzie długości 1. Wynika z tego, że:

a) wszystkie jego ściany są trójkątami;
b) wszystkie jego ściany są wielokątami foremnymi;
c) jego objętość jest większa od 1.

187

7. Równanie log

sin

2

cos

2

x = 1 w przedziale









2

;

0

π

:

a) nie ma rozwiązań;
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie
c) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

8. Okręgi o

1

i o

2

przecinają się. Styczne do tych okręgów, poprowadzone w jednym z ich

punktów przecięcia są prostopadłe. Wynika z tego, że:

a) środek jednego z okręgów leży na drugim okręgu;
b) środek jednego z okręgów leży wewnątrz drugiego okręgu;
c) prosta przechodząca przez oba punkty przecięcia okręgów o

1

i o

2

jest symetralną

odcinka łączącego ich środki.

9. Kąty trójkąta ABC spełniają warunek

.

sin

2

sin

ACB

ABC

∠

=

∠

Wynika z tego, że stosunek:

a) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest równy 2;
b) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest większy od 2;
c) długości pewnych dwóch boków trójkąta ABC jest równy 2.

10. Niech a = log

11

10, b = log

13

10, c = log

7

10. Suma odwrotności liczb a, b i c jest liczbą:

a) całkowitą;
b) większą od 3;
c) mniejszą od 4.

11. Na to, by dwa stożki były bryłami podobnymi wystarczy, żeby:

a) miały te same objętości;
b) ich przekroje osiowe były figurami podobnymi;
c) ich podstawy były figurami podobnymi.

12. Funkcja f dana wzorem f (x) = cos 2x + 2 sin

2

x – 1:

a) jest równa 1 dla

π

3

2

=

x

;

b) dla każdego x spełnia warunek f (x) = f (–x);
c) dla każdego x spełnia warunek f (x) = –f (–x).

13. Rzucamy jeden raz kostką do gry. Zdarzenie A to wyrzucenie liczby oczek będącej liczbą

pierwszą, zdarzenie B to wyrzucenie nieparzystej liczby oczek. Wówczas:

a) P(A) = P(B);
b) zdarzenia A i B są niezależne;
c) P(A \ B) = P (B \ A).

14. Na płaszczyźnie umieszczono okręgi o

1

i o

2

o różnych promieniach r

1

i r

2

w taki sposób,

że każda prosta przecinająca okrąg o

1

w dwóch punktach przecina też okrąg o

2

. Wynika

stąd, że:

a) r

1

< r

2

;

b) okręgi o

1

i o

2

nie mają żadnego punktu wspólnego;

c) r

1

> r

2

.

15. Dane są liczby a = 1999!, b = 19

9

+ 9, c = 1! + 9! + 9! + 9!, d = 19

1999!

. Wynika z tego, że:

a) a + b + c + d jest liczbą nieparzystą;
b) abcd jest liczbą nieparzystą;
c) prawdziwe są nierówności a < b < c < d.

188

16. Trójkąt prostokątny równoramienny o polu 1 jest obracalny wokół prostej zawierającej

jedną z przyprostokątnych. W wyniku obracania powstaje bryła B. Wynika z tego, że:

a) objętość bryły B jest większa od

2

2

;

b) objętość bryły B jest mniejsza od

π

;

c) pole powierzchni całkowitej bryły B jest większe od

.

4

π

17. Na to, by trójmian kwadratowy ax

2

+ bx + c miał dwa pierwiastki rzeczywiste różnych

znaków:

a) potrzeba i wystarcza, by ac < 0;
b) potrzeba i wystarcza, by ac < 0 i b

2

– 4ac > 0;

c) wystarcza, by c < 0.

18. Reszta z dzielenia wielomianu x

1999

– 1 przez wielomian x

2

– 1 jest:

a) równa x – 1;
b) wielomianem o współczynnikach wymiernych;
c) równa reszcie z dzielenia wielomianu x

2001

– 1 przez wielomian x

2

– 1.

19. Liczba n jest całkowita i dodatnia. Wynika z tego, że:

a) n

2

+ n + 1 jest liczbą pierwszą;

b) n

2

+ n + 2 jest liczbą złożoną;

c) n

2

+ 2n + 3 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

20. W czworokącie ABCD suma miar przeciwległych kątów jest równa 180°. Wynika z tego,

że:

a)

∠

ADB =

∠

ACB;

b)

∠

ACD =

∠

CDA;

c)

∠

BAC +

∠

CBD +

∠

DCB = 180°.

21. Dane są trzy płaszczyzny, z których żadne dwie nie są równoległe. Wynika z tego, że:

a) istnieje dokładnie jedna kula styczna do wszystkich tych płaszczyzn;
b) istnieje nieskończenie wiele kul stycznych do wszystkich tych płaszczyzn;
c) istnieje punkt wspólny wszystkich tych płaszczyzn.

22. Ciąg nieskończony (a

n

), gdzie

n

a

n

+

=

1

sin

π

jest:

a) ograniczony;
b) zbieżny;
c) malejący.

23. Liczba pierwiastków równania |x

2

+ m| + x + m = 0, gdzie m jest parametrem:

a) zależy od m;
b) dla pewnej wartości m jest równa 0;
c) dla pewnej wartości m jest równa 4.

24. Wielomian w(x) jest równy x

3

+ 14x + 10. Wtedy wielomian:

a) f (x) = w(x) – w(5) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą;
b) w(x) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą;
c) g(x) = w(x) + 5 ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą.

189

25. W zbiorze liczb rzeczywistych równanie

,

cos

1

sin

1

2

2

a

x

x

=

+

gdzie a jest parametrem:

a) ma co najmniej 3 różne pierwiastki dla a = 1999;
b) ma co najmniej 1999 różnych pierwiastków dla a = 4;
c) nie ma pierwiastków dla a < 4.

26. Długość boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q,

który jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że:

a) trójkąt ABC jest równoboczny;
b) kosinus co najmniej jednego z kątów jest liczbą wymierną;
c)

.

2

1

5

+

<

q

27. Powierzchnia boczna stożka S, po rozcięciu i rozprostowaniu na płaszczyźnie jest połową

pewnego kąta. Wynika z tego, że:

a) kąt nachylenia tworzącej stożka S do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°;
b) stosunek powierzchni bocznej stożka S do pola jego podstawy jest równy 2;
c) przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym.

28. Liczba

5

3

2

5

3

2

⋅

⋅

ma:

a) 48 różnych dzielników parzystych;
b) nieparzystą liczbę wszystkich dzielników;
c) niewymierny pierwiastek kwadratowy.

29. Dane są dwa nieskończone rosnące ciągi arytmetyczne liczb naturalnych, pierwszy o róż-

nicy r

1

, drugi o różnicy r

2

. Żadna liczba nie należy jednocześnie do obu ciągów. Wynika z

tego, że:

a) r

1

= r

2

;

b) r

1

i r

2

są obie parzyste lub obie nieparzyste;

c) r

1

i r

2

nie mają wspólnych dzielników różnych od 1.

30. Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem

,

sin

cos

2

sin

)

(

2

a

a

x

a

x

x

f

−

−

=

gdzie a jest parametrem. Wynika z tego, że:

a) funkcja f ma przynajmniej jedno miejsce zerowe;
b) istnieje taka wartość a, że f przyjmuje każdą wartość rzeczywistą;
c) funkcja f dla każdej wartości a ma dokładnie dwa miejsca zerowe.

31. Układ równań







=

+

+

=

+

+

0

2

1

2

y

x

x

y

a

x

gdzie a jest parametrem, jest spełniony:

a) dla każdej ujemnej wartości a przez co najmniej jedną parę liczb rzeczywistych (x,

y);

b) dla pewnej wartości a przez co najmniej 4 pary liczb rzeczywistych
(x, y);
c) dla

)

1

;

1

(

−

∈

a

przez dokładnie dwie pary liczby rzeczywistych (x, y).

190

32. Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego są liczbami niewymiernymi.

Wynika z tego, że:

a) jego różnica jest liczbą niewymierną;
b) suma jego stu początkowych wyrazów jest liczbą niewymierną;
c) iloraz jego dowolnych dwóch wyrazów jest liczbą wymierną.

33. Trzy spośród czterech dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta ABCD przecinają

się w punkcie P. Wynika z tego, że:

a) ABCD jest równoległobokiem;
b) czwarta dwusieczna przechodzi przez P;
c) na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

34. Niech r = 1 – sin 108°, s = sin 54° - cos 54°. Wynika z tego, że:

a)

;

2

s

r

≥

b) r < |s|;
c) s < 0.

35. Wykresy funkcji f i g danych wzorami f (x) = x

2

– 1 i g(x) – 1 – x

2

dzielą płaszczyznę na

pięć części. Pole części zawierającej punkt (0, 0) jest:

a) mniejsze od 1;
b) większe od 2;
c) mniejsze od 4.

36. Losujemy kolejno (bez zwracania) dwie krawędzie czworościanu foremnego. Prawdopo-

dobieństwo wylosowania dwóch krawędzi o wspólnym końcu jest:

a) większe od

;

3

2

b) mniejsze od

;

4

3

c) równe

.

5

4

37. Istnieje wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi,

mającymi dokładnie:

a) cztery wierzchołki;
b) pięć wierzchołków;
c) siedem wierzchołków.

38. Dla dowolnych wartości parametrów a, b, c wykres funkcji f danej wzorem

c

bx

ax

x

x

f

+

+

+

=

2

3

)

(

:

a) ma pionową oś symetrii;
b) ma środek symetrii;
c) przecina pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych.

39. Wśród dowolnych 1999 różnych liczb naturalnych istnieją dwie liczby a i b o tej własno-

ści, że liczba 1999 jest dzielnikiem:

a) liczby a + b;
b) liczby a – b;
c) liczby a

2

– b

2

.

191

40. Kula o promieniu r jest styczna do każdej ze ścian wielościanu o powierzchni całkowitej

P. Wynika z tego, że objętość tego wielościanu:

a) jest równa

;

3

1

rP

b) jest większa od

;

3

r

π

c) jest mniejsza od

.

4

3

r

π

KLUCZ ODPOWIEDZI

1. a,c
2. b
3. a,b
4. b,c
5. b,c
6. żadna
7. b
8. żadna
9. b,c
10. b,c

21. żadna
22. a,b,c
23. a,b,c
24. a,c
25. a,b,c
26. b,c
27. a,b
28. a,c
29. ż
30. a,b

11. b
12. b,c
13. a,c
14. a
15. a
16. a,b,c
17. a,b
18. a,b,c
19. b,c
20. a,c

31. b,c
32. żadna
33. b
34. a,b
35. b,c
36. a,c
37. a,b,c
38. b,c
39. c
40. a,b